2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：解析幾何之范圍、最值問題

微專題3范圍、最值問題

［考情分析］圓錐曲線的綜合問題是高考考查的重點內(nèi)容，范圍、最值問題是常見的熱點題型，常以解答

題的形式壓軸出現(xiàn)，難度較大.

考點一與長度、周長、面積相關(guān)的范圍（最值）問題

例1（2024.衢州模擬）已知橢圓C：?+《=l（a>Z>0）的離心率為凈斜率為3的直線/與y軸交于點P，

與C交于A,3兩點，T是A關(guān)于x軸的對稱點.當(dāng)尸與坐標(biāo)原點O重合時，aABT的面積為也

⑴求橢圓C的方程；

（2）當(dāng)尸異于O點時，記直線與x軸交于點Q,求△OPQ周長的最小值.

解⑴當(dāng)P與坐標(biāo)原點O重合時，可設(shè)A（xo,四）（必>0）,

則有B(-Xo,-yo),T(XQ,-yo),

且xo=2yo,AT.LBT,

則S3符?囪W2加%。［，

即2Mq,

二九=|，則裾=￡1

則有白+4=1,由離心率為卓，

9a29b22

即"

a2

貝!Ia2=2c2=b2+c1,>\a2=2b2,

即有2+上=1,

9b29匕2

解得b2=l,/.?2=2,

即橢圓C的方程為匕+爐=1.

2

(2)設(shè)直線/方程為x=2y+t(t^0),令D,有尸，即yp--|,

設(shè)點A(xi,yi),3(X2,yi),則T(xi,-_yi),

x=2y+t,

聯(lián)立直線/與橢圓方程

.T+%2=1-

消去x得9/+8(y+2?-2=0,

-t-8t2t2-2

有yi+y2=--,yiy2=——

J=64r-36(2/2-2)>0,得-3<t<3,

直線8T的方程為產(chǎn);:濘^尤-功+小，

冗2一九1

令產(chǎn)0,

71+7271+72

由x=2y+t,

得二皿+久2yl=（2%+?？?+（2。2+±）口1

?l+?2?l+?2

2t2—2

4yly24x-q-1

=-^^+t=_8t+t=-

yi+y2詈t

即利三，

22

貝|JCAOpQ=\yp\+\x^+y/\yP\+IXQI

=3+

2in

22

當(dāng)且僅當(dāng)r=±/時等號成立，

故△OPQ周長的最小值為e+l.

［規(guī)律方法］利用根與系數(shù)的關(guān)系解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為（為，V）,（X2,?。?/p>

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，注意/的判斷；

（3）列出根與系數(shù)的關(guān)系；

（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為X1+X2,為尬（或％+?，以”）的形式；

(5)代入根與系數(shù)的關(guān)系求解.

22

跟蹤演練1設(shè)雙曲線E：3芻=1(。>0,6>0)的左、右焦點分別為B，F(xiàn)2,|FIF2|=2V5,且E的漸近線

方程為y=±|.

⑴求E的方程；

(2)過F2作兩條相互垂直的直線和/2，與E的右支分別交于A,C兩點和瓦。兩點，求四邊形

A3C。面積的最小值.

解(1)由題意，得E：>0,b>0)的漸近線方程為y=±\,

因為雙曲線E的漸近線方程為產(chǎn),所以5苫，即。=2匕,

又因為尸+/?2=2,562=2而,所以6=1,則a-2,

2八

故E的方程為三v4口

4/

(2)根據(jù)題意，直線/1,/2的斜率都存在且不為0,

設(shè)直線Zi:y=k{x—V5),

h:y=-^(x—V5),其中胖0,

因為/i,/2均與石的右支有兩個交點，所以因節(jié)，|一1>］所以土e<4,

將/i的方程與土-V=i聯(lián)立，

4

可得(1-4/C2)X2+8V5^X-20^-4-0,

A(xi,%),

設(shè)C(x2,yi),

_8限2

則

X\+X2=l-4k2

-20/C2-4

所以|AC|=JO1—犯)2+(%—丫2)2

=V1+/C27(X1+%2)2—4%1%2

■(-8同2、-20k2-4

=V1+/c2-4x

Nkl-4fc2Jl-4k2

用J替換發(fā)，

可得I即=蹩著,

所以S四邊形ABCD=^AC\-\BD\

_14(1+1)4(1+1)

~24k2-l4-k2

_g(fc2+l)2

(4/一1)(4一H)，

令t=l^+l,所以M=t-1,reG,5),

貝|JS四邊形回。=8二=+2515

2525

-4+-T--T

當(dāng)/,即k=±l時，等號成立,

故四邊形面積的最小值為學(xué)

考點二與角度、斜率相關(guān)的范圍(最值)問題

22

例2(2024.皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考)已知雙曲線E：^-^=l(a>0,比>0)的左、右焦點分別為產(chǎn)i,F2,離心率

為2,尸是E的右支上一點，且PR_L尸尸2，△尸入尸2的面積為3.

(1)求E的方程；

(2)若E的左、右頂點分別為A,B,過點凡的直線/與E的右支交于M,N兩點，直線AM和3N的斜

率分別為kAM和依N，求超M+|KBN的最小值.

解(1)設(shè)雙曲線的半焦距為c(c>0),

???SAPFFZT尸冏|P￥|=3，

/?|PFI||PF2|=6.

222

由題可知|PRHPP2|=2a,|PFI|+|PF2|=4C,

/.|PFi|2+|PF|2-2|PFI||PF|=4a2,即4c2-12=44,.?.戶=3.又工=2,/.a2=l.

22a

2

故E的方程為f{y=rl.

(2)如圖，由題可知F2(2,0),A(-l,0),B(1,0),且直線MN的斜率不為0,

設(shè)直線MN的方程為x=/y+2(—曰<t<,加(即，yi),N(X2,小),

將方程x=0+2和聯(lián)立，

得(3產(chǎn)-1)9+12療+9=0,

,,12t9

??Vi+y2=--；—,yiy2=—；—.

//3t2-l/J3t2-l

AAM=,kBN=丫2,

X1+1X2-1

?二M=%(%2-1)=%(02+1)

…kBN為(比i+i)y2(tyi+3)

二“，2+%=^^?一丫2_=_1

3

tyiy2+3y2孤匕+3yJ'

,"%BN=-30M,

?.?直線AM與E的右支有交點，

，當(dāng)％AM=1,%BN=-3時，/C,M+至BN取得最小值，且最小值為-1.

［規(guī)律方法］與斜率、角度有關(guān)的最值問題關(guān)鍵是建立關(guān)于斜率的目標(biāo)函數(shù)，然后運用基本不等式或者函

數(shù)求解有關(guān)的問題.

跟蹤演練2設(shè)拋物線C：x2=2/?j(p>0),直線x-y+l=0與C交于A,8兩點，且|AB|=8.

⑴求拋物線C的方程；

(2)已知點尸為一+。+1)2=1上一點，過點尸作拋物線C的兩條切線尸D,PE,設(shè)切點分別為O,E,試

求直線PD,PE斜率之積的最小值.

解(1)設(shè)點A(xi,%),3(x2,以)，

2

由(x=2py可得^2.220

(%-y+1=0,

貝!)為+%2=2〃,x\X2=-2p,

2

+k7Qi+冷尸—4%I%2二&xj4P2+8P=8,解得p=2,

即拋物線。的方程為f=4y.

（2）設(shè)點P（xo,yo）,0a3，為），E（X4,必），其中％3彳%0，%4rX0,

2

由C:d=4y,即y=Y,y'^-,

4Z

2

則IPD:,

4Z

IPE:y[=？（X-X4）,

4N

-

（y0--=—（x0%3）,

421

則有'2

（VO-資=￡（沏一無4），

2

即。（%3，y3）,E（X4,丫4）都在直線加彳=|（%o-％）上,

化簡得IDE:x（）x=2（y+y0），

將直線DE的方程代入C：x2=4y得f-2如r+4yo=O,

貝！I元3+%4=210,為松二4%,

則如依E=g?a=絲*盧理

—-x

工3一%0X4~X016（%3^0）,（^40）

二（0304）2_4。0（呼+媛）+16據(jù)

16（4y（）一好）

=16詔-4yo（4謐-8%）+16光

16（4y0-x§）

_2yo（4yo-xg）_

2（4y0-x§）*'

又P（xo,州）為f+（y+l）2=l上的一點，則-2WyoWO,

故（kPD?左PE）min=CV0）min=-2.

考點三與向量相關(guān)的范圍（最值）問題

例3已知點RO,V5）,直線/：產(chǎn)等，動點P到尸的距離與到直線/的距離之比為今

（1）求動點尸的軌跡廣的方程；

⑵設(shè)點M是軌跡「上一點，在直線y=2x,y=-2x上分別取點A,B,當(dāng)A,3分別位于第一、二象限時,

^AM=XMB,Ae[1,3],求△AOB面積的取值范圍.

附：在△43C中，若說=（為，％）,AC=（X2,刈）,則△ABC的面積為3-久2月1.

解(1)設(shè)P(x,y),點尸到直線/的距離為d.

由已知可得野=當(dāng),

a2

2

兩邊平方得，V+Q-遮產(chǎn)=|（y—卓），

整理得匕2J?」.

4

2

故動點P的軌跡廠的方程為匕yj4=1.

4

⑵設(shè)M（x0,jo）,4（元i,2xi）,3（x2,-2X2）,AM=（x0-xi,州-2即）,MB=（X2-XO,-2x2-yo）,

因為前=2麗,

所以產(chǎn)°一無1=%（%2―與），

lyo-2久1=A（-2X2-y0）,

X1+AX2

-i+a'

_2（X1-AX2）

一-1+A-'

將點M（X0,阿代入雙曲線方程，得（句答）；（空答）2=1,

化簡得%112=-°+?.

所以△AOB的面積為5=如1(一2%2)-久2g/

=2山初|=。；：=2。+,+2),

因為2￡,3］，所以2W2+；<￥，

L2」A3

葉。+扛2月2,J

故△AOB面積的取值范圍為［2,1］.

［規(guī)律方法］圓錐曲線中的最值問題，常見的方法有

(1)函數(shù)法：一般需要找出所求幾何量的函數(shù)解析式，要注意自變量的取值范圍.求函數(shù)的最值時，一般會

用到配方法、基本不等式或者函數(shù)的單調(diào)性.

(2)方程法：根據(jù)題目中的等量關(guān)系建立方程，根據(jù)方程的解的條件得出目標(biāo)量的不等關(guān)系，再求出目標(biāo)量

的最值.

(3)不變量法：在平面幾何中有一些不變量的最值結(jié)果，在求最值時，可以考慮觀察圖形的幾何特點，判斷

某個特殊位置滿足的最值條件，然后再證明.

跟蹤演練3已知橢圓的焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線d=4y的焦點，離心率6=等.

(1)求橢圓的標(biāo)準方程；

⑵過橢圓的右焦點尸作與坐標(biāo)軸不垂直的直線/,交橢圓于A,3兩點，設(shè)點0)是線段0P上的

一個動點，且(加+麗)，而，求機的取值范圍.

解(1)由橢圓的焦點在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準方程為

77

J$=13泌>0),

由拋物線方程為爐=4y,可得其焦點為(0,1),則橢圓的一個頂點為(0,1),

即b=l.

由e=￡=J1_等，解得/=5,

?,?橢圓的標(biāo)準方程為最+V=i

⑵由⑴得FQ,0),則0WmW2,

設(shè)A(xi,%),B(X2,丁2),陽力2,

結(jié)合題意可設(shè)直線/的方程為y=k(x-2)(k^0).

由卜+v=i，

J=k(x-2),

消去y得(51+i)d-20七+20於-5=0,

直線/過橢圓焦點，必有/>0,

20k220k2-5

X2訴，羽叱嬴市

貝|Jyi+y2=k(x1+血-4),

加+麗=(%i+久2—2m,+y2)，荏=(無2-%i，丫2—71),

'：(MA+MB)±AB，,(MA+MB)-AB=0,

(即+%2-2機)。2-X1)+。1+丁2)(>2-丁1)=0,

兩邊同除以X2-X1,有(打+冷—2m)+y2yi(y1+y)=0=>%i+x2-2m+k(y+y)=0,

X2-^l212

2m=xi-hX2+/c(y1+y2)>

20k22

2m=(20k-4)

5k2+1\5k2+l

_20左2-4k2_16k2

-5fc2+l_5fc2+l

8

貝!]m=5H+廣左G(°'

kz

.??/”的取值范圍為（o,I）.

專題強化練

（分值：50分）

ID素養(yǎng)提升

y2-

1.（16分）已知橢圓C：y+/=l.

（1）若橢圓C的左、右焦點分別為產(chǎn)1，F(xiàn)2,P為C的上頂點，求△尸為乃的周長；（6分）

（2）設(shè)過定點M（0,2）的直線/與橢圓C交于不同的兩點A,B,且NAO3為銳角（其中。為坐標(biāo)原點），求直

線I的斜率k的取值范圍.（10分）

解（1）由題意得〃=4,廬=1,

所以4=2,b=l,c=y/a2—b2=y/3,

所以△尸尸i尸2的周長為IPRI+IP尸2田尸1尸2|=2。+2c=4+2遍.

（2）顯然當(dāng)直線/的斜率上不存在時，直線x=0不滿足題意，設(shè)直線/的方程為y=fcr+2（際0）,A（xi,%）,B（X2,

y2),

ry=kx+2,

由力?，得(1+43濡+16履+12=。，

"+y=L

由/=(16Z)2-4X12(1+4M)>0,得/?>-,

4

.i16k12

則m為+X2=時，》陽=時,

+

y，2=(k%i+2)(/CX2+2)=&I%2+2左(％i+x2)4?

因為NAOB為銳角,A,0,8不共線，

所以cosZAOB>0,

所以UX面>0,所以為光2+州竺>0,

所以為%2+州m=（1+女2）沏及+2%（%1+%2）+4

_12（k2+l）16R2k卜4

4k2+l4k2+l

:4（4一?。?/p>

4fc2+l>U，

解得0<^<4,

因為

lc>4-,

解得-2<Z<-也或遺<M2,

22

所以實數(shù)%的取值范圍為（一2,-與）U?,2）.

2.（17分）（2024.安康模擬）已知橢圓C：S+y2=l（a>l）的離心率為《，橢圓C的動弦AB過橢圓C的右焦點F,

當(dāng)垂直x軸時，橢圓C在A,8處的兩條切線的交點為M.

⑴求點〃的坐標(biāo)；（7分）

（2）若直線AB的斜率為工過點M作x軸的垂線/，點N為/上一點，且點N的縱坐標(biāo)為弓，直線N尸與橢

m2

圓C交于P,。兩點，求四邊形AP3。面積的最小值.（10分）

p=1,

解（1）由題意知，<-=—,解得a=V5,b=1,c-1,

Ia5

\b2=a2—c2,

所以橢圓C的方程為晟+y2=l,F（2,0）,

將尸2代入橢圓方程得產(chǎn)士g,

不妨取A（2,多,

設(shè)橢圓C在點A處的切線方程為產(chǎn)網(wǎng)x-2）+g,

佶+y2=1,

聯(lián)立《5彳導(dǎo),

（y=/c（x-2）+y,

所以/=（2返上20玲2-4（5標(biāo)+1）（20M-4返上4）=0,

整理得4（V5R2）2=0,解得仁等,

所以在點A處的切線方程為產(chǎn)-管(.2)+E二等計而,

由橢圓的對稱性知，點M在x軸上，

令y=0,則x=|,

即點M的坐標(biāo)為(|,0).

(2)根據(jù)題意,可得直線A3的方程為產(chǎn)5(x-2),

艮［1x=my+2(m^0),

設(shè)A(xi,y),,竺),

'X=my+2,

聯(lián)立@+丫2_］得(蘇+5)9+4根y-i=o,

2

所以y+竺=；^,yiy2=^^,J=20(m+l),

所以|A8|=、1+m2.J(%+、2)2—4yly2=，1+62/弋：：+1=2個］：),

因為MNLx軸，且點N的縱坐標(biāo)為￡,

所以N(|,-y),

所以直線NF的斜率為孝？=-m，

所以直線N廠的方程為y=-m(x-2),

即4-》+2,

同理可得，『。|=空沮包=智卻，

—y+5l+5mz

11_m2+51+5/_6(>2+I)_3逐

所以

\AB\|PQ|-2V5(m2+l)2V5(m2+l)-2V5(m2+l)-5

故品高為定值尊

故矗+高忌高3H5IIPQ上藍,當(dāng)且僅當(dāng)|A3|=|PQ|=學(xué)時等號成立，

由于kNF=-m,kAB=^,故NF±AB,即PQLAB,

故S四邊形APB0=；山,當(dāng)且僅當(dāng)|A3|=|PQ|=當(dāng)時等號成立，故四邊形AP3Q面積的最小值為?

2939

思維創(chuàng)新

3.（17分X2024.聊城模擬）已知橢圓C：1+*1（°>比>0）的短軸長為2,離心率為造

（1）求C的方程；（4分）

（2）直線/：y=kx+m（k>0,〃?>0）與C交于“，N兩點，與