初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-9年級(jí)專(zhuān)題19與圓有關(guān)的角

專(zhuān)題19與圓有關(guān)的角

閱讀與思考

與圓有關(guān)的角主要有圓心角、圓周角、弦切角.特別的，直徑所對(duì)的圓周角是直角.圓內(nèi)接四邊形提供

相等的角、互補(bǔ)的角，在理解與圓有關(guān)的角的概念時(shí)，要注意角的頂點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、角的兩邊與圓的

位置關(guān)系.

角在解題中經(jīng)常發(fā)揮重要的作用，是證明角平分線、兩線平行、兩線垂直，判定全等三角形、相似三

角形的主要條件，而圓的特點(diǎn)又使角的互相轉(zhuǎn)化具備了靈活多變的優(yōu)越條件，是解題中最活躍的元素.

熟悉以下基本圖形和以上基本結(jié)論.

例題與求解

【例1】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點(diǎn)D，E，

則△CDE的面積為_(kāi)__________.（海南省競(jìng)賽題）

例1題圖例2題圖

解題思路：作DF⊥BC于F，需求出CE，DF的長(zhǎng).由AB為⊙O的直徑作出相關(guān)輔助線.

?

【例2】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，M是BC的中點(diǎn)，AM交BC于點(diǎn)D，若AD＝3，DM＝1，則MB

的長(zhǎng)是（）

A．4B．2C．3D．3

解題思路：圖中隱含許多相等的角，利用比例線段計(jì)算.

【例3】如圖1，⊙O中AB是直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，∠ABC＝45°，等腰直角三角形DCE中，

∠DCE是直角，點(diǎn)D在線段AC上.

(1)證明：B，C，E三點(diǎn)共線；

(2)若M是線段BE的中點(diǎn)，N是線段AD的中點(diǎn)，證明：MN＝2OM；

(3)將△DCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜90°)后，記為△D1CE1(如圖2).若M1是線段BE1的中點(diǎn)，

N1是線段AD1的中點(diǎn)，M1N1＝2OM1是否成立？若是，請(qǐng)證明；若不是，說(shuō)明理由.

解題思路：對(duì)于(2)，充分利用條件中的多個(gè)中點(diǎn)，探尋線段之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系.

圖1圖2

【例4】如圖所示，ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，E是BD上的一點(diǎn)，

∠BAE＝∠DAC.求證：(1)△ABE∽△ACD；

(2)AB·DC＋AD·BC＝AC·BD.（陜西省競(jìng)賽試題）

解題思路：由(1)可類(lèi)比猜想，為(2)非常規(guī)問(wèn)題的證明鋪平道路.

【例5】如圖1，已知⊙M與x軸交于點(diǎn)A，D，與y軸正半軸交于點(diǎn)B，C是⊙M上一點(diǎn)，且A（－

2,0），B（0，4），AB＝BC.

(1)求圓心M的坐標(biāo)；

(2)求四邊形ABCD的面積；

(3)如圖2，過(guò)C點(diǎn)作弦CF交BD于點(diǎn)E，當(dāng)BC＝BE時(shí)，求CF的長(zhǎng).

解題思路：作出基本輔助線（如連接BM或AC），這是解(1)、(2)的基礎(chǔ)；對(duì)于(3)，由BC＝BE，得∠

BEC＝∠BCE，連接AC，將與圓無(wú)關(guān)的∠BEC轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)角，導(dǎo)出CF平分∠ACD，這是解題的關(guān)鍵.

【例6】如圖，AB，AC，AD是⊙O中的三條弦，點(diǎn)E在AD上，且AB＝AC＝AE.

求證：(1)∠CAD＝2∠DBE；

(2)AD2－AB2＝BD·DC.（浙江省競(jìng)賽試題）

解題思路：對(duì)于（2），AD2－AB2＝(AD＋AB)(AD－AB)＝(AD＋AE)(AD－AE)＝(AD＋AE)·DE，需

證(AD＋AE)·DE＝BD·DC，從構(gòu)造相似三角形入手.

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠BAC＝30°，點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng).設(shè)∠ACP＝x，則

x的取值范圍是________.

2.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，F(xiàn)是CG的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AF交⊙O于E，CF＝2，AF＝3，則

EF的長(zhǎng)為_(kāi)_______.

3.如圖，AB，CD是⊙O的兩條弦，它們相交于點(diǎn)P.連接AD，BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么

CD的長(zhǎng)為_(kāi)_______.

1

4.如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)P，已知AB＝BC，CD＝BD＝1.設(shè)AD＝x，

2

用x的代數(shù)式表示PA與PC的積：PA·PC＝__________.（寧波市中考試題）

5.如圖，ADBC是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB為直徑，BC＝8，AC＝6，CD平分∠ACB，則AD＝()

A．50B．32C．52D．42

第4題圖第5題圖第6題圖

6.如圖，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圓直徑AE交BC邊于點(diǎn)G，有下列四個(gè)結(jié)論：①AD2

＝BD·CD；②BE2＝EG·AE；③AE·AD＝AB·AC；④AG·EG＝BG·CG.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

（哈爾濱市中考試題）

?

7.如圖，正△ABC內(nèi)接于⊙O，P是劣弧BC上任意一點(diǎn)，PA與BC交于點(diǎn)E，有如下結(jié)論：①PA＝

111

PB＋PC；②；③PA·PE＝PB·PC.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()（天津市中考試題）

APPBPC

A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)

8.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)AB，DC交于點(diǎn)N，∠M＝20°，

∠N＝40°，則∠A的大小為（）

A．35°B．60°C．65°D．70°

第7題圖第8題圖第9題圖

9.如圖，已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AD＝CD，AC交BD于點(diǎn)E.

ADDE

求證：(1)；

BDAD

(2)AD·CD－AE·EC＝DE2；（揚(yáng)州市中考試題）

10.如圖，已知四邊形ABCD外接圓⊙O的半徑為5，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)E，且AB2＝AE?AC，

BD＝8，求△ABD的面積.（黑龍江省中考試題）

11.如圖，已知⊙O的內(nèi)接△ABC中，AB＋AC＝12，AD⊥BC于D，AD＝3.設(shè)⊙O的半徑為y，AB

的長(zhǎng)為x.

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)AB的長(zhǎng)等于多少時(shí)，⊙O的面積最大？并求出⊙O的最大面積.（南京市中考試題）

12.如圖，已知半圓⊙O的直徑AB＝4，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)固定在圓心O上.當(dāng)三角板繞著O

點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，三角板的兩條直角邊與半圓周分別交于C，D兩點(diǎn)，連接AD，BC交于點(diǎn)E.

(1)求證：△ACE∽△BDE；

(2)求證：BD＝DE；

(3)設(shè)BD＝x，求△AEC的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍.（廣東省中考試

題）

B級(jí)

1.如圖，△ABC內(nèi)接于直徑為d的圓，設(shè)BC＝a，AC＝b，那么△ABC的高CD＝__________.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OCB的外接圓與y軸相交于點(diǎn)A（0，2），∠OCB＝60°，∠COB

＝45°，則OC＝__________.

第1題圖第2題圖第3題圖

AB

3.如圖，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB，設(shè)∠COD＝α，則gsin2＝________.（江蘇省競(jìng)賽試題）

AD2

4.如圖，已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AD≠AB，∠DAB＝90°，對(duì)角線AC平分∠DAB.若AD＝a，

AB＝b，則AC＝___________.（“東亞杯”競(jìng)賽試題）

5.如圖，ABCD是一個(gè)以AD為直徑的圓內(nèi)接四邊形，AB＝5，PC＝4，分別延長(zhǎng)AB和DC，它們相交

于點(diǎn)P，若∠APD＝60°，則⊙O的面積為（）

A．25πB．16πC．15πD．13π

6.如圖，AB＝AC＝AD，若∠DAC是∠CAB的k倍（k為正數(shù)），那么∠DBC是∠BDC的（）

A．k倍B．2k倍C．3k倍D．以上答案都不對(duì)

第4題圖第5題圖第6題圖

7.如圖，AD是Rt△ABC斜邊BC上的高，AB＝AC，過(guò)A，D兩點(diǎn)的圓與AB，AC分別相交于E，F(xiàn)，

弦EF與AD相交于點(diǎn)G，則圖中與△GDE相似的三角形的個(gè)數(shù)為()

A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)

8．如圖，AB為⊙O的直徑，AC交⊙O于點(diǎn)E，BC交⊙O于點(diǎn)D，CD＝BD，∠C＝70°，現(xiàn)給出以

??

下四個(gè)結(jié)論：①∠A＝45°；②AC＝AB；③AEBE；④CE·AB＝2BD2.其中正確結(jié)論的序號(hào)是()

A．①②B．②③C．②④D．③④

（蘇州市中考試題）

第7題圖第8題圖第9題圖

9.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC為⊙O的直徑，E為DC邊上一點(diǎn)，若AE∥BC,AE＝EC＝7，

AB＝6.

(1)求AD的長(zhǎng)；

(2)求BE的長(zhǎng).（紹興市競(jìng)賽題）

13

10.如圖1，已知M（，），以M為圓心，MO為半徑的⊙M分別交x軸，y軸于B，A.

22

(1)求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo);

?

(2)C是AO上一點(diǎn)，若BC＝3，試判斷四邊形ACOM是何種特殊四邊形，并說(shuō)明理由;

??

(3)如圖2，在(2)的條件下，P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PB，PC.當(dāng)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

PA+PO

求證：的值是定值.

PC

11.如圖，四邊形ABCD為正方形，⊙O過(guò)正方形的頂點(diǎn)A和對(duì)角線的交點(diǎn)P，分別交AB，AD于點(diǎn)F，

E.

(1)求證：DE＝AF；

3AE

(2)若⊙O的半徑為，AB＝2＋1，求的值.（江蘇省競(jìng)賽題）

2ED

專(zhuān)題19與圓有關(guān)的角

45

例1連結(jié)AE，BD，則AE⊥BC，BD⊥AC，CE＝BE＝1，AE＝2.由AE·BC＝AC·BD，得BD＝，CD

5

25CDDF41142

＝，又＝，得DF＝，故S△CDE＝CE·DF＝×1×＝.

5CAAE52255

例2B提示：BM2＝MD·MA.

例3⑴略.⑵如圖，連結(jié)ON，AE，BD，并延長(zhǎng)BD交AE于點(diǎn)F，可證明△BCD

∥1∥1

≌△ACE，BF⊥AE，∴ON＝BD，OM＝AE，∴OM＝ON，OM⊥ON，故MN

22

＝2OM.⑶結(jié)論成立，證明略.

例4提示：由△ABE∽△ACD，△ADE∽△ACB分別得AB·DC＝AC·BE，

AD·BC＝AC·DE，兩式作加法得AB·DC＋AD·BC＝AC·BD.

例5⑴連結(jié)BM，OA＝2，OB＝4，在Rt△BOM中，(r－2)2＋42＝r2，∴r＝5，即AM＝

5，OM＝3，∴M(3，0).⑵連結(jié)AC交BM于G，則BM⊥AC且AG＝CG，可證△AMG≌△BMO.∴AG

＝OB＝4，AC＝8，OM＝MG＝3，BG＝BM－GM＝2，AD＝10，CD＝6.∴S四邊形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝

1111

AC·CD＋AC·BG＝×8×6＋×8×2＝32.⑶∵BC＝BE，∴∠BCE＝∠BEC.又∠BCE＝∠BCA＋∠

2222

1

ACF，∠BEC＝∠BDC＋∠DCF，且∠BCA＝∠BDC，∴∠ACF＝∠DCF＝∠ACD＝45°，∴△ADF為

2

等腰直角三角形.AF＝DF＝52.作DT⊥CF于T，CT＝DT＝32，TF＝DF2－DT2＝42，∴CF＝CT＋TF

＝72.

例6⑴連結(jié)BC，∵AB＝AC，∴∠2＝∠5，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，即∠2

＋∠3＝∠4＋∠5，∴∠3＝∠4，∴∠DAC＝∠DBC＝∠4＋∠3＝2∠4，即∠DAC＝2

∠DBE.⑵延長(zhǎng)DA至點(diǎn)G，使AG＝AE＝AC，則∠DAC＝2∠G，而由⑴知∠DAC＝

BDDE

2∠DBE.∴∠DBE＝∠G.又∠BDE＝∠GDC，∴△BDE∽△GDC，得＝，即

DGDC

DG·DE＝BD·DC.∴(AD＋AG)(AD－AE)＝BD·DC.∵AB＝AE＝AG，∴(AD＋

AB)(AD－AB)＝BD·DC，故AD2－AB2＝BD·DC.

1

A級(jí)1.30°≤x≤90°2.43.84.－x2＋x5.C6.B7.B提示：

4

其中①③正確.

9．提示：(1)連結(jié)BM，證明RtCEN≌RtBMN．(2)連結(jié)BD、BE、AC，證明BED∽△．結(jié)論

仍成立．．連結(jié)AM，過(guò)M作MD⊥AC，交直線AC于點(diǎn)D，則Rt△AMH≌RtAMD，RtMHB≌

△△△FEB(3)

RtMDC．11．(1)連結(jié)OA，OC，則Rt△OFC≌RtOGC≌RtOGA．∴

10△△

1

S△2SSS．(2)連結(jié)OA，OB，OC△，由△AOC≌COB≌BOA，得∠OCB＝

四邊形OFCGOFCOAC3ABC

∠OAC，∵∠AOC＝∠AOE＋∠EOC＝120°，∠DOE＝∠COF＋∠COE＝12△0°，∴∠△AOE＝∠COF，∵

∠OAC＝∠OCB，OA＝OC，∠AOE＝∠COF，∴OAG≌OCF，故

1

SSS．12．如圖，過(guò)點(diǎn)O△作直線O△P⊥BC，分別交BC，KL，

四邊形OFCGAOC3ABC

AD于點(diǎn)P，H，N，則ON⊥AD，OH⊥KL，連結(jié)DO，LO，在Rt△NDO中，ON＝

OD2DN252324，OP＝PN－ON＝2，設(shè)HL＝x，則PH＝KL＝2x，OH＝

OP＋PH＝2＋2x．

在RtHOL中，x2＋(2x＋2)2＝52，解8、B

△

9、提示：AD2BDDE(DEEB)DEDE2BEDE，又EBDEAEEC

ABAE

10、由，BAE=CAB，得ABE~ACB，故ABE=ACB=ADB，

ACAB

ABAD，連接AO，交BD于F，則BFDF4。又OFOB2BF23，

1

AFOAOF2，從而SBDAF8

ABD2

ADAC

11、提示：連接AO交延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，由ADC~ABE，得，

ABAE

1

故yx22x(3x9)。當(dāng)AB6時(shí)，⊙O的最大面積為36

6

12、（1）CADCBD（同弧所對(duì)圓周角相等），AEC=BED，ACE~BDE

1

（2）DBC=DOC=45?，EDB90，BDE是等腰Rt,BDDE

2

1

（3）y4x16x2(0x4)

2

B級(jí)

ab2

1、2、31提示：連接AB，BAO603、14、(ab)

d2

5、D6