2025高考數(shù)學(xué)沖刺專項復(fù)習(xí)：數(shù)列（試卷+答案解析）

___________________^題叫數(shù)列

目錄

易錯點01忽略數(shù)列的定義域出錯

易錯點02由S.求an忽略n=\的討論

易錯點03等比數(shù)列問題忽略公比q的討論

易錯點04裂項相消法求和時漏項、添項或忽視系數(shù)而致錯

易錯點05錯位相減求和錯判項數(shù)、公比或符號出錯

易錯點01：忽略數(shù)列的定義域出錯

般易錯陷阱與避錯攻略

典例（2025高三?全國?專題練習(xí)）數(shù)列｛%｝的通項公式為4=/-2觀5=1,2,）.若｛%｝為遞增數(shù)歹U,

則2的取值范圍是（）

A.[1,+<?）B.[T'+jC（-00，1D.（一鞏!^

【答案】D

【分析】由數(shù)列｛%｝的通項公式為??=?2-2r如=1,2,），且｛氏｝為遞增數(shù)列，所以凡<。用對于VneN*都

成立，即+；對于\/〃eN*都成立，從而求得參數(shù)的取值范圍.

【詳解】因為數(shù)列｛卬｝的通項公式為?！?〃2-2而5=1,2,），旦｛%｝為遞增數(shù)列，

所以％<a?+l對于7nGN,都成立,

所以/-2/U<(〃+—+1)對于wN*都成立，即/-22M<n2+2/7+1-22n-22,

所以2彳<2〃+1對于都成立，所以+g對于V〃wN*都成立,

所以2<l+g=g,即彳的取值范圍是,l1,

故選：D.

【易錯剖析】

本題容易混淆數(shù)列｛4｝的定義域與函數(shù)/（%）=f—24x定義域的差異而得出2Vl出錯.

【避錯攻略】

1.數(shù)列的概念及一般形式

（1）數(shù)列的定義：按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項，各項

依次成為這個數(shù)列的第1項（或首項），第2項……，組成數(shù)列的數(shù)的個數(shù)稱為數(shù)列的項數(shù)。

（2）數(shù)列的一般形式可以寫成4,a2,%，……，為，……，其中a“表示數(shù)列的第〃項（也稱〃為%的

序號，其中"為正整數(shù)，即“eN+）,稱為數(shù)列的通項。此時一般將整個數(shù)列簡記為｛凡｝

【解讀】與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項的性質(zhì)具有以下特點：

①確定性：一個數(shù)是或不是某一數(shù)列中的項是確定的，集合中的元素也具有確定性；

②可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)，而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)（即互異性）；

③有序性：一個數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān)，而且與這些數(shù)的排列順序有關(guān)，而集合中的元素

沒有順序（即無序性）；

④數(shù)列中的每一項都是數(shù)，而集合中的元素還可以代表除數(shù)字外的其他事物.

2.數(shù)列的通項公式

一般地，如果數(shù)列的第〃項a”與"之間的關(guān)系可以用出=/5）來表示，其中八"）是關(guān)于〃的不含其他未

知數(shù)的表達式，則稱此關(guān)系式為這個數(shù)列的通項公式.

【解讀】①數(shù)列的通項公式實際上是一個以正整數(shù)集N+或它的有限子集｛1,2,3,…，〃｝為定義域的函

數(shù)解析式.

②和所有的函數(shù)關(guān)系不一定都有解析式一樣，并不是所有的數(shù)列都有通項公式.

③有通項公式的數(shù)列，其通項公式在形式上不一定是唯一的.

易錯提醒：（1）從函數(shù)的觀點看，數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù)，關(guān)系如下表：

定義域正整數(shù)集N+（或它的有限子集｛1,2,3,…，?））

解析式數(shù)列的通項公式

值域由自變量從小到大依次取正整數(shù)值時對應(yīng)的函數(shù)值構(gòu)成

表示方法（1）通項公式（解析法）；（2）列表法；（3）圖像法

（2）在處理數(shù)列的求值、分析數(shù)列的性質(zhì)時一定要注意數(shù)列的定義域是離散的，不是連續(xù)的，故不能對數(shù)列

的通項公式求導(dǎo).

舉一反三

1.（24-25高三上?江蘇徐州?階段練習(xí)）函數(shù)〃尤）=］（：/）尤:7,若數(shù)列｛4｝滿足%="〃），"eN*,

2

且｛4｝是遞增數(shù)列，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.B.g，3）C.（1,3）D.（2,3）

【答案】D

3—tz>0

【分析】根據(jù)題意可知分段函數(shù)在每段上為增函數(shù)，且了（8）>/（7）,列出不等式組，?>1,

a8-6>（3-tz）x7-3

解不等式組即可求解.

【詳解】由題意可知分段函數(shù)在每一段上為增函數(shù)，且/（8）>/（7）,

3—tz>0

即<a>1,解得2<a<3,

/6>（3-a）x7-3

故實數(shù)a的取值范圍是（2,3）.

故選：D.

2.（24-25高三上.河南?期中）已知函數(shù)了（力=f—南+l（6eR）,若％=/（〃）,則“6W2”是“｛%｝是遞增數(shù)

歹U”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【分析】由/5+1）>/5）對“cN*恒成立求得6的范圍，再與6W2比較即可得.

【詳解】｛?！埃秊檫f增數(shù)列oV〃eN*,a“+i>a“

oV〃wN*,（〃+l）2—b（n+1）+1V〃￡N*,b<2〃+lo/?<（2m+1）1nhi=3,

而"W2”是2v3”的充分不必要條件

3.（24-25高三上?廣東汕頭?開學(xué)考試）已知數(shù)列%="一^^（"N*）,則數(shù)列｛%｝的前100項中的最小

項和最大項分別是（）

A.q,%00B.“45，〃44C.%5，4D.%4'"100

3

【答案】B

72024-72025

【分析】先化簡%=1+(weN*),再借助函數(shù)的單調(diào)性分析得解.

“-J2024

12025n-V2024+V2024-720251?J2024-J2025

【詳解】%=eN*)

n-si2024W-A/2024n-y/2024

因為44?<2024<452,

所以〃W44時，數(shù)列｛程｝單調(diào)遞增，且。?>1；時，數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，且4<L

,在數(shù)列｛。,｝的前100項中最小項和最大項分別是%5，44.

故選：B.

?易錯題通關(guān)》

1.(24-25高二上?全國?課后作業(yè))若數(shù)列｛%｝的通項公式為?！?4〃-5,則關(guān)于此數(shù)列的圖象敘述正確的是

()

A.此數(shù)列不能用圖象表示

B.此數(shù)列的圖象僅在第一象限

C.此數(shù)列的圖象為直線y=4x-5

D.此數(shù)列的圖象為直線y=4x-5上滿足xwN+的一系列孤立的點

【答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)列的圖象是直角坐標系里一個個散點，一一判定選項即可.

【詳解】數(shù)列｛4“｝的通項公式為?！?4〃-5,

它的圖象就是直線>=4尤-5上滿足xeN+的一系列孤立的點，所以A、C錯誤，

當(dāng)”=1時，4=7,該點在第四象限，

當(dāng)〃22且〃eN+時，an>0,此時數(shù)列圖象在第一象限，所以B錯誤.

故選：D.

2.(24-25高三上?甘肅天水?階段練習(xí))已知數(shù)歹式見｝的通項公式見=*-9〃-10,記S“為數(shù)列｛《｝的前〃項

和，若使S”取得最小值，則〃=()

4

A.5B.5或6C.10D.9或10

【答案】D

【分析】因式分解得到an=（"-1。）（"+1）,故當(dāng)〃=10時，4o=。；當(dāng)〃>10時，4>0,當(dāng)1W〃W9時，?！?lt;0,

從而得到答案

【詳解】%="一9"—10=（"—1。）（〃+1）,

當(dāng)”=10時，%o=。；當(dāng)〃>10時，a?>0,當(dāng)1W〃W9時，a?<0,

故當(dāng)〃=9或10時，S,取得最小值.

故選:D

3.（24-25高三上?湖南長沙?階段練習(xí)）已知S1,為數(shù)列的｝的前〃項和，且5“=2%-2,若%2210g2a“+3

對任意正整數(shù)〃恒成立，則實數(shù)力的最小值為（）

75

A.4B.-C.3D.-

22

【答案】D

【分析】根據(jù)a“，S,的關(guān)系，利用相減法結(jié)合等比數(shù)列的定義求解數(shù)列｛““｝的通項公式％,從而將不等式轉(zhuǎn)

化為22言W,利用數(shù)列的單調(diào)性求最值即可得實數(shù)2的范圍，從而得最小值.

【詳解】由S“=2a”-2,令〃=1,解得％=2,

fS=2a—2,a_

當(dāng)心2時，由J'nJ得a,,=S,-S,i=2a「2a,T，即廣n=2z（心2）,

所以數(shù)列｛?！埃且?為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以%=2”，

由履“22182%+3,即22歲恒成立，令則1mx,

而。用<=-皆<0,所以C〃M<C,，即數(shù)列k｝單調(diào)遞減，故9）皿*=。=1

所以彳22,所以幾的最小值

4.（24-25高三上?天津?階段練習(xí)）在無窮數(shù)列｛4｝中，弓=1,qi+2q,=0（〃22,〃eN*）,數(shù)列｛4｝的前”

項和為S,,則S”的最大值與最小值的差為（）

5

A-1

c-1D.無法確定

【答案】C

【分析】求出數(shù)列｛4｝的前"項和，按奇偶探討｛S,,｝的單調(diào)性求出最大與最小值即可得解.

【詳解】由“22,an_l+2an=Q,得2%=-;%一，而q=1,則數(shù)列｛4〃｝是等比數(shù)列,

21212

于是s“=當(dāng)〃為奇數(shù)時,5?=-[1+(-)-],-<s?+2<s?<l,

21121

當(dāng)〃為偶數(shù)時，5n=|[l-（|r],j<5n<Sn+2<|,因此s”的最大值與最小值分別為1弓,

所以S,的最大值與最小值的差為3.

故選：C

+2,〃>8

5.（24-25高三上?安徽六安?階段練習(xí)）己知數(shù)列｛4“｝滿足為=<,"eN*,若對于任意“eN*

a'1-1,n<8

都有則實數(shù)。的取值范圍是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組求解即可.

【詳解】由對于任意“eN*都有見>“用知，數(shù)列｛4｝為遞減數(shù)列,

所以只需滿足0<〃<1解得Z7T<〃<1,

故選：C

〃一2

6.（24-25高三上?云南玉溪?階段練習(xí)）己知數(shù)列｛曲｝的通項公式為凡=,前，，項的和為加，則S”取得

6

最小值時n的值為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】利用作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性，繼而判斷出數(shù)列的項的正負情況，即可確定答案.

【詳解】由題意可知4==二，

2〃一13

—,：I（"一1）（2〃一13）-（-2）（2〃一11）

」行"+1"2n-U2〃-13（2?-11）（2?-13）

_________9

--（2H-11）（2M-13））

人_______9_______、nrr?1113

（2n-ll）（2n-13）,則萬

故當(dāng)〃=6時，%<%;

9111Q

令%?<0,即一（2"11乂2"-13）<°，貝但<萬或〃>萬，

即當(dāng)〃W5或〃>7時，%+i<an；

n-2

令4<0,貝ij2<〃<5,

2n-13

令4==則〃=2，

2"n-1t3

>o>貝|」"<2或">與，

2n-132

貝lj當(dāng)〃=1時，4>0,當(dāng)〃=2時，4=。；

當(dāng)時，?！?lt;。；當(dāng)〃27時，〃〃>。；

故％>%=0>。3>〃4>%>。6，>0,

故當(dāng)〃=6時，取得最小值，

故選：B

易錯點02：由S”求a?忽略n=l的討論

般易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三?江蘇淮安?期中）數(shù)列｛%｝的前,項和為S“，若4=1,a?+1=3S?（n>l）,則3=（）

7

A.3x44B.3X44+1C.45D.43+l

【答案】A

【分析】利用退位相減法可得數(shù)列從第2項起，是以%=3為首項，4為公比的等比數(shù)列，故可求R，或者

利用結(jié)論可求必.

【詳解】已知4+i=3S“，則當(dāng)"22時，4=3S〃T，

兩式作差，得——=3⑸-S,T)=3%,

即a向=4a“，也即數(shù)列從第2項起，是以外=3為首項，4為公比的等比數(shù)列，

從而4=3-4"-2,〃22.

f1,n=1,

由于4=1,%=3弓=3,則于是4=3x4.

13-4>2,

【易錯剖析】

本題求解時容易忽略〃=1的討論，而錯誤的得出數(shù)列的通項公式為a〃=4"T出錯.

【避錯攻略】

1.已知S〃可㈤求an

已知S“=75)求通項，步驟可分為三步：(1)當(dāng)"'2時/=s“-S“T；(2)當(dāng)〃=1時，q=Si；(3)

檢驗?zāi)芊窈蠈懀础?1和〃22兩種情況能否合寫成一個公式，否則就寫為分段的形式.

2.已知Sn與斯的關(guān)系求an

根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化.

(1)利用a”=S〃-ST(M>2)轉(zhuǎn)化為只含S”的關(guān)系式，再求解；

(2)利用X—S"-i=a”(M>2)轉(zhuǎn)化為只含a”，a”-i的關(guān)系式,再求解.

易錯提醒」利用S,與%的關(guān)系求斯，作差后往往會得到一個項或和的遞推關(guān)系式，這是一定要檢驗遞推關(guān)

系是否對所有的正整數(shù)都成立，然后再根據(jù)遞推關(guān)系求通項公式.

舉一反三

1.(23-24高二下?北京大興.期中)已知數(shù)列｛凡｝的前〃項和5"=/+1,則數(shù)列｛6｝的通項公式為()

A.an=n+lB.an=2n-l

8

C.a=2n+1D.a

nn271—l,n>2

【答案】D

【分析】當(dāng)"=1時，求得《,；當(dāng)”22時，根據(jù)a.=S.-S“T化簡得巴,再檢驗得出通項公式即可.

【詳解】當(dāng)〃=1時，o1=51=l+l=2；

當(dāng)"N2時，a“=S"-Si=2"T,

2,n=1,

經(jīng)驗證，4=2不符合上式，所以q=

2n—l,n>2.

故選：D.

2

2.（24-25高二上?天津紅橋?階段練習(xí)）已知數(shù)列㈤｝的前〃項和為S“，S.Sn=2n+3n-l,則數(shù)列的通項公

式為a”=

4,n=l

【答案】

4?+1,?>2

【分析】利用前〃項和與第〃項的關(guān)系，分段求解即可.

22

【詳解】當(dāng)時，a?=5?-5?_1=(2n+3zi-l)-(2(H-l)+3(M-l)-l)=4zI+l,而％=H=4不滿足上式,

4,M=1

所以數(shù)列的通項公式為%=

4n+1,n>2

f4,n=1

故答案為：L1「

[4n+l,n>2

3.（24-25高三上?全國?課后作業(yè)）已知數(shù)列｛4｝的前〃項和S,滿足S“=2-則｛4｝的通項公式為

【答案】氏=]￡T

fS.,n=1

[分析]利用%=:c、C來求得正確答案.

【詳解】由題設(shè)得卬=百=1,所以a“=S,「S,T=2—%—2+a,T（/22）,化簡得a“=ga'T，

9

所以數(shù)列｛?！埃鞘醉?=1，公比為g的等比數(shù)列，所以q=lx

當(dāng)〃=i時,=1依然成立，所以為

故答案為:

易錯題通關(guān)

1.（24-25IWJ二上?遼寧?期中）數(shù)列｛%｝中，已知對任意自然數(shù)〃Mi+&+生+…=2〃-1,則

等于（）

A.2"一1B.（2"-1）2C.D.4；之

【答案】C

【分析】根據(jù)條件，利用S“與?！?，求得a,=2"T,進而得到片=4"。再利用等比數(shù)列的前〃和公式，即可

求解.

【詳解】因為%+g+。3+…+?！?2〃—1①），

當(dāng)〃N2時，/+4+。3+…+an-l=2〃1—1②，由①—②得=2"—2"1=2",

又4=21-1=1,滿足⑸=2〃,所以%=2〃T,

由4=2〃,得到4=（21）2=4〃-】，

=F

所以+Q；=1+4+-+4n-1=~Y~^

故選：C.

2.（24-25高二上?甘肅酒泉?期中）設(shè)S.為數(shù)列｛見｝的前〃項和，若S〃=2%-1,則馬言的值為（）

ClyQICly2

A.8B.4C.~D.-

48

【答案】D

【分析】易知數(shù)列前〃和求出通項公式，再由等比數(shù)列的性質(zhì)化簡求得結(jié)果.

【詳解】當(dāng)〃=1時，％=Si=2q—l,

10

當(dāng)"N2時，S“_]=2a一1,貝Ua”=S”—S,T=2a,,-2an_1,

；.%=2%,即數(shù)列｛4｝是首項4=1,公比q=2的等比數(shù)列，

即。"=2"'

.%+%%(1+0_i」

al0+al2《0(1+4)/8

故選：D.

3.(23-24高二下?廣東汕頭?階段練習(xí))設(shè)數(shù)列｛4｝的前"項和為S"，q=2,2S“=〃*,〃eN*/Ua"=.

【答案】2n

【分析】根據(jù)題意，由?！芭cS,的關(guān)系可得馬當(dāng)="(〃22),從而求出?！凹纯?

n+1n

【詳解】因為25“="。向，當(dāng)"22時，2s—1)為，

兩式相減可得2c1n=iwn+l-(n-t)an,即(”+1)a“=nan+i,

所以匕="(心2),又見=2S1=4,所以2=2,

所以H=2(〃N2),

所以日=2〃(〃N2),且％=2也符合上式,

所以a0=2〃(“eN*),

故答案為：In

4.(24-25高三上?湖南益陽?階段練習(xí))已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且S”=〃-5a“+23,"eN*,則數(shù)列｛叫

的通項公式是?！?.

【答案】31|[+1

【分析】利用冊和Sn的關(guān)系可得a“-1=1(^-1),進而得到數(shù)列｛為-1｝為等比數(shù)列，首項為3,公比為之，

O0

進而求解即可.

【詳解】由S.=〃-5a.+23,〃eN*,

11

當(dāng)〃=1時，=%=1-5%+23,則〃1=4；

當(dāng)〃之2時，S“_i=n—1—5a〃_i+23,

貝|Jan=^n~S〃-1=1—5%+5al，即。〃=：an-\+:,

oo

所以見T=，(4TT)，

o

則數(shù)列｛4-1｝為等比數(shù)列，首項為3,公比為京,

所以1=,則a“=31皆+1.

故答案為：3.^+1.

5.（2024高三.全國.專題練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,,若％=1,25“=°用，則數(shù)列｛4｝的通項公

式.

1,”=1

【答案】4=

2x3"~2,n>2

【分析】根據(jù)S,,與凡的關(guān)系可得當(dāng)“22時，｛%｝是公比為3的等比數(shù)列，求解答案.

【詳解】由25“=。用得，“22時，25“—=%,兩式相減得％=3q,

所以當(dāng)時，｛4｝是公比為3的等比數(shù)列，而出=2,則4=2X3"-2（"N2）,

由1=1不滿足上式得見=2x3f

1,7?=1

故答案為：4=

2x3n~\n>2

3

6.（24-25高三上?河南?階段練習(xí)）使不等式;;一（1成立的一個必要不充分條件是（）

2-x

A.(―°°,—1)(2,+oo)B.(—00,-1]J(2,+oo)

C.(-OO,-1)32,+oo)D.(-oo,-l]u[2,-hx))

【答案】D

12

【分析】利用分式不等式化簡可得xZ2或x<-l,即可根據(jù)真子集關(guān)系求解.

【詳解】由a可得3一—7-i-Y；曰一+0,解得2或gi,

2-x2-x

3

設(shè)不等式小w1成立的一個必要不充分條件構(gòu)成的集合是A,

2—x

則（-8,-1]°（2,+8）是A的一個真子集，結(jié)合選項可知A可以為（e,-1]口[2,+?）,

故選：D

7.（24-25高二上?黑龍江牡丹江?階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列｛4｝的前,項和是5”,如果它的前〃項和5“=n2-2n+3,

那么%=

2,〃=1

【答案】%=

2n-3,n>2

【分析】利用。，與S”的關(guān)系式求通項即可.

［詳解1當(dāng)“=］時，?I=5J=1-2+3=2,

2

當(dāng)〃N2時，Sn=n-1n+3,

所以=("-1)?一2(“一1)+3=/_4”+6,

所以%=S“-S“T=2;L3,

[2,〃=1

所以%=°a

[2n—3,n>2

f2,n=l

故答案為：““=；.r

[2n—3,n>2

8.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛??｝的前n項和為S?,且滿足an+3s總一=0（〃22且〃eN*）,q=；,

則S〃=.

【答案】；

3n

【分析】由公式%=5“-5自（〃22且〃€?4*）化簡可證明3為等差數(shù)列，求出首項和公差即可知道1的

13

通項，進而可求S”.

【詳解】因為%=S—SM(在2),所以S“一S“_+3s電_=0,

所以!一-一=3,所以是等差數(shù)列，公差為3,又：='=3,

SnS"_|[S“JSn%

所以g=3+3("T)=3",即5“=上.

故答案為：---

3n

9.(24-25高二上?天津東麗?階段練習(xí))在數(shù)列｛4｝中，卬=6,且碼+「5+2電=“(“+1)5+2),則％=

[答案13"+3n

【分析】由/用-(〃+2)5“=〃(〃+1)("+2)化簡可證數(shù)列《前可,為等差數(shù)列，即可得5“=〃(〃+1)(〃+2),

再利用退一相減法可得4,.

【詳解】由碼+i-+2)S"=〃(〃+1)(〃+2),

m.r____S〃+l_________i

則(〃+1)(〃+2)n(n+l)-'

則數(shù)列善不是以二=3為首項，1為公差的等差數(shù)列，

+1x2

S

即([I\=3+(?T)=W+2,

所以=刃(〃+1)("+2),

當(dāng)鹿22時，S〃T=(〃-1).九(九+1),

an=Sn-Sn_1=〃(幾+1)(〃+2)—(〃一1)?孔(孔+1)=3及(〃+1)=3九2+3〃，

當(dāng)〃=1時，％=6滿足上式，

2

綜上所述an=3n+3n,

故答案為：3n2+3n.

易錯點03：等比數(shù)列問題忽略公比夕的討論

14

易錯陷阱與避錯攻略

典例(2024?新疆烏魯木齊?二模)設(shè)等比數(shù)列｛4｝的首項為1,公比為4,前〃項和為S“，若｛S“+l｝也是等

比數(shù)列，貝()

A.1或2B.1?或2C.1D.2

【答案】D

【分析】由｛S“+l｝是等比數(shù)列，得⑸+1)2=(S,T+1)(S加+1),故可求以

2

【詳解】由題意可知，q=l,a2=q,a3=q,

若｛%｝為常數(shù)列,則5+1=2,S?+1=3,邑+1=4,不為等比數(shù)列，與題意不合;

若qwl,則S"=^2~

q-1q—1

若｛S"+l｝也是等比數(shù)列，則⑸+1)2=(S,T+1)(SM+1),?>2,?eN-.

2

即(g"+g-Y=尸+〃-2.q*q-2=

Iq-iJ4Tq-i

2q"(q—2)=(q-2)(尸+泮)=尸(q-2)(q-if=0,

解得4=2或q=l(舍去).

故選：D.

【易錯剖析】

本題容易里叫學(xué)比數(shù)列的求和公式成立的前提條件,沒有對q=l或qwl的討論而出錯.

【避錯攻略】

1.等比數(shù)列的概念及公式

(1)等比數(shù)列的定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數(shù)，那么這

個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示。

數(shù)學(xué)語言表達式：2=4(n>2,q為非零常數(shù)).

an-\

(2)等比中項性質(zhì)：如果三個數(shù)a,G,6成等比數(shù)列，那么G叫做。與b的等比中項，其中G=±，拓.

注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項。

(3)通項公式及前〃項和公式

15

①通項公式：若等比數(shù)列｛4｝的首項為%,公比是4,則其通項公式為%=q/i；

nm

通項公式的推廣：an=amq-.

②等比數(shù)列的前〃項和公式：當(dāng)4=1時，S〃=叫；當(dāng)qwl時，S“=

1-q1-q

2.等比數(shù)列的性質(zhì)

已知｛a,｝是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列｛q｝的前〃項和.

（1）等比數(shù)列的基本性質(zhì)（了解即可）

①相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即%,ak+m,4+2s，…仍是等比數(shù)歹I，公比為d”.

②若｛為｝，也｝（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則｛%｝（60）,［：］，忖｝，｛風(fēng)也｝,仍是等比數(shù)列.

③若k+l=m+n（k,l,m,nGN*）,則有氏y=（,&,推廣：=an_k-an+k（n,k&N*,Jin-^>1）

（2）等比數(shù)列前〃項和的性質(zhì)

⑴在公比4W-1或q=-l且〃為奇數(shù)時，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,……仍成等比數(shù)列，其公比為q"；

nax,q=l

易錯提醒：注意等比數(shù)列的求和公式是分段表示的：s,=Y（jyq八,所以在利用等比數(shù)列求和公式

求和時要先判斷公比是否可能為1,,若公比未知，則要注意分兩種情況g=l和仍"討論.

舉一反三

1.（24-25高二?全國?課后作業(yè)）已知數(shù)列a,。），。（1-療，…是等比數(shù)列，則實數(shù)。的取值范圍是（）.

A.awlB.awO或awlC.awOD.awO且awl

【答案】D

【分析】由等比數(shù)列的定義即可求出〃的取值范圍.

【詳解】由等比數(shù)列的定義知，數(shù)列中不能出現(xiàn)為0的項，且公比不為0,所以且1-awO,

所以awO且awl.

故選：D.

2.（24-25高三上?浙江紹興?期中）已知等比數(shù)列｛%｝,首項為%,公比為4,前〃項和為S,,若數(shù)列｛S.+1｝

是等比數(shù)列，則（

16

A.ax-q=\B.q-ax=1

n

C.S〃-尸=1D.Sn-cixq-1

【答案】B

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛s,+l｝的公比為/,則”0,分4=1、qwl兩種情況討論，求出臬的表達式，結(jié)合已

知條件可得出等式組，即可得解.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛S“+l｝的公比為f,貝卜/0.

若q=l,貝I]S“+1=〃/+1,由題意可得S.+i+l=f(S.+l),^{n+\)al+l=tnal+t,

所以，]的二“，解得不合乎題意；

11+1=/[t=l

若#1,則s“/(i一力=一",則S.+1=(”一"囁

1-q1-q1—q

由題意可得Sx+l=r(S,+l),即(q+lF)-。夕.

1-q1-q

所以，卜+~=3+j),可得忙1=1.

一tciy[r—q

故選：B.

3.(2025高三?全國?專題練習(xí))已知在等比數(shù)列｛%｝中，4=7,前三項之和S3=21,則公比4的值是()

A.1B.—C.1或—D.-1或g

222

【答案】C

【分析】按照4=1和分類討論，利用等比數(shù)列通項公式和求和公式列方程組求解即可.

【詳解】當(dāng)4=1時，%=7"3=21,符合題意;

acf=7

當(dāng)qwl時,x解得4=

2

a[+alq+alq-21

綜上，q的值是1或

故選：c

17

?易錯題通關(guān),

1.（24-25高二下?浙江湖州?期末）設(shè)S.為等比數(shù)列｛4｝的前〃項和，已知3凡=4-3,3邑=%-3,則公

比〃=（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】根據(jù)題干所給條件列式并聯(lián)立計算即可.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的第一項為q,貝I]/：。"，4=。“，

2

因為3其=%—3,貝lj3（q+0[4）=01g2_3,3at+3a｛q-axq+3=0?

因為3s3=%_3,則3（q+qq+q/）=a1g3_3,得3q+3a“+3qq2—q/+3=0②

式子①-②，得4（10=ad,顯然弓片。，#0,則q=4.

故選：B.

2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）己知正項等比數(shù)列｛%｝的首項為1,前〃項和為S“,〃wN*,若5s3-羽-4=0,

則$2024=（）

A.22024B.22023C.22024-1D.22023-1

【答案】C

【分析】先由題設(shè)求得公比q,再用等比數(shù)列的求和公式求解即可.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為4（4>0）,

若q=l,邑=3%=3,$5=54=5,不滿足5s3-$5-4=0,

所以4",則5（~）_1Z￡_4=0，整理得-5/+/+4q=o,解得q=2.

1-q1-q

40產(chǎn)）1-22024

…02024=22024-l.

1一夕1-2

故選：C.

3.（24-25高三上?安徽?期中）記S“為正項等比數(shù)列｛%｝的前〃項和，若邑=3,品=21,則凡=（）

18

A.6B.9C.12D.15

【答案】B

【分析】運用等比數(shù)列前〃項和的性質(zhì)，即：等比數(shù)列依次加項的和仍為等比數(shù)列求解即可.

【詳解】設(shè)正項等比數(shù)列｛%｝的公比為4,

由題意知，qwi,

所以S3,s6-s3,邑-梟成等比數(shù)列，

所以⑸-邑)2=S3(S9-S6),BP(S6-3)2=3(21-')，

解得Se=9(舍負).

故選：B.

4.(24-25高三上?山東淄博?階段練習(xí))(多選)已知等比數(shù)列｛%｝中(weN*),其公比為4,前〃項和為S“，

則下列選項正確的是()

A.若數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，則一定有4

B.若則數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列

C.若g=3",數(shù)列7_爭_八的前〃項和J恒成立

D.S.，S2n-Sn,邑，-邑，一定成等比數(shù)列

【答案】AC

【分析】利用反證法可判斷A的正誤，利用反例可判斷BD的正誤，利用裂項相消法求(后可判斷C的正

誤.

【詳解】對于A,若夕<0,則｛%｝中各項正負交錯出現(xiàn)，該數(shù)列不是增數(shù)列，故必成立，故A正確;

對于B,取等比數(shù)列通項公式為而卬=-1<g=1,但｛(-1)"｝不是增數(shù)列，故B錯誤；

對于D,取等比數(shù)列為4=(-!)",則S2=J=S6=。，

故S,-邑=&-邑=。，此時S2，S4-Sz，&-邑不為等比數(shù)列,故D錯誤；

2ali_2x3"_]_]

對于C‘7+1))用+i)=3+*3用+1)3向+1'

19

故(=71—7-7?—7+Z?—7-―7-1--1■——7-TZ7i—7=T-TZTi―7＜二，故C成立；

甲+132+132+133+13"+13n+1+l43n+1+l4

故選：AC.

5.(24-25高三上?廣東深圳?階段練習(xí))S“是等比數(shù)列{4}的前〃項和，已知為+83=6,83=3%,貝IJ

〃2=?

【答案】|3?或-3

【分析】由題意得53=q+/+%=3%，即4+4q=2a聞2,求出q的值，由題意再結(jié)合等比數(shù)列的定義即

可求解.

【詳解】S3=a{+a2+a3=3a3,

12

ax+axq=la^q,Bpax(2^--1)=0,

因為00，所以2g2—q—\=(^q—1)(2^+1)=0,

解得4=1或0=-；,又％+、3=6方3=3%,所以4a3=6,即/=■!，所以為=&=1■或-3.

故答案為：|3?或-3.

6.(24-25高三上?江蘇南通?階段練習(xí))設(shè)等比數(shù)列間的前〃項和為S“，若4邑=31+$3,則十.

【答案】3

a,a,

【分析】根據(jù)已知條件4邑=3工+邑，通過等比數(shù)列的前〃項和公式求出公比4,進而求出一的值就

4a1

是公比4.

【詳解】當(dāng)w=l時，

當(dāng)"=2時，對于等比數(shù)列S?=弓+%=4+%q=%(l+q)(因為4=40).

2

當(dāng)〃=3時，S3=ax+a2+a3=a}+axq+axq~=ax(\+q+q).

已知4邑=31+邑，將H，S2,S3的值代入可得：

1

4。］(1+4)=3%+ax(\+q+q).

因為qw。(等比數(shù)列首項不為0),等式兩邊同時除以4得4(1+/=3+(1+4+才).

20

展開式于得4+4q=3+1+4+,B|Jq~-3q=0,解得q=°或q=3.

因為等比數(shù)列公比#。，所以4=3,所以

故答案為：3.

763?

na

7.（24-25高三上?江蘇泰州?期中）記S“為等比數(shù)列｛4｝的前〃項的和，若$3=5，S6萬，貝Un~

【答案】1024

【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的求和公式運算求解，注意討論公比是否為L

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4（”0）,

若q=l,貝”6=2昆，這與已知$3=（,￡=?是矛盾的，

%(1-07

所以421,從而$3=

1—q一萬'1-q2

將上面兩個等式的兩邊分別相除，得1+/=9,解得9=2,

由8=坐/毛此可得44,