微專題 二次函數(shù)的最值與取值范圍問題

數(shù)學(xué)

貴州專版2025第三章函數(shù)微專題二次函數(shù)的最值與取值范圍問題(8年4考：2023·24(2)(3)，2022·24(3)，2021·24(3)，2019·24(3))欄目導(dǎo)航對稱軸確定時的最值問題類型一對稱軸不確定時的最值問題類型二考向1

不限定自變量范圍求最值例1關(guān)于二次函數(shù)y＝x2＋4x－7的最大(小)值，敘述正確的是(

)A.當(dāng)x＝2時，函數(shù)有最大值B.當(dāng)x＝2時，函數(shù)有最小值C.當(dāng)x＝－1時，函數(shù)有最大值D.當(dāng)x＝－2時，函數(shù)有最小值典例精析典例精析對稱軸確定時的最值問題類型一D對二次函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解.例2二次函數(shù)y＝－(x－2)2－3，當(dāng)x＝____時有最____值______.觀察其表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解.2大－3考向2

限定自變量范圍求最值或函數(shù)取值范圍例3已知函數(shù)y＝－x2－2x＋5，當(dāng)自變量x在下列取值范圍內(nèi)時，分別求函數(shù)的最大值和最小值，并求當(dāng)函數(shù)取最大(小)值時所對應(yīng)的自變量x的值：(1)x≤－2；解：根據(jù)題意，畫出y＝－x2－2x＋5的簡圖如圖所示.∵y＝－x2－2x＋5＝－(x＋1)2＋6，∴當(dāng)x＝－1時，函數(shù)y最大等于6.∵x＜－1時，y隨x的增大而增大，∴x≤－2時，在x＝－2處取最大值y＝－(－2)2－2×(－2)＋5＝5.(2)x≤2；解：當(dāng)x≤2時，則x＝－1時有最大值y＝6.(3)－2≤x≤1；解：當(dāng)－2≤x≤1時，則x＝－1時有最大值y＝6；x＝1時有最小值y＝2.(4)0≤x≤3.解：當(dāng)0≤x≤3，則x＝0時有最大值y＝5；x＝3時有最小值y＝－10.1.畫簡圖.2.觀察圖象，描出最高點和最低點.考向3

限定自變量范圍求參數(shù)的值或取值范圍例4二次函數(shù)y＝－x2－2x＋c在－3≤x≤2的范圍內(nèi)有最小值－5，則c的值是_______.二次函數(shù)對稱軸為x＝－1，a＜0，x的值離對稱軸越遠(yuǎn)，y的值越小.3例5當(dāng)m≤x≤m＋1，函數(shù)y＝x2－2x＋1的最小值為1，則m的值為_______.－1或2利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征找出當(dāng)y＝1時x的值，結(jié)合當(dāng)m≤x≤m＋1時函數(shù)有最小值1，即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論.1.當(dāng)0≤x≤m時，函數(shù)y＝－x2＋4x－3的最小值為－3，最大值為1，則m的取值范圍是(

)A.0≤m≤2

B.0≤m＜4

C.2≤m≤4

D.m≥22.已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2－4x＋m在－1≤x≤3的取值范圍內(nèi)最大值為7，則該二次函數(shù)的最小值是_________.對應(yīng)練習(xí)C－2方法指導(dǎo)位置a＞0a＜0范圍在對稱軸左側(cè)

最大值為ym，最小值為yn

最大值為yn，最小值為ym范圍跨越對稱軸

在對稱軸處取得最小值，m和n中距離對稱軸較遠(yuǎn)處取得最大值在對稱軸處取得最大值，m和n中距離對稱軸較遠(yuǎn)處取得最小值方法指導(dǎo)范圍在對稱軸右側(cè)最大值為yn，最小值為ym最大值為ym，最小值為yn考向1

已知開口方向型例6已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c(b，c為常數(shù)).(1)當(dāng)b＝2，c＝－3時，求二次函數(shù)的最小值；典例精析典例精析對稱軸不確定時的最值問題類型二解：當(dāng)b＝2，c＝－3時，二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2＋2x－3，即y＝(x＋1)2－4，∴當(dāng)x＝－1時，y有最小值－4.(1)利用配方法得到y(tǒng)＝(x＋1)2－4，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；(2)當(dāng)c＝5時，在自變量x的值滿足1≤x≤3的情況下，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為－5，求b的值.

(1)由配方法可求頂點坐標(biāo)；(2)判斷該二次函數(shù)圖象與x軸交點的個數(shù)，并說明理由；解：當(dāng)a＝1時，有1個交點；當(dāng)a≠1時，有2個交點.理由：∵Δ＝(a＋1)2－4a×1＝(a－1)2≥0，∴當(dāng)a＝1時，有1個交點；當(dāng)a≠1時，有2個交點.(2)由根的判別式可求解；

(3)分a＞0或a＜0兩種情況討論，結(jié)合離對稱軸的遠(yuǎn)近可求解.1.這種形式的二次函數(shù)的對稱軸是變動的，而自變量的取值范圍是固定的，要求其最值，需要討論對