初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-7年級(jí)專(zhuān)題03 從算術(shù)到代數(shù)

專(zhuān)題03從算術(shù)到代數(shù)

閱讀與思考

算術(shù)與代數(shù)是數(shù)學(xué)中兩門(mén)不同的分科，它們之間聯(lián)系緊密，代數(shù)是在算術(shù)中“數(shù)”和“運(yùn)算”的基

礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的.

用字母表示數(shù)是代數(shù)的一個(gè)重要特征，也是代數(shù)與算術(shù)的最顯著的區(qū)別.在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，從確定的

數(shù)過(guò)渡到用字母表示數(shù)經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程，是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)飛躍.用字母表示數(shù)有如下特點(diǎn)：

1.任意性

即字母可以表示任意的數(shù).

2.限制性

即雖然字母表示任意的數(shù)，但字母的取值必須使代數(shù)式或?qū)嶋H問(wèn)題有意義.

3.確定性

即在用字母表示的數(shù)中，如果字母取定某值，那么代數(shù)式的值也隨之確定.

4.抽象性

即與具體的數(shù)值相比，用字母表示數(shù)具有更抽象的意義.

例題與求解

【例1】研究下列算式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律：

1×3＋1＝4＝22

2×4＋1＝9＝32

3×5＋1＝16＝42

4×6＋1＝25＝52

…

請(qǐng)將你找到的規(guī)律用代數(shù)式表示出來(lái)：___________________________________

(山東菏澤地區(qū)中考試題)

解題思路：觀察給定的幾個(gè)簡(jiǎn)單的、特殊的算式，尋找數(shù)字間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，然后用代數(shù)

式表示.

【例2】下列四個(gè)數(shù)中可以寫(xiě)成100個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和的是（）

A.1627384950B.2345678910C.3579111300D.4692581470

（江蘇省競(jìng)賽試題）

解題思路：設(shè)自然數(shù)從a＋1開(kāi)始，這100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和為（a＋1）＋(a＋2)＋…＋(a＋100)

＝100a＋5050，從揭示和的特征入手.

12+2222+3232+4210032+1004210042+10052

【例3】設(shè)A＝++＋…＋＋，求A的整數(shù)部

1′22′33′41003′10041004′1005

分.

（北京市競(jìng)賽試題）

n2+(n+1)2

解題思路：從分析A中第n項(xiàng)的特征入手.

n′(n+1)

【例4】現(xiàn)有a根長(zhǎng)度相同的火柴棒，按如圖①擺放時(shí)可擺成m個(gè)正方形，按如圖②擺放時(shí)可擺成

2n個(gè)正方形.

(1)用含n的代數(shù)式表示m；

(2)當(dāng)這a根火柴棒還能擺成如圖③所示的形狀時(shí)，求a的最小值.

（浙江省競(jìng)賽試題）

解題思路：由圖①中有m個(gè)正方形、圖②中有2n個(gè)正方形，可設(shè)圖③中有3p個(gè)正方形，無(wú)論怎樣

擺放，火柴棒的總數(shù)相同，可建立含m，n，p的等式.

【例】化簡(jiǎn)

59999991999.

n個(gè)n個(gè)n個(gè)

（江蘇省競(jìng)賽試題）

解題思路：先考察n＝1，2，3時(shí)的簡(jiǎn)單情形，然后作出猜想，這樣，化簡(jiǎn)的目標(biāo)更明確.

【例6】觀察按下列規(guī)律排成的一列數(shù)：

1121231234123451

，，，，，，，，，，，，，，，，…，（*）

1213214321543216

2

（1）在（*）中，從左起第m個(gè)數(shù)記為F(m)＝時(shí)，求m的值和這m個(gè)數(shù)的積.

2001

（2）在（*）中，未經(jīng)約分且分母為2的數(shù)記為c，它后面的一個(gè)數(shù)記為d，是否存在這樣的兩個(gè)

數(shù)c和d，使cd＝2001000，如果存在，求出c和d；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

112123

解題思路：解答此題，需先找到數(shù)列的規(guī)律，該數(shù)列可分組為（），（，），（，，），

121321

123412345

（，，，），（，，，，），….

432154321

能力訓(xùn)練

A級(jí)

223344aa

1.已知等式：2＋＝22×，3＋＝32×，4＋＝42×，…，，10＋＝102×（a，b

33881515bb

均為正整數(shù)），則a＋b＝___________________.

(湖北省武漢市競(jìng)賽試題)

2.下面每個(gè)圖案都是若干個(gè)棋子圍成的正方形圖案，它的每邊（包括頂點(diǎn)）都有n（n≥2）個(gè)棋子，

每個(gè)圖案棋子總數(shù)為s，按此規(guī)律推斷s與n之間的關(guān)系是______________.

n＝2n＝3n＝4

s＝4s＝8s＝12

(山東省青島市中考試題)

3.規(guī)定任意兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）和（c，d），當(dāng)且僅當(dāng)a＝c且b＝d時(shí)，（a，b）＝（c，d）．定義

運(yùn)算“?”：（a，b）?（c，d）＝（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）?（p，q）＝（5，0），則p＋q＝________．

(浙江省湖州市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

4.用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚按下圖方式鋪地板，則第（3）個(gè)圖形中有黑色瓷磚______

塊，第n個(gè)圖形中需要黑色瓷磚______塊（含n代數(shù)式表示）．

（廣東省中考試題）

-=

5.如果a是一個(gè)三位數(shù)，現(xiàn)在把1放在它的右邊得到一個(gè)四位數(shù)是（）

A.1000a＋1B.100a＋1C.10a＋1D.a＋1

(重慶市競(jìng)賽試題)

6.一組按規(guī)律排列的多項(xiàng)式：a＋b，a2—b3，a3＋b5，a4—b7，…，其中第十個(gè)式子是（）

A.a10＋b19B.a10-b19C.a10-b17D.a10-b21

(四川省眉山市競(jìng)賽試題)

7.有三組數(shù)x1，x2，x3；y1，y2，y3；z1，z2，z3，它們的平均數(shù)分別是a，b，c，那么x1＋y1－z1，x2

＋y2－z2，x3＋y3－z3的平均數(shù)是（）

a+b+ca+b-c

A.B.C.a＋b－cD.3(a＋b－c)

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(希望杯邀請(qǐng)賽試題)

8.為了綠化環(huán)境，美化城市，在某居民小區(qū)鋪設(shè)了正方形和圓形兩塊草坪，如果兩塊草坪的周長(zhǎng)相

同，那么它們的面積S1、S2的大小關(guān)系是（）

（東方航空杯競(jìng)賽試題）

A.S1＞S2B．Sl＜S2C．S1＝S2D．無(wú)法比較

9.一個(gè)圓形紙板，根據(jù)以下操作把它剪成若干個(gè)扇形面：第一次將圓紙等分為4個(gè)扇形面；第二次

將上次得到的一個(gè)扇形面再等分成4個(gè)小扇形；以后按第二次剪裁法進(jìn)行下去．

（1）請(qǐng)通過(guò)操作，猜想將第3、第4次，…，第n次剪裁后扇形面的總個(gè)數(shù)填入下表；

剪裁次數(shù)1234…n

所得的總數(shù)47…

（2）請(qǐng)你推斷，能否按上述操作剪裁出33個(gè)扇形面？為什么？

（山東省濟(jì)南市中考試題）

10.某玩具工廠有四個(gè)車(chē)間，某周是質(zhì)量檢查周，現(xiàn)每個(gè)都原a（a＞0）個(gè)成品，且每個(gè)每天都生產(chǎn)

b（b＞0）個(gè)成品，質(zhì)檢科派出若干名檢驗(yàn)員星期一、星期二檢驗(yàn)其中兩個(gè)原的和這兩天生產(chǎn)的所成品，

然后，星期三至星期五檢驗(yàn)另兩個(gè)原的和本生產(chǎn)的所成品，假定每個(gè)檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)的成品數(shù)相同．

（1）這若干名檢驗(yàn)員1天檢驗(yàn)多少個(gè)成品（用含a、b的代數(shù)式表示）；

（2）試求出用b表示a的關(guān)系式；

4

（3）若1名質(zhì)檢員1天能檢驗(yàn)b個(gè)成品，則質(zhì)檢科至少要派出多少名檢驗(yàn)員？

5

（廣東省廣州市中考試題）

B級(jí)

1.你能很快算出19952嗎？

為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們考察個(gè)位上的數(shù)字為5的自然數(shù)的平方，任意一個(gè)個(gè)位數(shù)為5的自然數(shù)可寫(xiě)成

（10·n＋5）（n為自然數(shù)），即求（10·n＋5）2的值（n為自然數(shù)），分析n＝1，n＝2，n＝3，…這些

簡(jiǎn)單情況，從中探索其規(guī)律，并歸納猜想出結(jié)論（在下面的空格內(nèi)填上你的探索結(jié)果）.

（1）通過(guò)計(jì)算，探索規(guī)律.

152＝225可寫(xiě)成100×1×（1＋1）＋25；

252＝625可寫(xiě)成100×2×（2＋1）＋25；

352＝1225可寫(xiě)成100×3×（3＋1）＋25；

452＝2025可寫(xiě)成100×4×（4＋1）＋25；

...

752＝5625可寫(xiě)成______；

852＝7225可寫(xiě)成______；

（2）從第（1）題的結(jié)果，歸納猜想得（10n＋5）2＝______；

（3）根據(jù)上面的歸納猜想，請(qǐng)算出19952＝______.

（福建省三明市中考試題）

1

2.已知12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，計(jì)算：

6

（1）112＋122＋…＋192＝_____________________；

(2)22＋42＋…＋502＝__________________.

a1a2a2010a2011

3.已知n是正整數(shù)，an＝1×2×3×4×…×n，則＋＋…＋＋＝_______________.

a3a4a2012a2013

(“希望杯”邀請(qǐng)賽訓(xùn)練題)

4.已知17個(gè)連續(xù)整數(shù)的和是306，那么，緊接著這17個(gè)數(shù)后面的那17個(gè)整數(shù)的和為_(kāi)_________.

（重慶市競(jìng)賽試題）

5.A，B兩地相距S千米，甲、乙的速度分別為a千米/時(shí)、b千米/時(shí)（a＞b），甲、乙都從A地到B

地去開(kāi)會(huì)，如果甲比乙先出發(fā)1小時(shí)，那么乙比甲晚到B地的小時(shí)數(shù)是（）

ssssssss

A．-(+1)B．-(+1)C．-(-1)D．-(-1)

abbaabba

6.某商店經(jīng)銷(xiāo)一批襯衣，進(jìn)價(jià)為每件m元，零售價(jià)比高a%，后因市場(chǎng)的變化，該店把零售價(jià)調(diào)整

原來(lái)零售價(jià)的b%出售，那么調(diào)價(jià)后的零售價(jià)是（）

A．m（1＋a%）（1－b%）元B．ma%（1－b%）元

C．m（1＋a%）b%元D．m（1＋a%b%）元