2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第6講、函數(shù)的概念（教師版）

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第6講函數(shù)的概念

知識(shí)梳理

1、函數(shù)的概念

（1）一般地，給定非空數(shù)集A，B，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則f，使得A中任意元素x，都

有B中唯一確定的y與之對(duì)應(yīng)，那么從集合A到集合B的這個(gè)對(duì)應(yīng)，叫做從集合A到集合B

的一個(gè)函數(shù)．記作：xyf(x)，xA．集合A叫做函數(shù)的定義域，記為D，集合{yyf(x)，

xA}叫做值域，記為C．

（2）函數(shù)的實(shí)質(zhì)是從一個(gè)非空集合到另一個(gè)非空集合的映射．

2、函數(shù)的三要素

（1）函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域．

（2）如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函

數(shù)．

3、函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．

4、分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這

種函數(shù)稱為分段函數(shù)．

【解題方法總結(jié)】

1、基本的函數(shù)定義域限制

求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：

（1）分式的分母不為零；

（2）偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零：

（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；

（4）零次冪或負(fù)指數(shù)次冪的底數(shù)不為零；

（5）三角函數(shù)中的正切ytanx的定義域是xxR,且xkx,kZ；

2

（6）已知fx的定義域求解fgx的定義域，或已知fgx的定義域求fx

的定義域，遵循兩點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍；②在同一對(duì)應(yīng)法則∫下，括號(hào)內(nèi)式

子的范圍相同；

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（7）對(duì)于實(shí)際問題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問題函

數(shù)的定義域．

2、基本初等函數(shù)的值域

（1）ykxb(k0)的值域是R．

4acb2

（2）yax2bxc(a0)的值域是：當(dāng)a0時(shí)，值域?yàn)閧yy}；當(dāng)a0時(shí)，

4a

4acb2

值域?yàn)閧yy}．

4a

k

（3）y(k0)的值域是{yy0}．

x

（4）yax(a0且a1)的值域是(0，)．

（5）ylogax(a0且a1)的值域是R．

必考題型全歸納

題型一：函數(shù)的概念

例1．（2024·山東濰坊·統(tǒng)考一模）存在函數(shù)fx滿足：對(duì)任意xR都有（）

A．fxx3B．fsinxx2C．fx22xxD．fxx21

【答案】D

【解析】對(duì)于A，當(dāng)x1時(shí)，f1f(1)1；當(dāng)x=1時(shí)，f1f(1)1，

不符合函數(shù)定義，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,令x0，則fsinxf(0)0，令xπ，則fsinπf(0)π2，

不符合函數(shù)定義，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,令x0，則f(0)0，令x2，則f(0)f(2)22(2)2，

不符合函數(shù)定義，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,fxx21|x|21,xR,則|x|0，則存在x0時(shí)，f(x)x21，

符合函數(shù)定義，即存在函數(shù)f(x)x21,(x0)滿足：對(duì)任意xR都有fxx21，D

正確，

故選：D

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例2．（2024·重慶·二模）任給u2,0，對(duì)應(yīng)關(guān)系f使方程u2v0的解v與u對(duì)應(yīng)，則

vf(u)是函數(shù)的一個(gè)充分條件是（）

A．v[4,4]B．v4,2C．v[2,2]D．v4,2

【答案】A

【解析】根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)任意u[2,0]，按vu2，在v的范圍中必有唯一的值與之

對(duì)應(yīng)，u2[0,4]，則u2[4,0]，則v的范圍要包含[4,0]，

故選：A．

例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，可以表示函數(shù)fx的圖象的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)于一個(gè)x，只能有唯一的y與之對(duì)應(yīng)，只有D滿足要求

故選：D

變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（）

A．至少1個(gè)B．至多1個(gè)C．僅有1個(gè)D．有0個(gè)、1個(gè)或多

個(gè)

【答案】B

【解析】若1不在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)，y=f(x)的圖象與直線x1沒有交點(diǎn)，

若1在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)，y=f(x)的圖象與直線x1有1個(gè)交點(diǎn)，

故選：B.

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【解題方法總結(jié)】

利用函數(shù)概念判斷

題型二：同一函數(shù)的判斷

例4．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（）．

A．fxlgx2，gx2lgx

x1

B．fxlg，gxlgx1lgx1

x1

1u1v

C．fu，gv

1u1v

2

D．fxx，gxx2

【答案】C

【解析】對(duì)于A：fxlgx2的定義域?yàn)镽，gx2lgx的定義域?yàn)?,.因?yàn)槎x域不

同，所以fx和gx不是同一個(gè)函數(shù).故A錯(cuò)誤；

x1

對(duì)于B：fxlg的定義域?yàn)?11,，gxlgx1lgx1的定義域?yàn)?/p>

x1

1,.因?yàn)槎x域不同，所以fx和gx不是同一個(gè)函數(shù).故B錯(cuò)誤；

1u1v

對(duì)于C：fu的定義域?yàn)?,1，gv的定義域?yàn)?,1，所以定義域相

1u1v

同.又對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，所以為同一個(gè)函數(shù).故C正確；

2

對(duì)于D：fxx的定義域?yàn)?,，gxx2的定義域?yàn)镽.因?yàn)槎x域不同，所

以fx和gx不是同一個(gè)函數(shù).故D錯(cuò)誤；

故選：C

例5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）下列四組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的一組是（）

A．yx,uv2B．yx2,s(t)2

x21

C．y,mn1D．yx1x1,yx21

x1

【答案】A

【解析】對(duì)于A，yx和uv2的定義域都是R，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，是同一個(gè)函數(shù)，故

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選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B，函數(shù)yx2的定義域?yàn)镽，函數(shù)s(t)2的定義域?yàn)閇0,)，定義域不同，不是

同一個(gè)函數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

x21

對(duì)于C，函數(shù)y的定義域?yàn)閧x|x1}，函數(shù)mn1的定義域?yàn)镽，定義域不同，不

x1

是同一個(gè)函數(shù)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，函數(shù)yx1x1的定義域?yàn)閧x|x1}，函數(shù)yx21的定義域?yàn)?/p>

(,1][1,)，定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

故選：A.

例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）

A．f(x)elnx，g(x)x

x24

B．f(x),g(x)x2

x2

C．f(x)x0，g(x)1

D．f(x)|x|，x{1，0，1}，g(x)x2，x{1，0，1}

【答案】D

【解析】對(duì)于A：f(x)的定義域是(0,)，g(x)的定義域是R，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，

不是同一函數(shù)，

對(duì)于B：f(x)x2，(x2)，g(x)的定義域是R，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一

函數(shù)，

對(duì)于C：f(x)的定義域?yàn)閧x|x0}，g(x)的定義域是R，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是

同一函數(shù)，

對(duì)于D：f(x)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為{(1,1)，(0,0)，(1,1)}，g(x)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為{(1,1)，(0,0)，

(1,1)}，兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相同，是同一函數(shù)，

故選：D．

【解題方法總結(jié)】

當(dāng)且僅當(dāng)給定兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則完全相同時(shí)，才表示同一函數(shù)，否則表示不

同的函數(shù)．

題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域

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x1

例7．（2024·北京·高三專題練習(xí)）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開_______.

x21

【答案】xx1

x1

【解析】令0，可得x10，解得x1.

x21

x1

故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤x1.

x21

故答案為:xx1.

x299x2

例8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若y1，則3x4y_________.

x2

【答案】5或13

x299x2

【解析】由y1有意義可得

x2

x290,9x20,x20，

所以x3或x3，

當(dāng)x3時(shí)，y1，3x4y13，

當(dāng)x3時(shí)，y1，3x4y5，

故答案為：5或13.

例．（高三課時(shí)練習(xí)）函數(shù)22的定義域?yàn)椋?/p>

92024·f(x)2xx3log332xx______

【答案】1,3

2x2x30

【解析】要使函數(shù)有意義，則，解得

21x3.

32xx0

所以函數(shù)的定義域?yàn)閇1,3).

故答案為：[1,3).

a

變式2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)a，b滿足ab2,loga，則函數(shù)

bb

1

f(x)logx的定義域?yàn)開__________.

ba

【答案】0,2

aa

aa2

【解析】由logba可得b，即b2，所以2a2b，代入ab

bbabbb

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即2bb2，解得b2或b0（舍），則a4

1

所以fxlogx

24

x0

1解得0x2

log4x0

2

所以函數(shù)定義域?yàn)?,2

故答案為:0,2

變式3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知等腰三角形的周長為40cm，底邊長ycm是腰長

xcm的函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)?)

A．10,20B．0,10C．5,10D．5,10

【答案】A

【解析】由題設(shè)有y402x，

402x0

由得10x20，故選A.

xx402x

【解題方法總結(jié)】

對(duì)求函數(shù)定義域問題的思路是：

（1）先列出使式子fx有意義的不等式或不等式組；

（2）解不等式組；

（3）將解集寫成集合或區(qū)間的形式．

題型四：抽象函數(shù)定義域

例10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)yf11x的定義域?yàn)閧x|0x1}，則

函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)開____

【答案】[1,2]

【解析】令u11x，由0x1得：1x001x1，

所以01x1111x2，即1u2，

所以，函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)閇1,2].

故答案為：[1,2]

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1121

例11．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)?，則函數(shù)yfxx

222

的定義域?yàn)開_____．

1515

【答案】,01,

22

11

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)yf(x)的定義域?yàn)?，

22

2112111515

所以在函數(shù)yfxx中，xx，解得x0或1x，

222222

211515

故函數(shù)yfxx的定義域?yàn)?01,.

222

1515

故答案為：,01,.

22

例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx1定義域?yàn)?,4，則函數(shù)fx1的定

義域?yàn)開______.

【答案】3,6

【解析】因fx1的定義域?yàn)?,4，則當(dāng)1x4時(shí)，2x15，

即fx的定義域?yàn)?,5，于是fx1中有2x15，解得3x6，

所以函數(shù)fx1的定義域?yàn)?,6.

故答案為：3,6

f2x

y

變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)?,6，則函數(shù)

log12x

2

的定義域?yàn)開_____

3

【答案】,2

2

3

x3

32x62

【解析】由函數(shù)f(x)的定義域是3,6，得到32x6，故2x0即2x.

log(2x)01x2

1

2

33

解得:x2；所以原函數(shù)的定義域是：,2.

22

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3

故答案為：,2.

2

變式5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇2,3]，則函數(shù)f(2x1)的定

義域?yàn)開_________．

1

【答案】[,2]

2

1

【解析】由22x13解得x2，

2

1

所以函數(shù)f(2x1)的定義域?yàn)閇,2].

2

1

故答案為：[,2]

2

【解題方法總結(jié)】

1、抽象函數(shù)的定義域求法：此類型題目最關(guān)鍵的就是法則下的定義域不變，若f(x)的

定義域?yàn)?a，b)，求f[g(x)]中ag(x)b的解x的范圍，即為f[g(x)]的定義域，口訣：定

義域指的是x的范圍，括號(hào)范圍相同．已知f(x)的定義域，求四則運(yùn)算型函數(shù)的定義域

2、若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的，其定義域?yàn)楦骰竞瘮?shù)定義域

的交集，即先求出各個(gè)函數(shù)的定義域，再求交集．

題型五：函數(shù)定義域的應(yīng)用

2x3

例13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的

ax2ax1

取值范圍是__________．

【答案】[0,4)

【解析】f(x)的定義域是R，則ax2ax10恒成立，

a0時(shí)，ax2ax110恒成立，

a0

a0時(shí)，則2，解得0a4，

Δa4a0

綜上，0a4．

故答案為：[0,4)．

例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知f(x)lnx2ax1的定義域?yàn)镽，那么a的取值

范圍為_________．

【答案】(2,2)

【解析】依題可知，x2ax10的解集為R，所以a240，解得2a2．

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故答案為：(2,2)．

1

例15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,)，則實(shí)數(shù)a

ax24ax3

的取值范圍是___________.

3

【答案】0,

4

1

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽，所以ax24ax30的解為R，

ax24ax3

即函數(shù)yax24ax3的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，

（1）當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)y3與x軸沒有交點(diǎn)，故a0成立；

2

（2）當(dāng)a0時(shí)，要使函數(shù)yax24ax3的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，則4a12a0，

3

解得0a.

4

3

綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是0,.

4

3

故答案為：0,

4

21

變式6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)2x2axa的定義域是R，則實(shí)數(shù)a的

2

取值范圍是__________.

1515

【答案】,

22

21x22axa1

【解析】由函數(shù)fx2x2axa的定義域?yàn)镽,得20恒成立,化簡得

22

21515

x22axa10恒成立,所以由4a41a0解得:,.

22

1515

故答案為:

,.

22

【解題方法總結(jié)】對(duì)函數(shù)定義域的應(yīng)用，是逆向思維問題，常常轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解，

必要時(shí)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．

題型六：函數(shù)解析式的求法

例16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的解析式：

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(1)已知f1sinxcos2x，求fx的解析式；

121

(2)已知fxx，求fx的解析式；

xx2

(3)已知fx是一次函數(shù)且3fx12fx12x17，求fx的解析式；

(4)已知fx滿足2fxfx3x，求fx的解析式.

【解析】(1)設(shè)1sinxt，t0,2，則sinx1t

∵f1sinxcos2x1sin2x

2

∴ft11t2tt2，t0,2

即fx2xx2，x0,2

2

1211

(2)∵f(x)xx2

xx2x

1

由勾型函數(shù)yx的性質(zhì)可得，其值域?yàn)?2U2,

x

所以fxx22，x,22,

(3)由f(x)是一次函數(shù)，可設(shè)f(x)=ax+b(a≠0)，

∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17，即ax+(5a+b)=2x+17，

a2,a2,

∴解得

5ab17,b7,

∴f(x)的解析式是f(x)=2x+7.

(4)∵2f(x)+f(-x)=3x，①

∴將x用x替換，得2fxfx3x，②

由①②解得f(x)=3x.

例17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求fx的解析式

(1)已知fx滿足fx1x24x1

(2)已知fx是一次函數(shù)，且滿足3fx1fx2x9；

1

(3)已知fx滿足2ffxxx0

x

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【解析】（1）令tx1，則xt1，

2

故ftt14t11t22t2，

所以fxx22x2；

（2）設(shè)fxkxb，

因?yàn)?fx1fx2x9，

所以3kx13bkxb2x9，

即2kx3k2b2x9，

2k2k1

所以，解得，

3k2b9b3

所以fxx3；

1

（3）因?yàn)?ffxxx0①，

x

11

所以2fxf②，

xx

2

2②①得3fxx，

x

2x

所以fxx0.

3x3

例18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求函數(shù)f(x)的解析式．

(1)已知fx1x2x，則f(x)的解析式為__________．

1

(2)已知f(x)滿足2f(x)f3x，求f(x)的解析式．

x

(3)已知f(0)1，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y都有f(xy)f(x)y(2xy1)，求f(x)的解析式．

【解析】（1）方法一（換元法）：令x1t，則x(t1)2，t1．

所以f(t)(t1)22(t1)t21(t1)，

所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)x21(x1)．

2

方法二（配湊法）：fx1x2xx2x11x11．

因?yàn)閤11，所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)x21(x1)．

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1113

（2）將代入2f(x)f3x，得2ff(x)，

xxxx

1

2f(x)f()3x,

x1

因此，解得f(x)2x(x0)．

13x

2f()f(x),

xx

（3）令x0，得f(y)f(0)y(y1)1y2y(y)2(y)1，

所以f(y)y2y1，即f(x)x2x1．

1x1x2

變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知f()，求f(x)的解析式.

1x1x2

1x1x21x1t

【解析】由f()，令t,t1，則x，

1x1x21x1t

1t

1()2

1t2t

所以f(t)2,t1，

1t2

1()t1

1t

2x

所以f(x)2(x1).

x1

變式8．（2024·廣東深圳·高三深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）寫出一個(gè)滿足：

fxyfxfy2xy的函數(shù)解析式為______.

【答案】fxx2

【解析】fxyfxfy2xy中，令xy0，解得f00，

令yx得fxxfxfx2x2，故fxfx2x2，

不妨設(shè)fxx2，滿足要求.

故答案為：fxx2

變式9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在0，上的單調(diào)函數(shù)fx，若對(duì)任意

x0，都有ffxlog1x3，則方程fx2x的解集為_______．

2

【答案】4，16．

【解析】∵定義在0，上的單調(diào)函數(shù)fx，對(duì)任意x0，都有ffxlog1x3，

2

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

令fxlog1xc，則fc3，

2

，

在上式中令xc，則fclog1cclog1cc3，解得c2，

22

故fx2log1x，

2

由得，2log1x2x即，

fx2xlog2xx

2

在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)ylog2x和yx的圖像，

可知這兩個(gè)圖像有2個(gè)交點(diǎn)，即4，2和16，4，

則方程fx2x的解集為4，16．

故答案為：4，16.

【解題方法總結(jié)】求函數(shù)解析式的常用方法如下：

（1）當(dāng)已知函數(shù)的類型時(shí)，可用待定系數(shù)法求解．

（2）當(dāng)已知表達(dá)式為fgx時(shí)，可考慮配湊法或換元法，若易將含x的式子配成gx，

用配湊法．若易換元后求出x，用換元法．

（3）若求抽象函數(shù)的解析式，通常采用方程組法．

（4）求分段函數(shù)的解析式時(shí)，要注意符合變量的要求．

（5）當(dāng)出現(xiàn)大基團(tuán)換元轉(zhuǎn)換繁瑣時(shí)，可考慮配湊法求解．

1

（6）若已知成對(duì)出現(xiàn)f(x)，f()或f(x)，f(x)，類型的抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用

x

解方程組法構(gòu)造另一個(gè)方程，消元的方法求出f(x)．

題型七：函數(shù)值域的求解

例19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

3x

（1）y；

4x

5

（2）y；

2x24x3

（3）y12xx；

x24x3

（4）y；

x2x6

（5）y432xx2；

（6）yx12x；

（7）yx35x；

（8）yx26x5

3x1

（9）y；

x2

2x2x11

（10）y(x).

2x12

3x7

【解析】（1）分式函數(shù)y1，

4xx4

7

定義域?yàn)閤x4，故0，所有y1，

x4

故值域?yàn)?,1)(1,)；

52

（2）函數(shù)y中，分母t2x24x32x111，

2x24x3

5

則y0,5，故值域?yàn)?,5；

t

1

（3）函數(shù)y12xx中，令12x0得x，

2

易見函數(shù)y12x和yx都是減函數(shù)，

111

故函數(shù)y12xx在x時(shí)是遞減的，故x時(shí)y，

22min2

1

故值域?yàn)?；

2

x24x3x13

（4）y1,x3，

x2x6x2x2

2

故值域?yàn)閥y1且y；

5

（5）y432xx24(x1)24，x1,3

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

而0(x1)244，x0,4，

0(x1)242，424(x1)2440，

即2y4，故值域?yàn)?,4；

1

（6）函數(shù)yx12x，定義域?yàn)?，令t12x0，

2

1t21t2t21

所以x，所以ytt,t0，對(duì)稱軸方程為t1，

2222

11

所以t1時(shí)，函數(shù)y11，故值域?yàn)?1；

max22

x30

（7）由題意得，解得3x5，

5x0

2

則y222x35x22x41,3x5，

22

故x410,1，2x410,2，2y24，

由y的非負(fù)性知，2y2，故函數(shù)的值域?yàn)?,2；

22

（8）函數(shù)yx26x5x34，定義域?yàn)?,1，x340,4，故

2

yx340,2，即值域?yàn)?,2；

3x17

（9）函數(shù)y3，定義域?yàn)閤x2，

x2x2

7

故0，所有y3，故值域?yàn)?,3)(3,)；

x2

2

2x2x12x12x12121

（10）函數(shù)y2x1，

2x122x122x12

1121

令t2x1，則由x知，t0，yt，

22t2

2

根據(jù)對(duì)勾函數(shù)t在0,2遞減，在2,遞增,

t

1111

可知時(shí)，，故值域?yàn)?/p>

t2ymin2222,.

2222

例20．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)yf(x)的值域是1,3，則函數(shù)g(x)32f(x1)

的值域?yàn)開_．

【答案】3,5

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)yf(x)的值域是1,3，

所以函數(shù)yf(x1)的值域?yàn)?,3，

則y2f(x1)的值域?yàn)?,2，

所以函數(shù)g(x)32f(x1)的值域?yàn)?,5．

故答案為：3,5．

sinx2

例21．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)y的值域?yàn)開____

cosx2

4747

【答案】,

33

sinx2

【解析】y表示點(diǎn)cosx,sinx與點(diǎn)2,2連線的斜率，

cosx2

cosx,sinx的軌跡為圓x2y21，

sinx2

y表示圓x2y21上的點(diǎn)與點(diǎn)2,2連線的斜率，

cosx2

由圖象可知：過2,2作圓x2y21的切線，斜率必然存在，

則設(shè)過2,2的圓x2y21的切線方程為y2kx2，即kxy2k20，

2k247

圓心0,0到切線的距離d1，解得：k，

k213

4747

結(jié)合圖象可知：圓x2y21上的點(diǎn)與點(diǎn)2,2連線的斜率的取值范圍為,，

33

sinx24747

即y的值域?yàn)?.

cosx233

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

4747

故答案為：,.

33

x24

變式10．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)y的最大值為

x25

______.

2

【答案】/0.4

5

x24x241

y22

【解析】因?yàn)?1，

x5x41x4

x24

令tx24，則t2，

11

令gxx，x2,，因?yàn)楹瘮?shù)gxx在2,上單調(diào)遞增，所以

xx

5

gx,，

2

12

2150,

即x4,，則215，

x242x4

x24

x242

即函數(shù)y的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)取等號(hào).

x255

2

故答案為：

5

變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)y1x2x的值域?yàn)開_____.

【答案】3,6

1x0

【解析】由y1x2x有意義可得，所以2x1，

2x0

y1x2x的定義域?yàn)閇2,1]，

y(1x2x)21x2x21x2x

2

219

2(1x)(2x)32xx232x3，

24

2

199

設(shè)tx，則t,0，y2t3，則y[3,6].

244

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

故答案為：3,6．

【解題方法總結(jié)】

函數(shù)值域的求法主要有以下幾種

（1）觀察法：根據(jù)最基本函數(shù)值域（如x2≥0，ax0及函數(shù)的圖像、性質(zhì)、簡單的

計(jì)算、推理，憑觀察能直接得到些簡單的復(fù)合函數(shù)的值域．

（2）配方法：對(duì)于形如yax2bxca0的值域問題可充分利用二次函數(shù)可配方的

特點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域．

（3）圖像法：根據(jù)所給數(shù)學(xué)式子的特征，構(gòu)造合適的幾何模型．

（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等．

（5）換元法：分為三角換元法與代數(shù)換元法，對(duì)于形yaxbcxd的值城，可通

過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù)．

（6）分離常數(shù)法：對(duì)某些齊次分式型的函數(shù)進(jìn)行常數(shù)化處理，使函數(shù)解析式簡化內(nèi)便

于分析．

（7）判別式法：把函數(shù)解析式化為關(guān)于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判別

ax2bxc

式求值域，一般地，形如yAxB，ax2bxc或y的函數(shù)值域問題可運(yùn)

dx2exf

用判別式法（注意x的取值范圍必須為實(shí)數(shù)集R）．

（8）單調(diào)性法：先確定函數(shù)在定義域（或它的子集）內(nèi)的單調(diào)性，再求出值域．對(duì)于

形如yaxbcxd或yaxbcxd的函數(shù)，當(dāng)ac>0時(shí)可利用單調(diào)性法．

（9）有界性法：充分利用三角函數(shù)或一些代數(shù)表達(dá)式的有界性，求出值域．因?yàn)槌３?/p>

現(xiàn)反解出y的表達(dá)式的過程，故又常稱此為反解有界性法．

（10）導(dǎo)數(shù)法：先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，再確定最大（?。┲?，從而求

出函數(shù)的值域．

題型八：分段函數(shù)的應(yīng)用

f(x1),x0

例22．（2024·四川成都·成都七中統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)2，則

x3x4,x0

ff4（）

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

A．-6B．0C．4D．6

【答案】A

【解析】由分段函數(shù)知：當(dāng)x0時(shí)，周期T1，

所以f4f45f11346，

所以ff4f6f67f16．

故選：A

3x11,x1,

例23．（2024·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx且fm2，

log3x52,x1,

則fm6（）

A．-16B．16C．26D．27

【答案】C

【解析】當(dāng)m1時(shí)，fm23m1123m11m，

當(dāng)m1時(shí)，fm2log3m522m4，

所以fm6f2321126，

故選：C

x22x,x0

例．（全國高三專題練習(xí)）已知，滿足fafa，則的

242024··fx2a

x2x,x0

取值范圍是（）

A．,20,2B．,22,

C．2,00,2D．2,02,

【答案】D

22

【解析】當(dāng)a<0時(shí)，faa2a,faa2a，

22

所以fafaa2aa2a，即a22a0，解得2a0，

當(dāng)a0時(shí)，faa22a,faa22a，

22

所以fafaa2aa2a，即a22a0，解得a2，

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

所以，a的取值范圍是2,0