數(shù)學（廣東卷02）（全解全析）

2024年高考數(shù)學第一次模擬考試數(shù)學（廣東卷02）全解全析（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．測試范圍：高考全部內(nèi)容5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解集合A，從而求解，利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合整數(shù)概念求解集合B，最后利用交集運算即可求解.【詳解】因為集合，所以，又，所以.故選：C2．若復數(shù)，則復數(shù)的虛部為（

）A．0 B． C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式和復數(shù)性質(zhì)解題即可.【詳解】，所以復數(shù)的虛部為0.故選：A3．下列條件中，為“關(guān)于x的不等式對恒成立”的充分不必要條件的有（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出關(guān)于x的不等式對恒成立的充要條件，然后根據(jù)充分不必要條件的定義即可求解.【詳解】若關(guān)于x的不等式對恒成立，當時，不等式等價于恒成立，故滿足要求，當時，原不等式恒成立當且僅當，解得，綜上所述，若關(guān)于x的不等式對恒成立，則當且僅當，而選項中只有是的充分不必要條件.故選：B.4．北京時間2023年2月10日0時16分，經(jīng)過約7小時的出艙活動，神舟十五號航天員費俊龍、鄧清明、張陸密切協(xié)同，圓滿完成出艙活動全部既定任務(wù)，出艙活動取得圓滿成功.載人飛船進入太空需要搭載運載火箭，火箭在發(fā)射時會產(chǎn)生巨大的噪聲，用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中大于0的常數(shù)是聽覺下限閾值，是實際聲壓.聲壓級的單位為分貝，聲壓的單位為帕.若人正常說話的聲壓約為，且火箭發(fā)射時的聲壓級比人正常說話時的聲壓級約大，則火箭發(fā)射時的聲壓約為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定的模型，列出火箭發(fā)射時的聲壓級和人正常說話時的聲壓級表達式，聯(lián)立求解即可.【詳解】令人正常說話時的聲壓級為，火箭發(fā)射時的聲壓級為，則，而人正常說話的聲壓，火箭發(fā)射時的聲壓為，于是，，兩式相減得，解得，所以火箭發(fā)射時的聲壓約為.故選：D5．邢臺一中數(shù)學探索館中“圓與非圓—搬運”的教具中出現(xiàn)的勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的勒洛三角形中，已知，為弧上的一點，且，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)向量的運算可得，結(jié)合數(shù)量積的幾何意義分析求解.【詳解】因為為弧上的一點，則，且，可知，由圖形可知：當點與點重合時，向量在方向上的投影取到最小值，此時，所以的最小值為.故選：C.6．關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：①的最小正周期為；②的最大值為；③的最小值為；④在區(qū)間上單調(diào)遞增；其中所有正確結(jié)論的編號是（

）A．①②④ B．①③④ C．①③ D．②④【答案】B【解析】由題意，當時，，進而逐一判斷對錯即可.【詳解】解：和的最小正周期均為，的最小正周期為，故①正確；當時，，當時，在上單調(diào)遞減，，當時，，其中，，可設(shè)，由，得，又，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，②錯誤，③正確；，在上單調(diào)遞增，④正確.故選：B.【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查運算求解能力，分析問題能力，屬于難題.7．雙曲線，點A，B均在E上，若四邊形為平行四邊形，且直線OC，AB的斜率之積為3，則雙曲線E的漸近線的傾斜角為（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】利用點差法，結(jié)合雙曲線漸近線方程、平行四邊形的性質(zhì)、中點坐標公式進行求解即可.【詳解】設(shè)，顯然線段的中點坐標為，因為四邊形為平行四邊形，所以線段的中點坐標和線段的中點坐標相同，即為，因此點坐標為，因為直線OC，AB的斜率之積為3，所以，因為點A，B均在E上，所以，兩式相減得：，所以兩條漸近線方程的傾斜角為或，故選：B

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是應(yīng)用點差法和平行四邊形的性質(zhì).8．如圖，正方體的棱長為3，點P是平面內(nèi)的動點，M，N分別為，的中點，若直線BP與MN所成的角為，且，則動點P的軌跡所圍成的圖形的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，，得到，把BP與MN所成的角就是直線BP與所成的角，在正方體中，證得平面，得到，設(shè)與平面的交點為G，連接PG，結(jié)合題意，得到點P的軌跡是以G為圓心，為半徑的圓，根據(jù)圓的面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，連接，，則N為的中點，又M為的中點，所以，因此直線BP與MN所成的角就是直線BP與所成的角，在正方體中，可得，因為平面，平面，可得，又因為且平面，所以平面，因為平面，所以，同理可得，因為，且平面，所以平面，則．設(shè)與平面的交點為G，連接PG，所以，在直角中，，因為，所以，又由，所以，所以點P的軌跡是以G為圓心，為半徑的圓，其面積為.故選：A.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．舉世矚目的第19屆亞運會于9月23日至10月8日在杭州舉行，亞運會點燃了國人激情，也將一股運動風吹到了大學校園.為提升學生身體素質(zhì)，倡導健康生活方式，某大學社團聯(lián)合學生會倡議全校學生參與“每日萬步行”健走活動.下圖為該校甲、乙兩名同學在同一星期內(nèi)每日步數(shù)的拆線統(tǒng)計圖，則（

）A．這一星期內(nèi)甲、乙的日步數(shù)的中位數(shù)都為12600B．這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的平均數(shù)大于乙的日步數(shù)的平均數(shù)C．這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的方差大于甲的日步數(shù)的方差D．這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的下四分位數(shù)是12200【答案】ABD【分析】根據(jù)折線圖得到這一星期內(nèi)甲，乙的日步數(shù)，都從小到大進行排列，得到中位數(shù)后即可判斷選項；根據(jù)平均數(shù)計算公式，計算出這一星期內(nèi)甲，乙的日步數(shù)的平均數(shù)，比較大小即可判斷選項；根據(jù)圖象觀察甲的波動程度較大，故方差較大，從而判斷選項；把乙一星期內(nèi)的步數(shù)從小到大進行排列，并計算，故第二個數(shù)為所求，即可判斷選項.【詳解】由折線圖可得甲一星期內(nèi)的步數(shù)從小到大的排列為：11000，11800，12200，12600，13500，15400，18200，所以中位數(shù)為12600；由折線圖可得乙一星期內(nèi)的步數(shù)從小到大的排列為：11800，12200，12400，12600，15000，13800，14000，所以中位數(shù)為12600，故這一星期內(nèi)甲、乙的日步數(shù)的中位數(shù)都為12600，正確；這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的平均數(shù)為：，這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的平均數(shù)為：，因為，故正確；由圖知，甲的波動程度較大，故方差較大，故錯誤；乙一星期內(nèi)的步數(shù)從小到大的排列為：11800，12200，12400，12600，15000，13800，14000，，故這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的下四分位數(shù)是12200，故正確；故選：10．如圖，平面中兩條直線和相交于點O，對于平面上任意一點M，若p，q分別是M到直線和的距離，則稱有序非負實數(shù)對是點M的“距離坐標”.下列四個命題中正確命題為（）A．若，則“距離坐標”為的點有且僅有1個B．若，且，則“距離坐標”為的點有且僅有2個C．若，則“距離坐標”為的點有且僅有4個D．若，則點M在一條過點O的直線上【答案】ABC【分析】根據(jù)點M的“距離坐標”的定義逐一判斷即可.【詳解】A.若，則“距離坐標”為的點是兩條直線的交點O，因此有且僅有1個，故正確.B.若，且，則“距離坐標”為或的點有且僅有2個，故正確.C.若，則“距離坐標”為的點有且僅有4個，如圖，故正確.D.若，則點M在的軌跡是兩條過O的直線，分別為交角的平分線所在直線，故不正確.故選：ABC.11．定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，對于任意實數(shù)，都有，且滿足，則（

）A．函數(shù)為奇函數(shù)B．不等式的解集為C．若方程有兩個根，，則D．在處的切線方程為【答案】AC【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可判定A，根據(jù)導數(shù)的運算可得進而可求解，即可求解BD，根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，即可求解C.【詳解】對于A，，由可得，所以，且定義域為，故為奇函數(shù)，A正確，由于，所以為常數(shù)，則又在中，令，則，故，故，所以，對于B,可得，又，故，則，故B錯誤，對于C，為單調(diào)遞增函數(shù)，而為開口向上，且對稱軸為的二次函數(shù)，且是的兩個交點，的兩個交點設(shè)為，則，且，又為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，C正確，由得，所以在處的切線方程為，D錯誤，故選：AC12．設(shè)函數(shù)，則下列命題中正確的是（

）A．若方程有四個不同的實根，，，，則的取值范圍是B．若方程有四個不同的實根，，，，則的取值范圍是C．若方程有四個不同的實根，則的取值范圍是D．方程的不同實根的個數(shù)只能是1，2，3，6【答案】AD【分析】作出的圖像，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系，分析問題，即可得出答案．【詳解】解：對于A：作出的圖像如下：

若方程有四個不同的實根，，，，則，不妨設(shè)，則，是方程的兩個不等的實數(shù)根，，是方程的兩個不等的實數(shù)根，所以，，所以，所以，所以，故A正確；對于B：由上可知，，，且，所以，所以，，所以，所以，故B錯誤；對于C：方程的實數(shù)根的個數(shù)，即可函數(shù)與的交點個數(shù)，因為恒過坐標原點，當時，有3個交點，當時最多2個交點，所以，當與相切時，設(shè)切點為，即，所以，解得，所以，所以，所以當與相切時，即時，此時有4個交點，若有4個實數(shù)根，即有4個交點，

當時由圖可知只有3個交點，當時，令，，則，則當時，即單調(diào)遞增，當時，即單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得極大值即最大值，，又及對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長趨勢可知，當無限大時，即在和內(nèi)各有一個零點，即有5個實數(shù)根，故C錯誤；對于D：，所以，所以或，由圖可知，當時，的交點個數(shù)為2，當，0時，的交點個數(shù)為3，當時，的交點個數(shù)為4，當時，的交點個數(shù)為1，所以若時，則，交點的個數(shù)為個，若時，則，交點的個數(shù)為3個，若，則，交點有個，若且時，則且，交點有個，若，交點有1個，綜上所述，交點可能由1，2，3，6個，即方程不同實數(shù)根1，2，3，6，故D正確；故選：AD．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．寫出同時滿足以下條件的一個函數(shù)．①定義域為R，值域為；②，，且時，；③，．【答案】(答案不唯一，合理即可)【分析】根據(jù)已知條件分析函數(shù)的性質(zhì)，選用滿足題意的基本函數(shù)即可.【詳解】由題意可知，函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，最小值，則符合題意.故答案為：（答案不唯一）14．已知數(shù)列滿足，在和之間插入個1，構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列的前20項的和為.【答案】77【分析】先根據(jù)題意得到數(shù)列有多少個數(shù)，再根據(jù)即可計算數(shù)列的前20項的和.【詳解】在之間插入個1，構(gòu)成數(shù)列，所以共有個數(shù)，當時，，當時，，由于，所以.故答案為：.15．甲、乙兩位同學玩游戲，對于給定的實數(shù)，按下列方法操作一次產(chǎn)生一個新的實數(shù)：由甲、乙同時各擲一枚均勻的硬幣，如果出現(xiàn)兩個正面朝上或兩個反面朝上，則把乘以2后再減去12,；如果出現(xiàn)一個正面朝上，一個反面朝上，則把除以2后再加上12，這樣就得到一個新的實數(shù)，對實數(shù)仍按上述方法進行一次操作，又得到一個新的實數(shù)，當時，甲獲勝，否則乙獲勝，若甲獲勝的概率為，則的取值范圍是【答案】【分析】按要求操作一次產(chǎn)生一個新的實數(shù)，列舉得到新的實數(shù)的途徑，列出不等式，根據(jù)所給的甲獲勝的概率為，解出a1的結(jié)果．【詳解】a3的結(jié)果有四種，每一個結(jié)果出現(xiàn)的概率都是，1．a(chǎn)1→2a1﹣12→2（2a1﹣12）﹣12＝4a1﹣36＝a3，2．a(chǎn)1→2a1﹣12→12＝a1+6＝a3，3．a(chǎn)1→12→+1218＝a3，4．a(chǎn)1→12→2（12）﹣12＝a1+12＝a3，∵a1+6＞a1，a1+12＞a1，∴要使甲獲勝的概率為，即a3＞a1的概率為，∴4a1﹣36＞a1，18≤a1，或4a1﹣36≤a1，18＞a1，解得a1≤12或a1≥24．故答案為：.【點睛】本題考查新定義問題，考查概率綜合，意在考查學生的讀題審題能力，考查轉(zhuǎn)化能力，是中檔題16．在中，，，當取最大值時，．【答案】【分析】用正弦定理將轉(zhuǎn)化求得最大值，根據(jù)用余弦定理聯(lián)立方程組即可求解.【詳解】設(shè)，，，，，，，，，，，其中，，，，當時取最大值，，，，，即的值為.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。17．（10分）在中，內(nèi)角所對的邊分別為.現(xiàn)有如下兩個條件：條件①；條件②.請從上述兩個條件中選擇一個作為已知，完成本題解答.你選擇的條件是__________.(1)求角；(2)若為邊上一點，且，.當?shù)拿娣e取到最大值時，求角.注：若多選條件，則按選擇第一個條件解答計分.【詳解】（1）選條件①：由，及正弦定理，. 1分又為內(nèi)角，所以，從而，即， 3分則，或（舍去），從而. 4分選條件②：由，及正弦定理，. 1分又為內(nèi)角，所以，代入上式即得，而，所以，從而. 3分則，或（舍去），因此，. 4分（2）由為邊上一點，且，從而，即.平方，得，即， 6分由基本不等式，，等號當且僅當時成立，此時有最大值，從而面積為也有最大值. 8分當時，由余弦定理，可得由正弦定理，，又，所以. 10分

18．（12分）已知數(shù)列滿足，(1)判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列？若是，給出證明；否則，請說明理由；(2)若數(shù)列的前10項和為361，記，數(shù)列的前n項和為，求證：.【詳解】（1）數(shù)列成等比數(shù)列. 1分根據(jù)得； 3分，，，即數(shù)列成等比數(shù)列. 5分（2）由（1）得，，， 6分故由，得. 8分顯然，，單調(diào)遞增，且，故，，.，，, 10分當時，,，綜上，知. 12分19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，為棱上異于的點．(1)求證：平面；(2)若三棱錐的體積為，求平面與平面夾角的余弦值．【詳解】（1）如圖所示：取中點，連接，則由題意有， 1分因為由題意，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為四邊形為直角梯形，所以，所以， 2分因為，，所以，又因為平面，平面，所以， 4分因為，所以，又因為，所以，從而， 5分又因為，面，且，所以平面. 6分（2）由題意不妨設(shè)點到面的距離為，所以三棱錐的體積為，所以解得， 7分如圖所示：設(shè)點到面的距離為，則平面，又因為平面，平面所以，所以為的中位線，即分別為的中點，因為底面為直角梯形，所以， 8分所以以為坐標原點，方向分別為軸正方向建立空間直角坐標系，由題意，所以，由（1）可知平面，故可取平面的一個法向量為， 9分不妨設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，解得，即可取， 10分不妨設(shè)平面與平面的夾角為，則， 11分即平面與平面的夾角的余弦值為. 12分20．（12分）從今年起，我國將于每年5月第四周開展“全國城市生活垃圾分類宣傳周”活動，首屆全國城市生活垃圾分類宣傳周時間為2023年5月22日至28日，宣傳主題為“讓垃圾分類成為新時尚”，在此宣傳周期間，某社區(qū)舉行了一次生活垃圾分類知識比賽.要求每個家庭派出一名代表參賽，每位參賽者需測試A，B，C三個項目，三個測試項目相互不受影響.(1)若某居民甲在測試過程中，第一項測試是等可能的從三個項目中選一項測試，且他測試三個項目“通過”的概率分別為.已知他第一項測試“通過”，求他第一項測試選擇的項目是的概率；(2)現(xiàn)規(guī)定：三個項目全部通過獲得一等獎，只通過兩項獲得二等獎，只通過一項獲得三等獎，三項都沒有通過不獲獎.已知居民乙選擇的順序參加測試，且他前兩項通過的概率均為，第三項通過的概率為.若他獲得一等獎的概率為，求他獲得二等獎的概率的最小值.【詳解】（1）記事件“第一項測試選擇了項目”，“第一項測試選擇了項目”，“第一項測試選擇了項目”，記事件“第一項測試合格”， 1分由題意知，，， 3分又事件互斥，則，即， 5分所以在居民甲第一