福建省三明市永沙田一中三校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

福建省三明市永沙田一中三校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：90分鐘?總分：150分?年級(jí)/班級(jí)：高一一、選擇題（每題5分，共30分）要求：從四個(gè)選項(xiàng)中選出正確答案。1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x，則f(x)的圖像在x軸上有一個(gè)零點(diǎn)，且該零點(diǎn)的值為：A.0B.1C.-1D.22.若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，且a1+a2+a3=9，a4+a5+a6=27，則該數(shù)列的公差d為：A.2B.3C.4D.53.已知函數(shù)f(x)=2x^2-3x+1，若f(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值為M，最小值為m，則M-m的值為：A.1B.2C.3D.44.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,3)，點(diǎn)B(-1,1)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為：A.(1,2)B.(1,3)C.(2,1)D.(2,2)5.已知函數(shù)f(x)=log2(x+1)，若f(x)在區(qū)間[0,1]上的值域?yàn)锳，則A的取值范圍為：A.(0,1)B.[0,1)C.(0,2)D.[0,2)6.若等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為b1，公比為q，且b1+b2+b3=27，b4+b5+b6=243，則該數(shù)列的首項(xiàng)b1為：A.1B.3C.9D.27二、填空題（每題5分，共30分）要求：直接填寫答案。1.若函數(shù)f(x)=x^2-4x+3在區(qū)間[1,3]上的最大值為M，則M=________。2.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，若a1+a2+a3=12，a4+a5+a6=36，則該數(shù)列的公差d=________。3.若函數(shù)f(x)=log3(x+1)在區(qū)間[0,1]上的值域?yàn)锳，則A=________。4.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,3)，點(diǎn)B(-1,1)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為________。5.若等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為b1，公比為q，且b1+b2+b3=27，b4+b5+b6=243，則該數(shù)列的首項(xiàng)b1=________。6.若函數(shù)f(x)=x^3-3x在區(qū)間[-1,2]上的最大值為M，最小值為m，則M-m=________。三、解答題（每題10分，共40分）要求：解答下列各題，解題過程要完整。1.已知函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x-1，求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)坐標(biāo)。2.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，若a1+a2+a3+a4=20，a5+a6+a7=42，求該數(shù)列的首項(xiàng)a1和公差d。3.求函數(shù)f(x)=e^x-x^2在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值。4.在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(-1,1)，求線段AB的長(zhǎng)度。四、證明題（每題10分，共20分）要求：證明下列各題，證明過程要完整。1.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有(x+1)^2≥x^2+2x+1。2.證明：等差數(shù)列{an}的任意兩項(xiàng)之和的平方等于這兩項(xiàng)乘積的兩倍加上這兩項(xiàng)之和的平方。五、計(jì)算題（每題10分，共20分）要求：計(jì)算下列各題，計(jì)算過程要完整。1.計(jì)算定積分∫(x^2-4x+3)dx，并求出其值。2.計(jì)算不定積分∫(e^x/x^2)dx，并求出其原函數(shù)。六、應(yīng)用題（每題10分，共20分）要求：解答下列各題，解題過程要完整。1.一輛汽車以60km/h的速度行駛，在行駛了10分鐘后，速度突然降低到40km/h，再行駛了5分鐘后，速度再次降低到30km/h。求這輛汽車在這15分鐘內(nèi)行駛的總路程。2.一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，已知長(zhǎng)方體的體積V和表面積S，求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的關(guān)系式。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：f(x)=x^3-3x，令f(x)=0，得x(x^2-3)=0，解得x=0或x=±√3。由于x=±√3不在區(qū)間[1,3]內(nèi)，故x=0是唯一零點(diǎn)，即f(x)在x軸上的零點(diǎn)為1。2.C解析：等差數(shù)列的性質(zhì)是相鄰兩項(xiàng)之差相等，即d=a2-a1=a3-a2。由題意得3a1+3d=9，3a1+9d=27，解得d=4。3.A解析：f(x)=2x^2-3x+1，求導(dǎo)得f'(x)=4x-3。令f'(x)=0，得x=3/4。由于f(1)=-1，f(2)=1，故在區(qū)間[1,2]上，f(x)的最大值為1，最小值為-1，所以M-m=1-(-1)=2。4.A解析：中點(diǎn)坐標(biāo)公式為((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，代入A(2,3)和B(-1,1)得中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)。5.A解析：f(x)=log2(x+1)，當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=log2(1)=0；當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=log2(2)=1。故f(x)在區(qū)間[0,1]上的值域?yàn)?0,1)。6.B解析：等比數(shù)列的性質(zhì)是相鄰兩項(xiàng)之比為常數(shù)，即q=b2/b1=b3/b2。由題意得b1+b1q+b1q^2=27，b1q^3+b1q^4+b1q^5=243，解得q=3，故b1=3。二、填空題1.M=3解析：f(x)=x^2-4x+3，在區(qū)間[1,3]上，f(x)的最大值出現(xiàn)在端點(diǎn)x=3時(shí)，此時(shí)f(3)=3^2-4*3+3=3。2.d=4解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，d=a2-a1=a3-a2。由題意得3a1+3d=12，3a1+9d=36，解得d=4。3.A=(0,1)解析：f(x)=log3(x+1)，當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=log3(1)=0；當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=log3(2)>0。故f(x)在區(qū)間[0,1]上的值域?yàn)?0,1)。4.(1,2)解析：中點(diǎn)坐標(biāo)公式為((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，代入A(2,3)和B(-1,1)得中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)。5.b1=3解析：等比數(shù)列的性質(zhì)是相鄰兩項(xiàng)之比為常數(shù)，即q=b2/b1=b3/b2。由題意得b1+b1q+b1q^2=27，b1q^3+b1q^4+b1q^5=243，解得q=3，故b1=3。6.M-m=2解析：f(x)=x^3-3x，求導(dǎo)得f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，得x=±1。由于f(-1)=2，f(1)=-2，故在區(qū)間[-1,2]上，f(x)的最大值為2，最小值為-2，所以M-m=2-(-2)=4。三、解答題1.解析：f(x)=x^3-6x^2+9x-1，求導(dǎo)得f'(x)=3x^2-12x+9。令f'(x)=0，得x=1或x=3。當(dāng)x=1時(shí)，f''(x)=6>0，故x=1是極小值點(diǎn)；當(dāng)x=3時(shí)，f''(x)=-6<0，故x=3是極大值點(diǎn)。拐點(diǎn)坐標(biāo)為(1,f(1))和(3,f(3))，即(1,-3)和(3,-8)。2.解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，d=a2-a1=a3-a2。由題意得3a1+3d=20，3a1+9d=42，解得a1=2，d=2。3.解析：f(x)=e^x-x^2，求導(dǎo)得f'(x)=e^x-2x。令f'(x)=0，得x=ln2。由于f'(x)在x=ln2左側(cè)為負(fù)，右側(cè)為正，故x=ln2是f(x)在區(qū)間[0,2]上的最小值點(diǎn)。f(ln2)=2-2ln2，f(0)=1，f(2)=e^2-4。比較這三個(gè)值，得到f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值為e^2-4，最小值為2-2ln2。4.解析：由兩點(diǎn)間的距離公式得|AB|=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]，代入A(2,3)和B(-1,1)得|AB|=√[(2-(-1))^2+(3-1)^2]=√[9+4]=√13。四、證明題1.解析：要證明(x+1)^2≥x^2+2x+1，只需證明(x+1)^2-(x^2+2x+1)≥0，即2x+1≥0。由于2x+1是關(guān)于x的一次函數(shù)，其值在x=-1/2時(shí)取得最小值0，因此對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有2x+1≥0，從而證明了(x+1)^2≥x^2+2x+1。2.解析：設(shè)an+am=S，則有an+am=(a1+(n-1)d)+(a1+(m-1)d)=2a1+(n+m-2)d。將an+am的平方展開得S^2=(2a1+(n+m-2)d)^2。另一方面，an*am=(a1+(n-1)d)*(a1+(m-1)d)=a1^2+(n+m-2)a1d+(n-1)(m-1)d^2。將an*am乘以2并加上an+am的平方得2an*am+(an+am)^2=2a1^2+2(n+m-2)a1d+2(n-1)(m-1)d^2+2a1^2+2(n+m-2)a1d+(n+m-2)^2d^2?；?jiǎn)得2an*am+(an+am)^2=2a1^2+2(n+m-2)a1d+(n+m-2)^2d^2+2a1^2+2(n+m-2)a1d+(n+m-2)^2d^2=2(a1+(n+m-2)d)^2。由于an+am=S，所以2an*am+(an+am)^2=2S^2。因此，等差數(shù)列{an}的任意兩項(xiàng)之和的平方等于這兩項(xiàng)乘積的兩倍加上這兩項(xiàng)之和的平方。五、計(jì)算題（每題10分，共20分）要求：計(jì)算下列各題，計(jì)算過程要完整。1.計(jì)算定積分∫(x^2-4x+3)dx，并求出其值。2.計(jì)算不定積分∫(e^x/x^2)dx，并求出其原函數(shù)。本次試卷答案如下：五、計(jì)算題1.解析：首先對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行積分，∫(x^2-4x+3)dx=∫x^2dx-∫4xdx+∫3dx=(1/3)x^3-2x^2+3x+C，其中C為積分常數(shù)。然后計(jì)算定積分，將上限和下限代入原函數(shù)，得到∫(x^2-4x+3)dx=[(1/3)x^3-2x^2+3x]從0到x的值，即[(1/3)x^3-2x^2+3x]_0^x=(1/3)x^3-2x^2+3x-[(1/3)*0^3-2*0^2+3*0]=(1/3)x^3-2x^2+3x。2.解析：不定積分∫(e^x/x^2)dx可以通過分部積分法求解。設(shè)u=e^x，dv=1/x^2dx，則du=e^xdx，v=-1/x。根據(jù)分部積分法，∫udv=uv-∫vdu，得到∫(e^x/x^2)dx=-e^x/x-∫(-1/x*e^x)dx。再次使用分部積分法，設(shè)u=e^x，dv=-1/xdx，則du=e^xdx，v=ln|x|。得到∫(e^x/x^2)dx=-e^x/x+ln|x|*e^x-∫(ln|x|*e^x)dx。由于ln|x|*e^x的積分不易直接求解，所以這里需要使用積分技巧，例如通過泰勒展開或使用計(jì)算機(jī)輔助計(jì)算。最終結(jié)果為∫(e^x/x^2)dx=-e^x/x+ln|x|*e^x-(1/2)∫(e^x/x)dx。六、應(yīng)用題（每題10分，共20分）要求：解答下列各題，解題過程要完整。1.一輛汽車以60km/h的速度行駛，在行駛了10分鐘后，速度突然降低到40km/h，再行駛了5分鐘后，速度再次降低到30km/h。求這輛汽車在這15分鐘內(nèi)行駛的總路程。2.一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，已知長(zhǎng)方體的體積V和表面積S，求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的關(guān)系式。本次試卷答案如下：六、應(yīng)用題1.解析：首先將速度轉(zhuǎn)換為相同的單位，10分鐘=1/6小時(shí)，5分鐘=1/12小時(shí)。汽車以60km/h的速度行駛10分鐘，行駛距離為60km/h*1/6小時(shí)=10km。接著以40km/h的速度行駛5分鐘，行駛距離為40km/h*1/12小時(shí)=10/3km。最后以30km/h的速度行駛剩余的時(shí)間，即行駛距離為30km/h*(1/6小時(shí)-1/12小時(shí))=5/6km。總路程為10km+10/3km