2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)難點(diǎn)專練：特殊平行四邊形的?？碱}型（7大熱考題型）原卷版

難點(diǎn)06特殊平行四邊形的?？碱}型

（7大熱考題型）

麴型盤點(diǎn)G

題型一：矩形的性質(zhì)與判定

題型二：菱形的性質(zhì)

題型三：菱形的判定

題型四：菱形的性質(zhì)與判定

題型五：正方形的性質(zhì)

題型六：正方形的判定

題型七：正方形的性質(zhì)與判定

,精淮提分

題型一：矩形的性質(zhì)與判定

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024?山東青島?中考真題）如圖,在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC與3D相交于點(diǎn)O,ZABD=Z.CDB,

班，4（7于點(diǎn)￡,。尸人AC于點(diǎn)R且BE=DF.

一

（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；

⑵若日”“樹(shù)等于多少度時(shí)，四邊形是矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由，并直接寫出此時(shí)器的值.

【變式1-1］（2024?西藏中考真題）如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=12,BC=5,點(diǎn)尸是邊AB上任

意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作尸D,AC,PEVBC,垂足分別為點(diǎn)。，E,連接DE,則DE的最小值是（）

A

30

D.

13

【變式1-2］（2024?四川南充?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，ZABE=30。，將一ABE

沿BE折疊得_FBE,連接Cb，DF,若C尸平分/BCD,AB=2,則的長(zhǎng)為

【變式1-3］（2024?湖南長(zhǎng)沙?中考真題）如圖，在.ABCD中，對(duì)角線AC,3D相交于點(diǎn)。，ZABC=90°.

⑴求證：AC=BD；

(2)點(diǎn)E在BC邊上，滿足NCEO=/COE.若AB=6,BC=8,求CE的長(zhǎng)及tanNCEO的值.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2025?湖北十堰?一模）如圖，正八邊形的邊長(zhǎng)為4,對(duì)角線AB、CD相交于點(diǎn)E.則線段3E的長(zhǎng)為（

A.8B.4+4A/3C.4+2&D.8a

2.（2023?海南?？?模擬預(yù)測(cè)）如圖，直角梯形ABCD中，AD//BC,AB±BC,AD=2,將腰CD以。為

中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至DE,連接AE,CE,VADE的面積為3,則3C長(zhǎng)（）

3.（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）在VABC中，ZABC=90°,。是AC的中點(diǎn)，求證：BO=^AC.

證明：如圖，延長(zhǎng)80至點(diǎn)。，使00=30,連接AD,CD.

:.AC^BD^2OB,

BO=-AC.

2

下面是“……”部分被打亂順序的證明過(guò)程：①，四邊形ABCD是平行四邊形；②：NABC=90。；③；

OA=OC,OB=OD；④...四邊形ABCD是矩形，則正確的順序是（）.

A.③①②④B.③②①④C.②③①④D.②①③④

4.（2024?福建三明?二模）如圖，在VABC中，ZABC=90°,BA=3C,把VABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到VADE,

點(diǎn)。與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，點(diǎn)。恰好落在AC上，過(guò)E作￡F〃9交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，連接5D并延長(zhǎng)交跖于點(diǎn)

G,連接CE交BG于點(diǎn)"下列結(jié)論：①BD=DG；②CE=y^BD;?CH=EH；?FG=42EG.其中

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

5.（2024?廣東深圳?一模）如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=3,將矩形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩

形ARC'D,當(dāng)點(diǎn)C,B',C三點(diǎn)共線時(shí)，AQ交0c于點(diǎn)E,則上的長(zhǎng)度是（）

6.（2024.廣東深圳.模擬預(yù)測(cè)）如圖，有兩個(gè)全等的矩形ABCD和矩形AB'C'D'重合擺放，將矩形AB'C'D'繞

點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，延長(zhǎng)AD交AO于點(diǎn)E,線段AE的中點(diǎn)為點(diǎn)尸，A3的長(zhǎng)為2,2c的長(zhǎng)為4,當(dāng)CF取

最小時(shí)，AF的長(zhǎng)為（）

7.（2024?貴州黔東南.二模）在矩形A3CD中，AB=5,過(guò)點(diǎn)E,尸分別作對(duì)角線AC的垂線，與邊BC分別

交于點(diǎn)G,H.若AE=CF,BG=1,CH=4,貝!jEG+M=.

D

E

*II

8.（2023?天津一模）如圖，矩形ABCD對(duì)角線AC,8D相交于點(diǎn)O,E為08上一點(diǎn)，連接CE,尸為CE的

中點(diǎn)，NEOF=90°.若OE=3,OF=2,則砥的長(zhǎng)為.

9.（2024?陜西?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AD=16,AB=10,所在邊A。上，砂=8,連接￡B,FC,

10.（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在二A5CD中，AB=2,BC=5,延長(zhǎng)DC至點(diǎn)E,使CE=￡>C,連接AE,

ZAFC=2ZD.

（1）求證：四邊形ABEC是矩形;

（2）求ABCD的面積.

11.（2024.北京.模擬預(yù)測(cè)）如圖，在一AOC中，垂直平分AC.延長(zhǎng)AO至點(diǎn)2,作NCOB的角平分線OH,

過(guò)點(diǎn)C作CFLOH于點(diǎn)F.

H

D,

（1）求證：四邊形COO口是矩形;

4

(2)連接。尸，若sinA=g,DF=15,求AC的長(zhǎng).

12.（2024?浙江嘉興?一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,點(diǎn)E是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接CE,

以CE為邊作矩形CEFG（點(diǎn)。、G在CE的同側(cè)），且CE=2EF,連接班

（圖1）(圖2)

（D如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B、E、尸在同一直線上，求郎的長(zhǎng);

（2）如圖2,當(dāng)N3CE=30。時(shí)，求證：線段正被CE平分.

13.（2024.湖南長(zhǎng)沙.模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行四邊形A3。的對(duì)角線AC,3D相交于點(diǎn)。，且OC=OD.

（1）證明四邊形ABCD為矩形;

⑵若NQ4D=30。，BC=6,求△OBC的面積;

（3）點(diǎn)E,P分別是線段08,上的點(diǎn)，若AE=BF,AB=5,AF=1,BE=3,求跖的長(zhǎng).

題型二：菱形的性質(zhì)

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024?福建?中考真題）如圖，在菱形ABC。中，點(diǎn)E、/分別在BC、CD邊上，ZBAF=NDAE,

求證：BE=DF.

H

【典例2】（2024?山東濟(jì)南?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AELCD,垂足為瓦C尸，AD,垂足為歹.

求證：AF=CE.

【變式2-1］（2024?海南?中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,ZABC=120°,邊A3在數(shù)軸上，將AC

繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C落在數(shù)軸上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)E表示的數(shù)是3,則點(diǎn)A表示的數(shù)是（）

【變式2-2］（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，四邊形ABC。是菱形，CD=5,BD=8,于點(diǎn)E,

則AE的長(zhǎng)是（）

【變式2-3］（2024.山東濟(jì)寧?中考真題）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC,80相交于點(diǎn)。，E是A3的中點(diǎn),

連接OE.若OE=3,則菱形的邊長(zhǎng)為（）

A.6B.8C.10D.12

【變式2-4］（2024?山東青島?中考真題）如圖，菱形ABCD中，BC=10,面積為60,對(duì)角線AC與8。相

交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)A作交邊BC于點(diǎn)E,連接EO,則EO=.

【變式2-5］（2024?廣東?中考真題）如圖，菱形A3CD的面積為24,點(diǎn)E是A3的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是BC上的動(dòng)

點(diǎn).若跖的面積為4,則圖中陰影部分的面積為.

C

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?云南曲靖?一模）菱形ABCD的一條對(duì)角線長(zhǎng)為8,邊A3的長(zhǎng)是方程尤之-7x+10=0的一個(gè)根，則

菱形ABCD的周長(zhǎng)為（）

A.16B.20C.16或20D.32

2.（2024?山西?模擬預(yù)測(cè)）如圖，。是菱形ABCD的對(duì)角線的中點(diǎn)，以。為原點(diǎn)，建立如圖平面直角坐

A.（5后5）B.（573,-5）C.（4,276）D.（6,-2>/3）

3.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形ABC￡＞中，ZA=60°,AB=6,E是AB上一點(diǎn)，把四邊形ADCE

沿CE折疊后得到四邊形A'D'CE,CD'LCD,則班的長(zhǎng)為（）

4.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形ABS中，以點(diǎn)。為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交A8于點(diǎn)E,分

別以B,E為圓心，以大于gBE長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)尸，作射線。尸交A3于點(diǎn)G.連接CG,若

ZDCG=30°,AG=3,則菱形A3CD的面積為（）

AR773「56n3白

2222

5.（2024?山東棗莊.一模）已知3是關(guān)于x的方程/-27%+3相=0的一個(gè)根，并且這個(gè)方程的兩個(gè)根恰好是

菱形ABCD的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，則菱形A3CD的面積為.

6.（2024?湖南株洲?模擬預(yù)測(cè)）如圖，菱形ABCD中，ZBAD=120°,對(duì)角線AC,3。相交于點(diǎn)。，E為AB

的中點(diǎn).若菱形ABCD的周長(zhǎng)為32,則△AEO的周長(zhǎng)為.

7.（2024?福建福州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形MCD中，40=4,48=60。，點(diǎn)E是邊CO上一點(diǎn)，將菱形ABCD

沿AE折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F,EF交BC于點(diǎn)、G,當(dāng)AF恰好經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)X時(shí)，OE的長(zhǎng)為

8.(2024?云南昆明?模擬預(yù)測(cè))如圖所示，菱形ABCD的對(duì)角線AC和交于點(diǎn)0,分別過(guò)點(diǎn)C、。作

CE//BD,DE//AC,CE和交于點(diǎn)E.

⑵當(dāng)ZADB=60。，AD=2夜時(shí)，求其的值.

AE

9.(2024.貴州?模擬預(yù)測(cè))綜合與實(shí)踐：在菱形ABC￡＞中，/3=60。，^ZMAN=ZB,AM,AN分別交2C,

CO于點(diǎn)N.

圖①圖②圖③

⑴【動(dòng)手操作】如圖①，若M是邊BC的中點(diǎn)，根據(jù)題意在圖①中畫出NM4N,則________度;

(2)【問(wèn)題探究】如圖②，當(dāng)“為邊BC上任意一點(diǎn)時(shí)，求證：AM=AN；

(3)【拓展延伸】如圖③，在菱形ABCD中，鉆=4,點(diǎn)尸，N分別在邊BC,C￡＞上,在菱形內(nèi)部作NR4N=N3,

連接AP,若=求線段ON的長(zhǎng).

題型三：菱形的判定

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024?江蘇揚(yáng)州?中考真題）如圖1,將兩個(gè)寬度相等的矩形紙條疊放在一起，得到四邊形ABCD.

圖2

（1）試判斷四邊形ABCD的形狀，并說(shuō)明理由;

（2）已知矩形紙條寬度為2cm,將矩形紙條旋轉(zhuǎn)至如圖2位置時(shí)，四邊形A3CD的面積為8cm"求此時(shí)直線

AZX8所夾銳角/I的度數(shù).

【典例2】（2024.河南.中考真題）如圖，在RtZXABC中，CD是斜邊A3上的中線，龍〃加交AC的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)E.

（1）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作NECW,使NECM=ZA,且射線CM交助于點(diǎn)F（保留作圖痕跡，不寫作

法）.

（2）證明（1）中得到的四邊形Q汨廠是菱形

【變式3-1］（2024?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）如圖,ABCD的對(duì)角線AC,即交于點(diǎn)。，以下條件不熊證明

A8CD是菱形的是（）

A.NBAC=/BCAB.ZABD=ZCBD

C.OA1+OD2=AD2D.AD2+OA1=OD2

【變式3-2］（2024?上海.中考真題）四邊形ABCD為矩形，過(guò)A、C作對(duì)角線3。的垂線，過(guò)8、。作對(duì)角線AC

的垂線，如果四個(gè)垂線拼成一個(gè)四邊形，那這個(gè)四邊形為（）

A.菱形B.矩形C.直角梯形D.等腰梯形

【變式3-3］（2024?江蘇宿遷?中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD〃3C,且A。=OC=：BC,E是BC

的中點(diǎn).下面是甲、乙兩名同學(xué)得到的結(jié)論：

甲：若連接AE,則四邊形ADCE是菱形;

乙：若連接AC,則ABC是直角三角形.

請(qǐng)選擇一名同學(xué)的結(jié)論給予證明.

圖1

【變式3-4］（2024?江蘇連云港?中考真題）如圖，與C。相交于點(diǎn)E,EC=ED,AC//BD.

（1）求證：AAECdBED；

（2）用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：求作菱形DWCN,使得點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在上.（不寫作法，保留

作圖痕跡，標(biāo)明字母）

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?廣東清遠(yuǎn)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，VABC中，AB=8cm,AC=6cm,BC=10cm,將VABC沿著直線BC

向右平移6cm到_/期的位置，AC與上相交于點(diǎn)G,連接AE）.下列結(jié)論：

①EC=6cm；

②DEF是直角三角形；

③四邊形ACFD的面積是28.85?；

④四邊形ACFD是菱形；

⑤,ADGWCEG.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

C.3個(gè)D.4個(gè)

2.(2024?青海西寧?一模)如圖，在四邊形ABDF中，點(diǎn)E,C為對(duì)角線所上的兩點(diǎn)，AB=DF,AC=DE,

EB=CF.連接AE,CD.

(1)求證：四邊形ABD尸是平行四邊形；

(2)若AE=AC,猜測(cè)四邊形AEDC的形狀，并說(shuō)明理由.

3.(2025?湖北十堰?一模)在四邊形ABCD中，AB//CD,點(diǎn)E,尸在對(duì)角線5D上，BE=EF=FD,

ZBAF^ZDCE=90°.

(1)求證：/\ABF=/\CDE；

(2)連接AE,CF,已知(從以下兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，填寫序號(hào))，請(qǐng)判斷四邊形AECF的

形狀，并證明你的結(jié)論.

條件①：ZABD=30°；條件②：AB=BC.

4.(2024?湖南衡陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))如圖，平行四邊形ABC￡>,M,N分別是AD,3C的中點(diǎn)，ZAND=90°,

連接CM交DN于點(diǎn)0.

(1)求證：四邊形CDMN是菱形；

(2)過(guò)點(diǎn)C作CEL肱V于點(diǎn)E,交DN于點(diǎn)尸.若PE=1,Z1=Z2,求AN的長(zhǎng).

5.(2024?湖南?模擬預(yù)測(cè))如圖，在.MCQ中，AC,班＞交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,尸在AC上，AF=CE.

(1)求證：四邊形￡甌是平行四邊形；

⑵若ABAC=ADAC,求證：四邊形EBFD是菱形.

6.(2024?四川雅安?模擬預(yù)測(cè))如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與8。交于點(diǎn)。，已知。4=OC,OB=OD,

過(guò)點(diǎn)。作砂，皮)，分別交A3、DC于點(diǎn)E,F,連接BF.

⑴求證：BOEW.DOF；

(2)求證：四邊形DEM是菱形；

(3)設(shè)AD〃ER,AD+AB=12,BD=4也,求AF的長(zhǎng)

7.(2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè))在VA3C和VADE中，AB=AC=5,AD=AE=6,且NBAC=NA4E,

sinZBAD=0.8.

(1)如圖，當(dāng)?shù)腃=60。時(shí)，連接DC,并延長(zhǎng)DC交AB于點(diǎn)P,貝|止=

(2)當(dāng)/班C=90。時(shí)，求出CD的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)滿足什么條件時(shí)，四邊形ABOC是菱形.

題型四：菱形的性質(zhì)與判定

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024?山東德州?中考真題）如圖，A5c。中，對(duì)角線AC平分NB4D.

（1）求證：ABCZ）是菱形；

（2）若AC=8,NOCB=74。，求菱形A3CD的邊長(zhǎng).（參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75）

【變式4-1］（2024?湖北武漢?中考真題）小美同學(xué)按如下步驟作四邊形ABCD：①畫NM4N；②以點(diǎn)A為

圓心，1個(gè)單位長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AAf,AN于點(diǎn)B,D；③分別以點(diǎn)B,。為圓心，1個(gè)單位長(zhǎng)為半

徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C；④連接BC,CD,BD.若NA=44。，則NCBD的大小是（）

【變式4-2］（2024?四川自貢?中考真題）如圖，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑畫弧，交NA兩邊于點(diǎn)

N,再分別以M、N為圓心，AM的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)2,連接MB,A?.若NA=40。，則4ffiN=

【變式4-3］（2024.四川雅安?中考真題）如圖，點(diǎn)。是rABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AD,

2c于點(diǎn)E,F.

AD

(1)求證：A0DE當(dāng)AOBF；

(2)當(dāng)時(shí)，￡>E=15cm,分別連接BE,DF,求此時(shí)四邊形BED尸的周長(zhǎng).

【變式4-41](2024.云南?中考真題)如圖，在四邊形ABC￡>中，點(diǎn)E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)，且

AB//CD,AD//BC,四邊形EFG”是矩形.

(1)求證：四邊形ABCD是菱形；

(2)若矩形的周長(zhǎng)為22,四邊形ABCD的面積為10,求43的長(zhǎng).

【變式4-5](2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題)如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AO上，AB^AF,

連接防，點(diǎn)。為防的中點(diǎn)，AO的延長(zhǎng)線交邊3C于點(diǎn)E,連接E尸

(1)求證：四邊形ABEF是菱形：

⑵若平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為22,CE=1,ZBAD=120°,求AE的長(zhǎng).

【中考模擬即學(xué)即練】

1.(2024.陜西西安?模擬預(yù)測(cè))如圖，在RtaABC中，AB=10,點(diǎn)。為斜邊8c的中點(diǎn)，連接AO,過(guò)點(diǎn)A

作AE〃CD,連接CE,CE//AD,若四邊形ADCE的周長(zhǎng)為52,則AC的長(zhǎng)為()

E

B

A.24B.26C.15D.13

2.（2024.貴州遵義?模擬預(yù)測(cè)）已知ZAOB=60。，①以點(diǎn)。為圓心，8cm長(zhǎng)為半徑畫弧，交。4、QB于點(diǎn)M、N,

②分別以點(diǎn)M、N為圓心畫弧交于一點(diǎn)P,作射線0尸，③過(guò)“點(diǎn)作08的平行線交射線。尸與點(diǎn)C,④連

接CN；求線段OC的長(zhǎng)（）

A.4GB.16D.16A/2

3.（2024.貴州貴陽(yáng).一模）如圖，在RtZkABC中，ZACB=90°,ZABC=60°,。為A3的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作

DE//BC,且DE=BC,連接CD,BE.

A

E

B

,/少亭由題目的迎j沙卬由題目的迎二

J條件，若連接EC,則1；條件，若連接/E,則:

I可以證明ECL/8.I1可:以可證以明證/明E=/E4=C4.C.

（1）請(qǐng)你選擇一位同學(xué)的說(shuō)法，并進(jìn)行證明;

(2)若3c=2,連接AE,EC,求△AEC的面積.

4.（2024?云南昆明?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中（AB>3C）,對(duì)角線AC,3。相交于點(diǎn)。，延長(zhǎng)BC

到點(diǎn)E,使得CE=3C,連接DE,點(diǎn)尸是OE的中點(diǎn)，連接CF.

D

（1）求證：四邊形。OC尸是菱形；

（2）若矩形ABCD的周長(zhǎng)為20,AC=8,求四邊形OOCF的面積.

5.（2024.湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC,相交于點(diǎn)O,DE//AC,CE//BD.

（2）若BC=3,OA=—,求四邊形OCED的面積和周長(zhǎng).

2

6.（2024.吉林長(zhǎng)春.一模）如圖，矩形AE3O的對(duì)角線4B、OE交于點(diǎn)尸,延長(zhǎng)AO到點(diǎn)C,使OC=Q4,

延長(zhǎng)8。到點(diǎn)。，使OD=OB,連接2D、DC、BC.

（1）求證:四邊形ABCD是菱形.

⑵若OE=20,/BCD=60。,則菱形ABCD的面積為

7.（2024.安徽合肥?模擬預(yù)測(cè)）在正方形ABCD中，點(diǎn)￡為C。中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交2C延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

點(diǎn)廠在BC上，ZFAE=ZDAE,連接FE并延長(zhǎng)交AD延長(zhǎng)線于X,連接用.

（1）求證：四邊形AFG”為菱形；

（2）若DH=1,求四邊形AFG”的面積.

題型五：正方形的性質(zhì)

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024.江蘇徐州?中考真題）己知：如圖，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E在8。的延長(zhǎng)線上，連接

EA,EC.

⑴求證：EAB￡ECB；

⑵若NAEC=45。，求證：DC=DE.

【變式5-1］（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形A3。的對(duì)角線AC與相交于

點(diǎn)。.E是2C邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是3D上一點(diǎn)，連接。E,斯.若qEF與DEC關(guān)于直線。E對(duì)稱，則△3EF

的周長(zhǎng)是（）

A.20B.2+72C.4-20D.72

【變式5-2］（2024?甘肅蘭州?中考真題）如圖，四邊形ABCD為正方形，VADE為等邊三角形，EF_L4?于

點(diǎn)F,若AD=4，則EF=.

【變式5-3］（2024?江蘇常州?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD

相交于原點(diǎn)O.若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2,1）,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是.

【變式5-4］（2024.內(nèi)蒙古.中考真題）如圖，正方形ABCD的面積為50,以A3為腰作等腰dABF,AB=AF,

AE平分NZMF交。C于點(diǎn)G,交所的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接DE.若BF=2,則。G=.

【變式5-5］（2024?江蘇南通?中考真題）如圖，在中，ZACB=90°,AC=BC=5.正方形DEFG

的邊長(zhǎng)為行，它的頂點(diǎn)。，E,G分別在VABC的邊上，則8G的長(zhǎng)為.

【變式5-6】（2024?天津?中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3a，對(duì)角線4。，題）相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在

C4的延長(zhǎng)線上，OE=5,連接DE.

（1）線段AE的長(zhǎng)為；

（2）若尸為QE的中點(diǎn)，則線段"'的長(zhǎng)為.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?貴州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形ABCD中，E,尸分別是BC,CD的中點(diǎn)，M,N分別是AF,

OE的中點(diǎn)“連接皿,則篝的值為

2.（2025?貴州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABC。，E,尸分別是A3,3c的中點(diǎn)，AF,DE相交于點(diǎn)G,連

接CG,若AB=2,則CG的長(zhǎng)為

3.（2023?江蘇揚(yáng)州?二模）如圖，將正方形ABC。沿著BE、M翻折，點(diǎn)A、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A、C,

若/ABC'=14。，則ZEBF=.

4.（2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測(cè)）正方形ABCD中，E,尸分別是BC,8的中點(diǎn)，貝Ijsin/E4F=

5.(2024四川樂(lè)山?一模)如圖，在RtZ\A3C中，/C=90。，8。是RtAABC的一條角平分線，點(diǎn)。、E、

廠分別在BD、BC、AC上，且四邊形OECP是正方形.

⑴求證：Q4平分，B4C；

(2)若AC=5,BC=12,求OE的長(zhǎng).

6.(2024.貴州?模擬預(yù)測(cè))綜合與探究：已知正方形ABCD中，E是BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作交正

方形的外角ZDCL的平分線于點(diǎn)F.

⑴【動(dòng)手操作】

如圖①，在54上截取BP=BE,連接EP,根據(jù)題意在圖中畫出圖形，圖中NAPE=_____度；

(2)【深入探究】

E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如圖②，過(guò)點(diǎn)尸作尸G〃AE交直線CD于點(diǎn)G,以CG為斜邊向右作等腰直角三

角形HCG,點(diǎn)H在射線CF上，求證：FG=EF；

(3)【拓展應(yīng)用】

在(2)的條件下，若E是射線2C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AB=5,CE=2,求線段DG的長(zhǎng).

ECL

題型六：正方形的判定

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024?內(nèi)蒙古?中考真題）如圖，ZACB=ZAED=90°,AC=FE,AB平分NC4E,AB//DF.

BD

（1）求證：四邊形4〃坐是平行四邊形；

（2）過(guò)點(diǎn)8作BGLAE于點(diǎn)G,若CB=AF,請(qǐng)拿毯寫出四邊形3G即的形狀.

【變式6-1］（2024?山東東營(yíng)?中考真題）如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，從①AC=8D,②

③AB=BC,這三個(gè)條件中任意選取兩個(gè)，能使ABCD是正方形的概率為（）

【變式6-2］（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）已知菱形ABC。中對(duì)角線AC、B少相交于點(diǎn)O,添加條件

可使菱形A5CD成為正方形.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024.上海.模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于下列兩個(gè)結(jié)論正確性的說(shuō)法正確是（）

（1）矩形各個(gè)角的平分線所圍成的圖形是正方形

（2）平行四邊形各個(gè)角的平分線所圍成的圖像是矩形

A.（1）（2）都錯(cuò)誤B.（1）（2）都正確

C.（1）錯(cuò)誤，（2）正確D.（1）正確，（2）錯(cuò)誤

2.（2024.河北秦皇島.一模）數(shù)學(xué)課上，嘉嘉作線段的垂直平分線時(shí)，是這樣操作的：分別以點(diǎn)A,B為

圓心，大于［AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)C,D,則直線即為所求.作完圖之后，嘉嘉經(jīng)過(guò)測(cè)量

發(fā)現(xiàn)AC=3C=AD=3D,=根據(jù)他的作圖方法和測(cè)量可知四邊形AD2C是正方形，嘉嘉的理由

是（）

A.兩組對(duì)邊分別平行的菱形是正方形B.四條邊相等的菱形是正方形

C.對(duì)角線相等的菱形是正方形D.有一個(gè)角是直角的菱形是正方形

3.（2024?湖北武漢.模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與80相交于點(diǎn)E,/a4c=90。,

點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，連接CG,CG的延長(zhǎng)線交54的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接。歹.

⑴求證：AB^AF；

（2）請(qǐng)?jiān)黾右粋€(gè)條件，使得四邊形AC。尸為正方形.（不需要說(shuō)明理由）

4.（2024.山東青島?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，。是對(duì)角線AC、3。的交點(diǎn)，延長(zhǎng)邊CD到點(diǎn)B使

DF=DC,過(guò)點(diǎn)尸作跖〃AC,連接。尸、EC.

F

,E

Bc

（1）求證：ODC%EDF；

（2）已知0。=。。且/5瓦:=45。，請(qǐng)判斷四邊形OC所的形狀，并證明你的結(jié)論.

5.（2024.北京.模擬預(yù)測(cè)）在VABC中，NACB=90。，C。為VABC的角平分線.作線段C。的垂直平分線所，

分別交AC、BC于點(diǎn)、E、F,垂足為。.連接DE、DF.則四邊形DECF是正方形.補(bǔ)全圖形（保留作

圖痕跡，不寫作法）并完成以下證明.

證明：8平分/ACB,且ZACB=90。，

ZECO=45°又EF垂直平分CD,

:.ZCOE=90°,

/CEO=45。，

同理NCFO=45°,

:.ZCEO=ZCFO,

:.EC=FC,

EF垂直平分CO,

；.EC=①，F(xiàn)C=②（寫推理依據(jù)③）,

:.ED=EC=FC=FD,

四邊形CEZ*是④，

又：ZECF=90°,

四邊形CEZ＞是正方形.

6.（2024?廣東韶關(guān).模擬預(yù)測(cè)）我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形，如

圖，E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，可證中點(diǎn)四邊形片網(wǎng)汨是平行四邊形，如果我們對(duì)四

邊形ABCZ）的對(duì)角線AC與8。添加一定的條件，則可使中點(diǎn)四邊形跳成為特殊的平行四邊形，請(qǐng)你經(jīng)

過(guò)探究后回答下面問(wèn)題？

（1）當(dāng)AC8。時(shí)，四邊形EFGH為菱形；

（2）當(dāng)AC8。時(shí)，四邊形EFGH為矩形；

（3）當(dāng)AC和8。滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH為正方形？請(qǐng)回答并證明你的結(jié)論.

7.（2024?陜西咸陽(yáng)?三模）如圖，在Rt^ABC中，NABC=90。，3尸平分/ABC交AC于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸作

RWJ_AB于點(diǎn)Af,PN工BC于點(diǎn)、N,求證：四邊形為正方形.

題型七：正方形的性質(zhì)與判定

【中考母題學(xué)方法】

【典例11（2024?江蘇無(wú)錫?中考真題）如圖，在VA5c中，AB>AC.

（1）尺規(guī)作圖：作ZBAC的角平分線，在角平分線上確定點(diǎn)。，使得m=DC；（不寫作法，保留痕跡）

⑵在（1）的條件下，若NR4C=90。，AB=7,AC=5,則AD的長(zhǎng)是多少？（請(qǐng)直接寫出的值）

【變式7-1］（2024?廣西?中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD,E,F,G,反分別為各邊中點(diǎn)，連接

AG,BH,CE,DF,交點(diǎn)分別為M,N,P,Q,那么四邊形間部。的面積為（）

A.1B.2C.5D.10

【變式7-2］（2024?河北滄州.三模）七巧板是一種開(kāi)發(fā)智力的玩具，為提高學(xué)生的感知能力，老師投影演示

如下：在正方形紙板ABCD中，即為對(duì)角線，E,歹分別為BC,的中點(diǎn)，APLEF分別交5D,EF于

0,尸兩點(diǎn)，M,N分別為8。，。。的中點(diǎn)，連接MP,NF,沿圖中實(shí)線剪開(kāi)即可得到一副七巧板.通

過(guò)觀察演示過(guò)程，

甲同學(xué)得出：圖中的三角形都是等腰直角三角形；

乙同學(xué)得出：四邊形是菱形；

丙同學(xué)得出：四邊形PFDM的面積占正方形ABCD面積的:.

則正確的是（）

A.只有甲答的對(duì)B.甲、丙答案合在一起才完整

C.甲、乙答案合在一起才完整D.三人答案合在一起才完整

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?湖北宜昌.一模）如圖，已知正方形ABCD,點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接OE.EF_LDE交BC于點(diǎn)、K,

S.EF=