2025年黑龍江省示范性高中高三下學(xué)期港澳臺(tái)入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁(yè)
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2025年黑龍江省示范性高中高三下學(xué)期港澳臺(tái)入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則()A.6 B.5 C.4 D.32.為得到y(tǒng)=sin(2x-πA.向左平移π3個(gè)單位B.向左平移πC.向右平移π3個(gè)單位D.向右平移π3.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F且EF=,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.AC⊥BE B.EF平面ABCDC.三棱錐A-BEF的體積為定值 D.異面直線AE,BF所成的角為定值4.將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則函數(shù)在上的值域是()A. B. C. D.5.如圖,某幾何體的三視圖是由三個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和其內(nèi)部的一些虛線構(gòu)成的,則該幾何體的體積為()A. B. C.6 D.與點(diǎn)O的位置有關(guān)6.已知函數(shù)的最小正周期為,為了得到函數(shù)的圖象,只要將的圖象()A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度7.一只螞蟻在邊長(zhǎng)為的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行,則在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于的區(qū)域內(nèi)的概率為()A. B. C. D.8.已知,則()A. B. C. D.29.已知為等腰直角三角形,,,為所在平面內(nèi)一點(diǎn),且,則()A. B. C. D.10.?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為.則“”是“為遞增數(shù)列”的()條件.A.必要而不充分 B.充要 C.充分而不必要 D.即不充分也不必要11.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù),又是上的單調(diào)函數(shù)的是()A. B.C. D.12.設(shè)實(shí)數(shù)、滿足約束條件,則的最小值為()A.2 B.24 C.16 D.14二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)在拋物線上,則實(shí)數(shù)的值為________.14.已知變量(m>0),且,若恒成立,則m的最大值________.15.(5分)在長(zhǎng)方體中,已知棱長(zhǎng),體對(duì)角線,兩異面直線與所成的角為,則該長(zhǎng)方體的表面積是____________.16.如圖,在三棱錐中,平面,,已知,,則當(dāng)最大時(shí),三棱錐的體積為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知件次品和件正品混放在一起,現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分,每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品,檢測(cè)后不放回,直到檢測(cè)出件次品或者檢測(cè)出件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束.(1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率;(2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用元,設(shè)表示直到檢測(cè)出件次品或者檢測(cè)出件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位:元),求的分布列.18.(12分)已知在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,的面積為.(1)求證:;(2)若,求的值.19.(12分)已知中,內(nèi)角所對(duì)邊分別是其中.(1)若角為銳角,且,求的值;(2)設(shè),求的取值范圍.20.(12分)已知在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線與直線的直角坐標(biāo)方程;(2)若曲線與直線交于兩點(diǎn),求的值.21.(12分)對(duì)于給定的正整數(shù)k,若各項(xiàng)均不為0的數(shù)列滿足:對(duì)任意正整數(shù)總成立,則稱數(shù)列是“數(shù)列”.(1)證明:等比數(shù)列是“數(shù)列”;(2)若數(shù)列既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”,證明:數(shù)列是等比數(shù)列.22.(10分)已知函數(shù).(1)若在上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的最大值;(2)若,求證:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】

根據(jù)正切函數(shù)的圖象求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),再求出向量的坐標(biāo),根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出結(jié)果.【詳解】由圖象得,令=0,即=kπ,k=0時(shí)解得x=2,令=1,即,解得x=3,∴A(2,0),B(3,1),∴,∴.故選:A.本題考查正切函數(shù)的圖象,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,屬于綜合題,但是難度不大,解題關(guān)鍵是利用圖象與正切函數(shù)圖象求出坐標(biāo),再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果,屬于簡(jiǎn)單題.2.D【解析】試題分析:因?yàn)?,所以為得到y(tǒng)=sin(2x-π3)的圖象,只需要將考點(diǎn):三角函數(shù)的圖像變換.3.D【解析】

A.通過線面的垂直關(guān)系可證真假;B.根據(jù)線面平行可證真假;C.根據(jù)三棱錐的體積計(jì)算的公式可證真假;D.根據(jù)列舉特殊情況可證真假.【詳解】A.因?yàn)椋云矫?,又因?yàn)槠矫?,所以,故正確;B.因?yàn)?,所以,且平面,平面,所以平面,故正確;C.因?yàn)闉槎ㄖ担狡矫娴木嚯x為,所以為定值,故正確;D.當(dāng),,取為,如下圖所示:因?yàn)?,所以異面直線所成角為,且,當(dāng),,取為,如下圖所示:因?yàn)?,所以四邊形是平行四邊形,所以,所以異面直線所成角為,且,由此可知:異面直線所成角不是定值,故錯(cuò)誤.故選:D.本題考查立體幾何中的綜合應(yīng)用,涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計(jì)算,難度較難.注意求解異面直線所成角時(shí),將直線平移至同一平面內(nèi).4.D【解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律,三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,余弦函數(shù)的值域,求得結(jié)果.【詳解】解:把函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,可得的圖象;再根據(jù)得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,,,,函數(shù).在上,,,故,即的值域是,故選:D.本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律,三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,余弦函數(shù)的值域,屬于中檔題.5.B【解析】

根據(jù)三視圖還原直觀圖如下圖所示,幾何體的體積為正方體的體積減去四棱錐的體積,即可求出結(jié)論.【詳解】如下圖是還原后的幾何體,是由棱長(zhǎng)為2的正方體挖去一個(gè)四棱錐構(gòu)成的,正方體的體積為8,四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,頂點(diǎn)O在平面上,高為2,所以四棱錐的體積為,所以該幾何體的體積為.故選:B.本題考查三視圖求幾何體的體積,還原幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.6.A【解析】

由的最小正周期是,得,即,因此它的圖象向左平移個(gè)單位可得到的圖象.故選A.考點(diǎn):函數(shù)的圖象與性質(zhì).三角函數(shù)圖象變換方法:7.A【解析】

求出滿足條件的正的面積,再求出滿足條件的正內(nèi)的點(diǎn)到頂點(diǎn)、、的距離均不小于的圖形的面積,然后代入幾何概型的概率公式即可得到答案.【詳解】滿足條件的正如下圖所示:其中正的面積為,滿足到正的頂點(diǎn)、、的距離均不小于的圖形平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,陰影部分區(qū)域的面積為.則使取到的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)、、的距離都大于的概率是.故選:A.本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.8.B【解析】

結(jié)合求得的值,由此化簡(jiǎn)所求表達(dá)式,求得表達(dá)式的值.【詳解】由,以及,解得..故選:B本小題主要考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求值,考查二倍角公式,屬于中檔題.9.D【解析】

以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標(biāo)系,結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算,可求得點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求得,由平面向量的數(shù)量積可得答案.【詳解】如圖建系,則,,,由,易得,則.故選:D本題考查平面向量基本定理的運(yùn)用、數(shù)量積的運(yùn)算,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.10.A【解析】

根據(jù)遞增數(shù)列的特點(diǎn)可知,解得,由此得到若是遞增數(shù)列,則,根據(jù)推出關(guān)系可確定結(jié)果.【詳解】若“是遞增數(shù)列”,則,即,化簡(jiǎn)得:,又,,,則是遞增數(shù)列,是遞增數(shù)列,“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件.故選:.本題考查充分條件與必要條件的判斷,涉及到根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)范圍,屬于基礎(chǔ)題.11.C【解析】

對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即得答案.【詳解】對(duì)于,,是偶函數(shù),故選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于,,定義域?yàn)?,在上不是單調(diào)函數(shù),故選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;又時(shí),.綜上,對(duì),都有,是奇函數(shù).又時(shí),是開口向上的拋物線,對(duì)稱軸,在上單調(diào)遞增,是奇函數(shù),在上是單調(diào)遞增函數(shù),故選項(xiàng)正確;對(duì)于,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,但,在上不是單調(diào)函數(shù),故選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:.本題考查函數(shù)的基本性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.12.D【解析】

做出滿足條件的可行域,根據(jù)圖形即可求解.【詳解】做出滿足的可行域,如下圖陰影部分,根據(jù)圖象,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí),取得最小值,由,解得,即,所以的最小值為.故選:D.本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域,利用數(shù)形結(jié)合求線性目標(biāo)函數(shù)的最值,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

求出雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo),并將該交點(diǎn)代入拋物線的方程,即可求出實(shí)數(shù)的方程.【詳解】雙曲線的半焦距為,則雙曲線的右準(zhǔn)線方程為,漸近線方程為,所以,該雙曲線右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)為.由題意得,解得.故答案為:.本題考查利用拋物線上的點(diǎn)求參數(shù),涉及到雙曲線的準(zhǔn)線與漸近線方程的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.14.【解析】

在不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù),然后構(gòu)造函數(shù)f(x)=,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.【詳解】不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得,即x2lnx1<x1lnx2,又即成立,設(shè)f(x)=,x∈(0,m),∵x1<x2,f(x1)<f(x2),則函數(shù)f(x)在(0,m)上為增函數(shù),函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由f′(x)>0得1﹣lnx>0得lnx<1,得0<x<e,即函數(shù)f(x)的最大增區(qū)間為(0,e),則m的最大值為e故答案為:e本題考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的應(yīng)用,根據(jù)條件利用取對(duì)數(shù)得到不等式,從而可構(gòu)造新函數(shù),是解決本題的關(guān)鍵15.10【解析】

作出長(zhǎng)方體如圖所示,由于,則就是異面直線與所成的角,且,在等腰直角三角形中,由,得,又,則,從而長(zhǎng)方體的表面積為.16.4【解析】設(shè),則,,,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.,故答案為4三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)見解析.【解析】

(1)利用獨(dú)立事件的概率乘法公式可計(jì)算出所求事件的概率;(2)由題意可知隨機(jī)變量的可能取值有、、,計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率,由此可得出隨機(jī)變量的分布列.【詳解】(1)記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件,則;(2)由題意可知,隨機(jī)變量的可能取值為、、.則,,.故的分布列為本題考查概率的計(jì)算,同時(shí)也考查了隨機(jī)變量分布列,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.18.(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)利用,利用正弦定理,化簡(jiǎn)即可證明(2)利用(1),得到當(dāng)時(shí),,得出,得出,然后可得【詳解】證明:(1)據(jù)題意,得,∴,∴.又∵,∴,∴.解:(2)由(1)求解知,.∴當(dāng)時(shí),.又,∴,∴,∴.本題考查正弦與余弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題19.(1);(2).【解析】

(1)由正弦定理直接可求,然后運(yùn)用兩角和的正弦公式算出;(2)化簡(jiǎn),由余弦定理得,利用基本不等式求出,確定角范圍,進(jìn)而求出的取值范圍.【詳解】(1)由正弦定理,得:,且為銳角(2)本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用,基本不等式的應(yīng)用,三角函數(shù)的值域等,考查了學(xué)生運(yùn)算求解能力.20.(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為;直線的直角坐標(biāo)方程為(2)【解析】

(1)由公式可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程,消參法可化參數(shù)方程為普通方程;(2)聯(lián)立兩曲線方程,解方程組得兩交點(diǎn)坐標(biāo),從而得兩點(diǎn)間距離.【詳解】解:(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為直線的直角坐標(biāo)方程為(2)據(jù)解,得或本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化,考查參數(shù)方程與普通方程的互化,屬于基礎(chǔ)題.21.(1)證明見詳解;(2)證明見詳解【解析】

(1)由是等比數(shù)列,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得:即可證明.(2)既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”,可得,,則對(duì)于任意都成立,則成等比數(shù)列,設(shè)公比為,驗(yàn)證得答案.【詳解】(1)證明:由是等比數(shù)列,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得:等比數(shù)列是“數(shù)列”.(2)證明:既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”,可得,()(),()可得:對(duì)于任意都成立,即成等比數(shù)列,即成等比數(shù)列,成等比數(shù)列,成等比數(shù)列,設(shè),()數(shù)列是“數(shù)列”時(shí),由()可得:時(shí),由()可得:,可得,同理可證成等比數(shù)列,數(shù)列是等比數(shù)列本題是一道數(shù)列的新定義題目,考查了等

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