機(jī)械工程控制基礎(chǔ) 0933

機(jī)械工程控制基礎(chǔ)0933?一、引言機(jī)械工程控制基礎(chǔ)是機(jī)械工程領(lǐng)域的重要學(xué)科，它涉及到機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性分析、控制策略設(shè)計(jì)以及系統(tǒng)性能優(yōu)化等方面。本課程0933旨在讓學(xué)生掌握機(jī)械工程控制的基本理論和方法，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用控制理論解決實(shí)際機(jī)械工程問題的能力。

二、機(jī)械系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

（一）系統(tǒng)的微分方程1.建立步驟首先確定系統(tǒng)的輸入、輸出變量。例如在一個(gè)簡單的機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)中，輸入可能是外力，輸出是位移。然后分析系統(tǒng)中各元件的特性，如彈簧的彈性特性（力與位移的關(guān)系）、阻尼器的阻尼特性（力與速度的關(guān)系）等。根據(jù)牛頓第二定律、基爾霍夫定律等物理定律，列出描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的微分方程。以單自由度彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)為例，設(shè)質(zhì)量為\(m\)，彈簧剛度為\(k\)，阻尼系數(shù)為\(c\)，外力為\(F(t)\)，位移為\(x(t)\)，則根據(jù)牛頓第二定律可得：\(m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F(t)\)。2.方程的階次上述方程是二階微分方程，其階次反映了系統(tǒng)的復(fù)雜程度。一般來說，系統(tǒng)的階次越高，分析和控制就越困難。

（二）傳遞函數(shù)1.定義與求取傳遞函數(shù)是在零初始條件下，系統(tǒng)輸出的拉普拉斯變換與輸入的拉普拉斯變換之比。對于上述單自由度系統(tǒng)，對其微分方程兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，設(shè)初始位移\(x(0)=0\)，初始速度\(\dot{x}(0)=0\)，可得：\((ms^{2}+cs+k)X(s)=F(s)\)，則傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{X(s)}{F(s)}=\frac{1}{ms^{2}+cs+k}\)。2.特點(diǎn)傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入無關(guān)。它可以方便地描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，如穩(wěn)定性、響應(yīng)速度等。

（三）方框圖1.組成與繪制方框圖由方框、信號(hào)線和比較點(diǎn)組成。以簡單的反饋控制系統(tǒng)為例，系統(tǒng)包括控制器\(G_c(s)\)、被控對象\(G(s)\)、反饋環(huán)節(jié)\(H(s)\)。首先畫出各個(gè)方框表示相應(yīng)的傳遞函數(shù)，然后用信號(hào)線連接各方框的輸入輸出，比較點(diǎn)用于比較輸入信號(hào)和反饋信號(hào)的差值。繪制方框圖時(shí)要注意信號(hào)的流向和極性，按照系統(tǒng)的工作原理逐步構(gòu)建。2.化簡規(guī)則常用的化簡規(guī)則有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的化簡。串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為各串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積；并聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為各并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和；反饋連接的等效傳遞函數(shù)為\(\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}\)。通過化簡方框圖可以得到系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)，便于分析系統(tǒng)性能。

三、控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

（一）典型輸入信號(hào)1.單位階躍信號(hào)定義為\(u(t)=\begin{cases}0,&t\lt0\\1,&t\geq0\end{cases}\)。它是控制系統(tǒng)中最常用的輸入信號(hào)之一，常用于測試系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。2.單位斜坡信號(hào)表達(dá)式為\(r(t)=tu(t)\)，它模擬了隨時(shí)間線性變化的輸入。3.單位脈沖信號(hào)\(\delta(t)=\begin{cases}\infty,&t=0\\0,&t\neq0\end{cases}\)且\(\int_{\infty}^{\infty}\delta(t)dt=1\)。單位脈沖信號(hào)可用于測試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，如系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。

（二）一階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)1.單位階躍響應(yīng)對于一階系統(tǒng)\(G(s)=\frac{1}{Ts+1}\)（\(T\)為時(shí)間常數(shù)），其單位階躍響應(yīng)為\(c(t)=1e^{\frac{t}{T}}\)。當(dāng)\(t=T\)時(shí)，\(c(T)=1e^{1}\approx0.632\)，時(shí)間常數(shù)\(T\)反映了系統(tǒng)響應(yīng)的快慢，\(T\)越小，系統(tǒng)響應(yīng)越快。2.性能指標(biāo)上升時(shí)間\(t_r\)：從階躍響應(yīng)開始到第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間。對于一階系統(tǒng)，\(t_r\approx2.2T\)。調(diào)節(jié)時(shí)間\(t_s\)：系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到并保持在穩(wěn)態(tài)值的\(\pm5\%\)或\(\pm2\%\)范圍內(nèi)所需的時(shí)間。對于一階系統(tǒng)，\(t_s\approx3T\)（\(\pm5\%\)誤差帶）。

（三）二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)1.單位階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\)，其中\(zhòng)(\omega_n\)為無阻尼自然頻率，\(\zeta\)為阻尼比。當(dāng)\(0\lt\zeta\lt1\)時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)為衰減振蕩。其上升時(shí)間、峰值時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間等性能指標(biāo)都與\(\omega_n\)和\(\zeta\)有關(guān)。例如，峰值時(shí)間\(t_p=\frac{\pi}{\omega_d}\)，其中\(zhòng)(\omega_d=\omega_n\sqrt{1\zeta^2}\)為有阻尼自然頻率。2.不同阻尼比下的響應(yīng)特性當(dāng)\(\zeta=0\)時(shí)，系統(tǒng)為無阻尼系統(tǒng)，響應(yīng)為等幅振蕩。當(dāng)\(\zeta=1\)時(shí)，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)，響應(yīng)無振蕩且上升速度較快。當(dāng)\(\zeta\gt1\)時(shí)，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)，響應(yīng)緩慢且無振蕩。

（四）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差1.定義與計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出與輸入的差值。對于不同類型的輸入信號(hào)和系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算方法不同。例如，對于單位階躍輸入，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差\(e_{ss}=\frac{1}{1+K_p}\)，其中\(zhòng)(K_p\)為系統(tǒng)的位置誤差系數(shù)。對于單位斜坡輸入，穩(wěn)態(tài)誤差\(e_{ss}=\frac{1}{K_v}\)，\(K_v\)為速度誤差系數(shù)。對于單位加速度輸入，穩(wěn)態(tài)誤差\(e_{ss}=\frac{1}{K_a}\)，\(K_a\)為加速度誤差系數(shù)。2.減小穩(wěn)態(tài)誤差的方法增大系統(tǒng)的開環(huán)增益可以減小穩(wěn)態(tài)誤差，但可能會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。也可以通過增加積分環(huán)節(jié)等方法來消除或減小穩(wěn)態(tài)誤差。

四、控制系統(tǒng)的頻域分析

（一）頻率特性1.定義與表示方法頻率特性是系統(tǒng)對不同頻率正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)特性。它可以用幅頻特性\(A(\omega)\)和相頻特性\(\varphi(\omega)\)表示。例如，對于系統(tǒng)\(G(s)\)，其頻率特性\(G(j\omega)=A(\omega)e^{j\varphi(\omega)}\)，其中\(zhòng)(j=\sqrt{1}\)。2.頻率特性的求取可以通過將\(s=j\omega\)代入系統(tǒng)的傳遞函數(shù)\(G(s)\)來得到頻率特性。例如，對于一階系統(tǒng)\(G(s)=\frac{1}{Ts+1}\)，將\(s=j\omega\)代入可得\(G(j\omega)=\frac{1}{1+j\omegaT}\)，然后對其進(jìn)行化簡，得到幅頻特性\(A(\omega)=\frac{1}{\sqrt{1+(\omegaT)^2}}\)，相頻特性\(\varphi(\omega)=\arctan(\omegaT)\)。

（二）典型環(huán)節(jié)的頻率特性1.比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)\(G(s)=K\)，其頻率特性\(G(j\omega)=K\)，幅頻特性\(A(\omega)=K\)，相頻特性\(\varphi(\omega)=0\)，即輸出與輸入成正比，無相移。2.積分環(huán)節(jié)\(G(s)=\frac{1}{s}\)，頻率特性\(G(j\omega)=\frac{1}{j\omega}\)，\(A(\omega)=\frac{1}{\omega}\)，\(\varphi(\omega)=\frac{\pi}{2}\)，輸出信號(hào)的相位滯后輸入信號(hào)\(90^{\circ}\)。3.微分環(huán)節(jié)\(G(s)=s\)，頻率特性\(G(j\omega)=j\omega\)，\(A(\omega)=\omega\)，\(\varphi(\omega)=\frac{\pi}{2}\)，輸出信號(hào)的相位超前輸入信號(hào)\(90^{\circ}\)。4.慣性環(huán)節(jié)如前面所述的一階系統(tǒng)\(G(s)=\frac{1}{Ts+1}\)，具有低通濾波特性，隨著頻率升高，幅頻特性逐漸減小。5.振蕩環(huán)節(jié)對應(yīng)二階系統(tǒng)\(G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\)，在一定頻率范圍內(nèi)會(huì)出現(xiàn)諧振現(xiàn)象，幅頻特性會(huì)有峰值。

（三）系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)1.帶寬頻率系統(tǒng)的帶寬頻率\(\omega_b\)是指系統(tǒng)的幅頻特性下降到其低頻值的\(0.707\)倍時(shí)的頻率。帶寬反映了系統(tǒng)對快速變化信號(hào)的跟蹤能力，帶寬越寬，系統(tǒng)響應(yīng)越快，但抗干擾能力可能會(huì)下降。2.相角裕度和幅值裕度相角裕度\(\gamma\)是指當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性\(A(\omega)=1\)時(shí)，對應(yīng)的相角與\(180^{\circ}\)的差值。幅值裕度\(K_g\)是指當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)相角為\(180^{\circ}\)時(shí)，對應(yīng)的開環(huán)幅頻特性的倒數(shù)。相角裕度和幅值裕度反映了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，一般來說，相角裕度和幅值裕度越大，系統(tǒng)越穩(wěn)定。

（四）頻域穩(wěn)定性判據(jù)1.奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線在復(fù)平面上的映射關(guān)系來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的。首先繪制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性\(G(j\omega)H(j\omega)\)的奈奎斯特曲線，然后根據(jù)曲線是否包圍\((1,j0)\)點(diǎn)以及包圍的次數(shù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果奈奎斯特曲線不包圍\((1,j0)\)點(diǎn)，則系統(tǒng)穩(wěn)定；如果包圍\((1,j0)\)點(diǎn)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，包圍次數(shù)決定了系統(tǒng)不穩(wěn)定的極點(diǎn)個(gè)數(shù)。2.伯德圖穩(wěn)定判據(jù)伯德圖由對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)相頻特性曲線組成。通過分析伯德圖上的幅值穿越頻率\(\omega_c\)（對數(shù)幅頻特性曲線與\(0\)dB線交點(diǎn)處的頻率）和相角裕度、幅值裕度等參數(shù)來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。當(dāng)相角裕度\(\gamma\gt0\)且幅值裕度\(K_g\gt1\)時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。

五、控制系統(tǒng)的校正

（一）校正的基本概念1.校正的目的校正的目的是改善控制系統(tǒng)的性能，使其滿足設(shè)計(jì)要求。例如，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性、減小穩(wěn)態(tài)誤差、加快響應(yīng)速度等。2.校正方式主要有串聯(lián)校正、反饋校正和前饋校正等方式。串聯(lián)校正通過在系統(tǒng)前向通道中串聯(lián)校正裝置來改善系統(tǒng)性能；反饋校正通過引入反饋信號(hào)來改變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性；前饋校正則是利用輸入信號(hào)的預(yù)知信息來補(bǔ)償系統(tǒng)的輸出。

（二）串聯(lián)校正1.超前校正超前校正裝置的傳遞函數(shù)為\(G_c(s)=\frac{1+aTs}{1+Ts}\)（\(a\gt1\)）。它主要是利用其相位超前特性來增加系統(tǒng)的相角裕度，從而提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。同時(shí)，也會(huì)對系統(tǒng)的高頻特性有一定影響，適當(dāng)增加系統(tǒng)的帶寬，提高響應(yīng)速度。2.滯后校正滯后校正裝置的傳遞函數(shù)為\(G_c(s)=\frac{1+bTs}{1+Ts}\)（\(b\lt1\)）。它主要利用其幅值衰減特性來降低系統(tǒng)的開環(huán)增益，從而減小穩(wěn)態(tài)誤差，同時(shí)對系統(tǒng)的相角影響較小，主要是在低頻段起作用。3.滯后超前校正結(jié)合了超前校正和滯后校正的優(yōu)點(diǎn)，在低頻段減小穩(wěn)態(tài)誤差，在高頻段增加相角裕度，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性和響應(yīng)速度。

（三）反饋校正1.原理與作用反饋校正通過測量系統(tǒng)的輸出信號(hào)，并將其反饋到輸入端與輸入信號(hào)進(jìn)行比較，然后通過校正裝置對誤差信號(hào)進(jìn)行處理。反饋校正可以改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，如減小系統(tǒng)的非線性影響、抑制干擾等。2.應(yīng)用實(shí)例在一些高精度控制系統(tǒng)中，如數(shù)控機(jī)床的進(jìn)給系統(tǒng)，通過采用反饋校正可以提高系統(tǒng)的定位精度和跟蹤性能。例如，利用位移傳感器將工作臺(tái)的實(shí)際位移反饋到控制器，與輸入的指令位移進(jìn)行比較，然后通過控制器調(diào)整驅(qū)動(dòng)電機(jī)的輸出，從而實(shí)現(xiàn)精確的位置控制。

（四）前饋校正1.原理與設(shè)計(jì)前饋校正根據(jù)輸入信號(hào)的變化直接對系統(tǒng)進(jìn)行補(bǔ)償，以減小誤差。設(shè)計(jì)前饋校正裝置時(shí)，需要根據(jù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和輸入信號(hào)的特性來確定其傳遞函數(shù)，使得前饋補(bǔ)償信號(hào)能夠抵消系統(tǒng)的部分誤差。2.優(yōu)點(diǎn)與局限性優(yōu)點(diǎn)是能夠及時(shí)對輸入信號(hào)的變化做出響應(yīng)，快速減小誤差，提高系統(tǒng)的跟蹤精度。局限性在于對干擾信號(hào)沒有補(bǔ)償作用，且前饋校正裝置的設(shè)計(jì)需要準(zhǔn)確知道輸入信號(hào)的特性，