第二十講誤差曲線與誤差橢圓

地理信息與旅游學(xué)院測繪教研室

課程教案

課程名稱：誤差理論與測量平差

授課教師：楊燦燦

授課對象：2013級測繪工程專業(yè)

授課時間：2015年3月-2015月7月

地理信息與旅游學(xué)院制

2013年8月

一、學(xué)生情況分析

本課程為2013級測繪工程本科的第四學(xué)期課程，該專業(yè)學(xué)生共有96人。已

經(jīng)開設(shè)過高等數(shù)學(xué)（上下冊）課、現(xiàn)代測量學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計，

這些課程的開設(shè)為誤差理論與測量平差的學(xué)習(xí)作了充分準(zhǔn)備。

二、課程教學(xué)目標(biāo)

本課程的教學(xué)目的是使學(xué)生掌握誤差理論和測量平差的基本知識、基本方法

原理和基本技能，提高數(shù)據(jù)分析和處理能力，為后續(xù)相關(guān)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)以及畢

業(yè)后從事測繪相關(guān)工作打下專業(yè)基礎(chǔ)。

三、課程教學(xué)內(nèi)容

第一章緒論

主要內(nèi)容：觀測誤差的概念及觀測誤差的分類，觀測條件的概念，測量平差

學(xué)科的研究對象及任務(wù)；測量平差發(fā)展概況。

本章重點(diǎn):誤差產(chǎn)生的原因及其分類。

本章無難點(diǎn)。

第二章偶然誤差的統(tǒng)計特性及精度指標(biāo)

主要內(nèi)容：正態(tài)分布，偶然誤差的統(tǒng)計特性，衡量觀測質(zhì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn)（精

度、準(zhǔn)確度、精確度）和衡量精度的五大指標(biāo)（方差和中誤差、平均誤差，或然

誤差、極限誤差、相對誤差）。

本章重點(diǎn)：偶然誤差的統(tǒng)計特性和衡量精度的五大指標(biāo)。

本章難點(diǎn)：衡量精度的五大指標(biāo)。

第三章協(xié)方差傳播律及權(quán)

主要內(nèi)容：方差一協(xié)方差陣傳播律公式及應(yīng)用，權(quán)及定權(quán)的常用方法，單位

中誤差的計算，協(xié)因數(shù)傳播律以及系統(tǒng)誤差的傳播與綜合。

本章重點(diǎn)：協(xié)方差傳播律公式及應(yīng)用，權(quán)與定權(quán)的常用方法，單位中誤差的

計算，協(xié)因數(shù)傳播律及應(yīng)用。

本章難點(diǎn)：協(xié)方差傳播律公式及應(yīng)用，協(xié)因數(shù)傳播律及應(yīng)用。

第四章平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理

主要內(nèi)容：平差幾何條件，平差的數(shù)學(xué)模型、函數(shù)模型、隨機(jī)模型的概念及

具體的四大經(jīng)典平差函數(shù)模型，最小二乘原理。

本章重點(diǎn)：四大經(jīng)典平差函數(shù)模型，最小二乘原理。

本章難點(diǎn)：四大經(jīng)典平差函數(shù)模型，最小二乘原理。

第1頁

第五章條件平差

主要內(nèi)容：條件平差原理；條件平差的精度評定及計算步驟；水準(zhǔn)網(wǎng)、測角

網(wǎng)、測邊網(wǎng)、導(dǎo)線網(wǎng)的條件方程的列立及計算；附有參數(shù)的條件平差的原理及精

度評定。

本章重點(diǎn)：條件平差的原理、精度評定方法及應(yīng)用，附有參數(shù)的條件平差的

原理和精度評定。

本章難點(diǎn)：條件平差的計算步驟，包括三角網(wǎng)、測邊網(wǎng)等，測角網(wǎng)條件平差

及附有參數(shù)的條件平差的方程列立。

第六章間接平差

主要內(nèi)容：間接平差原理；間接平差的精度評定；間接平差的步驟，水準(zhǔn)網(wǎng)、

測角網(wǎng)、測邊網(wǎng)、邊角網(wǎng)的誤差方程的列立；間接平差的應(yīng)用；附有限制條件的

間接平差的原理及精度評定。

本章重點(diǎn)：間接平差的原理和精度評定方法，間接平差的步驟，測角網(wǎng)、測

邊網(wǎng)、邊角網(wǎng)的誤差方程的列立；間接平差的應(yīng)用；

本章難點(diǎn)：間接平差的步驟，包括測邊網(wǎng)、測角網(wǎng)等，附有限制條件的間接

平差。

第七章誤差橢圓

主要內(nèi)容：點(diǎn)位誤差的概念及計算；誤差曲線及誤差橢圓、相對誤差橢圓的

概念及相關(guān)計算。

本章重點(diǎn)：誤點(diǎn)位誤差，差曲線及誤差橢圓、相對誤差橢圓。

本章難點(diǎn)：誤差曲線及誤差橢圓、相對誤差橢圓。

第2頁

第一講緒論

一、教學(xué)目標(biāo)

1.理解觀測條件等相關(guān)概念

2.掌握誤差的來源及分類

3.掌握測量平差的任務(wù)和對象

4.掌握偶然誤差的分布規(guī)律和統(tǒng)計特性

二、重點(diǎn)與難點(diǎn)分析

L重點(diǎn)：觀測誤差的來源與分類，正態(tài)分布，偶然誤差的統(tǒng)計特性

2.難點(diǎn)：無

三、教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程

L進(jìn)行自我介紹

姓名，聯(lián)系方式，專業(yè)方向。建議學(xué)生用電子郵件方式聯(lián)系。

2.進(jìn)行課程簡介

介紹課程的學(xué)習(xí)目標(biāo)、參考書及資料、課程教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容框架、學(xué)習(xí)方法、

作業(yè)與實(shí)驗(yàn)、考核方式、上課時間與地點(diǎn)等情況。強(qiáng)調(diào)本課程與相關(guān)課程的關(guān)系。

［教學(xué)提示］:考核方式為平時占40%,期末筆試占60%,強(qiáng)調(diào)本課程與測量

學(xué)、高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計等相關(guān)課程的關(guān)系，加強(qiáng)這些課程

的復(fù)習(xí)工作。

3.演示“第一講”PPT課件，進(jìn)入主題。

(1)引入:三角測量過程中出現(xiàn)的測量值與真值不相等的現(xiàn)象，這些問題出現(xiàn)

的原因是因?yàn)橛^測誤差的存在，并介紹相關(guān)概念及觀測誤差的表達(dá)方式。

(2)觀測值中存在觀測誤差的原因及誤差來源

觀測條件對觀測成果產(chǎn)生影響，不可避免產(chǎn)生觀測誤差。

結(jié)合測量學(xué)觀測三角形內(nèi)角和的例子，與學(xué)生一起總結(jié)出誤差產(chǎn)生的因素有

儀器誤差，觀測者的因素及外界條件的影響，即觀測條件；并分析觀測條件與觀

測誤差的關(guān)系及其影響。得出有觀測就有誤差的結(jié)論。

(3)觀測誤差的分類、產(chǎn)生原因及其處理

1).分類

觀測誤差按照性質(zhì)來分，可分為偶然誤差、系統(tǒng)誤差和粗差。

粗差：明顯歪曲測量結(jié)果的誤差，比正常觀測條件下可能出現(xiàn)的最大誤差還

大的誤差。

系統(tǒng)誤差：相同觀測條件下做一系列觀測，若誤差在大小、符號上表現(xiàn)出系

統(tǒng)性，或按一定規(guī)律變化，或?yàn)橐怀?shù)，那么這種誤差則為系統(tǒng)誤差。

偶然誤差：相同觀測條件下做一系列觀測，若誤差在大小、符號上表現(xiàn)出偶

然性，即單個誤差無規(guī)律性，但是大量誤差具有一定的統(tǒng)計規(guī)律，則稱為偶然誤

差(隨機(jī)誤差)。

第3頁

［教學(xué)提示］:結(jié)合測角、測距和水準(zhǔn)測量的全過程，讓學(xué)生分析哪些因素引起

的誤差屬于粗差，那些哪些因素引起的誤差屬于系統(tǒng)誤差，那些哪些因素引起的

誤差屬于偶然誤差。

2).產(chǎn)生原因

粗差產(chǎn)生的原因：測錯、讀錯、記錄錯、計算錯、儀器故障等所引起的偏差。

系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因：儀器構(gòu)造的缺陷或檢驗(yàn)校正不嚴(yán)格引起的。如：鋼尺

量距誤差、水準(zhǔn)儀i角誤差等。

偶然誤差產(chǎn)生的原因：偶然誤差產(chǎn)生的原因很多，往往無法預(yù)知和控制。如

空氣的不穩(wěn)定、觀測目標(biāo)的亮度差、儀器的構(gòu)造不嚴(yán)密、觀測者的感覺器官受一

定的限制等。

3).處理方法

粗差的處理措施：舍棄或重測。變更儀器或操作程序，進(jìn)行必要的重復(fù)測量

或多余觀測，采用必要而又嚴(yán)格的驗(yàn)算等。

系統(tǒng)誤差的處理措施：采取科學(xué)合理的操作方法或觀測條件；利用公式進(jìn)行

系統(tǒng)誤差改正。

偶然誤差的處理措施：平差。

［教學(xué)提示］:讓學(xué)生舉例說明測量上哪些操作是為了消除系統(tǒng)誤差影響的，哪

些計算改正為了消除偶然誤差影響的。

4)必需觀測和多余觀測

必需觀測：測量中可確定全部未知量所需的最少的觀測。

多余觀測：多余必需觀測的觀測量。多余觀測的作用：發(fā)現(xiàn)誤差和矛盾

5)經(jīng)典平差依據(jù)的準(zhǔn)則一最小二乘原理

最小二乘原理的表達(dá)：［pvv］=min.

6)測量平差的定義及任務(wù)

測量平差的定義：對含有誤差的觀測值，在多余觀測的基礎(chǔ)上，依據(jù)一定的

觀測模型，按照最小二乘原理，對觀測結(jié)果進(jìn)行合理的調(diào)整，求得一組沒有矛盾

的最可靠結(jié)果，并評定精度，這種處理方法和過程稱為測量平差。

測量平差的任務(wù)：求待定量的最佳估值；精度評定

4.一維正態(tài)分布及n維正態(tài)分布

(1)一維正態(tài)分布

.概率密度：

1(X-〃)

二_____________2b

f(x)e(-oo<x<+oo)

J27rb

第4頁

119

f(X)=—e印{一2.2(X_.)}

其中四和。是分布密度的兩個參數(shù)。正態(tài)分布也稱為高斯分布。對一維隨機(jī)

變量數(shù)字特征為口和o的正態(tài)分布，一般記為x?N(|i,(y)o

若連續(xù)型的隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),若積分

f+oo

fxf(x)dx

J—00

絕對收斂，則稱此積分為X的數(shù)學(xué)期望或平均值，記為

<?+00

E(X)=|xf(x)dx=〃

J—00

推導(dǎo)證明此公式。方差的公式學(xué)生自己推導(dǎo)。正態(tài)分布密度函數(shù)曲線如

(2)n維正態(tài)分布

設(shè)隨機(jī)向量X=區(qū),42,…，芍),服從正態(tài)分布，則n維正態(tài)分布的隨機(jī)

向量X的聯(lián)合概率密度函數(shù)是

/(X)=f~^xFDxx[X

I叱(2/I2>

n維正態(tài)隨機(jī)變量X=(%Z)r的數(shù)學(xué)期望和方差(數(shù)字特征)分

別為

E(X)=fp+oof(X)XdX="x

J—00

D(X)=域X-E(X)f}=匚7(X)[X-E(X)]2dx=%

而

第5頁

2

(aa…cr)

2

°xx=E{[X—E(X)[X—E(X)]]==//??-b.

2

(T

、4,匹b.???X??

其中b；是隨機(jī)變量Xi的方差，(TXiXj是隨機(jī)變量Xi對隨機(jī)變量Xj的

互協(xié)方差。’

5.偶然誤差分布

基本假設(shè)：含粗差的觀測值已被剔除；并且含系統(tǒng)誤差的觀測值已經(jīng)過適當(dāng)

改正。

例1：在相同的條件下獨(dú)立觀測了358個三角形的全部內(nèi)角，計算各內(nèi)角和

的真誤差,并按誤差區(qū)間的間隔0.2”進(jìn)行統(tǒng)計。則偶然誤差可用以下幾種表示

方法

(1)列表法表示為

誤差一△+△

區(qū)間個數(shù)K頻率K/n(K/n)/d個數(shù)K頻率K/n(K/n)/dA

0.00^0.20450.126處630460.1280.640

0.20*0.40400.1120.560410.1150.575

0.40~0.60330.0920.460330.0920.460

0.60~0.80230.0640.320210.0590.295

0.80^1.00

170.0470.235160.0450.225

1.00~1.20

130.0360.180130.0360.180

1.20~1.40

60.0170.08550.0140.070

6040.0110.05520.0060.030

>1.60

000000

和1810.5051770.495

(2)直方圖法表示為

(3)密度函數(shù)法

當(dāng)誤差個數(shù)無限增大，誤差區(qū)間縮小，直方圖則可變成一條光滑曲

線，該曲線稱為誤差分布曲線。

第6頁

K/n)/dA

偶然誤差的分布特性

從上例中總結(jié)發(fā)現(xiàn)偶然誤差的分布規(guī)律：

(1)在一定的觀測條件下，誤差的絕對值不會超過一定的限值。(有界性)

(2)絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的概率要大。(趨向性)

(3)絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等。(對稱性)

(4)偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零。(抵償性)

由偶然誤差的界限性，可以依據(jù)觀測條件來確定誤差限值；由偶然誤差的

對稱性知觀測量的期望值就是其真值。

6.教學(xué)小結(jié)

本講首先介紹了觀測誤差產(chǎn)生的原因，介紹了觀測誤差的分類及其處理，

測量平差的任務(wù)及學(xué)科研究對象，并簡要介紹了最小二乘原理。其次講解了正

態(tài)分布，誤差的表示方式以及偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律，需重點(diǎn)掌握。

四、作業(yè)

無

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第二講精度及衡量精度的指標(biāo)

一'教學(xué)目標(biāo)

1.熟記衡量精度的指標(biāo)，

2.掌握精度計算的方法

3.了解測量不確定度的概念

二'重點(diǎn)與難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：精度指標(biāo)及計算

難點(diǎn)：精度指標(biāo)及計算

三、教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程

1.回顧

回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容（讓學(xué)生來回顧，其他學(xué)生可以補(bǔ)充）

2.觀測條件與觀測精度

一定的觀測條件對應(yīng)著一個確定的誤差分布。

分布曲線陡峭的說明誤差分布密集，或者離散度小，觀測精度高，觀測條

件好，反之，誤差分布離散，觀測條件差。

精度：是指一組偶然誤差分布的密集與離散程度，是觀測值與其期望值接

近的程度，表征觀測結(jié)果偶然誤差大小的程度。精度與方差直接有關(guān)。

數(shù)學(xué)期望：反應(yīng)了隨機(jī)變量集中位置的數(shù)字特征；

方差：反應(yīng)隨機(jī)變量偏離集中位置的離散程度；

準(zhǔn)確度：是指觀測值的數(shù)學(xué)期望與其真值的接近程度，表征觀測結(jié)果系統(tǒng)

誤差大小的程度，若觀測值數(shù)學(xué)期望與真值的偏差大，則準(zhǔn)確度越低。

精確度：是精度與真確度的合成，是指觀測結(jié)果與其真值的接近程度，反

應(yīng)偶然誤差和系統(tǒng)誤差以及粗差聯(lián)合影響大小程度。

例子：如圖

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3.衡量精度的指標(biāo)

(1)方差與標(biāo)準(zhǔn)差

1)方差定義為：

觀測誤差和觀測值均為隨機(jī)變量，所以

2::

DL=crL=￡[(￡-￡(Z.))]=￡(A)

C=E[(A-E(A))1=E(A)

當(dāng)觀測值中只含有偶然誤差時，任一觀測值的方差與觀測誤差的方差是相

同的。

2)由期望定義方差，則可表示為

a2=O(A)=￡(A2)=廣爐/⑷必

對于離散型：

『=3。)=￡(4)=]1m她(T=lim

XT9M.及T9n

實(shí)際上觀測個數(shù)〃總是有限的，由有限個觀測值的真誤差只能得到方差和

中誤差的估值，方差/和中誤差b的估值分別用符號和3表示，即

?，

中誤差不是代表個別誤差的大小，二十代表誤差分布的離散程度大小，中

誤差越小，觀測中絕對值小的誤差較多，較集中，精度越高；相反，中越差越

大，則觀測的誤差越低。

(2)極限誤差

由中誤差的定義可知，它是代表一組同精度觀測誤差平方的平均值的平方

根極限值，中誤差愈小，即表示在該組觀測中，絕對值較小的誤差愈多。按正

態(tài)分布表查得，在大量同精度觀測的一組誤差中，誤差落在(一6+6、

(-2b,+2b)和(-3b,+3b)的概率分別為：

產(chǎn)(一b<A<+b)曰68.3%

產(chǎn)(-2b<A<+2b)曰95.5%,

P(-3a<A<+3b)邢99.7%.

極限誤差：由偶然誤差的第一性質(zhì)可知，偶然誤差的絕對值不會超過一定

的限制，該限制被稱為極限誤差。一般以三倍中誤差作為偶然誤差的極限值

△俄，并稱為極限誤差。

△"3b

實(shí)踐中，也常采用2b作為極限誤差的。例如測量規(guī)范中的限差通常是以

2b作為極限誤差的。實(shí)用上以中誤差的估值3代替在測量工作中，如果

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某誤差超過了極限誤差，那就可以認(rèn)為它是錯誤，相應(yīng)的觀測值應(yīng)進(jìn)行重測、

補(bǔ)測或舍去不用。

(3)相對誤差

相對誤差：誤差與觀測值之比。即

1」中誤置

飛_觀測值

相對中誤差是個無名數(shù)，在測量中一般將分子化為1,即用1/N表示。

對于真誤差與極限誤差，有時也用相對誤差來表示。例如，經(jīng)緯儀導(dǎo)線測

量時，規(guī)范中所規(guī)定的相對閉合差不能超過1/2000,它就是相對極限誤差；而

在實(shí)測中所產(chǎn)生的相對閉合差，則是相對真誤差。與相對誤差相對應(yīng)，真誤差、

中誤差、極限誤差等均稱為絕對誤差。

例：用卷尺丈量200nl和40m兩段距離，量距的中誤差都是±2cm,問二

者精度是否相同？

思考：對于中誤差相同，但是角值大小不等的情況，其精度怎樣？

(4)平均誤差

1)平均誤差：在一定的觀測條件下，一組獨(dú)立的偶然誤差絕對值的數(shù)學(xué)

期望稱為平均誤差。

設(shè)以。表示平均誤差，則有：

"網(wǎng)的=_[：閾/⑻必

如果在相同條件下得到了一組獨(dú)立的觀測誤差，平均誤差為

n

由于觀測值的個數(shù)〃總是一個有限值，在實(shí)用上也只能用6的估值來衡量

精度，并用后表示e的估值，但仍然簡稱為平均誤差。則：

2)平均誤差與中誤差的關(guān)系：

[24反5

6=.J—cr?0.7979cr?—aCF=J—6私1.2536郊—8

、兀5.V24

(5)或然誤差

1)隨機(jī)變量x落入?yún)^(qū)間g力)內(nèi)的概率為：

P(a<X<6)=j/⑶dx

對于偶然誤差△來說，誤差△落入?yún)^(qū)間3與的概率為：

第10頁

P(a<A<8)=，/(△)必

或然誤差：觀測誤差出現(xiàn)在正、負(fù)或然誤差區(qū)間內(nèi)的概率為1/2。即

⑷處=1

用誤差的概率分別曲線表示為：

■/(A)

2)或然誤差與中誤差的關(guān)系

將△的概率密度代入上式，并作變量代換，令

A〃，

—=￡,△=ot,dL—odt

CT

則得：

單⑷必=2/徐力弓

由概率積分表查得，當(dāng)概率為1/2時，積分限為0.6745,即得

0,6745crss—crcr?1.4826p?—p

實(shí)用上，因?yàn)橛^測值個n是有限值，因此也只能得到。的估值況但仍簡

稱為或然誤差。獲取方法：一是將相同觀測條件下得到的一組誤差，按絕對值

的大小排列，當(dāng)n為奇數(shù)時，取位于中間的一個誤差值作為白，當(dāng)n為偶數(shù)時,

則取中間兩個誤差值的平均值作為白。二是先求出中誤差的估值，然后按二者

之間的關(guān)系式求出或然誤差力。

［教學(xué)提示］:以上幾種誤差雖然都用“誤差”二字，但是都是用來表達(dá)精

度大小的，不可與觀測誤差混淆。另外以上幾種指標(biāo)中，最常用的是中誤差。

4、測量不確定度

測量數(shù)據(jù)的不確定性、不確定度的概念，及計算方法。

5.小結(jié)

衡量觀測質(zhì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn)分為精度指標(biāo)、準(zhǔn)確度指標(biāo)和精確度指標(biāo)三種，

其中精度是衡量偶然誤差影響程度的指標(biāo)。衡量精度標(biāo)準(zhǔn)的方差、極限誤差、相

對誤差幾個指標(biāo)應(yīng)重點(diǎn)掌握。

四、作業(yè)

無。

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第三講方差-協(xié)方差陣及其傳播律

一'教學(xué)目標(biāo)

1.熟記協(xié)方差傳播的規(guī)律

2.掌握傳播律公式的應(yīng)用方法

二'重點(diǎn)與難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

難點(diǎn)：協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

三、教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程

［教學(xué)提示］:回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容

1.數(shù)學(xué)期望和方差的回顧性學(xué)習(xí)

（1）數(shù)學(xué)期望及其傳播

（2）方差與協(xié)方差

1）方差的特性

2）協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)

Dxy=￡［（x-E（x））（y-￡（r））］；

X,Y相互獨(dú)立時，Dxy=Dyx=0;

二維隨機(jī)變量的協(xié)方差：^=^=Hm-［AxA7］;

及—>00"

A1

當(dāng)觀測數(shù)n有限時，則=-［AvAJ

3）協(xié)方差陣與互協(xié)方差陣及其特點(diǎn)

a.協(xié)方差陣：設(shè)有n維隨機(jī)變量X,描述其精度的方差陣為

%2,??6“

。21%”

DXX-

b“2?,?盧

方差陣Dxx也稱方差一協(xié)方差陣，它是描述觀測向量的精度指標(biāo)，不僅給出

了各觀測值的方差，還給出了兩兩觀測值之間的協(xié)方差即相關(guān)度。

當(dāng)6尸0時，表示兩向量互不相關(guān)，若兩向量為正態(tài)分布，則表示相互獨(dú)立。

當(dāng)n位隨機(jī)向量中任意兩變量均互相獨(dú)立時，此方差陣變?yōu)閷顷嚒?/p>

b互協(xié)方差陣：如果有兩組觀測向量X和Y,并記為

第12頁

X

z=

Y

則Z的協(xié)方差陣為:

DXY

D

zzLADyy

其中Dxx和DYY分別為X和Y的協(xié)方差陣，而DXY為X關(guān)于Y的互協(xié)方差陣。

2.協(xié)方差傳播律

設(shè)有觀測值向量1=11L2L3『的方差陣為

「32r

DLL=242

123

1)試寫出各觀測值的方差以及協(xié)方差；

2)若有函數(shù)F=L1+L2+2L3-23,則該函數(shù)F的方差又如何計算？

(D引入：觀測值線性函數(shù)的誤差傳播律(經(jīng)典誤差傳播律)

Z—k[X]+左2*2+…+knxn+k0

21221,2A2..r2A2

(y7=h+左2+...+左〃Ar

例：設(shè)一個平面三角形，觀測了兩個內(nèi)角a、P，則第三個內(nèi)角/可表示為直接

觀測角的函數(shù)形式

7=180?！?a+，)

現(xiàn)已知仁=36,%=40’且觀測a、p時相互獨(dú)立，求/的中誤差。

經(jīng)典誤差傳播律要求觀測值間必須兩兩獨(dú)立，而且不能同時求出多個函數(shù)的方

差及他們之間的協(xié)方差，應(yīng)用時具有其局限性，所以下面介紹協(xié)方差傳播律。

(2)觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差傳播律

1)已知觀測向量X,協(xié)方差陣為Dxx,現(xiàn)有觀測向量X的函數(shù)為Z

N=[X“X2，..X,』T,D",Z=KX+K0

n,i1,1i,nn,i

T

那么：Dzz=KDXXK

證明：

%=E[(Z—E(Z))(Z—E(Z))[

=E\(KX-KE(X))(KX-KE(X))[

=E[K(X-E(X))(X-E(X)￥KT]

=KE[(X-E(X))(X-E(XW]KT

T

=KDXXK

第13頁

舉例：例3-6

2)多個觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差

已知觀測向量X、Y,現(xiàn)有觀測向量的函數(shù)為Z,F,G

4=[X],X2，..X"T,D,

n,lXX

Z=KX+K0

t,\t,nn,l(]

F=AX+A0

m,\m,nn,lm1

G=BY+B.

k,lk,lI,l肅

則:

T

D7F—KDYYA

ZrAA

1

DF7rZ=ADAAYYK

DFG=ADxyB，

DGF=ix"

舉例：例3-7

（3）非線性函數(shù)誤差的傳遞

設(shè)有觀測值X的非線性函數(shù)：

Z=f（X）=f（X1,X2,-Xn）

求Dzz

首先利用泰勒級數(shù)展開，進(jìn)行線性化：

z=/（x：,x；,..X）+

（去）o（x「X：）+（?）o（X2-X。）+…（/）o（X“-X：）

dXldX2dXn

+（二次以上項(xiàng)）

z=/（x°,x。,…x；）+

令：K=（m，…3［（焉）。,（給?！ㄛ谩＃?/p>

則：2=也,#2,…k〃]X、+ko=KX+ko

第14頁

T

D^z=KDXXK

舉例：例3-8.例3-10。

解題步驟為：a列函數(shù)式，b線性化，c應(yīng)用協(xié)方差傳播公式計算坐標(biāo)方差，d

計算點(diǎn)位方差。

3.協(xié)方差的傳播率的應(yīng)用

①.水準(zhǔn)測量的精度

具有N個測站的水準(zhǔn)高差示意圖，應(yīng)用協(xié)方差傳播公式導(dǎo)出高差中誤差計算

公式：

&h=瘋7站

進(jìn)一步導(dǎo)出S公里觀測高差的中誤差計算公式：

②.同精度獨(dú)立觀測值的算數(shù)平均值的精度

由算術(shù)平均值公式，應(yīng)用協(xié)方差傳播公式導(dǎo)出其中誤差計算公式

例：Sab=100m,丈量4次平均值的中誤差為2cm,若以同樣精度丈量CD16

次，Scd=900m,求兩段距離的相對中誤差。

4.小結(jié)

協(xié)方差傳播律是觀測值（向量）與其函數(shù)（向量）之間精度傳遞的規(guī)律，用其解決

觀測值函數(shù)（向量）的精度評定問題。本節(jié)重點(diǎn)是利用協(xié)方差傳播律解題的方法

和步驟，以及協(xié)方差傳播公式的應(yīng)用。

四、作業(yè)

無。

第15頁

第四講權(quán)與單位權(quán)中誤差的計算

一、教學(xué)目標(biāo)

1明確權(quán)、單位權(quán)中誤差的含義及權(quán)的性質(zhì)

2.掌握定權(quán)的常用方法

3掌握單位權(quán)中誤差的計算方法

二、重點(diǎn)與難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：權(quán)的定義式；定權(quán)的常用方法，單位權(quán)中誤差的計算

難點(diǎn)：無

三'教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程

1.上節(jié)內(nèi)容回顧

學(xué)生回顧

2.權(quán)的定義和性質(zhì)

（1）權(quán)的定義

引入：衡量精度的指標(biāo)，其中四種都是絕對誤差，為了工作方便，需要引入

一個新的指標(biāo)一一權(quán)。

方差是表征精度的一個絕對指標(biāo)，方差之間的比例關(guān)系也可以比較各觀測值

之間的精度，而表示各觀測值方差之間比例關(guān)系的數(shù)字特征稱為權(quán)，它是相對指

標(biāo)。

權(quán)是衡量各觀測值在平差結(jié)果中應(yīng)起作用大小的數(shù)值，可用來衡量觀測值的

精度。

2

25

Pi為觀測值Li的權(quán)，氣是可以任意選定的比例常數(shù)。

觀測值的權(quán)與觀測值的方差成反比。

（2）權(quán)的性質(zhì)

1）權(quán)是相對性指標(biāo)；

2）權(quán)與中誤差的平方成反比，權(quán)越大表示觀測值越可靠；

3）權(quán)的大小變化，但是權(quán)之間的比例關(guān)系不變；

4）當(dāng)一組觀測值的精度相等時，為等精度觀測，也是等權(quán)觀測。

3.單位權(quán)方差

權(quán)的作用是衡量觀測值的相對精度，稱其為相對精度指標(biāo)。確定一組權(quán)時，

只能用同一個。0，

令。i=。o，則得：

22

P=晉=警=1

GiO（）

第16頁

_2

上式說明b。是單位權(quán)（權(quán)為1）觀測值的方差，簡稱為單位權(quán)方差。凡是方差等

丁2k2

于0。的觀測值，其權(quán)必等于1。權(quán)為1的觀測值，稱為單位權(quán)觀測值。無論0。取

何值，權(quán)之間的比例關(guān)系不變。

例：在圖1-5中水準(zhǔn)網(wǎng)中，也、%、飽、%是各路線的觀測高差，跳=10日、

5=2.0hn、&=40碗、&=8.0熱是水準(zhǔn)路線的長度，在認(rèn)為每公里觀測值高

差的精度相同的前提下，我們就可確定各條路線的權(quán)，而且不需要知道每公里觀

測值中誤差的具體數(shù)值。

,=S].bg■里，丐=身￡7公里，氣=必）公里，°"4=S4b公里

令：加=封，按權(quán)的定義各路線觀測值的權(quán)為

px—1.00,p2=0,50,p3=0.25,/?4=0,125

又令：加二封，按權(quán)的定義各路線觀測值的權(quán)為

Pj=8.00,p2=4.00,%=2.00,p4=1.00

水準(zhǔn)網(wǎng)中的所有水準(zhǔn)路線都是按同一等級的水準(zhǔn)測量規(guī)范的技術(shù)要求進(jìn)行觀

測的，一般可以認(rèn)為每公里觀測高差的精度是相同的。對于不同的云得到的觀測

值的權(quán)是不相同的，通過權(quán)的大小可以反映各觀測高差的精度高低。對于一組已

知方差的觀測值而言：權(quán)是用來比較各觀測值相互之間精度高低的，權(quán)的意義不

在于它們本身數(shù)值的大小，重要的是它們之間所存在的比例關(guān)系。

4.測量中常用的定權(quán)方法

（1）水準(zhǔn)測量的權(quán)

①用測站數(shù)定權(quán)（山地、起伏較大的丘陵）

利用用測站數(shù)計算高差中誤差的公式和權(quán)的定義式導(dǎo)出利用測站數(shù)定權(quán)的公

式。

②用路線長度定權(quán)（平地）

利用用路線長度計算高差中誤差的公式和權(quán)的定義式導(dǎo)出利用路線長度定權(quán)

的公式。

第17頁

Ph=l

（2）距離量測的權(quán)

距離長度可通過鋼尺丈量或測距儀測距得到。下面分別討論兩種情況下的定

權(quán)方法。

①鋼尺量距的權(quán)

Ps=f

②測距儀測距的權(quán)

6

bs=o'標(biāo)稱+o'標(biāo)稱S-10

（3）等精度觀測算術(shù)平均值的權(quán)

利用等精度獨(dú)立觀測值算術(shù)平均值的方差計算公式和權(quán)的定義式導(dǎo)出利用觀

測次數(shù)定權(quán)的公式

尸S哈

X---

（4）不同精度觀測值加權(quán)平均值的權(quán)

設(shè)有一組獨(dú)立觀測值，將每個觀測值的權(quán)設(shè)為Pi,觀測值的加權(quán)平均值的權(quán)

為：

p

px=[F]=S,

5.單位權(quán)中誤差的計算

（1）.由真誤差計算中誤差

設(shè)觀測值為Li,i=l,2,…，n；數(shù)學(xué)期望為u,觀測的真誤差為△，，并且L,

△，服從正態(tài)分布，

（1）等精度觀測的情況下，單位權(quán)中誤差估值為：

人人/[AA]

（2）不等精度觀測的情況下，單位權(quán)中誤差估值為：

（2）.由改正數(shù)計算中誤差

在進(jìn)行n次觀測時，求得觀測值的改正數(shù)V=[vlv2…vn]T之后，進(jìn)而

可求得中誤差

（1）當(dāng)n有限時，等精度觀測的情況下，單位權(quán)中誤差估值為：

第18頁

此公式為白塞爾公式

（1）若是不等精度觀測，而且觀測對象不止一個而是t個的情況下，單位權(quán)中

誤差估值為：

（3）.由三角形閉合差計算測角中誤差

設(shè)在一個三角網(wǎng)中，以同精度觀測了所有三角形的內(nèi)角，其角值為處,夕,，九

（i=l,2,…，n）,當(dāng)n有限時，可得三角形內(nèi)角和的中誤差估值為

當(dāng)三角形觀測時，每個內(nèi)角的觀測中誤差相等，且各觀測角之間相互獨(dú)立，則每個內(nèi)角

的觀測中誤差可表示為

此公式成為菲列羅公式。

例：對一三角形的三個角進(jìn)行了九組同精度的觀測，各組觀測值是對各角分別

觀測四回的平均值，得到三角形閉合差為：

+2.5'-1.5"-3.5"+3.5"—2.5"—0.5"+5.5'+2.5'—2.5'

經(jīng)檢驗(yàn)，各閉合差包含有系統(tǒng)性的常誤差+0.5''

1）、求這組閉合差的中誤差；

2）、各角觀測值的中誤差；

3）、每測回觀測值的中誤差

解：1）由于包含系統(tǒng)誤差，故偶然誤差為：

+2.0"—2.0"-4.0〃+3.0"—3.0"—1.0"+5.0"+2.0"—3.0"

2[AA]81八

%

n9

則這組閉合差的中誤差為

er=+3"

2）由于

2c2

3=3crL

所以

第19頁

3）由于

2_12

=W°■一測回

所以

b—測回=±207=±2A/3

（4）.由雙觀測值之差計算中誤差

對n個同類量各觀測兩次，每個觀測對的真誤差為A,=0—（L；—L；）=—4,

觀測對之差的權(quán)倒數(shù)為：

Pd,

觀測對之差的單位權(quán)中誤差為

對于單個觀測值而言，其中誤差為

第i個觀測對的平均值的中誤差為

當(dāng)所有觀測對為等精度是，其單位中誤差為

%

舉例：例3-15。

6.小結(jié)

權(quán)是用來衡量觀測成果的相對精度的，單位權(quán)方差可以根據(jù)計算方便任意選

定，但觀測值之間的比例關(guān)系不變。水準(zhǔn)測量的權(quán)與測站數(shù)或路線長度成反比；

鋼尺量測的權(quán)與距離長度成反比，光電測距的權(quán)用定義式計算，其中測距方差由

固定誤差和比例誤差兩項(xiàng)組成；等精度算術(shù)平均值的權(quán)與觀測次數(shù)成正比。應(yīng)熟

記定權(quán)公式，明確公式中各符號的含義，掌握利用公式解題的方法。

單位權(quán)中誤差可由真誤差，改正數(shù)，三角形閉合差以及雙觀測之差進(jìn)行計算,

熟練掌握四種計算公式及方法，并可熟練進(jìn)行應(yīng)用。

四、作業(yè)

第20頁

第五講協(xié)因數(shù)陣及其傳播

一'教學(xué)目標(biāo)

1掌握協(xié)因數(shù)及其與權(quán)之間的關(guān)系

2了解協(xié)因數(shù)陣和權(quán)陣

3掌握協(xié)因數(shù)的傳播律

二'重點(diǎn)與難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：協(xié)因數(shù)陣的傳播律

難點(diǎn)：協(xié)因數(shù)傳播律

三、教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程

［教學(xué)提示］:回顧上節(jié)內(nèi)容

1.協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)陣

（1）協(xié)因數(shù)

設(shè)有觀測值Li和Lj,它們的權(quán)分別為2和吃，它們的方差分別為b；和巴一,

它們之間的協(xié)方差為5,單位權(quán)方差為b02

[2Y22

匚二，Q.3

“2，上!/2

Pj4%

稱27為L,的協(xié)因數(shù)或權(quán)倒數(shù)，Q”.為乙的協(xié)因數(shù)或權(quán)倒數(shù)，Z為4關(guān)于4

的協(xié)因數(shù)或相關(guān)權(quán)倒數(shù)。由上可知，觀測值的協(xié)因數(shù)?！焙?,與方差成正比，而協(xié)

因數(shù)&與協(xié)方差成正比。協(xié)因數(shù)與權(quán)有類似的作用，它們是比較觀測值精度高低

的一種指標(biāo)；而協(xié)因數(shù)是比較觀測值之間相關(guān)程度的一種指標(biāo)，我們可以利用這

種指標(biāo)來證明隨機(jī)向量間的相關(guān)或不相關(guān)。

（2）協(xié)因數(shù)陣

設(shè)有觀測值向量（或者是觀測值函數(shù)向量）X和Y,它們的方差陣分別為Dxx

和DYY,X關(guān)于Y的互協(xié)方差陣為DXY,單位權(quán)方差為5/。

州262,??丹“02，"Qin

Q21Q22Qin

。2102n2

Dxx=—名

，

b“2?-?bQnlQn2,"Qnn

令

211212…Qin

GQ2IQ22Qin

XX=??

即

第21頁

Dxx=氣Qxx

則QXX稱為觀測向量X的協(xié)因數(shù)陣，也叫權(quán)逆陣。同理

2

DXY=aoQXY

則Qxy稱為觀測向量X關(guān)于Y的互協(xié)因數(shù)陣。

衡量兩個隨機(jī)變量X,Y之間相關(guān)程度的相關(guān)系數(shù)可以用協(xié)因數(shù)來進(jìn)行計算,

有

a

xyQXy

P=--

QXXQyy

（3）權(quán)陣

用Pxx,表示觀測值向量X的權(quán)陣，則定義為

Pxx=Qxx

注意權(quán)陣P與權(quán)Pi是兩個不同的概念

2.協(xié)因數(shù)傳播律

（1）引入：

例1：

T2-1

T]

L=RL2],QLL=[3求PLP2

—1

解：Pi=l/2P2=l/3

例2：

321

T

L=%L2L3],PLL=242,求Pl,P2

123

2-10

-1

解：QL七-12-1

4

0-12

PI=P2=2

例3：已知

X=[X]x2X,了,Y^FX+F0

如何求Qyy?

（2）協(xié)因數(shù)傳播律

已知隨機(jī)向量的協(xié)因數(shù)陣，求函數(shù)的協(xié)因數(shù)陣，稱之為協(xié)因數(shù)傳播律。

1）線性函數(shù)的協(xié)因數(shù)傳播（廣義傳播）

第22頁

Z=KX+%

W=FY+F0

x的協(xié)因數(shù)陣°亞，y的協(xié)因數(shù)陣Q",x關(guān)于F的互協(xié)因數(shù)陣為。勢

,太、及。、F、穌為常系數(shù)陣。

Qzz=KQXX&T

Qww-

Qzw=KQm'

Qwz~FQy*及r.

［教學(xué)提示］:與協(xié)方差的公式進(jìn)行對比

2）非線性傳播

如果Z和W的各個分量是X和Y的非線性函數(shù)

附力1肉,乙,…,匕）一-九（"，???￡）-

&（￡］名，跖加氏3…Z）

Z=,W==

z一_力因名，…&）一用一源"名，???，4）_

先利用泰勒公式進(jìn)行展開，將函數(shù)線性化，求Z和W的全微分，得

dZ=KdX

dW=FdY

式中

迄/_翳［

陽

dY

嗎因現(xiàn)2西

隴

組2..法2缶e加

及

=密

K珥常F=陽嗎叱

啊石Wr

西［亞叱」

dX嗎

2a

則z、取的協(xié)因電陣°”公獷等按協(xié)因數(shù)傳播律計算。

對于獨(dú)立觀測值假定各A的權(quán)為月，則上的權(quán)陣、協(xié)因數(shù)陣（權(quán)逆陣）均

為對角陣

0...o

Qn0???0'

P10■■-0~

0022,■?00X...o

0P2,??0Qu=

々=

_00■,,Qnn.00

_00?,,Px--%_

第23頁

設(shè)有函數(shù)：Z=，@\工如…,L。

全微分得1囁叫+粉犯

+…+-jdLK=KdL

運(yùn)用協(xié)因數(shù)傳播律得

-守

一

一

oo一

西

里

之之oO

=殂

隔殂

^3…

OO里

西

■一

-

11

—十---F??,+

PlP2

例：設(shè)有函數(shù):

x的協(xié)因數(shù)Q我，y的協(xié)因數(shù)Q”，x關(guān)于y的互協(xié)因數(shù)陣為。毋(。以=0%),、

%＞、F、穌為常系數(shù)陣。

求：QTL、。獷K。上、Qss、。依、QTX、Qn

(1).計算Qzz、QW2

Qzz=,Qww=,Qzw-KQXYF，

(2).計算Qss

Qzz