2024-2025學年北京市順義一中高二（下）月考數(shù)學試卷（3月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京市順義一中高二（下）月考數(shù)學試卷（3月份）一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在等差數(shù)列{an}中，a1=3，a7A.14 B.13 C.122.下列導(dǎo)數(shù)公式錯誤的是(

)A.(sinx)′=?cosx B.(lnx)′=1x C.(13.已知等差數(shù)列{an}中，a3+a8=?6，Sn是數(shù)列A.?60 B.?30 C.30 D.604.函數(shù)f(x)=x在點(1,f(1))處的切線方程為(

)A.y=12x+12 B.y=?x+2 5.一輛汽車在筆直的公路上行駛，位移關(guān)于時間的函數(shù)圖象如圖所示，給出下列四個結(jié)論：

①汽車在[0,t1]時間段內(nèi)每一時刻的瞬時速度相同；

②汽車在[t1,t2]時間段內(nèi)不斷加速行駛；

③汽車在[t2,t3A.1個 B.2個 C.3個 D.4個6.已知x=1函數(shù)f(x)=x3?3ax+3的極小值點，那么函數(shù)f(x)的極大值為A.2 B.3 C.4 D.57.若f(x)=sin2x?ax在[0,π6]上是單調(diào)遞增的，則a的取值范圍是A.(?∞,3) B.(?∞,1) C.(?∞,1]8.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則“對任意n∈N?，都有aA.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知{an}是無窮等比數(shù)列，其前n項和為Sn，a1=2，S2=1.若對任意正整數(shù)nA.[?2,32) B.[?43,1)10.已知函數(shù)f(x)=xlnx,x>0,xex,x≤0.有下列說法

①f(x)的遞增區(qū)間是(?1,0)和(1e,+∞)；

②f(x)有三個零點；

③不等式f(x)≥?1e的解集為R；

④關(guān)于x的不等式f(x)≥kx?1(k∈R)A.①② B.①②③ C.②③④ D.①③④二、填空題：本題共5小題，共25分。11.2和6的等差中項是______．12.“藻井”又稱“綺井”“天井”是中國建筑中一種頂部裝飾手法，將建筑物頂棚向上凹進如井狀，四壁飾有藻飾花紋.藻井最上面的頂心放置明鏡或者雕刻蟠龍，所以近代“藻井”也稱為“龍井”．

為了更好的傳播我國的建筑文化，北京建筑博物館制作了“藻井冰箱貼”，“藻井”是由五片圓形四周帶有“宮殿”的大小相同的強磁金屬片重疊擺放構(gòu)成，每個金屬片上的宮殿個數(shù)成等比數(shù)列，冰箱貼的最下面一層為“明鏡”沒有宮殿，第二層有4個宮殿，第三層有8個宮殿，則冰箱貼的最上一層有______個宮殿，一套冰箱貼中共有______個宮殿．13.已知一個物體在運動過程中，其位移y(單位：m)與時間t(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系為y=t2+1，則物體在0s到1s這段時間里的平均速度為______m/s：物體在1s時的瞬時速度為______m/s14.已知函數(shù)f(x)=2xx2+4，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為______，則15.已知數(shù)列{an}滿足：a1=a，an+1=an4+3an(n∈N?)有下列結(jié)論：

①?a>0，使得數(shù)列{an}為等比數(shù)列；

②?a<0，?n∈N?，有a三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題13分)

已知{an}為等差數(shù)列，且a2=4，a6+a5=?6．

(1)求{an}17.(本小題14分)

已知函數(shù)f(x)=13x3?x2?3x+9．

(1)求f(x)18.(本小題14分)

兩個數(shù)列{an}，{bn}，a1=b1=1，已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列且a4=8，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，又滿足_____在①Sn=n2(n≥2)19.(本小題14分)

已知函數(shù)f(x)=(x2?2x)ex．

(1)求函數(shù)f(x)的極值；

(2)20.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=lnx+x22．

(1)求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程；

(2)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)?ax(a>0)，求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)在(2)的條件下，若函數(shù)y=F(x)(x>1)的圖象恒在直線y=?321.(本小題15分)

若有窮正整數(shù)數(shù)列A：a1=2，a2，a3，…，a2n(n≥3)滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)列A為T數(shù)列：①a2i?1+a2i=2i(i=1,2,3,…,n)；②對任意的i∈{1,2,3,…,2n?1}，都存在正整數(shù)j≤i，使得ai+1=aj+aj+1+aj+2+…+aj+(i?j)．

(1)判斷數(shù)列A：1，1，2，2，4，4和數(shù)列B：1，1，1，3，3，5是否為T數(shù)列，說明理由；

(2)已知數(shù)列A：a1參考答案1.C

2.A

3.B

4.A

5.C

6.D

7.C

8.D

9.B

10.D

11.4

12.32

60

13.1

2

14.(?2,2)

1215.①③④

16.解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，

則a2=a1+d=4，a6+a5=2a1+9d=?6，解得a1=6，d=?2，

則數(shù)列{an}的通項公式為an=8?2n；

(2)Sn=(a1+an)n2=(6+8?2n)n2=(7?n)n，

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，Sn的最大值為S3=S4=12．

17.解：(1)對函數(shù)f(x)求導(dǎo)可得：導(dǎo)函數(shù)f′(x)=x2?2x?3，

令導(dǎo)函數(shù)f′(x)=0，那么(x?3)(x+1)=0，解得x=3或x=?1；

當f′(x)<0時，則(x?3)(x+1)<0，即?1<x<3，

所以f(x)在(?1,3)上單調(diào)遞減；

f′(x)>0時，則(x?3)(x+1)>0，解得x<?1或x>3，

所以f(x)在(?∞,?1)，(3,+∞)上單調(diào)遞增．

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(?1,3)，單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,?1)和(3,+∞)．

(2)由(1)可知x=?1和x=3為函數(shù)f(x)的極值點；

f(?1)=13×(?1)3?(?1)2?3×(?1)+9=323，

f(3)=13×33?32?3×3+9=0，

f(?3)=13×(?3)3?(?3)2?3×(?3)+9=0，

f(4)=13×43?42?3×4+9=73，

所以f(x)在[?3,4]上的最大值為323，最小值為0．

18.解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則a4=a1q3=q3=8，得q=2，

則an=2n?1,n∈N?；

選①：n≥2時，Sn=n2，又因S1=b1=1滿足上式，故Sn=n2,n∈N?，

當n≥2時，Sn?1=(n?1)2，則bn=Sn?Sn?1=2n?1，又b1=1滿足上述，故bn=2n?1；

選②：已知b1=1，b3=5無法確定數(shù)列{bn}.

選③：bn?bn?1=2(n≥2)可知數(shù)列{bn}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，則bn=2n?1,n∈N?

(2)cn=an+bn=2n?1+2n?1，則Tn=c1+c2+?+cn=(a1+a2+?+an)+(b1+b2+?+bn)=(20+21+?+2n?1)+(1+3+?+2n?1)=2n?12?1+1+2n?12?n=2n+n2?1．

19.解：(1)已知函數(shù)f(x)=(x2?2x)ex．

f′(x)=(2x?2)ex+(x2?2x)ex=(x2?2)ex，x∈R，

令f′(x)=0?x=±2，

所以當x∈(?2,2)時，f′(x)<0，f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)；

當x∈(?∞,?2)時，f′(x)>0，f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)；

當x∈(2,+∞)時，f′(x)>0，f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以f(x)的極大值為f(?2)=(2+22)e?2，極小值為f(2)=(2?22)e2．

(2)g(x)=f(x)?a(a∈R)的零點個數(shù)即為y=f(x)與y=a的交點個數(shù)，

由f(x)=(x2?2x)ex，可得f(0)=0，f(2)=0，

x<0時f(x)>0；0<x<2時f(x)<0；x>2時f(x)>0，

結(jié)合(1)畫出f(x)圖象如下：

所以，當a<(2?22)e2時，函數(shù)g(x)無零點；

當a=(2?22)e2或a>(2+22)e?2，函數(shù)g(x)有一個零點；

當(2?22)e2<a≤0或a=(2+22)e?2時，函數(shù)g(x)有兩個零點；

當0<a<(2+22)e?2時，若g(x)=f(x)?a(a∈R)，函數(shù)g(x)有三個零點．

20.解：(1)已知函數(shù)f(x)=lnx+x22(x>0)，則f′(x)=1x+x，

將x=1代入f(x)可得f(1)=ln1+122=12，所以切點為(1,12)，

將x=1代入f′(x)可得f′(1)=11+1=2，可得切線斜率k=2，

則由直線的點斜式方程可得切線方程為y?12=2(x?1)，整理得4x?2y?3=0；

(2)已知F(x)=f(x)?ax=lnx+x22?ax(a>0)，其定義域為(0,+∞)．F′(x)=1x+x?a=x2?ax+1x，

令g(x)=x2?ax+1，Δ=a2?4，

當Δ≤0，即0<a≤2時，g(x)≥0恒成立(因為二次函數(shù)g(x)開口向上)，

則F′(x)≥0恒成立，所以F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

當Δ>0，即a>2時，由g(x)=0，根據(jù)求根公式可得x1=a?a2?42，x2=a+a2?42；

則在(0,a?a2?42)和(a+a2?42,+∞)上，g(x)>0，F(xiàn)′(x)>0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增；

在(a?a2?42,a+a2?42)上，g(x)<0，F(xiàn)′(x)<0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減；

綜上，當0<a≤2時，F(xiàn)(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)，無減區(qū)間；

當a>2時，F(xiàn)(x)的

單

調(diào)

遞

增

區(qū)

間

為

(0,a?a2?42)和

(a+a2?42,+∞)，

單

調(diào)

遞

減

區(qū)

間

為

(a?a2?42,a+a2?42)．

(3)由題意若函數(shù)y=F(x)(x>1)的圖象恒在直線y=?32的圖象的上方，

可知F(x)>?32在(1,+∞)上恒成立，即lnx+x22?ax>?32在(1,+∞)上恒成立，

等價于a<lnx+x22+32x在(1,+∞)上恒成立，

令?(x)=lnx+x22+32x(x>1)，則a<?(x)恒成立，

對?(x)進行求導(dǎo)，?′(