第十三章 軸對稱（知識歸納+題型突破）（原卷版）

第十三章軸對稱（知識歸納+題型突破）1.會判斷軸對稱圖形，能畫出軸對稱圖形．2.理解垂直平分線的性質(zhì)和判定．3.理解等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)和判定．一、軸對稱軸對稱概念：有一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合,那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫做對稱點．兩個圖形關(guān)于直線對稱也叫做軸對稱．二、軸對稱圖形軸對稱圖形概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形.這條直線就是它的對稱軸.（對稱軸必須是直線）軸對稱圖形的性質(zhì)（重點）：如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線.類似的，軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線.連接任意一對對應(yīng)點的線段被對稱軸垂直平分．軸對稱圖形上對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等.畫一圖形關(guān)于某條直線的軸對稱圖形步驟：找到關(guān)鍵點，畫出關(guān)鍵點的對應(yīng)點，按照原圖順序依次連接各點.用坐標(biāo)表示軸對稱1、點（x，y）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為（x，-y）；2、點（x，y）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為（-x，y）；三、線段的垂直平分線概念：經(jīng)過線段的中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．四、等腰三角形（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質(zhì)①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）.五、等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.（3）等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形.題型一軸對稱圖形的識別例題：12月2日是全國交通安全日，你認(rèn)為下列交通標(biāo)志不是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．下列圖形是軸對稱圖形的是(

)A． B． C． D．2．下列2022年北京冬季奧運會體育圖標(biāo)中，是軸對稱圖形的是（

）A．B． C．D．題型三軸對稱中折疊問題例題：如圖，長方形紙片中，AB，DC邊上分別有點E，F(xiàn)，將長方形紙片沿EF翻折至同一平面后，點A，D分別落在點G，H處．若，則∠DFE的度數(shù)是（

）A．75° B．76° C．77° D．78°【變式訓(xùn)練】1．如圖1，將長方形紙片沿著翻折，使得點，分別落在點，位置．如圖2，在第一次翻折的基礎(chǔ)上再次將紙片沿著翻折，使得點恰好落在延長線上的點處．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，試用含的式子表示，并說明理由．2．如圖1，將筆記本活頁一角折過去，使角的頂點A落在點'處，BC為折痕．(1)如圖1，若∠1＝25°，求∠BD的度數(shù)；(2)如果又將活頁的另一角斜折過去，使BD邊與B重合，折痕為BE，如圖2所示，求∠CBE的度數(shù)．題型四線段的垂直平分線的性質(zhì)例題：如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線交AC，BC于點D，E．若△ABD的周長為20，△ABC的周長為32，則BE＝_______．【變式訓(xùn)練】1．已知，如圖中，，邊、的垂直平分線分別交于、，交、于、，連接與，則的周長＝______．2．如圖，∠BAC的平分線AD與BC的垂直平分線DG相交于點D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，AE＝8，AC＝5，則BE的值為______．題型五線段的垂直平分線的判定例題：如圖，已知，點P為的平分線上一點，，，垂足分別為E、F(1)求證∶(2)若，求證：點P在的垂直平分線上．【變式訓(xùn)練】1．如圖，為平分線上一點，于，于．

(1)求證：；(2)求證：垂直平分．2．如圖，是的角平分線，分別是和的高．(1)求證：垂直平分；(2)若的面積是4，則．題型六坐標(biāo)與圖形變換——軸對稱例題：（2021·山東·單縣湖西學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點坐標(biāo)分別是，，．畫出關(guān)于x軸對稱的，并寫出點、的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練】1．如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，建立平面直角坐標(biāo)系后△ABC的頂點均在格點上．(1)寫出點A、B、C的坐標(biāo)；(2)寫出△ABC關(guān)于x軸對稱的的頂點、、的坐標(biāo)；(3)求．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A（-3，4），B（-4，1），C（-1，2）．(1)在圖中作出△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△．(2)請直接寫出點C關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)：．(3)求△ABC的面積．(4)在x軸上畫出點P，使QA＋QC最?。}型七等腰三角形的定義例題：等腰三角形一邊長等于2，一邊長等于3，則它的周長是（

）A．5 B．7 C．8 D．7或8【變式訓(xùn)練】1．在等腰△ABC中，∠A＝70°，則∠C的度數(shù)不可能是（

）A．40° B．55° C．65° D．70°2．已知等腰三角形一邊長為4，周長為10，則另兩邊長分別為（

）A．4，2 B．3，3 C．4，2或3，3 D．以上都不對題型八根據(jù)等腰三角形中三線合一求解例題：如圖，中，，于點D，，若，則的度數(shù)為_____．【變式訓(xùn)練】1．如圖，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中線，AE是△BAD的角平分線，DFAB交AE的延長線于點F，則DF的長是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．如圖，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分線交BC于點D．且BD＜CD，過點B作射線AD的垂線，垂足為E，則CDDE＝_______．題型九等腰三角形的性質(zhì)與判定例題：如圖，已知在四邊形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝BE，CE⊥BD，垂足為E．(1)求證：BD＝BC；(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．如圖，已知在四邊形ABCD中，點E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．(1)求證：AC＝CD；(2)若AC＝AE，求∠ACB的度數(shù)．2．如圖，△ABC中，∠B＝∠C＝50°．點D在線段BC上運動（點D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE＝50°，DE交線段AC于E．(1)當(dāng)∠BAD＝20°時，∠EDC＝°；(2)當(dāng)∠BAD＝____°時，△ABD≌△DCE？請說明理由；(3)△ADE能成為等腰三角形嗎？若能，請直接寫出∠BAD的度數(shù)；若不能，請說明理由．題型十等邊三角形的性質(zhì)與判定例題：如圖，是上一點，點，分別在兩側(cè)，，且，．(1)求證；(2)連接，若，，求的長．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在△ABC中，∠BAC=∠B=60°，D點為BC