反比例函數(shù)中的面積問(wèn)題專題課程

反比例函數(shù)中的面積問(wèn)題專題課程?一、課程目標(biāo)1.知識(shí)與技能目標(biāo)深入理解反比例函數(shù)的概念和性質(zhì)，能熟練運(yùn)用反比例函數(shù)表達(dá)式解決相關(guān)問(wèn)題。掌握反比例函數(shù)圖象中各類圖形面積的計(jì)算方法，包括三角形、四邊形等面積的求解技巧。學(xué)會(huì)運(yùn)用反比例函數(shù)的幾何意義，將面積問(wèn)題與函數(shù)關(guān)系相互轉(zhuǎn)化，提高綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。2.過(guò)程與方法目標(biāo)通過(guò)對(duì)反比例函數(shù)中面積問(wèn)題的探究，經(jīng)歷觀察、分析、猜想、驗(yàn)證、推理等數(shù)學(xué)思維過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和探究精神。引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生運(yùn)用圖形直觀分析問(wèn)題和利用函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行代數(shù)推理的能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)通過(guò)參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生積極探索、勇于創(chuàng)新的精神和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度。在合作交流中，增強(qiáng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)意識(shí)和溝通能力，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅，樹(shù)立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。二、課程重難點(diǎn)1.重點(diǎn)理解反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}(k\neq0)\)中\(zhòng)(k\)的幾何意義，即過(guò)反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積等于\(\vertk\vert\)。掌握利用反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，求解由它們圖象與坐標(biāo)軸所圍成的三角形或四邊形的面積。學(xué)會(huì)運(yùn)用割補(bǔ)法、等積變換等方法解決復(fù)雜的反比例函數(shù)中的面積問(wèn)題。2.難點(diǎn)靈活運(yùn)用反比例函數(shù)的性質(zhì)和幾何意義，巧妙地將面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與\(k\)值相關(guān)的表達(dá)式進(jìn)行求解。對(duì)于一些不規(guī)則圖形面積的計(jì)算，能準(zhǔn)確地通過(guò)分割或補(bǔ)全圖形，找到與已知條件的聯(lián)系，進(jìn)而解決問(wèn)題。引導(dǎo)學(xué)生在解決面積問(wèn)題的過(guò)程中，突破思維定式，培養(yǎng)創(chuàng)新思維和靈活運(yùn)用知識(shí)的能力。三、教學(xué)方法1.講授法：系統(tǒng)講解反比例函數(shù)的概念、性質(zhì)以及面積問(wèn)題的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，確保學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)。2.直觀演示法：通過(guò)多媒體展示反比例函數(shù)圖象，直觀呈現(xiàn)函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸圍成圖形的特點(diǎn)，幫助學(xué)生理解抽象的概念和問(wèn)題。3.討論法：組織學(xué)生分組討論典型例題，鼓勵(lì)學(xué)生積極交流想法，分享解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的合作學(xué)習(xí)能力和思維碰撞。4.練習(xí)法：布置適量有針對(duì)性的練習(xí)題，讓學(xué)生通過(guò)練習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)，提高解題能力，及時(shí)反饋學(xué)習(xí)效果。四、教學(xué)過(guò)程（一）課程導(dǎo)入（5分鐘）1.復(fù)習(xí)回顧提問(wèn)學(xué)生反比例函數(shù)的表達(dá)式\(y=\frac{k}{x}(k\neq0)\)，以及反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)。請(qǐng)學(xué)生回憶在平面直角坐標(biāo)系中，如何求三角形、矩形等基本圖形的面積。2.情境引入展示一個(gè)反比例函數(shù)圖象，并在圖象上取一點(diǎn)\(P\)，過(guò)點(diǎn)\(P\)分別作\(x\)軸和\(y\)軸的垂線，垂足分別為\(A\)、\(B\)。提出問(wèn)題：觀察圖形，你能發(fā)現(xiàn)矩形\(OAPB\)的面積與反比例函數(shù)的系數(shù)\(k\)有什么關(guān)系嗎？通過(guò)這個(gè)問(wèn)題引發(fā)學(xué)生的思考和好奇心，從而引入本節(jié)課的主題反比例函數(shù)中的面積問(wèn)題。（二）知識(shí)講解（20分鐘）1.反比例函數(shù)\(k\)的幾何意義講解：對(duì)于反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}(k\neq0)\)，設(shè)圖象上任意一點(diǎn)\(P(x,y)\)，過(guò)點(diǎn)\(P\)作\(PM\perpx\)軸于點(diǎn)\(M\)，作\(PN\perpy\)軸于點(diǎn)\(N\)。則矩形\(PMON\)的面積\(S=PM\timesPN=\vertx\vert\times\verty\vert\)。因?yàn)閈(y=\frac{k}{x}\)，所以\(k=xy\)，那么矩形\(PMON\)的面積\(S=\vertk\vert\)。強(qiáng)調(diào)：這里的\(k\)的絕對(duì)值等于過(guò)反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸作垂線所圍成矩形的面積。舉例說(shuō)明：已知反比例函數(shù)\(y=\frac{6}{x}\)，在其圖象上任取一點(diǎn)\(A\)，過(guò)\(A\)作\(x\)軸、\(y\)軸的垂線，垂足分別為\(B\)、\(C\)，則矩形\(ABOC\)的面積為\(\vert6\vert=6\)。2.與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積講解：若點(diǎn)\(P(x,y)\)是反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}(k\neq0)\)圖象上一點(diǎn)，連接\(OP\)，則\(\trianglePOM\)的面積\(S_{\trianglePOM}=\frac{1}{2}\timesOM\timesPM=\frac{1}{2}\times\vertx\vert\times\verty\vert=\frac{1}{2}\vertk\vert\)。同理，\(\trianglePON\)的面積也為\(\frac{1}{2}\vertk\vert\)。總結(jié)：過(guò)反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)所連線段和坐標(biāo)軸圍成的三角形面積等于\(\frac{1}{2}\vertk\vert\)。舉例：對(duì)于反比例函數(shù)\(y=\frac{4}{x}\)，圖象上一點(diǎn)\(Q\)，連接\(OQ\)，則\(\triangleQOM\)（\(M\)為\(Q\)在\(x\)軸上的垂足）的面積為\(\frac{1}{2}\times\vert4\vert=2\)。（三）例題講解（20分鐘）1.例1已知反比例函數(shù)\(y=\frac{3}{x}\)的圖象上有一點(diǎn)\(A\)，過(guò)點(diǎn)\(A\)作\(AB\perpx\)軸于點(diǎn)\(B\)，連接\(OA\)，若\(S_{\triangleAOB}=3\)，求點(diǎn)\(A\)的坐標(biāo)。分析：根據(jù)反比例函數(shù)\(k\)的幾何意義，\(\triangleAOB\)的面積為\(\frac{1}{2}\vertk\vert\)，已知\(k=3\)，所以\(\frac{1}{2}\times3=3\)不成立，說(shuō)明\(A\)點(diǎn)可能在第二象限或第四象限。解答：設(shè)\(A\)點(diǎn)坐標(biāo)為\((x,y)\)。因?yàn)閈(S_{\triangleAOB}=\frac{1}{2}\vertxy\vert=3\)，且\(y=\frac{3}{x}\)，即\(xy=3\)。所以\(\frac{1}{2}\times3=3\)不成立，那么\(xy=3\)，則\(\frac{1}{2}\vert3\vert=\frac{3}{2}\neq3\)，所以\(A\)點(diǎn)不在第二、四象限常規(guī)位置?？紤]到\(S_{\triangleAOB}=\frac{1}{2}\vertxy\vert=3\)，則\(\vertxy\vert=6\)，又因?yàn)閈(y=\frac{3}{x}\)，即\(xy=3\)，所以\(\vertx\vert=2\)。當(dāng)\(x=2\)時(shí)，\(y=\frac{3}{2}\)；當(dāng)\(x=2\)時(shí)，\(y=\frac{3}{2}\)。所以\(A\)點(diǎn)坐標(biāo)為\((2,\frac{3}{2})\)或\((2,\frac{3}{2})\)。總結(jié)：通過(guò)本題，讓學(xué)生進(jìn)一步理解反比例函數(shù)\(k\)的幾何意義在求解點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題中的應(yīng)用，同時(shí)要注意考慮點(diǎn)所在象限的多種情況。2.例2如圖，點(diǎn)\(A\)在反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的圖象上，\(AB\perpx\)軸于點(diǎn)\(B\)，且\(S_{\triangleAOB}=2\)，求該反比例函數(shù)的表達(dá)式。分析：已知\(\triangleAOB\)的面積，根據(jù)反比例函數(shù)\(k\)的幾何意義可求出\(k\)的值。解答：因?yàn)閈(S_{\triangleAOB}=\frac{1}{2}\vertk\vert=2\)，所以\(\vertk\vert=4\)。又因?yàn)閳D象在第二象限，\(k\lt0\)，所以\(k=4\)。則該反比例函數(shù)的表達(dá)式為\(y=\frac{4}{x}\)?？偨Y(jié)：此例重點(diǎn)在于讓學(xué)生掌握利用三角形面積求反比例函數(shù)表達(dá)式中\(zhòng)(k\)值的方法，以及根據(jù)函數(shù)圖象所在象限確定\(k\)的正負(fù)。3.例3如圖，一次函數(shù)\(y=k_1x+b\)的圖象與反比例函數(shù)\(y=\frac{k_2}{x}\)的圖象交于\(A(1,4)\)，\(B(4,1)\)兩點(diǎn)。（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求\(\triangleAOB\)的面積。分析：對(duì)于（1），將\(A\)點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式可求出\(k_2\)，再將\(A\)、\(B\)兩點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式可求出\(k_1\)和\(b\)。對(duì)于（2），可通過(guò)求出一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用分割法將\(\triangleAOB\)的面積轉(zhuǎn)化為幾個(gè)易求圖形面積的組合。解答：（1）把\(A(1,4)\)代入\(y=\frac{k_2}{x}\)，得\(4=\frac{k_2}{1}\)，解得\(k_2=4\)，所以反比例函數(shù)表達(dá)式為\(y=\frac{4}{x}\)。把\(A(1,4)\)，\(B(4,1)\)代入\(y=k_1x+b\)，得\(\begin{cases}k_1+b=4\\4k_1+b=1\end{cases}\)，兩式相減得：\(3k_1=3\)，解得\(k_1=1\)，把\(k_1=1\)代入\(k_1+b=4\)，得\(1+b=4\)，解得\(b=5\)，所以一次函數(shù)表達(dá)式為\(y=x+5\)。（2）設(shè)直線\(y=x+5\)與\(x\)軸交于點(diǎn)\(C\)，與\(y\)軸交于點(diǎn)\(D\)。令\(y=0\)，則\(x+5=0\)，解得\(x=5\)，所以\(C(5,0)\)。令\(x=0\)，則\(y=5\)，所以\(D(0,5)\)。\(S_{\triangleAOB}=S_{\triangleDOC}S_{\triangleAOC}S_{\triangleBOD}\)\(=\frac{1}{2}\times5\times5\frac{1}{2}\times5\times1\frac{1}{2}\times5\times1\)\(=\frac{25}{2}\frac{5}{2}\frac{5}{2}\)\(=\frac{15}{2}\)。總結(jié)：本題綜合考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題以及三角形面積的計(jì)算，通過(guò)分割法將不規(guī)則三角形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的差來(lái)求解，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)和解題技巧的能力。（四）課堂練習(xí)（15分鐘）1.已知反比例函數(shù)\(y=\frac{m2}{x}\)的圖象在第二、四象限，則\(m\)的取值范圍是______。若圖象上有一點(diǎn)\(P\)，過(guò)\(P\)作\(PA\perpx\)軸于\(A\)，\(PB\perpy\)軸于\(B\)，且矩形\(PAOB\)的面積為\(3\)，則\(m=\)______。2.反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的圖象上有一點(diǎn)\(M\)，它的橫坐標(biāo)是\(3\)，縱坐標(biāo)是\(4\)。（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）求點(diǎn)\(M\)到原點(diǎn)的距離。（3）若在\(x\)軸上有一點(diǎn)\(N\)，使得\(\triangleMON\)的面積為\(10\)，求點(diǎn)\(N\)的坐標(biāo)。3.如圖，一次函數(shù)\(y=ax+b\)的圖象與反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的圖象交于\(A(2,1)\)，\(B(1,n)\)兩點(diǎn)。（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求\(\triangleAOB\)的面積。（五）課堂小結(jié)（5分鐘）1.請(qǐng)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，包括反比例函數(shù)\(k\)的幾何意義，即過(guò)反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸作垂線，所圍成矩形面積等于\(\vertk\vert\)，以及與坐標(biāo)軸圍成三角形面積為\(\frac{1}{2}\vertk\vert\)。2.總結(jié)求解反比例函數(shù)中面積問(wèn)題的方法和思路，如利用\(k\)的幾何意義建立等式求解相關(guān)量，通過(guò)分割、補(bǔ)全圖形等方法計(jì)算不規(guī)則圖形面積，以及如何根據(jù)函數(shù)圖象和點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)確定圖形面積等。3.強(qiáng)調(diào)在解決面積問(wèn)題時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，將代數(shù)表達(dá)式與幾何圖形緊密聯(lián)系起來(lái)，提高解題效率和準(zhǔn)確性。（六）課后作業(yè)1.已知反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)\((2,3)\)，則它的圖象在第______象限，當(dāng)\(x\gt0\)時(shí)，\(y\)隨\(x\)的增大而______。若點(diǎn)\(A(1,y_1)\)，\(B(2,y_2)\)都在該函數(shù)圖象上，則\(y_1\)與\(y_2\)的大小關(guān)系是______。過(guò)點(diǎn)\(A\)作\(AC\perpx\)軸于\(C\)，則\(S_{\triangleAOC}=\)______。2.如圖，反比例函數(shù)\(y=\frac{6}{x}\)的圖象上有一點(diǎn)\(P\)，\(PA\perpx\)軸于點(diǎn)\(A\)，\(PB\perpy\)軸于點(diǎn)\(B\)，矩形\(PAOB\)的面積為\(12\)，求該反比例函數(shù)圖象與直線\(y=x\)的交點(diǎn)坐標(biāo)。3.如圖，一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖象與反比例函數(shù)\(y=\frac{m}{x}\)的圖象交于\(A(1,3)\)，\(B(3,n)\)兩點(diǎn)。（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求\(\triangleAOB\)的面積。4.思考：若反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)與一次函數(shù)\(y=ax+b\)的圖象相交于\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)兩點(diǎn)，你能推導(dǎo)出\(\triangleAOB\)的面積與\(k\)、\(a\)、\(b\)之間的關(guān)