2025年九年級數(shù)學中考三輪沖刺練習：圓的證明與計算（含答案）

2025年九年級數(shù)學中考三輪沖刺練習圓的證明與計算

一、選擇題

1.如圖所示，是O。的直徑，弦BC交AD于點E,連接AB,AC,若NBAD=30°,

則的度數(shù)是（）

A.50°B.40°C.70°D.60°

2.如圖，某玩具品牌的標志由半徑為1Cm的三個等圓構成，且三個等圓002,003

相互經過彼此的圓心，則圖中三個陰影部分的面積之和為（）

121212

A.—ncmB.—TicmC--^ncmD.Ticm

43

3.如圖，四邊形ABC。內接于O。,E為8C延長線上一點.若/。?！?65°,則

的度數(shù)是（)

A.65°B.115°D.140°

第3題圖

4.若一個圓錐的側面積是底面積的3倍，則這個圓錐側面展開圖的圓心角等于（）

A.60°B.120°C.135°D.150°

5.如圖，O。是△ABC的外接圓，弦BD交AC于點E,AE=DE,BC=CE,過點。作OF

LAC于點R延長交BE于點G,若。E=3,EG=2,則AB的長為（）

A.4V3B.7C.8D.4V5

二、填空題

6.如圖，B4與O。相切于點A,尸。交。。于點8,點C在E4上，且CB=CA.若。4=5,

陰二12,則CA的長為.

7.“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學名著《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，

不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺.問：徑幾何？”轉化為現(xiàn)在的數(shù)學語言表

達就是：如圖，C。為O。的直徑，弦AB_LCD,垂足為E,CE=1寸，48=10寸，則

直徑CD的長度為寸.

8.如圖，在△ABC中，AB=AC=6c〃z,NA4c=50°,以42為直徑作半圓，交BC于點、D,

交AC于點E,則弧。E的長為cm.

9.如圖，邊長為近的正方形ABC。內接于OO,分別過點A,。作O。的切線，兩條切線

交于點尸，則圖中陰影部分的面積是.

10.如圖，AABC內接于O。且/ACB=90°,弦CO平分NACB,連接AO,BD.若A8

=5,AC=4,則BZ)=，CD=.

第8題圖第9題圖第10題圖

三、解答題

11.如圖，△AC。內接于OO,直徑AB交CD于點G,過點D作射線DF,彳吏得NADF=

ZACD,延長。C交過點B的切線于點E,連接8c.

(1)求證：。/是。。的切線；

O

(2)若Cr)=]CG,BE=3CE=3.

①求DE的長；

②求OO的半徑.

12.如圖，AB,CD為。。的直徑，點E在加上，連接AE,OE,點G在BO的延長線上,

AB=AG,NEAD+NEDB=45°.

(1)求證：AG與。。相切；

-1

(2)若BG=4A/5,sinZ-DAE=5，求DE的長./-----、

13.如圖，。。是△ABC的外接圓，48為直徑，點。是△ABC的內心，連接并延長交

O。于點￡,過點E作O。的切線交AB的延長線于點足

(1)求證：BC//EF-,

1

(2)連接CE,若。。的半徑為2,s出乙4EC=2，求陰影部分的面積(結果用含n的式

子表示).

14.如圖，△ABC為O。的內接三角形，為。。的直徑，將△ABC沿直線翻折到△

ABD,點。在。。上.連接CD交AB于點E,延長BZ),CA,兩線相交于點P,過點

A作。。的切線交BP于點G.

(1)求證：AG//CD-,

(2)求證：R\1=PG-PB；

1

(3)若sinNAPZH的PG=6.求tanNAGB的值.

PGDB

15.如圖，OO為aABC的外接圓，弦CDLAB,垂足為E,直徑2尸交CO于點G,連接

AF,AD.若AB=AC=5,BC=2V5.

(1)證明：四邊形AOGP為平行四邊形；

BG

(2)求大的值；

AD

(3)求sin/CAO的值.

參考答案

1.【解答］解：如圖，連接5。,

〈AO是。。的直徑,

ZABD=90°,

9：ZBAD=30°,

AZADB=90°-30°=60°,

AZACB=ZADB=60°,

故選：D.

2.【解答］解：如圖，連接O1A,O1A,O\B,O3B,O1C,O3C,O1O2,0103,O2O3,

則△0302,△01803,△。2。。3,△010203是邊長為1的正三角形,

所以，S陰影部分=3S嫩形OMA

與607rxl2

=3x—廠

="21(,cm2、),

故選：C.

3.【解答】解：???N0CE=65°,

ZDCB=180°-ZDCE=1SO°-65°=115°,

???四邊形ABC。內接于（DO,

AZBA￡>+Zr>CB=180°,

AZBAD=65°,

ZBOD=2ZBAD=2X65°=130°,

故選：C.

4.【解答】解：設圓錐的母線長為R,底面圓的半徑為「，這個圓錐側面展開圖的圓心角

為n,

??,圓錐的側面積是底面積的3倍,

x2nrXZ=3irr2,

2

..cTITII

?2nr=180)

nnx3r

BP2irr=

180

?"=120,

即這個圓錐側面展開圖的圓心角等于120。.

故選：B.

5.【解答］解：如圖，連接C。，在仍和△OEC中,

/-A=乙D

AE=ED，

Z-AEB=乙DEC

：.AAEB^ADEC(ASA),

:?EB=EC,

?：BC=CE,

：?BE=CE=BC,

：.AEBC為等邊三角形,

：.ZACB=60°,

如圖，作于點M,

???OFLAC,

：.AF=CF,

???△防。為等邊三角形，

：.ZGEF=60°,

ZEGF=30°,

,:EG=2,

：.EF=1,

9：AE=ED=3,

：.CF=AF=4,

???AC=8,EC=5,

:?BC=5,

VZBCM=60°,

AZMBC=30°,

rcF5

BM=WCM二號,

11

：.AM=AC-CM=芫,

：.AB=y]AM2+BM2=J(^)2+(竽尸=7.

故選：B.

二、填空題

6.【解答】解：連接。C,

與。。相切于點A,

：.ZOAP^90°,

'：OA^OB,OC=OC,CA=CB,

:.△ONgXOBC(SSS),

：.ZOAP=ZOBC=90°,

在Rt/XOA尸中，OA=5,PA=n,

：.0P=ylOA^+AP2=7s2+122=13,

VAOAC的面積+40CP的面積=4OAP的面積,

111

：.-OA9AC+^OP9BC=1O4?AP,

222

???OA-AC+OP-BC=OA?AP,

.\5AC+13BC=5X12,

10

：.AC=BC=苛，

故答案為：?.

7.【解答】解：連接04,

設。。的半徑是一寸，

??,直徑CDLAB,

：.AE=1AB=3x10=5寸，

：CE=1寸，

：.0E=(r-1)寸，

VOA2=OE2+AE2,

222

：.t=(r-1)+5,

r=13,

直徑CD的長度為2r=26寸.

故答案為：26.

8.【解答】解：連接OE,0D,

?；OD=OB,

:?NB=/ODB,

VAB=AC,

AZB=ZC,

：?NC=NODB,

：.OD//AC,

：.ZEOD=ZAEO,

9：OE=OA,

：.ZOEA=ZBAC=50°,

：.ZEOD=ZBAC=50°,

'：OD=^AB=^x6=3(cm),

的長=5,既3="(cm).

loU6

9.【解答】解：連接。4,OD,

VAP,PO是。。的切線，

：.ZOAP=ZODP=90°,

???四邊形ABC0是正方形，

ZAOD=90°,

\'OA^OD,

，四邊形OAPD是正方形，

'：AD=V2,

0A=$AD=1,

圖中陰影部分的面積=正方形。4尸。的面積-扇形AOD的面積=1X

故答案為：1—%

10.【解答】解：:△ABC內接于OO且/ACB=90°,

.??A8為。。的直徑，

ZADB=90°,

.?.ZDAC+ZDBC=180°,

:弦CD平分/ACB,

：.ZACD=ZBCD=45°,

：.AD=BD,

\'AB=5,AC=4,

：.CB^3,AD^BD=1V2,

如圖把△AC。繞D逆時針旋轉90°得到△OBE,

：.ZDBE=ZDAC,BE=AC,

：.ZDBC+ZDBE=1i0°,

，C、B、￡三點共線，

ADCE為等腰直角三角形，

：.CE=AC+BC=1,

三、解答題

11.如圖，△AC￡）內接于OO,直徑交C￡）于點G,過點。作射線。凡使得

ZACD,延長。C交過點2的切線于點E,連接8C.

（1）求證：。尸是。。的切線;

(2)CD=|CG,BE=3CE=3.

①求DE的長；

②求O。的半徑.

【分析】（1）連接。。，證明/。。6=90°,即可得出。尸是的切線;

（2）①連接2。，證明△JBCESZ\Z）8E,得出。E的長；②通過勾股定理得出BG的長,

再利用△AOGs/^CBG,得出AG的長,從而得出直徑的長度，由此得出。。的半徑.

【解答】（1）證明：連接OD

??ZADF=ZACD,ZAOD=2ZACD,

：.2ZADF^ZA0D,

設/4。/=尤，則NAOO=2x,

\"OA^OD,

：.ZOAD=ZODA=-^2-=90°-%,

ZODF=ZODA+ZADF=90°-x+x=90°,

???。尸是OO的切線；

(2)解：①連接5。，

9

：BE=3CE=3f

：.CE=1,

???55是切線，

ZABE=90°=ZCBE+ZABC,

VZABC+ZBAC=9Q°,/BAC=/BDC,

：?/CBE=/BDC,

???NE=NE,

:?△BCEs^DBE,

?BECE

??—,

DEBE

?31

??=—，

DE3

：.DE=9；

②???。石=9,

'：CD=DE-CE=8,

o

CD=|CG,

CG=3,DG=5,

：.GE=CG+CE=4,

在RtABGE中,BG=y/GE2-BE2=V42-32=V7,

ZBCG=/DAG,ZBGC=NOG4,

???叢ADGs叢CBG,

.AGDG

??—,

CGBG

.AG5

；，T=后

;.AG=〒V7,

1q2?

：.AB=AG+BG=寧夕+夕=與夕，

【點評】本題是圓的綜合題，主要考查了圓的基本性質，切線的性質，圓周角定理，相

似三角形的性質與判定等，掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵.

12.如圖，AB,CZ）為。。的直徑，點E在加上，連接AE,OE,點G在8。的延長線上，

AB^AG,ZEAD+ZEDB=45°.

（1）求證：AG與。。相切；

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到/即8=/助2,求得/AW=45°,根據(jù)等腰三角形

的性質得到NB=45°,求得NB=/G=45°,根據(jù)切線的判定定理得到結論；

（2）如圖，連接CE,根據(jù)圓周角定理得到/DEC=9Q：解直角三

角形即可得到結論.

【解答】（1）證明：：/石。'NE4B所對的弧是同弧，

：.ZEDB=ZEAB,

'：ZEAD+ZEDB=45°,

：.ZEAD+ZEAB=45°,

即/A4D=45°,

,：AB為直徑，

AZADB=90°,

：.ZB=45°,

'：AB^AG,

：.ZB=ZG=45°,

.\ZGAB=90°,

為。。的直徑，

；.AG與OO相切；

（2）解：如圖，連接CE,

??ZDAE,NDCE所對的弧是同弧，

ZDAE=ZDCE,

,：DC為直徑，

：.ZDEC^9Q°,

在RtADEC中，sinZ￡）CE=sin/.DAE=3=器，

：BG=4有，NB=45°,NBAG=90°,

：.AB=mBG=2V10=DC,

：.DE=DCsin^DAE=2V10x1=

【點評】本題考查了切線的判定和性質，解直角三角形，圓周角定理，熟練掌握切線的

判定和性質定理是解題的關鍵.

13.如圖，。。是△ABC的外接圓，為直徑，點。是AABC的內心，連接并延長交

O。于點E,過點￡作O。的切線交A2的延長線于點?

（1）求證：BC//EF；

（2）連接CE,若。。的半徑為2,s譏NAEC=±,求陰影部分的面積（結果用含n的式

子表示）.

A

0

【分析】（1）連接0E,交8C于點G,根據(jù)等腰三角形的性質得到NO4E=N0E4,由

D為4ABC的內心，得到NO4E=NC4E,求得OE//AC,根據(jù)圓周角定理得到NAC5

=90°,求得N3GO=90°,根據(jù)切線的性質得到/正。=90°,根據(jù)平行線的判定定

理得到結論；

（2）連接8E,根據(jù)三角函數(shù)的定義得到NAEC=30°,求得NA3C=NAEC=30°,求

得班'=0￡；7@1160°=2A/3,根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結論.

【解答】（1）證明：連接OE,交5C于點G,

：.ZOAE=ZOEAf

又,：D為AABC的內心，

：.ZOAE=ZCAE,

：.ZOEA=ZCAE,

：.OE//AC,

又???A5為。。的直徑，

AZACB=90°,

：.ZBGO=90°,

又?：EF為OO的切線且OE為。。的半徑,

：.ZFEO=90°,

：.ZBGO=ZFEO,

J.BC//EF；

1

(2)解:U：sinz-AEC=

ZAEC=30°,

ZABC=ZAEC=30°,

：.ZBOE=60°,ZEFO=30°,

???EF=OE?tan60。=2后

-

:?S陰影部分=SAEF。S扇形BOE

1cc/7T60XTTX22

=2X2X28--我一

=2V3

【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心，三角函數(shù)的定義，圓周角定理，三角形的

外接圓與外心，扇形面積的計算，正確地作出輔助線是解題的關鍵.

14.如圖，AABC為。。的內接三角形，A8為。。的直徑，將△ABC沿直線翻折到△

ABD,點。在。。上.連接CD,交AB于點E,延長BZ),CA,兩線相交于點P,過點

A作。。的切線交BP于點G.

(1)求證：AG//CD；

(2)求證：PA2=PG'PB；

1

(3)若sinNAPZ)=[PG=6.求tan/AGB的值.

【分析】(1)根據(jù)折疊可得AB，。，根據(jù)切線定義可得AGLAB,即可求證；

(2)根據(jù)題意證明即可得證；

(3)根據(jù)題意設AZ)=m則AP=3a,根據(jù)折疊的性質可得AC=AO=m可求出PC,

進而求得根據(jù)/AG8=90°-ZGAD^ZDAB,即可求解.

【解答】(1)證明：???將△ABC沿直線翻折到

：.AB±CD,

為。。的直徑，AG是切線，

：.AG±AB,

：.AG//CD；

(2)證明：??明G是切線,

：.AG±ABf

TAB為。。的直徑，

/.ZADB=90°,

ZABD=90°-ZDAB=ZGAD,

;由折疊可得NA30=NA8C,

：.ZCBD=2ZABD,

??,四邊形ADBC是。0的內接四邊形，

.,.ZB4Z)=180°-NCAD=NDBC=2NABD,

：.APAG=APAD-ZGAD=2ZABD-ZABD=ZABD,

又「ZAPG=ZBPA,

：.AAPG^ABM,

APPG

???一=—,即R\2=PG9PB；

BPPA

Ani

(3)解：*：sinZAPD=罪=東

設AD=m則AP=3〃，

：.PD=y/AP2-AD2=2V2a,

.,ADqV2

?"2zA尸Dn°=而=初=彳,

???由折疊可得AC=AD=a,

PC=B4+AC=3。+〃=4。，

:在RtAPCB中,tan乙CPB=需=1，

：.BD=CB=孝PC=42a,

\'AD±BD,GALAB,

：.ZAGB=90°-ZGAD^ZDAB,

tan/.AGB=tan乙DAB==A/2.

【點評】本題考查了切線的性質，折疊問題，相似三角形的性質與判定，解直角三角形,

銳角三角函數(shù)，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

15.如圖，O。為△ABC的外接圓，弦COLAB,垂足為E,直徑3P交C。于點G,連接

AF,AD.若A8=AC=5,BC=2V5.

(1)證明：四邊形AOGF為平行四邊形;

BG

(2)求77的值；

AD

(3)求sinNCAO的值.

C

【分析】(1)根據(jù)圓周角定理得到NA4b=90°,根據(jù)平行線的判定定理得到C0〃AR

推出NAZ)C=N3GO,得到AO〃GR根據(jù)平行四邊形的判定定理得到結論；

BE2

(2)設5E=羽得到AE=A3-BE=5-x,根據(jù)勾股定理得到以=2,AE=3,得到一=一,

AE3

根據(jù)相似三角形的判定和性質定理即可得到結論；

(3)過點。作OH_LAC于"，根據(jù)勾股定理得到CE=