新高考數(shù)學二輪復習 專題06 導數(shù) 解答題題型分類提升講與練（教師版）

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】第第頁資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】專題06導數(shù)（解答題）考法一含參單調性的分類討論【例1-1】（2023·海南?？凇まr墾中學校考模擬預測）已知函數(shù)．(1)討論的單調性；(2)求在上的最小值．【答案】(1)答案見解析；(2)【解析】（1）函數(shù)的定義域為，則．當時，在上恒成立，故此時在上單調遞減；當時，由，得,由，得，故此時在上單調遞減，在上單調遞增．綜上，當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增．（2）由（1）知，當時，在上單調遞減，所以在上單調遞減，所以；當時，(i)若，即時，在上單調遞增，此時，；(ii)若，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，此時，；(iii)若，即時，在上單調遞減，此時，．綜上所述，．【變式】1．（2023秋·北京·高三北師大實驗中學校考階段練習）已知函數(shù)其中．(1)若，求函數(shù)的單調區(qū)間和極值;(2)當時，討論函數(shù)的單調區(qū)間．【答案】(1)的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為；極小值答案見解析【解析】（1）函數(shù)的定義域為．則，令，可得，當變化時，和的變化情況如下：單調遞減單調遞減單調遞增故函數(shù)的單調減區(qū)間為;單調增區(qū)間為．當時，函數(shù)有極小值.（2）因為，所以，所以函數(shù)的定義域為，求導可得令，可得，當時，，因為(當且僅當時，)所以函數(shù)在單調遞增．當時，，當變化時，和的變化情況如下：單調遞增單調遞減單調遞增故函數(shù)的單調減區(qū)間為單調增區(qū)間為當時，，當變化時，和的變化情況如下：單調遞增單調遞減單調遞增故函數(shù)的單調減區(qū)間為單調增區(qū)間為，綜上，當時，函數(shù)在單調遞增；當時，函數(shù)的單調減區(qū)間為單調增區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調減區(qū)間為單調增區(qū)間為，考法二討論零點個數(shù)【例2】（2023·河南信陽·信陽高中?？寄M預測）已知為實數(shù)，函數(shù)(1)當時，求函數(shù)的極值點；(2)當時，試判斷函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由．【答案】(1)有且僅有一個極小值點(2)零點個數(shù)為2，理由見解析【解析】（1）當a=0時，，故，令，故，與在區(qū)間上的情況如下：0+極小值所以在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間單調遞增，所以函數(shù)有且僅有一個極小值點．（2）函數(shù)的零點個數(shù)為2，理由如下：（1）當時，．由于，所以，故函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，，所以函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點；（2）當時，，故，令，得，，故，因此恒有，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增；又，所以函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點．綜上，函數(shù)的零點個數(shù)為2．【變式】1．（2023·江西南昌·南昌市八一中學?？既＃┰O函數(shù)，，其中，曲線在處的切線方程為(1)若的圖象恒在圖象的上方，求的取值范圍；(2)討論關于的方程根的個數(shù)．【答案】(1)；(2)答案見解析【解析】（1），則，則,又因為，解得，，所以；由題意得，對一切恒成立，分離參數(shù)得，對一切恒成立，令，則，令，則，，所以函數(shù)過點，且在上單調遞減，當時，；當時，．又易知與同號，所以在上單調遞增，在上單調遞減，則，所以，故的取值范圍為；（2）由題意，原方程等價于分離參數(shù)后的方程，令，由（1）知，在上單調遞增，在上單調遞減，又當時，；當時，，所以的大致圖象如圖.觀察圖象可知：

當時，方程根的個數(shù)為；當時，根的個數(shù)為；當時，根的個數(shù)為．考法三已知零點個數(shù)求參數(shù)【例3】（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，其中.(1)若，求的單調區(qū)間；(2)若恰有2個不同的極值點，求的取值范圍；(3)若恰有2個不同的零點，求的取值范圍.【答案】(1)單調減區(qū)間為，無增區(qū)間.(2)(3)【解析】（1）解：若，則，可得，設，則，當時，遞增；當時，遞減，所以，即，所以在遞減，即的單調減區(qū)間為，無增區(qū)間.（2）解：由函數(shù)，可得，由題意可得有兩個不等的正根，設，若，則在遞增，不符合題意；若，可得，令，可得，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，可得，因為有兩個不等的正根，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.（3）解：由，可得，即，設，則，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以，又時，時，，因為恰有2個不同的零點，所以，可得，所以實數(shù)的取值范圍是.【變式】1．（2023·河南·模擬預測）已知函數(shù)，且.(1)求在上的最大值；(2)設函數(shù)，若函數(shù)在上有三個零點，求的取值范圍.【答案】(1)最小值為，最大值為.(2)【解析】（1）解：由函數(shù)，可得，因為，可得，解得，所以且，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；當，函數(shù)取得極大值；當，函數(shù)取得極小值，又由，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為.（2）解：由函數(shù)和，可得，因為函數(shù)在上有三個零點，即有三個實數(shù)根，等價于與的圖象有三個不同的交點，又由，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以當，函數(shù)取得極小值；當，函數(shù)取得極小值，又由當時，，當時，，要使得與的圖象有三個不同的交點，可得，即實數(shù)的取值范圍是.考法四恒成立與能成立問題【例4】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，其中.(1)討論函數(shù)極值點的個數(shù)；(2)對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【解析】（1）由題意知：定義域為，，令，則，令，則，當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增，又，當時，恒成立，大致圖象如下圖所示，

則當時，恒成立，即恒成立，在上單調遞減，無極值點；當時，與有兩個不同交點，此時有兩個變號零點，有兩個極值點；當時，與有且僅有一個交點，此時有且僅有一個變號零點，有且僅有一個極值點；綜上所述：當時，無極值點；當時，有兩個極值點；當時，有且僅有一個極值點.（2）由題意知：當時，恒成立；設，則，當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增，，即，，又恒成立，，即實數(shù)的取值范圍為.【變式】1．（2023·浙江·模擬預測）已知函數(shù).(1)討論的單調性；(2)若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【解析】（1），當時，，在上單調遞減；當時，，所以時，單調遞增，時，單調遞減，綜上所述，當時，單調遞減；當時，在上單調遞增；在上單調遞減.（2）若對任意恒成立，可得，即對任意恒成立，令，，，令，，因為，所以，所以在上單調遞減，在上單調遞減，在上單調遞減，所以在上單調遞減，所以當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以，可得.2．（2023秋·江西·高三臨川一中校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)．(1)討論的單調性；(2)若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2)【解析】（1）因為，所以，因為，當時，，所以當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增，當時，由，得或，當即時，，在上單調遞增，當時，，時，，在上單調遞減，或時，，在上單調遞增，當時，，時，，在上單調遞減；或時，，在上單調遞增．綜上可得，時，在上單調遞減，在上單調遞增；時，在上單調遞增；時，在上單調遞減，在，上單調遞增；時，在上單調遞減，在，上單調遞增．（2）由題可得，所以，由（1）得當時，在上單調遞增，則時，不滿足題意，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，當，即時在上單調遞減，時，，滿足題意，當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，由時，恒成立，則，即，因為，，所以，綜上得實數(shù)的取值范圍為．考法五不等式的證明【例5】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，．(1)求的極值；(2)證明：當時，．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)極大值為，無極小值(2)證明見解析【解析】（1）的定義域為，，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，故在處取得極大值，所以的極大值為，無極小值；（2）設，則，令，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，又，，，所以存在，使得，即．當時，，即，單調遞減，當時，，即，單調遞增，所以當時，在處取得極小值，即為最小值，故，設，因為，由二次函數(shù)的性質得函數(shù)在上單調遞減，故，所以當時，，即．【變式】1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)討論的單調性；(2)證明：當時，．【解析】（1）因為，定義域為，所以，當時，由于，則，故恒成立，所以在上單調遞減；當時，令，解得，當時，，則在上單調遞減；當時，，則在上單調遞增；綜上：當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，則恒成立，所以當時，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調遞增，所以在上單調遞增，又，所以當時，；當時，；所以在上單調遞減，在上單調遞增，故，則，當且僅當時，等號成立，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，則恒成立，所以當時，恒成立，證畢.考法六三角函數(shù)型【例6】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調性；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)在上單調遞減；(2)【解析】（1）因為，所以，則，令，由于，所以，所以，因為，，，所以在上恒成立，所以在上單調遞減.（2）法一：構建，則，若，且，則，解得，當時，因為，又，所以，，則，所以，滿足題意；當時，由于，顯然，所以，滿足題意；綜上所述：若，等價于，所以的取值范圍為.法二：因為，因為，所以，，故在上恒成立，所以當時，，滿足題意；當時，由于，顯然，所以，滿足題意；當時，因為，令，則，注意到，若，，則在上單調遞增，注意到，所以，即，不滿足題意；若，，則，所以在上最靠近處必存在零點，使得，此時在上有，所以在上單調遞增，則在上有，即，不滿足題意；綜上：.【變式】1．（2023·海南省直轄縣級單位·校考模擬預測）已知函數(shù)，的導函數(shù)為．(1)若在上單調遞減，求實數(shù)的取值范圍；(2)當時，記函數(shù)的極大值和極小值分別為，，求證：．【答案】(1)；(2)證明見解析【解析】（1）依題意，，根據(jù)題意知，在上恒成立，即在上恒成立．令，，則，令，，則，則時，，時，，故在上單調遞減，在上單調遞增．而，，，故，，當時，，，即在上單調遞增，當時，，，即在上單調遞減，故，則，故實數(shù)的取值范圍為．（2）令，則，設，分別為函數(shù)在上的極大值點與極小值點，所以，，則，且．所以，由，得，其中，，故．設，，則，令，解得，故當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增，故，即，故．考法七切線問題【例7】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，曲線在點處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．【答案】(1)3；(2)【解析】（1）由題意知，，，，則在點處的切線方程為，即，設該切線與切于點，，則，解得，則，解得；（2），則在點處的切線方程為，整理得，設該切線與切于點，，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時，的變化情況如下表：01000則的值域為，故的取值范圍為.【變式】1．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）已知，函數(shù)．(1)討論的單調性；(2)求證：存在，使得直線與函數(shù)的圖像相切．【解析】（1）的定義域是，，當時，恒成立，在單調遞增；當時，令，則，顯然成立，解得：，，當時，；當時，，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是．（2），則，設切點坐標為．由直線與函數(shù)的圖象相切，則，解得：．顯然直線過原點，則，所以．整理得，即：，得：．設，．當時，，遞減，當時，，遞增．又，．所以存在，使得．存在，使得直線與函數(shù)的圖像相切．2．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）已知，函數(shù).(1)若是增函數(shù)，求的取值范圍；(2)證明：當，且時，存在三條直線是曲線的切線，也是曲線的切線.【答案】(1)；(2)證明見解析【解析】（1）的定義域為令，令，得；令，得，故在上單調遞減，在上單調遞增，從而，故的取值范圍是.（2）設曲線的切點為，則曲線在點處的切線方程為.聯(lián)立，得，必有，記函數(shù)，由題，故當時，.記，令，得；令，得，故在上單調遞減，在上單調遞增.當，且時，，當時，，故存在，使得，當，或時，；當時，，故在上單調遞增，在上單調遞減.由，得，代入并整理得：同理，記，由（1）知為增函數(shù)，，，又，當時，，有三個零點，存在三條直線是曲線的切線，也是曲線的切線.考法八極值點偏移【例8】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，則．【答案】(1)；(2)證明見的解析【解析】（1）[方法一]：常規(guī)求導的定義域為，則令,得，當單調遞減當單調遞增，若,則,即，所以的取值范圍為[方法二]：同構處理由得：，令，則即令，則，故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為（2）[方法一]：構造函數(shù)由題知,一個零點小于1,一個零點大于1，不妨設要證,即證因為,即證又因為,故只需證即證即證下面證明時，設，則設所以,而所以,所以所以在單調遞增，即,所以令，所以在單調遞減，即,所以；綜上,,所以.[方法二]：對數(shù)平均不等式由題意得：，令，則，所以在上單調遞增，故只有1個解又因為有兩個零點，故兩邊取對數(shù)得：，即又因為，故，即下證因為不妨設，則只需證構造，則故在上單調遞減，故，即得證【變式】1．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）設函數(shù).(1)若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)已知方程有兩個不同的根、，求證：，其中為自然對數(shù)的底數(shù).【答案】(1)；(2)證明見解析【解析】（1）解：由，得.令，，則，令，則.所以，函數(shù)在上單增，故.①當時，則，所以在上單增，，此時對恒成立，符合題意；②當時，，，故存在使得，當時，，則單調遞減，此時，不符合題意.綜上，實數(shù)的取值范圍.（2）證明：由（1）中結論，取，有，即.不妨設，，則，整理得.于是，即.專題06導數(shù)（解答題）鞏固提升練習1．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)討論的單調性.【答案】(1)；(2)答案見解析【解析】（1）由已知，則，當時，，，則曲線在處的切線方程為，即（2）由（1）知，，①當時，，當時，，在單調遞增；當時，，在單調遞減；②當時，由，得，（ⅰ）當時，，當時，，在，單調遞增；當時，，在單調遞減；（ⅱ）當時，，，在單調遞增；（ⅲ）當時，，當時，，在，單調遞增；當時，，在單調遞減；綜上可得：①當時，在單調遞增，在單調遞減；②當時，在，單調遞增，在單調遞減；③當時，在單調遞增；④當時，在，單調遞增，在單調遞減.2.(2022·廣東廣州檢測)已知a≥1，函數(shù)f(x)＝xlnx－ax＋1＋a(x－1)2．(1)若a＝1，求f(x)的單調區(qū)間；(2)討論f(x)的零點個數(shù)．【解析】(1)若a＝1，則f(x)＝xlnx－x＋1＋(x－1)2，f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋2(x－1)．當0＜x＜1時，f′(x)＜0；當x＞1時，f′(x)＞0．所以f(x)的單調遞減區(qū)間為(0，1)，單調遞增區(qū)間為(1，＋∞)．(2)當a＝1時，f(x)＝xlnx－x＋1＋(x－1)2，因為f(1)＝0，且f(x)在(0，1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增，所以f(x)有1個零點．當a＞1時，f′(x)＝1＋lnx－a＋2a(x－1)＝1＋lnx＋2ax－3a，令g(x)＝1＋lnx＋2ax－3a，因為a＞1，所以g(x)在(0，＋∞)上單調遞增，又f′(1)＝g(1)＝1－a＜0，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝1＋lneq\f(3,2)＞0，所以存在實數(shù)x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，使得g(x0)＝0．在(0，x0)上，f′(x)＜0，f(x)是減函數(shù)；在(x0，＋∞)上，f′(x)＞0，f(x)是增函數(shù)．所以f(x)的最小值是f(x0)，其中x0滿足f′(x0)＝0，即1＋lnx0＋2ax0－3a＝0．所以f(x0)＝x0lnx0－ax0＋1＋a(x0－1)2＝x0(3a－1－2ax0)－ax0＋1＋a(x0－1)2＝(1－x0)(a＋ax0＋1)，因為x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，所以f(x0)＜0，因為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(a,9)＋1－eq\f(ln3,3)＞0，f(3)＝3ln3＋a＋1＞0，所以f(x)有2個零點．綜上所述，當a＝1時，f(x)有1個零點；當a＞1時，f(x)有2個零點3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，求的最大值；(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．【答案】(1)；(2)【解析】（1）當時，，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以；（2），則，當時，，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以，此時函數(shù)無零點，不合題意；當時，，在上，，單調遞增；在上，，單調遞減；又，由（1）得，即，所以，當時，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點，符合題意；當時，，所以單調遞增，又，所以有唯一零點，符合題意；當時，，在上，，單調遞增；在上，，單調遞減；此時，由（1）得當時，，，所以，此時存在，使得，所以在有一個零點，在無零點，所以有唯一零點，符合題意；綜上，a的取值范圍為.4．（2023秋·四川遂寧·高三四川省蓬溪中學校?？茧A段練習）設，.(1)當時，求的極值；(2)討論函數(shù)的單調性；(3)若有恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)，；(2)答案見解析；(3)【解析】（1）的定義域為，因為，∴，∴時，，單調遞增，時，，單調遞增，時，，單調遞減，∴，；（2）由題：，1°當時：，時，，單調遞減，時，，單調遞增；2°當時：∵，∴時，，單調遞減，時，，單調遞增；3°當時：①若即，所以時，，單調遞增，時，，單調遞減；時，，單調遞增，②若即，，則在單調遞增；③若即，所以時，，單調遞增，時，，單調遞減；時，，單調遞增；（3）欲使恒成立，只需，根據(jù)(2)的結論，1°，當時：時，，單調遞增；時，，單調遞減，∴令，得，此時，；2°當時：①若即，所以時，，單調遞增，時，，單調遞減；時，，單調遞增；②若即，時，，單調遞增；③若即，所以時，，單調遞增，時，，單調遞減；時，，單調遞增；不論上述哪種情況，均有時，因此，不可能有恒成立，舍去.綜上：的取值范圍為.5.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．(1)當時，求的單調區(qū)間；(2)當時，若不等式恒成立，求的取值范