《高考備考指南 理科數(shù)學(xué)》課件-第6章 第2講

第六章第2講[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．(2015年新課標(biāo)Ⅰ)已知{an}是公差為1的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，若S8＝4S4，則a10等于()A．eq\f(17,2) B．eq\f(19,2) C．10 D．12【答案】B【解析】∵公差為1，∴S8＝8a1＋eq\f(8×8－1,2)×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝eq\f(1,2).∴a10＝a1＋9d＝eq\f(1,2)＋9＝eq\f(19,2).故選B．2．(2015年北京)設(shè){an}是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是()A．若a1＋a2＞0，則a2＋a3＞0 B．若a1＋a3＜0，則a1＋a2＜0C．若0＜a1＜a2，則a2＞eq\r(a1a3) D．若a1＜0，則(a2－a1)(a2－a3)＞0【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，若a1＋a2>0，a2＋a3＝a1＋d＋a2＋d＝(a1＋a2)＋2d，由于d正負(fù)不確定，因而a2＋a3符號(hào)不確定，故選項(xiàng)A錯(cuò)；若a1＋a3<0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝(a1＋a3)－d，由于d正負(fù)不確定，因而a1＋a2符號(hào)不確定，故選項(xiàng)B錯(cuò)；若0<a1<a2，可知a1>0，d>0，a2>0，a3>0，所以aeq\o\al(2,2)－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝d2>0.所以a2>eq\r(a1a3)，故選項(xiàng)C正確；若a1<0，則(a2－a1)·(a2－a3)＝d·(－d)＝－d2≤0，故選項(xiàng)D錯(cuò)．3．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m等于()A．3 B．4 C．5 D．【答案】C【解析】∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和為Sn，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也為等差數(shù)列．∴eq\f(Sm－1,m－1)＋eq\f(Sm＋1,m＋1)＝eq\f(2Sm,m)，即eq\f(－2,m－1)＋eq\f(3,m＋1)＝0，解得m＝5.故選C．4．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，則滿足Sn＞0的最大自然數(shù)n的值為A．6 B．7 C．12 D．【答案】C【解析】∵a1＞0，a6a7＜0，∴a6＞0，a7＜0，等差數(shù)列的公差小于零．又a3＋a10＝a1＋a12＞0，a1＋a13＝2a7＜0，∴S12＞0，S13＜0.∴滿足Sn＞0的最大自然數(shù)5．?dāng)?shù)列{an}的首項(xiàng)為3，{bn}為等差數(shù)列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，則a8等于()A．0 B．3 C．8 D．【答案】B【解析】設(shè){bn}的公差為d，∵b10－b3＝7d＝12－(－2)＝14，∴d＝2.∵b3＝－2，∴b1＝b3－2d＝－2－4＝－6.∴b1＋b2＋…＋b7＝7b1＋eq\f(7×6,2)d＝7×(－6)＋21×2＝0.又b1＋b2＋…＋b7＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a8－a7)＝a8－a1＝a8－3＝0，∴a8＝3.故選B．6．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an－eq\f(5,7)，且a1＝5，設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，則使得Sn取得最大值的序號(hào)n的值為()A．7 B．8 C．7或8 D．【答案】C【解析】由題意可知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為5，公差為－eq\f(5,7)的等差數(shù)列，所以an＝5－eq\f(5,7)(n－1)＝eq\f(40－5n,7).該數(shù)列前7項(xiàng)是正數(shù)項(xiàng)，第8項(xiàng)是0，從第9項(xiàng)開始是負(fù)數(shù)項(xiàng)，所以Sn取得最大值時(shí)，n＝7或8，故選C．7．已知遞增的等差數(shù)列{an}滿足a1＝1，a3＝aeq\o\al(2,2)－4，則an＝________.【答案】2n－1【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，∵a3＝aeq\o\al(2,2)－4，∴1＋2d＝(1＋d)2－4，解得d2＝4，即d＝±2.由于該數(shù)列為遞增數(shù)列，故d＝2.∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.8．設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－10(n∈N*)，則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.【答案】130【解析】由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，又由an＝2n－10≥0，得n≥5，∴n≤5時(shí)，an≤0，當(dāng)n＞5時(shí)，an＞0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.9．在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和Sk＝－35，求k的值．【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.從而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n，所以Sn＝eq\f(n[1＋3－2n],2)＝2n－n2.由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7.10．等差數(shù)列{an}中，設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和，且a1＞0，S3＝S11，則當(dāng)n為多少時(shí)，Sn最大？【解析】方法一：由S3＝S11，得3a1＋eq\f(3×2,2)d＝11a1＋eq\f(11×10,2)d，則d＝－eq\f(2,13)a1.從而Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n＝－eq\f(a1,13)(n－7)2＋eq\f(49,13)a1，又a1＞0，所以－eq\f(a1,13)＜0.故當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大．方法二：由于Sn＝an2＋bn是關(guān)于n的二次函數(shù)，由S3＝S11，可知Sn＝an2＋bn的圖象關(guān)于n＝eq\f(3＋11,2)＝7對(duì)稱．由方法一可知a＝－eq\f(a1,13)＜0，故當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大．方法三：由方法一可知，d＝－eq\f(2,13)a1.要使Sn最大，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋n－1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,13)a1))≥0，,a1＋n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,13)a1))≤0，))解得6.5≤n≤7.5，故當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大．方法四：由S3＝S11，可得2a1＋13d即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0.又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0，所以a7＞0，a8＜0.所以當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大．[B級(jí)能力提升]11．(2017年青島二模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若eq\f(Sn,S2n)為常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“吉祥數(shù)列”．已知等差數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為1，公差不為0，若數(shù)列{bn}為“吉祥數(shù)列”，則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為()A．bn＝n－1 B．bn＝2n－1 C．bn＝n＋1 D．bn＝2n＋【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d(d≠0)，eq\f(Sn,S2n)＝k，因?yàn)閎1＝1，則n＋eq\f(1,2)n(n－1)d＝keq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2n＋\f(1,2)×2n2n－1d))，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.因?yàn)閷?duì)任意的正整數(shù)n上式均成立，所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0，解得d＝2，k＝eq\f(1,4).所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n－1.12．已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S12＝24，則a6·a7的最大值為()A．36 B．6 C．4 D．【答案】C【解析】在等差數(shù)列{an}中，∵S12＝6(a6＋a7)＝24，∴a6＋a7＝4.又a6>0，a7>0，∴a6·a7≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a6＋a7,2)))2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a6＝a7＝2時(shí)，取“＝”，即a6·a7的最大值為4.故選C．13．(2017年?yáng)|北三省四市聯(lián)考)《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有一道這樣的題目：把100個(gè)面包分給5個(gè)人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的eq\f(1,7)是較小的兩份之和，則最小的一份為()A．eq\f(5,3) B．eq\f(10,3) C．eq\f(5,6) D．eq\f(11,6)【答案】A【解析】依題意，設(shè)這100個(gè)面包所分成的五份由小到大依次為a－2m，a－m，a，a＋m，a＋2m，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5a＝100，,a＋a＋m＋a＋2m＝7a－2m＋a－m，))解得a＝20，m＝eq\f(11a,24)，a－2m＝eq\f(a,12)＝eq\f(5,3)，即其中最小一份為eq\f(5,3)，故選A．14．(2016年杭州質(zhì)量檢測(cè))設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*)．若eq\f(a8,a7)＜－1，則()A．Sn的最大值是S8 B．Sn的最小值是S8C．Sn的最大值是S7 D．Sn的最小值是S7【答案】D【解析】由條件得eq\f(Sn,n)＜eq\f(Sn＋1,n＋1)，即eq\f(na1＋an,2n)＜eq\f(n＋1a1＋an＋1,2n＋1)，所以an＜an＋1.所以等差數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．又eq\f(a8,a7)＜－1，所以a8＞0，a7＜0，即數(shù)列{an}前7項(xiàng)均小于0，第8項(xiàng)大于零．所以Sn的最小值為S7.故選D．15．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝－3，ak＋1＝eq\f(3,2)，Sk＝－12，則正整數(shù)k＝________.【答案】13【解析】Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝－12＋eq\f(3,2)＝－eq\f(21,2)，又Sk＋1＝eq\f(k＋1a1＋ak＋1,2)＝eq\f(k＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3＋\f(3,2))),2)＝－eq\f(21,2)，解得k＝13.16．設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)任意自然數(shù)n都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－3,4n－3)，則eq\f(a9,b5＋b7)＋eq\f(a3,b8＋b4)的值為________．【答案】eq\f(19,41)【解析】∵{an}，{bn}為等差數(shù)列，∴eq\f(a9,b5＋b7)＋eq\f(a3,b8＋b4)＝eq\f(a9,2b6)＋eq\f(a3,2b6)＝eq\f(a9＋a3,2b6)＝eq\f(a6,b6).∵eq\f(S11,T11)＝eq\f(a1＋a11,b1＋b11)＝eq\f(2a6,2b6)＝eq\f(2×11－3,4×11－3)＝eq\f(19,41)，∴eq\f(a6,b6)＝eq\f(19,41).17．(2016年南昌調(diào)研)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,4Sn＝aeq\o\al(2,n)＋2an－3，且a1，a2，a3，a4，a5成等比數(shù)列，當(dāng)n≥5時(shí)，an>0.(1)求證：當(dāng)n≥5時(shí)，{an}成等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.【解析】(1)證明：由4Sn＝aeq\o\al(2,n)＋2an－3,4Sn＋1＝aeq\o\al(2,n＋1)＋2an＋1－3，得4an＋1＝aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＋2an＋1－2an，即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0.當(dāng)n≥5時(shí)，an>0，所以an＋1－an＝2.所以當(dāng)n≥5時(shí)，{an}成等差數(shù)列．(2)由4a1＝aeq\o\al(2,1)＋2a1－3，得a1＝3或a1＝－1，又a1，a2，a3，a4，a5成等比數(shù)列，所以an＋1＋an＝0(n＜5)，q＝－1.而a5>0，所以a1>0，從而a1＝3.所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3×－1n－1，1≤n≤4，,2n－7，n≥5.))所以Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)×[1－－1n]，1≤n≤4，,n2－6n＋8，n≥5.))18．已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求通項(xiàng)an；(2)求Sn的最小值；(3)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且bn＝eq\f(Sn,n＋c)，求非零常數(shù)c.【解析】(1)因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，所以a3＋a4＝a2＋a5＝22.又a3·a4＝117，所以a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的兩實(shí)根．又公差d＞0，所以a3＜a4.所以a3＝9，a4＝13.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝9，,a1＋3d＝13.))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝4.))所以通項(xiàng)an＝4n－3.(2)由(1)知a1＝1，d＝4，所以Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)×d＝2n2－n＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co