2025年高考數(shù)學模擬考試卷附答案

第頁2025年高考數(shù)學模擬考試卷附答案（考試時間：120分鐘；試卷滿分：150分）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知，則是的（）條件．A．必要不充分 B．充分不必要C．充要 D．既不充分也不必要3．設，，，則三者的大小順序是（

）A． B．C． D．4．已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象是（

）A． B． C． D．5．函數(shù)向左平移個單位得到，若是偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．6．已知正項等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列.若數(shù)列中存在兩項，，使得為它們的等比中項，則的最小值為（

）A．1 B．3 C．6 D．97．已知甲?乙兩組樣本數(shù)據(jù)分別為和，則下列結論正確的為（

）A．甲組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)與乙組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)一定相等B．甲組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)與乙組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定相等C．甲組樣本數(shù)據(jù)的極差可能會大于乙組樣本數(shù)據(jù)的極差D．甲組樣本數(shù)據(jù)的方差一定不大于乙組樣本數(shù)據(jù)的方差8．《九章算術》中將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑中，平面，，，以為球心，為半徑的球面與側面的交線長為（

）A． B． C． D．9．雙曲線：的離心率為，實軸長為4，的兩個焦點為，.設O為坐標原點，若點P在C上，且，則（

）A．2 B． C． D．二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。10．為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則的虛部為．11．的展開式中的常數(shù)項為.12．直線與圓相交于兩點，若點為圓上一點，且為等邊三角形，則的值為．13．甲和乙兩個箱子中各裝有10個球，其中甲箱中有5個紅球，5個白球，乙箱中有8個紅球，2個白球，A同學從乙箱子中隨機摸出3個球，則3個球顏色不全相同的概率是，同學擲一枚質地均勻的骰子，如果點數(shù)為1或2，從甲箱子隨機摸出1個球，如果點數(shù)為3，4，5，6，從乙箱子中隨機摸出1個球，則B同學摸到紅球的概率為．14．在平行四邊形中，，是的中點，，若設，則可用，表示為；若的面積為，則的最小值為．15．已知函數(shù)，則函數(shù)存在個極值點；若方程有兩個不等實根，則的取值范圍是三、解答題：本題共5小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。16．（14分）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求；(2)若，，求；(3)若，求．17．（15分）如圖所示，在三棱柱中，平面，，，D是棱的中點，是的延長線與的延長線的交點．(1)求證平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點到平面的距離．18．（15分）已知橢圓的離心率，左、右焦點分別為，，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)過作不平行于坐標軸的直線與橢圓交于，兩點，直線交軸于點，直線交軸于點，若，求直線的方程.19．（15分）已知是等差數(shù)列，，.(1)求的通項公式和；(2)已知為正整數(shù)，記集合的元素個數(shù)為數(shù)列.若的前項和為，設數(shù)列滿足，，求的前項的和.20．（16分）已知函數(shù).(1)若，求在處的切線方程；(2)若對任意的恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3)當時，證明：.參考答案一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，解得，所以，，.故選：C.2．已知，則是的（）條件．A．必要不充分 B．充分不必要C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】記集合,,A真包含于B，所以是的充分不必要條件．故選：B.3．設，，，則三者的大小順序是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由對數(shù)函數(shù)的性質可知，，由對數(shù)換底公式得：，由對數(shù)函數(shù)的性質可知，∴，由以上判斷得：；故選：A.4．已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為的定義域為，所以的定義域為，所以排除A，C．因為，所以，所以排除B．故選：D5．函數(shù)向左平移個單位得到，若是偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，在中，向左平移得到，所以，因為為偶函數(shù)，所以，又因為，所以，故選：D.6．已知正項等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列.若數(shù)列中存在兩項，，使得為它們的等比中項，則的最小值為（

）A．1 B．3 C．6 D．9【答案】B【解析】設正項等比數(shù)列公比為，由，，成等差數(shù)列，有，即，得，由，解得，若數(shù)列中存在兩項，，使得為它們的等比中項，則，即，得，則，，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為3.故選：B7．已知甲?乙兩組樣本數(shù)據(jù)分別為和，則下列結論正確的為（

）A．甲組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)與乙組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)一定相等B．甲組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)與乙組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定相等C．甲組樣本數(shù)據(jù)的極差可能會大于乙組樣本數(shù)據(jù)的極差D．甲組樣本數(shù)據(jù)的方差一定不大于乙組樣本數(shù)據(jù)的方差【答案】B【解析】對于A選項：若甲組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，且5個數(shù)據(jù)由小到大排列為：時；那么乙組樣本數(shù)據(jù)的大小排列為：，此時乙組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故用反例法證明了A選項錯誤.對于B選項：甲組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)……①甲組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)……②①②式相等，故B選項正確.對于C選項：設分三種情況討論：情況一：變化只改變了最大值，即……③由不等式性質對上式變形有：……④④說明：甲組樣本數(shù)據(jù)的極差乙組樣本數(shù)據(jù)的極差；情況二：變化只改變了最小值，即……⑤對⑤式利用不等式變形有：……⑥⑥說明：甲組樣本數(shù)據(jù)的極差乙組樣本數(shù)據(jù)的極差；情況三：變化改變了最大值與最小值，即……⑦；……⑧對⑦利用不等式變形有：……⑨⑧⑨有：……⑩⑩說明：甲組樣本數(shù)據(jù)的極差乙組樣本數(shù)據(jù)的極差；綜上所述：只能得到甲組樣本數(shù)據(jù)的極差乙組樣本數(shù)據(jù)的極差，故C錯誤.對于D選項：設甲組數(shù)據(jù)的分別為；那么乙組數(shù)據(jù)的分別為；此時有；故D選項錯誤.綜上所述應選B.故選：B.8．《九章算術》中將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑中，平面，，，以為球心，為半徑的球面與側面的交線長為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為平面，、平面，所以，，因為，，、平面，所以平面，如圖所示，設為球與平面的交線，則，，所以，所以所在的圓是以為圓心，為半徑的圓，因為且，所以，所以弧的長為．故選：B.9．雙曲線：的離心率為，實軸長為4，的兩個焦點為，.設O為坐標原點，若點P在C上，且，則（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，所以，在中，由余弦定理得，，由于，所以，故，由于是的中點，所以，則，即，即，①而，兩邊平方并整理得，，②聯(lián)立①②可得.故選：B．二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。10．為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則的虛部為．【答案】【解析】因為，所以，所以復數(shù)的虛部為，故答案為：.11．的展開式中的常數(shù)項為.【答案】40【解析】依題意，的展開式的通項為，令可得.故常數(shù)項為.故答案為：4012．直線與圓相交于兩點，若點為圓上一點，且為等邊三角形，則的值為．【答案】【解析】由題意知，,所以,則圓心到直線的距離為：，則，故答案為：.13．甲和乙兩個箱子中各裝有10個球，其中甲箱中有5個紅球，5個白球，乙箱中有8個紅球，2個白球，A同學從乙箱子中隨機摸出3個球，則3個球顏色不全相同的概率是，同學擲一枚質地均勻的骰子，如果點數(shù)為1或2，從甲箱子隨機摸出1個球，如果點數(shù)為3，4，5，6，從乙箱子中隨機摸出1個球，則B同學摸到紅球的概率為．【答案】/0.7【解析】A同學從乙箱子中隨機摸出3個球，全是紅球的概率為，故3個球顏色不全相同的概率為，同學擲一枚質地均勻的骰子，如果點數(shù)為1或2，從甲箱子隨機摸出1個球為紅球的概率為，如果點數(shù)為3，4，5，6，從乙箱子中隨機摸出1個球為紅球的概率為，則B同學摸到紅球的概率為.故答案為：；.14．在平行四邊形中，，是的中點，，若設，則可用，表示為；若的面積為，則的最小值為．【答案】【解析】如圖所示，根據(jù)向量的運算法則，可得，設，因為的面積為，可得，即，又由，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：；.15．已知函數(shù)，則函數(shù)存在個極值點；若方程有兩個不等實根，則的取值范圍是【答案】4；【解析】對于函數(shù)．當時，．令，解得：或；令，解得：；所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．而，；，．當時，．令，解得：；令，解得：；所以在上單調遞減，在上單調遞增．而；，，．作出的圖象如圖所示：所以函數(shù)存在4個極值點.解關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根,即關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，只有一個實數(shù)根，所以關于的方程有一個非零的實數(shù)根，即函數(shù)與有一個交點，橫坐標．結合圖象可得：或，所以的取值范圍是．故答案為：4；.三、解答題：本題共5小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。16．（14分）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求；(2)若，，求；(3)若，求．【解析】（1）在中，由正弦定理及，得，則，而，則，又，所以.（2）由，得，由（1）及余弦定理，得，解得，所以.（3）由及正弦定理，得，則，顯然，即，則A為銳角，，于是，，所以.17．（15分）如圖所示，在三棱柱中，平面，，，D是棱的中點，是的延長線與的延長線的交點．(1)求證平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點到平面的距離．【解析】（1）在三棱柱中，連接，連接，由，是棱的中點，得是的中點，由為平行四邊形，得為線段中點，于是，而平面，平面，所以平面.（2）在三棱柱中，平面，，則直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，由，得，則，顯然平面的一個法向量，設平面的法向量，則，令，得，設平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值.（3）由（1）知，點平面，由（2）知，設平面的法向量，則，令，得，所以點到平面的距離.18．（15分）已知橢圓的離心率，左、右焦點分別為，，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)過作不平行于坐標軸的直線與橢圓交于，兩點，直線交軸于點，直線交軸于點，若，求直線的方程.【解析】（1）由題意，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為，所以，即，①又因為離心率，②聯(lián)立①②，解得，所以橢圓的方程為.（2）設，，，，由（1）可知，，，由題意可設直線，則，；聯(lián)立，得．則，．由直線的方程：，得縱坐標；由直線的方程：，得的縱坐標．若，即，，所以，整理得，代入根與系數(shù)的關系，得，解得，所以直線方程：或.19．（15分）已知是等差數(shù)列，，.(1)求的通項公式和；(2)已知為正整數(shù)，記集合的元素個數(shù)為數(shù)列.若的前項和為，設數(shù)列滿足，，求的前項的和.【解析】（1）由題意，（分別是首項，公差），解得，所以的通項公式為，所以.（2）由題