2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽吉林賽區(qū)預(yù)賽試題+答案

(2023年5月21日星期日上午8:30——11:00)題號(hào)三(13)三(14)三(15)三(16)得分評(píng)卷人復(fù)核人一、選擇題(本題共6個(gè)小題，每小題5分，滿分30分)一、選擇題(本題共6個(gè)小題，每小題5分，滿分30分)1.已知等腰梯形ABCD中，AD//BC,BC=2AD=4,∠ABC=60°,,則CA·BE=()2.邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD和正方形ABEF所在的兩個(gè)半平面所成的二面角為120°,M,N分別是對(duì)角線AC和BF上的動(dòng)點(diǎn)，且AM=FN,則MN的取值范圍是()3.下列關(guān)于方程√4x2+2x+1-√4x2+14x+5=6x+2的根的論斷中，正確的是()(A)方程沒(méi)有負(fù)實(shí)數(shù)根(B)方程沒(méi)有有理根(C)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根(D)方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根(A)不存在meN°,使得當(dāng)n≥m時(shí)，a?<2;(B)不存在m∈N°,使得當(dāng)n≥m2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(吉林賽區(qū))預(yù)賽試題第1頁(yè)(共4頁(yè))6.已知函數(shù)f(x)=2sinx-sin2x+√3,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()得分得分請(qǐng)將答案寫(xiě)在題中橫線上，各小題只要求直接寫(xiě)出結(jié)果.7.已知如下的兩組數(shù)據(jù)：第一組：20,21,22,25,24,23第二組：22,24,23,25,a,26若兩組數(shù)據(jù)的方差相等，則實(shí)數(shù)a的值為8.已知集合M={x|x2-9>0},N={x∈Z|x2-8x+a<0}.若集合M∩N的子集個(gè)數(shù)為4,則實(shí)數(shù)α的取值范圍是9.已知△ABC為銳角三角形，b=2c,且sinB-sin(A則(cosB+sinB)2+sin2C的取值范圍是◆10.前100個(gè)正整數(shù)中，能寫(xiě)成兩個(gè)正整數(shù)平方差的數(shù)的總和為11.若在1,2,3,…,18的任意一個(gè)排列中，總能找到連續(xù)6個(gè)數(shù)之和不小于m,則實(shí)數(shù)m的最大值為2023全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(吉林賽區(qū))預(yù)賽試題第2頁(yè)(共4頁(yè))得分三、解答題 13.已知函數(shù)f(x)=e?1+Ax2-1.若Vx≥1,有f(x)≥A成立，求實(shí)數(shù)A的取值范圍.14.已知橢圓M:經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-2,0),且其焦距為2√3.(I)求橢圓M的方程；(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)Q(-2,-1)作直線1與橢圓M的下半部分相交于兩個(gè)不同點(diǎn)AB,連接PA,PB分別交直線y=-1于c,D兩點(diǎn)，求證：IQC|+IQDI-IQCI-IQD|為定值.2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(吉林賽區(qū))預(yù)賽試題第3頁(yè)(共4頁(yè))15.已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓o,圓0在A、C處的兩條切線相交于點(diǎn)P.若點(diǎn)P不在BD的延長(zhǎng)線上，且PA2=PD·PB,求證：對(duì)角線BD平分對(duì)角線AC.16.設(shè)n為給定的正整數(shù)，S?≤{a|a=(p?,P?,…,Pa),p∈{0,1],k=1,2,…,n}.對(duì)于集合s,中的任意元素β=(x,x?,…,x)和γ=(y?,y?,…,y),滿足：①若β=γ,則為奇數(shù)；②若β≠γ,則為偶數(shù).(I)當(dāng)n=5時(shí)，求集合S?中元素個(gè)數(shù)的最大值；(Ⅱ)當(dāng)n≥6時(shí)，求集合s,中元素個(gè)數(shù)的最大值.12023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(吉林賽區(qū))預(yù)賽試題參考答案一、選擇題線AC和BF上的動(dòng)點(diǎn)，且AM=FN,則MN的取值范圍是()【解析】作MPIAB于點(diǎn)P,連PN,則有PN⊥AB,設(shè)AM=FN=x,則即2故正確選項(xiàng)為D.(C)存在m∈N',使得當(dāng)nzm時(shí)，(D)存在m∈N',使得當(dāng)nem時(shí)，∴若a_1<2,則a<2.∵n≥10時(shí)，7-a?>0,a。+3>0,a,-2<03P到直線y=x+4的距離為最小值為M(2,-2)到y(tǒng)=x+4的距離∴f(x)的最小值為4,在x=0或x=-1時(shí)取到.(2)f(π+x)=2sin(n+x)-sin2(n+x)+√3=-2sinx-sin2x+√3,f(n-x)=2sin(π-x)-sin2(n-x)+√3=2sinx+sin2x+√3,(3)因?yàn)閒(x+2π)=f(x),所以2π為f(x)的一個(gè)周期.f(x)的最值只需在區(qū)間[0,2n]上考查.f'(x)=2cosx-2cos2x=2cosx-2×(2cos2x-1)=-2(2cosx+1)(cosx-1)4當(dāng)時(shí)，2cosx+1<0,有f'(x)<0,即f(x)在區(qū)間上遞減；當(dāng)時(shí)，2cosx+1>0,有f'(x)>0,即f(x)在區(qū)間(上遞增；所以故正確選項(xiàng)為C.第一組：20,21,22,25,24,23第二組：22,24,23,25,a,26第一組：20,21,22,23,24,25第二組：22,23,24,25,26,a第一組：20,21,22,23,24,25第二組：a,22,23,24,25,26根據(jù)D(X+m)=DX(其中m為常數(shù)),知當(dāng)a=25+2=27或a=20+1=21時(shí)，兩組數(shù)據(jù)的方差相等.知a最多有兩個(gè)值.綜上，a=27或21.2.已知集合M={x|x2-9>0},N={x∈Z|x2-8x+a<0}.若集合5M∩N的子集個(gè)數(shù)為4,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【解析】由題意，M∩N為二元集合，M={x|x>3,或x<-3},設(shè)f(x)=x2-8x+a,根據(jù)下圖，知解得12≤a<15.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|12≤a<15}.則(cosB+sinB)2+sin2C的取值范圍是.【解析】由sinB-sin(A+B)=2sinCcosA,得sinB-sinC=2sinCcosA,于是2sinC-sinC=2sinCcosA,即sinC=2sinCcosA,又由c∈(0,π)得sinC>0因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，,所以所以所以(cosB+sinB)2+sin2C的取值范圍是,1+√3].4.前100個(gè)正整數(shù)中，能寫(xiě)成兩個(gè)正整數(shù)平方差的數(shù)的總和為【解析】1不能寫(xiě)成兩個(gè)正整數(shù)平方差對(duì)于大于1的奇正整數(shù)2k+1,有2k+1=(k+1)2-k2(k=1,2,…),可以寫(xiě)成兩個(gè)正整數(shù)平方差.6對(duì)于大于4的被4整除的偶數(shù)4k,有4k=(k+1)2-(k-1)2(k=2,3,….).即大于4的被4整除的數(shù)都能寫(xiě)成兩個(gè)正整數(shù)平方差，而4不能寫(xiě)成兩個(gè)正整數(shù)平方差.4k+2=(x+y)(x-y),當(dāng)x,y奇偶性相同時(shí)，(x+y)(x-y)被4整除，與4k+2不能被4整除矛盾；當(dāng)x,y奇偶性互異時(shí)，(x+y)(x-y)為奇數(shù)，與4k+2為偶數(shù)矛盾.所以形如4k+2的數(shù)均不能寫(xiě)成兩個(gè)正整數(shù)平方差.綜上，所求總和為(1+2+3+…+100)-(1+4+2+6+10+…+98)=5050-1255=3795.5.若在1,2,3,…,18的任意一個(gè)排列中，總能找到連續(xù)6個(gè)數(shù)之和不小于m,則實(shí)數(shù)m的最大值為【解析】將1,2,3,…,18的任意一個(gè)排列a?,a?,a?,…,a8分成三組：(a?,a?,ag,a,a?,a?),(a,,ag,a,,a?0,a?,a?2),(a?3,a?4,a?5,a?6,a?7,a?8).則三組和的平均值為,所以至少有一組的和不小于57.又對(duì)1,2,3,…,18的如下排列：18,17,16,3,2,1,15,14,13,6,5,4,12,11,10,9,8,7.易知任意連續(xù)6個(gè)數(shù)之和最大為57.所以m的最大值為57.6.若不等式ab+b2+c2≥A(a+b)c對(duì)任意滿足b+c≥a的正實(shí)數(shù)a,b,c均成立，則實(shí)數(shù)A的最大值為【解析】由題意b+c≥a,則781.已知橢圓M:經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-2,0),且其焦距為2√3.(1)求橢圓M的方程；(II)過(guò)點(diǎn)Q(-2,-1)作直線/與橢圓M的下半部分相交于兩個(gè)不同點(diǎn)AB,連接PA,PB分別交直線y=-1于c,D兩點(diǎn)，求證：IQCI+IQDI-IQCl·Q解：(1)由題意得解所以橢圓M的方程為由得(t2+4)y2+(2t2-4t)y+(t2-4t)=0.設(shè)A(x,,y,),B(x?,y?),則由題設(shè)，可設(shè)C(xc,-1),D(x?,-1).由P(-2,0).A(x,y,).C(x..-1)三點(diǎn)共線，得從而同理即IQCI+|QDI-IQCl-IQD|為定值0.2.已知函數(shù)f(x)=e-1+Ax2-1.若Vx≥1,有f(x)≥A成立，求實(shí)數(shù)A的取值范圍.解：(1)當(dāng)時(shí)，有f'(x)=e*-1+2Ax≥x+2Ax=(1+2A)x≥0,(2)當(dāng)時(shí)，取1<x<1+In(-2A),有從而f(x)在(1,1+In(-2A))上單調(diào)遞減，故f(x)<f(1)=A,不符合題設(shè).綜上，實(shí)數(shù)A的取值范圍是點(diǎn)P.若點(diǎn)P不在BD的延長(zhǎng)線上，且PA2=PD·PB,求平分對(duì)角線AC.證明：設(shè)PB交圓0于點(diǎn)E,則PA2=PE·PB,故△APD~△BPC,由及∠APB=∠DPC,得△APB~△DPC,9由(1)(2),故SA?o=SAc?o,從而對(duì)角線BD平分對(duì)角線AC.4.設(shè)n為給定的正整數(shù)，s,≤{ala=(p?,p?,…,Pa),p∈{0,1},k=1,2,…,n}.對(duì)于集合s。中的任意元素β=(x?,x?,…,x。)和y=(y,Y?,…,y),滿足：②若β≠y,則為偶數(shù)，(1)當(dāng)n=5時(shí)，求集合s?中元素個(gè)數(shù)的最大值；(II)當(dāng)n≥6時(shí)，求集合s。中元素個(gè)數(shù)的最大值.解：(1)顯然s?中的每個(gè)元素含奇數(shù)個(gè)1.{ala=(p?,P?,…,p?),p∈{0,1},k=1,2,…,5}中含奇數(shù)個(gè)1的元素共有c}+c3+c?=16個(gè)，將它們分成如下5組：顯然每組中至多只有一個(gè)在s?中，所以IS?≤5;構(gòu)造s?={(1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,0),(0,0,0,0,1)}.綜上，所求最大值為5.記含n個(gè)元素.可生成一個(gè)n維向量u?a?+u?a?+.….+umam,由于2">2°,結(jié)合抽