專題04 三角函數(shù)新定義問題（學生版）

高考數(shù)學高考數(shù)學勤思篤學勤思篤學勤思篤學勤思篤學專題04三角函數(shù)新定義問題三角函數(shù)新定義問題；主要把握住三角函數(shù)與其它知識點之間的轉(zhuǎn)換關系即可，熟記三角恒等變換的有關公式；求取值范圍轉(zhuǎn)換為函數(shù)問題.特別注意：新定義“伴隨函數(shù)”得出函數(shù)的表達式，然后利用三角函數(shù)性質(zhì)求解．對于函數(shù)一般借助輔助角公式進行變形，即，其中，．題型一新定義距離問題【例1】人臉識別就是利用計算機分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識別信息，最終判別人臉對象的身份．在人臉識別中為了檢測樣本之間的相似度主要應用距離的測試，常用的測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離．已知二維空間兩個點、，則其曼哈頓距離為，余弦相似度為，余弦距離為．已知，、、、，若，，則．【解題技法】新定義問題的方法和技巧：（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應用，從而加深對信息的理解；（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.【跟蹤訓練】人臉識別技術應用在各行各業(yè)，改變著人類的生活，而所謂人臉識別，就是利用計算機分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識別信息，最終判別人臉對象的身份.在人臉識別中為了檢測樣本之間的相似度主要應用距離的測試，常用的測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.假設二維空間中有兩個點，O為坐標原點，余弦相似度similarity為向量夾角的余弦值，記作，余弦距離為.已知，，，若P，Q的余弦距離為，Q，R的余弦距離為，則（

）A．7 B． C．4 D．題型二新定義函數(shù)【例2】已知為實數(shù)，用表示不超過的最大整數(shù)，例如，，．對于函數(shù)，若存在且，使得，則稱函數(shù)是函數(shù)．(1)判斷函數(shù)，是否是函數(shù)；（只需寫出結論）(2)已知，請寫出的一個值，使得為函數(shù)，并給出證明；(3)設函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，其最小周期為．若不是函數(shù)，求的最小值．【解題技法】關于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學語言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結合數(shù)學知識進行解答.【跟蹤訓練】定義函數(shù)為“正余弦”函數(shù).結合學過的知識，可以得到該函數(shù)的一些性質(zhì)：容易證明為該函數(shù)的周期，但是否是最小正周期呢？我們繼續(xù)探究：.可得：也為函數(shù)的周期.但是否為該函數(shù)的最小正周期呢？我們可以分區(qū)間研究的單調(diào)性：函數(shù)在是嚴格減函數(shù)，在上嚴格增函數(shù)，再結合，可以確定：的最小正周期為.進一步我們可以求出該函數(shù)的值域了.定義函數(shù)為“余正弦”函數(shù)，根據(jù)閱讀材料的內(nèi)容，解決下列問題：(1)求“余正弦”函數(shù)的定義域；(2)判斷“余正弦”函數(shù)的奇偶性，并說明理由；(3)探究“余正弦”函數(shù)的單調(diào)性及最小正周期，說明理由，并求其值域.1．人臉識別中檢測樣本之間相似度主要應用距離的測試，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.若二維空間有兩個點，，則曼哈頓距離為：，余弦相似度為：，余弦距離為.若，，則A，B之間的余弦距離為（）A． B． C． D．2．已知是定義在上的函數(shù)，如果存在常數(shù)，對區(qū)間上任意劃分：，和式恒成立，則稱為上的“絕對差有界函數(shù)”，注：，若，，則關于函數(shù)、在上是否為“絕對差有界函數(shù)”的判斷正確的是（

）A．與都是B．是而不是C．不是而是D．與都不是3．在數(shù)學中，雙曲函數(shù)是與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，其中雙曲正弦：，雙曲余弦函數(shù)：，則，無窮數(shù)列，，，若，則a的值為．4．平面直角坐標系中，將函數(shù)，上滿足，的點，稱為函數(shù)的“正格點”．若函數(shù)，，與函數(shù)的圖象存在正格點交點，則這兩個函數(shù)圖象的所有交點個數(shù)為個．5．對于函數(shù)，，如果存在一組正常數(shù)，，…，，（其中k為正整數(shù)），滿足使得當x取任意實數(shù)時，有，則稱函數(shù)具有“性質(zhì)”.(1)求證：函數(shù)同時具有“性質(zhì)”和“性質(zhì)”；(2)設函數(shù)，其中b，c，d是不全為0的實數(shù)且存在，使得，證明：存在，使得.6．設為坐標原點，定義非零向量的“相伴函數(shù)”為，向量稱為函數(shù)的“相伴向量”.記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構成的集合為.（1）設函數(shù)，求證：；（2）記的“相伴函數(shù)”為，若函數(shù)，與直線有且僅有四個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知點滿足，向量的“相伴函數(shù)”在處取得最大值.當點運動時，求的取值范圍.7．對于函數(shù)，，如果存在一組常數(shù)，，…，（其中k為正整數(shù)，且）使得當x取任意值時，有則稱函數(shù)為“k級周天函數(shù)”.(1)判斷下列函數(shù)是否是“2級周天函數(shù)”，并說明理由：①；②；(2)求證：當時，是“3級周天函數(shù)”；(3)設函數(shù)，其中b，c，d是不全為0的實數(shù)且存在，使得，證明：存在，使得.8．已知為實數(shù)，用表示不超過的最大整數(shù)，例如，，．對于函數(shù)，若存在且，使得，則稱函數(shù)是函數(shù)．(1)判斷函數(shù)，是否是函數(shù)；（只需寫出結論）(2)已知，請寫出的一個值，使得為函數(shù)，并給出證明；(3)設函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，其最小周期為．若不是函數(shù)，求的最小值．9．懸索橋（如圖）的外觀大漂亮，懸索的形狀是平面幾何中的懸鏈線.年萊布尼茲和伯努利推導出某鏈線的方程為，其中為參數(shù).當時，該方程就是雙曲余弦函數(shù)，類似的我們有雙曲正弦函數(shù).(1