2025年高考數(shù)學(xué)模擬考試卷附答案

第頁(yè)2025年高考數(shù)學(xué)模擬考試卷附答案（考試時(shí)間：120分鐘；試卷滿分：150分）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知，則是的（）條件．A．必要不充分 B．充分不必要C．充要 D．既不充分也不必要3．設(shè)，，，則三者的大小順序是（

）A． B．C． D．4．已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象是（

）A． B． C． D．5．函數(shù)向左平移個(gè)單位得到，若是偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．6．已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列.若數(shù)列中存在兩項(xiàng)，，使得為它們的等比中項(xiàng)，則的最小值為（

）A．1 B．3 C．6 D．97．已知甲?乙兩組樣本數(shù)據(jù)分別為和，則下列結(jié)論正確的為（

）A．甲組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)與乙組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)一定相等B．甲組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)與乙組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定相等C．甲組樣本數(shù)據(jù)的極差可能會(huì)大于乙組樣本數(shù)據(jù)的極差D．甲組樣本數(shù)據(jù)的方差一定不大于乙組樣本數(shù)據(jù)的方差8．《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑中，平面，，，以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．9．雙曲線：的離心率為，實(shí)軸長(zhǎng)為4，的兩個(gè)焦點(diǎn)為，.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)P在C上，且，則（

）A．2 B． C． D．二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。10．為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為．11．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.12．直線與圓相交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，且為等邊三角形，則的值為．13．甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有10個(gè)球，其中甲箱中有5個(gè)紅球，5個(gè)白球，乙箱中有8個(gè)紅球，2個(gè)白球，A同學(xué)從乙箱子中隨機(jī)摸出3個(gè)球，則3個(gè)球顏色不全相同的概率是，同學(xué)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)為1或2，從甲箱子隨機(jī)摸出1個(gè)球，如果點(diǎn)數(shù)為3，4，5，6，從乙箱子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，則B同學(xué)摸到紅球的概率為．14．在平行四邊形中，，是的中點(diǎn)，，若設(shè)，則可用，表示為；若的面積為，則的最小值為．15．已知函數(shù)，則函數(shù)存在個(gè)極值點(diǎn)；若方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則的取值范圍是三、解答題：本題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。16．（14分）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求；(2)若，，求；(3)若，求．17．（15分）如圖所示，在三棱柱中，平面，，，D是棱的中點(diǎn)，是的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)．(1)求證平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．18．（15分）已知橢圓的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為，，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)作不平行于坐標(biāo)軸的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，若，求直線的方程.19．（15分）已知是等差數(shù)列，，.(1)求的通項(xiàng)公式和；(2)已知為正整數(shù)，記集合的元素個(gè)數(shù)為數(shù)列.若的前項(xiàng)和為，設(shè)數(shù)列滿足，，求的前項(xiàng)的和.20．（16分）已知函數(shù).(1)若，求在處的切線方程；(2)若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，證明：.參考答案一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，解得，所以，?故選：C.2．已知，則是的（）條件．A．必要不充分 B．充分不必要C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】記集合,,A真包含于B，所以是的充分不必要條件．故選：B.3．設(shè)，，，則三者的大小順序是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，，由對(duì)數(shù)換底公式得：，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，∴，由以上判斷得：；故選：A.4．已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以的定義域?yàn)椋耘懦鼳，C．因?yàn)椋?，所以排除B．故選：D5．函數(shù)向左平移個(gè)單位得到，若是偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，在中，向左平移得到，所以，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，又因?yàn)椋?，故選：D.6．已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列.若數(shù)列中存在兩項(xiàng)，，使得為它們的等比中項(xiàng)，則的最小值為（

）A．1 B．3 C．6 D．9【答案】B【解析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列公比為，由，，成等差數(shù)列，有，即，得，由，解得，若數(shù)列中存在兩項(xiàng)，，使得為它們的等比中項(xiàng)，則，即，得，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為3.故選：B7．已知甲?乙兩組樣本數(shù)據(jù)分別為和，則下列結(jié)論正確的為（

）A．甲組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)與乙組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)一定相等B．甲組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)與乙組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定相等C．甲組樣本數(shù)據(jù)的極差可能會(huì)大于乙組樣本數(shù)據(jù)的極差D．甲組樣本數(shù)據(jù)的方差一定不大于乙組樣本數(shù)據(jù)的方差【答案】B【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：若甲組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，且5個(gè)數(shù)據(jù)由小到大排列為：時(shí)；那么乙組樣本數(shù)據(jù)的大小排列為：，此時(shí)乙組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故用反例法證明了A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)：甲組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)……①甲組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)……②①②式相等，故B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)：設(shè)分三種情況討論：情況一：變化只改變了最大值，即……③由不等式性質(zhì)對(duì)上式變形有：……④④說(shuō)明：甲組樣本數(shù)據(jù)的極差乙組樣本數(shù)據(jù)的極差；情況二：變化只改變了最小值，即……⑤對(duì)⑤式利用不等式變形有：……⑥⑥說(shuō)明：甲組樣本數(shù)據(jù)的極差乙組樣本數(shù)據(jù)的極差；情況三：變化改變了最大值與最小值，即……⑦；……⑧對(duì)⑦利用不等式變形有：……⑨⑧⑨有：……⑩⑩說(shuō)明：甲組樣本數(shù)據(jù)的極差乙組樣本數(shù)據(jù)的極差；綜上所述：只能得到甲組樣本數(shù)據(jù)的極差乙組樣本數(shù)據(jù)的極差，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)：設(shè)甲組數(shù)據(jù)的分別為；那么乙組數(shù)據(jù)的分別為；此時(shí)有；故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.綜上所述應(yīng)選B.故選：B.8．《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑中，平面，，，以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)槠矫?，、平面，所以，，因?yàn)椋?，、平面，所以平面，如圖所示，設(shè)為球與平面的交線，則，，所以，所以所在的圓是以為圓心，為半徑的圓，因?yàn)榍遥?，所以弧的長(zhǎng)為．故選：B.9．雙曲線：的離心率為，實(shí)軸長(zhǎng)為4，的兩個(gè)焦點(diǎn)為，.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)P在C上，且，則（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，所以，在中，由余弦定理得，，由于，所以，故，由于是的中點(diǎn)，所以，則，即，即，①而，兩邊平方并整理得，，②聯(lián)立①②可得.故選：B．二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。10．為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以?fù)數(shù)的虛部為，故答案為：.11．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.【答案】40【解析】依題意，的展開式的通項(xiàng)為，令可得.故常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：4012．直線與圓相交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，且為等邊三角形，則的值為．【答案】【解析】由題意知，,所以,則圓心到直線的距離為：，則，故答案為：.13．甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有10個(gè)球，其中甲箱中有5個(gè)紅球，5個(gè)白球，乙箱中有8個(gè)紅球，2個(gè)白球，A同學(xué)從乙箱子中隨機(jī)摸出3個(gè)球，則3個(gè)球顏色不全相同的概率是，同學(xué)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)為1或2，從甲箱子隨機(jī)摸出1個(gè)球，如果點(diǎn)數(shù)為3，4，5，6，從乙箱子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，則B同學(xué)摸到紅球的概率為．【答案】/0.7【解析】A同學(xué)從乙箱子中隨機(jī)摸出3個(gè)球，全是紅球的概率為，故3個(gè)球顏色不全相同的概率為，同學(xué)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)為1或2，從甲箱子隨機(jī)摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為，如果點(diǎn)數(shù)為3，4，5，6，從乙箱子中隨機(jī)摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為，則B同學(xué)摸到紅球的概率為.故答案為：；.14．在平行四邊形中，，是的中點(diǎn)，，若設(shè)，則可用，表示為；若的面積為，則的最小值為．【答案】【解析】如圖所示，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，設(shè)，因?yàn)榈拿娣e為，可得，即，又由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：；.15．已知函數(shù)，則函數(shù)存在個(gè)極值點(diǎn)；若方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則的取值范圍是【答案】4；【解析】對(duì)于函數(shù)．當(dāng)時(shí)，．令，解得：或；令，解得：；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．而，；，．當(dāng)時(shí)，．令，解得：；令，解得：；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．而；，，．作出的圖象如圖所示：所以函數(shù)存在4個(gè)極值點(diǎn).解關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,即關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以關(guān)于的方程有一個(gè)非零的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與有一個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)．結(jié)合圖象可得：或，所以的取值范圍是．故答案為：4；.三、解答題：本題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。16．（14分）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求；(2)若，，求；(3)若，求．【解析】（1）在中，由正弦定理及，得，則，而，則，又，所以.（2）由，得，由（1）及余弦定理，得，解得，所以.（3）由及正弦定理，得，則，顯然，即，則A為銳角，，于是，，所以.17．（15分）如圖所示，在三棱柱中，平面，，，D是棱的中點(diǎn)，是的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)．(1)求證平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．【解析】（1）在三棱柱中，連接，連接，由，是棱的中點(diǎn)，得是的中點(diǎn)，由為平行四邊形，得為線段中點(diǎn)，于是，而平面，平面，所以平面.（2）在三棱柱中，平面，，則直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，得，則，顯然平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值.（3）由（1）知，點(diǎn)平面，由（2）知，設(shè)平面的法向量，則，令，得，所以點(diǎn)到平面的距離.18．（15分）已知橢圓的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為，，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)作不平行于坐標(biāo)軸的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，若，求直線的方程.【解析】（1）由題意，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為，所以，即，①又因?yàn)殡x心率，②聯(lián)立①②，解得，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，，，，由（1）可知，，，由題意可設(shè)直線，則，；聯(lián)立，得．則，．由直線的方程：，得縱坐標(biāo)；由直線的方程：，得的縱坐標(biāo)．若，即，，所以，整理得，代入根與系數(shù)的關(guān)系，得，解得，所以直線方程：或.19．（15分）已知是等差數(shù)列，，.(1)求的通項(xiàng)公式和；(2)已知為正整數(shù)，記集合的元素個(gè)數(shù)為數(shù)列.若的前項(xiàng)和為，設(shè)數(shù)列滿足，，求的前項(xiàng)的和.【解析】（1）由題意，（分別是首項(xiàng)，公差），解得，所以的通項(xiàng)公式為，所以.（2）由題