高考中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)

高考數(shù)學(xué)知識點(diǎn)經(jīng)典整理(吐血整理)絕對有用

1.元素與集合的關(guān)系

xeA<^>CyA,xeC(,A<^>xA.

2.德摩根公式

Cu{A^B)=CuA\JCuB\CL^B)=CuAr\CvB.

3.包含關(guān)系

ACB=A<^A\JB=BoA^B<^CVB^CVA

oA「QB=O^>CUA\JB=R

4.容斥原理

card(AB)=cardA+cardB-card{AB)

card(A?B\C)=cardA+cardB+cardC-card(AB)

-card(AClB)-card(B]C)-card(CfA)+card(ABC).

5.集合{q,生，…，〃”}的子集個(gè)數(shù)共有2”個(gè);真子集有2"-1個(gè)；非空子集有2"

-1個(gè)；非空的真子集有2”-2個(gè).

6.二次函數(shù)的解析式的三種形式

(1)一般式/(x)=d+/?x+c(a。0);

(2)頂點(diǎn)式f(x)=G(x-h)2+k(a+0);

(3)零點(diǎn)式f(x)=a{x-X])(x-x2)(a。0).

7.解連不等式N</(x)<M常有以下轉(zhuǎn)化形式

M+NiM-N

oIfM<=>

<=>------------>----------

f(x)-NM-N

8.方程f（x）=0在（附42）上有且只有一個(gè)實(shí)根，與3（匕）/電）/0不等價(jià)，前者是

后者的一個(gè)必要而不是充分條件.特別地，方程ad+bx+c=0（。w0）有且只有一個(gè)實(shí)根

bk、k

在化，鼠）內(nèi)，等價(jià)于f（k1）f（k,）v0,或/化）=0且匕<-丁<-HH-，或f（k、）=0

2a2

9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

二次函數(shù)/3）=依2+法+8。。0）在閉區(qū)叵[2司上的最值只能在工二一2處

2a

及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下：

（1）當(dāng)a>0時(shí)，若x=----七]〃,4]，則

2a

/（X）min=/（-媒），/（X）max=a{/（〃），/（/}；

X=[p，q],-max=max{/（P）J（4）},fd?{/（P）J@）}?

⑵當(dāng)a<0時(shí)，若x=-^-e[p,q]，則f（必向=min{/（〃）J⑷}，若

工=一搟任[〃，司，則/⑴詼=max{/（p）J（q）}，f=min{f（p\f（q）}.

10.一元二次方程的實(shí)根分布

依據(jù)：若/（，〃）/（〃）<0,則方程/（x）=0在區(qū)間。小，7）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.

設(shè)/（工）=工2+〃X+4，則

/72-4^>0

⑴方程/（x）=0在區(qū)間（〃2,+8）內(nèi)有根的充要條件為/（加）=0或〈

m

2

（2）方程f（x）=0在區(qū)間（〃，,〃）內(nèi)有根的充要條件為/（加）/（〃）<0或

/(,〃)>0

/5)>0

八2°或|15)=0

p2-4q>0或

qf(n)>0aj\ni)>0

m<-E<n

2

p2-4^>0

（3）方程/（x）=0在區(qū)間（一2〃）內(nèi)有根的充要條件為/（〃7）<0或（p.

--<m

2

11.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)

（1）在給定區(qū)間（一8,+8）的子區(qū)間L（形如（一8,萬],[a,+0。）不同）上含參

數(shù)的二次不等式/（X,f）20（/為參數(shù)）恒成立的充要條件是之O（x任乙）.

（2）在給定區(qū)間（-8,+8）的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式/CM）NOa為參數(shù)）恒成

立的充要條件是/（Mbs4生L）.

a>0

a<0

（3）f（x）=ar4+bx2+c>0恒成立的充要條件是，或，

b2-4ac<0

0()

12.真值表

Pq井PP或qP且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

13.常見結(jié)論的否定形式

原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞

是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒有

都是不都是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)

大于不大于至少有〃個(gè)至多有（〃-1）個(gè)

小于不小于至多有〃個(gè)至少有（〃+1）個(gè)

對所有X,存在某X,

成立不成立p或qr?且r

對任何X,存在某X,

不成立成立〃且^或r

14.四種命題的相互關(guān)系

若非P則嘉藐若非q則非P

15.充要條件

（1）充分條件：若〃=〃，則〃是q充分條件.

（2）必要條件：若qnp,則〃是〃必要條件.

（3）充要條件：若pnq,且4=〃，則〃是夕充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條作；反之亦然.

16.函數(shù)的單調(diào)性

（1）設(shè)凡?々wx2則

（%—占）＞0O"*）-,（七）〉0=/⑴在［凡句上是增函數(shù);

（為一.）［/（百）一）（/）］＜。0‘（"）—＜。＜=＞/W在上是減函數(shù).

A1~X2

⑵設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果則/(X)為增函數(shù)；如果

f(x)<0,則/(幻為減函數(shù).

17.如果函數(shù)/(無)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)/(x)+g(x)也是

減函數(shù)；如果函數(shù))，=/(〃)和〃=g(x)在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)

y=yig(x)］是增函數(shù).

18.奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于7軸對稱;反過來，如果一個(gè)函數(shù)的

圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則這個(gè)函數(shù)

是偶函數(shù).

19.若函數(shù))，=/(x)是偶函數(shù),則/(x+〃)=/(—x—〃)：若函數(shù)y=/(/+〃)是偶

函數(shù),則/*+〃)=f(-x4-a).

20.對于函數(shù)y=/(x)(x￡R),/*+a)=/S-x)恒成立，則函數(shù)/(x)的對稱軸

是函數(shù)x二@土"；兩個(gè)函數(shù)y=/(x+a)與)，=/3-幻的圖象關(guān)于直線x二3?對

22

稱.

21.若/(X)=一/(T+。)，則函數(shù))，=/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱；若

f(x)=-f(x+a),則函數(shù))，=/(x)為周期為加的周期函數(shù).

22.多項(xiàng)式函數(shù)PQ)=%丁+…+%的奇偶性

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)oP(x)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)u>P(x)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

23.函數(shù))=f(x)的圖象的對稱性

(1)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于宜線x=。對■稱<=>f(a+x)=j\a-x)

<=>/(2cz-x)=/(x).

(2)函數(shù)y=的圖象關(guān)于直線戈二皇對稱o/(a+mx)=f(b-nvc)

<=>f{a+b-tnx)=f(mx).

24.兩個(gè)函數(shù)圖象的對稱性

(1)函數(shù))，=/(幻與函數(shù))，=/(-x)的圖象關(guān)于直線x=0(即y軸)對稱.

(2)函數(shù)y=f(mx-ci)與函數(shù)y=f(b-mx)的圖象關(guān)于直線x=土心對稱.

2m

(3)函數(shù)y=/*)和y=廣匕)的圖象關(guān)于直線尸x時(shí)稱.

25.若將函數(shù)y=/(x)的圖象右移。、上移8個(gè)單位，得到函數(shù))，=/*一。)+人的

圖象；若將曲線/(x,y)=O的圖象右移。、上移〃個(gè)單位，得到曲線/&一。,)，一加二0的

圖象.

26.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系

f(a)=b<^f~\b)=a.

27.若函數(shù))，=/.(丘+切存在反函數(shù)，則其反函數(shù)為y=4"T(x)-切，并不是

k

y=[/"(2x+b),而函數(shù))，=[/-'(kx+勿是y=匕八幻-b]的反函數(shù).

k

28.幾個(gè)常見的函數(shù)方程

(D正比例函數(shù)/(%)=5,f{x+y)=f(x)+/()，),/⑴=c.

(2)指數(shù)函數(shù)f(x)=?,/(%+y)=/(x)/(y),/⑴=。w0.

(3)對數(shù)函數(shù)/(x)=log“x,/(孫)=/(x)+/(y)J(a)=1(。>(),〃w1).

(4)嘉函數(shù)“尤)=N,f(xy)=/U)/(y),/(1)=a.

(5)余弦函數(shù)f(x)=cosx,正弦函數(shù)g(x)=sinx,f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y),

XT。X

29.幾個(gè)函數(shù)方程的周期（約定a>0）

（1）/。）=/3+〃），則/5）的周期T二a；

（2）/（x）=/（x4-tz）=0,

或于（x+a）=

1

或f(x+a)=-(/(X)/0),

7M

或g+A/TW-T1U)=/(X+。),(/(x)G[0,1]),則f(x)的周期T=2a；

(3)f(x)=1----!—(/(x)+0),則f(x)的周期T=3a；

/(x+4)

電)

/(%)+/(且=1(/(%)?=1,0-x1<，則

(4)f(xl+x2)=f(a)f(x2)22a]

/（x）的周期T=4a；

(5)/U)+f(x+〃)+/(]+2a)f(x+3。)+f(x+4〃)

=f(x)f(x+a)f(x+2a)f(x+3d)f(x+4a),則f(x)的周期T=5a；

(6)f(x+a)=f(x)-f(x+a)，則/*)的周期T=6a.

30.分?jǐn)?shù)指數(shù)哥

”1

(1)an=',—(a>0,，〃,〃￡AT,且

_巴I

n

(2)a=——m(a>0,m,ne且〃>1).

6

31.根式的性質(zhì)

(1)(標(biāo))"=Q.

(2)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，=

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，而=|小卜""°八.

一4<0

32.有理指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)

(1)優(yōu)

(2)(#)'=d'(4>0,r,S￡。).

(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,reQ).

注：若a>0,p是一個(gè)無理數(shù)，則1表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù).上述有理指數(shù)累的運(yùn)算

性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)塞都適用.

33.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式

log”N=b。a"=N(a>0,。工1,N>0).

34.對數(shù)的換底公式

logN

logHN=———>0,且。工1,〃?>(),且小h1,N>0).

推論log?b"='log”b(。>0,且。>1,〃7,〃〉0,且加工1,〃w1,N>0).

"tn

35.對數(shù)的四則運(yùn)算法則

若a>0,aWl,M>0,N>0,則

⑴log.(MN)=logaM+log”N；

M

⑵嗨五=log」“Tog.%；

⑶log“M"二〃log“M(neR).

2

36.設(shè)函數(shù)/(x)=logm(ar+bx+c)(a*0),記△=〃-4〃c.若f(x)的定義域?yàn)?/p>

R,則。>0,且AvO;若/(x)的值域?yàn)镽,則。>0,且A20.對于。=0的情形，需要

單獨(dú)檢驗(yàn).

37.對數(shù)換底不等式及其推廣

若。>0,Z?>0,尢>0,人工,，則函數(shù)丁=1。8,“(旅)

a

00

⑴當(dāng)a>/?時(shí)，在(0,L)和(L+)上y=log<u(bx)為增函數(shù).

aa

(2)當(dāng)?！础〞r(shí)，在(0,-)和(-,+00)上)，=lOg.Sx)為減函數(shù).

aa

推論:設(shè)〃>〃z>l，/?>()，。>0，且。工1，則

⑴10g,n+p5+P)<10g,”〃?

(2)logrt/nloga

38.平均增長率的問題

如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長率為〃，則對于時(shí)間戈的總產(chǎn)值y,有

y=N(l+/?)'.

39.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前.n項(xiàng)的和的關(guān)系

s.,n=1

a=<(數(shù)列｛〃”｝的前n項(xiàng)的和為s”=q+a,+…+%).

n一%，〃N2

40.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

an+(n-\)d=dn+a1-d(neN‘)；

其前n項(xiàng)和公式為

〃(4+q)n(n-\)

=na+——-——a

2]

d2z1八

=-R-+(a--d)n.

2A2

41.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

其前n項(xiàng)的和公式為

i-q

n%,q=l

匕工q.\

或=?「q

〃q,q二l

42.等比差數(shù)列{〃“}:%+[=依1”+乩4=Z?0wO）的通項(xiàng)公式為

b+(n-\)d,q=1

=<bq*d_b)q"7_d

、q+'

q-i

其前n項(xiàng)和公式為

l)d,(g=1)

dl-q"d

0-;-)—v4"；-〃，①工1)

\-qq-li-q

43.分期付款（按揭貸款）

每次還款戶黑含元（貸款"元'〃次還清海期利率為“

44.常見三角不等式

(1)若xe(O,2)，則sinxvxvtanx.

2

(2)若X￡(0,工)，則l<sinx+cosxW>/5.

2

(3)|sinx|+1cosx|>1.

45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

*ZJ

sin2^+cos26？=1.tmi^=——，tiin9-cotO-1.

cos。

46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

n

(-1)2sina,（n為偶數(shù)）

sin(—+a)=-n-\

(-1)2cos,a,（n為奇數(shù)）

（n為偶數(shù)）

(-l)2cosa,

cos(—+a)=^（n為奇數(shù)）

/l+l

(-1)2sina,

47.和角與差角公式

sin(cr±￡)=sinacosft±cosasin￡;

cos(a+/?)=cosacos"不sinasin"；

tana±tan,

tan(a±/?)=

I彳tanatanp

sin(?+/7)sin(a-/7)=sin2?-sin20(平方正弦公式);

cos(a+￡)cos(o-fi)=cos2a-sin2p.

asina+bcosa=\!a2+b2sin（?+^）（輔助角。所在象限由點(diǎn)（〃,/?）的象限決

定，tan^=1).

48.二倍角公式

sin勿=sinacosa.

cos2a=cos2-sin2a=2cos26z-l=l-2sin2a.

2tana

tanla=

1-tan2a

49.三倍角公式

sin30=3sin0-4sin30=4sinOsing-0）sin（y+0）.

jrjr

cos3。=4cos3，-3cos8=4cos6cos（——0）cos（—+0）

33

cc3tan6^-tan30八，九八、,冗八、

tan3。=--------------=tan6tan（---夕）tan（一+夕）.

l-3lan-6>33

50.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)y=sinQyx+9）,x￡R及函數(shù)y=COS（3,E:0）,x￡R（A,3,。為常數(shù)，且AK

0,3>0）的周期T=-X；函數(shù)y=tan（公r+e）,xwhr+巳,Z￡Z（A,3,0為常數(shù)，且

co'2

ANO,3>0）的周期丁二2.

（0

51.正弦定理

q0=，=2R.

sinAsinBsinC

52.余弦定理

a2=/+c2-IbccosA;

b2=c2+a2-2c4cosB;

c2=a2+b2—2abeosC.

53.面積定理

（1）S=—ah=-bh=-ch（%、勾、兒分別表示a、b、c邊上的高）.

2（l2h2c

（2）S=—6/Z?sinC=—bcsin=—msinB.

222

(3)Sw=1J(|0A|.|08|)2_(OA0B)2.

54.三角形內(nèi)角和定理

在AABC中，有A+4+C=7ru>C=;r-(A+B)

C冗A+Bc、

<=>—=------------<=>2C=24一2(A+8).

222

55.簡單的三角方程的通解

sinx=a=上=攵乃+(-1)&arcsina(keZ,|a|<1).

cosx=a<^>x=2k7r±arccosa(kZ,\a\<1).

lanx=a=x=左方+arctana(kwZ,aeR).

特別地,有

sina=sinp0a=k/u+(-40(keZ).

cosa=cosB=a=2k冗±/3(kGZ).

tana=tan=a=+隊(duì)kcZ).

56.最簡單的三角不等式及其解集

sinx>a(|。區(qū)1)ox￡(2ATF+arcsina,2k兀+兀-arcsinci),k^Z.

sinx<c/(|a區(qū)1)=x￡Qk兀-7t-arcsina,2k冗+arcsina),keZ.

cosx>a(|a區(qū)1)<=>x￡(2Z4-arccosa,2k兀+arccosa),kEZ.

cosx<tz|<1)<=>xG(2%乃+arccosa,2k/r+2萬一arccosa),keZ.

71

tanx>a(a￡R)nx￡(Avr+arctana,左江十萬)，ksZ.

tanx<a(aGR)nxw(〃)一色，〃;r+arctana),keZ.

2

57.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律

設(shè)入、U為實(shí)數(shù)，則

(1)結(jié)合律：入(ua)=(A.y)a;

⑵第一分配律：(A+u)a=入a+ua;

(3)第二分配律：入(a+b):入a+入b.

58.向量?的數(shù)量積的運(yùn)算律：

(1)a?b=b?a(交換律)；

(2)(a)?b=2(a?b)=4a?b=a?(Zb);

(3)(a+b)?c=a,c+b?c.

59.平面向量基本定理

如果a、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只

有一對實(shí)數(shù)M、入？.使得a=、e+入e.

不共線的向量&、e：叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

60.向量平行的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(x，yi),b=(X2，)’2)，且bwO,則ab(b^O)<^>xly2-x2yi=0.

53.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)

a?b二|ab|cos9.

61.a?b的幾何意義

數(shù)量積a-b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos0的乘枳.

62.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)設(shè)a="|，x),b二(和％)，則a+b=(M+%，,+%)?

(2)設(shè)a=(內(nèi)，y),b=(9，％)，則a-b=(%-/，X一%)?

⑶設(shè)A(X1,y),BG，%)，則AB=OB-OA=(x2-xl,y2-yl).

(4)設(shè)a=(x,y),2G/?,則4a=(ZE,Xy).

(5)設(shè)a=(X],y),b二(工2，%)，則a,b={x]x2+y1y2).

63.兩向量的夾角公式

J

cos6?=(a=U1，3i)?b=U2,y2))-

64.平面兩點(diǎn)間的距離公式

dAB=\AB\=ylABAB

22

=\l(x2-x1)+(y2-y\)(A(xp^),B(x2,y2))-

65.向量的平行與垂直

設(shè)a=(X]，x),b=(x”y2)，且b=0,則

A||bob=入a<=>x]y2-x2y1=0.

aJ_b(a工0)<z>a,b=0=xi々)'2=。.

66.線段的定比分公式

設(shè)［(*5),鳥(占,為)，尸",)，)是線段［g的分點(diǎn)，4是實(shí)數(shù)，且6。=彳?！?，

則

_%+丸X,

「二、廠OOP二處①

1

=y】+4y2+丸

1+2

^>OP=tOP^(\-t)OP(r=—).

21十2

67.三角形的重心坐標(biāo)公式

△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為AG”yj、B(X2,y2),CG3,丫3),則AABC的重心的坐

標(biāo)是G(土衛(wèi)士玉

68.點(diǎn)的平移公式

x=x+hx=x-h

<,<=><oOP=OP+PP

y=y-\-ky=y-/<

注：圖形F上的任意一點(diǎn)P(x,y)在平移后圖形F'上的對應(yīng)點(diǎn)為P(x,)，j,且PP'的

坐標(biāo)為(6M).

69.“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論

⑴點(diǎn)P(x,y)按向量a=(/z,k)平移后得到點(diǎn)P(x+h,y+k).

(2)函數(shù)y=/(%)的圖象。按向量a=(/z,Q平移后得到圖象C',則C'的函數(shù)解析式

為丁二f(x-h)+k.

(3)圖象。.按向量a=(〃M)平移后得到圖象。，若。的解析式y(tǒng)=/(x),則C的函

數(shù)解析式為y=/(x+〃)-匕

(4)曲線C:/(x,y)=0按向量a=(小公平移后得到圖象C',則C'的方程為

f(x-h,y-k)=O.

(5)向量nF(x,y)按向量a=g,Z)平移后得到的向量仍然為m二(x,y).

70.三角形五“心”向量形式的充要條件

設(shè)。為AA8C所在平面上一點(diǎn)，角4,反。所對邊長分別為則

(1)。為AA3c的外心0042=。^=。。：

(2)。為AA3C的重心=0A+O8+OC=O.

(3)。為MBC的垂心o0A03=030C=0C0A.

(4)。為AA3C的內(nèi)心<=>〃OA+Z?O8+cOC=0.

(5)。為A4BC的NA的旁心oa04=003+c0C.

71.常用不等式：

(1)。/￡尺=>。2+/?222,山(當(dāng)且僅當(dāng)2=1)時(shí)取“二”號).

(2)a,beR￥=>—>y[^b(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"=”號).

2

(3)/+//+/23abe(a>0,〃>0,c>0).

(4)柯西不等式

(a?+b2)(c2+d2)>(ac+be1)?,a,b,c,dGR.

(5)|tz|-|Z?|<+Z?|<\a\+1/?|.

72.極值定理

已知x,y都是正數(shù)，則有

(1)若積Ay是定值p,則當(dāng)x=y時(shí)和x+y有最小值2、/萬；

(2)若和x+y是定值s,則當(dāng)x=y時(shí)積%)，有最大值;s?.

推廣已知x,ywK,則有(x+y)?=(x-y)2+2孫

(1)若積xy是定值,則當(dāng)Ix-y|最大時(shí)，Ix+y|最大；

當(dāng)|x-y|最小時(shí)，|x+y|最小.

(2)若和|%+川是定值，則當(dāng)|x-y|最大時(shí),|町|最??；

當(dāng)|x-y|最小時(shí),|町|最大.

73.一元二次不等式ad+6x+c>0(或<0)/04=/-4">0),如果。與

，a2+加+c同號，則其解集在兩根之外；如果。與冰?+云+c異號，則其解集在兩根之

間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.

xt<x<x2<=>(<一％)0—工2)<O(x)<x2):

X<X],^X>x20(%-司)“一X2)>0(玉<X2).

74.含有絕對值的不等式

當(dāng)a>0時(shí)，有

|.v|<ax1<ao-a<x<a.

國>a<=>J>/0%。或*v—a.

75.無理不等式

|/W>0

(1)V7w>Jg(x)o，g(x)No

fM>g(x)

f(x)>0.

⑵"(x)>g(x)o,g(x)N0或WU

|/G)>原切2U，W<0

f/U)>0

(3)J/(x)g(x)>0

f(x)<[g(x)f

76.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式

(1)當(dāng)。>1時(shí)，

>as(x)of(x)>g(x)；

f(x)>0

logJ(x)>log”g(x)='g(x)>0.

fM>g(1)

(2)當(dāng)Ocavl時(shí)，

af{x}>as(x]<=>/(x)<g(x);

7a)>o

logJ(X)>logog(x)=,g(x)>0

/(x)<g(x)

77.斜率公式

k=l~^（6區(qū)凹）、￡（/，%））?

78.直線的五種方程

（1）點(diǎn)斜式y(tǒng)-y\=k（x-x1）（直線/過點(diǎn)q（N，y）,且斜率為k）.

（2）斜截式y(tǒng)=kx+b（^為直線I在y軸上的截距）.

（3）兩點(diǎn)式--"（丁4為）（“（%，%）、鳥（入2，）’2）（內(nèi)工?%））?

%-y,x2-x）

（4）截距式-+-=1〃分別為直線的橫、縱截距，。、人工（））

ah

（5）一般式Ar+By+C=O（其中A、B不同時(shí)為0）.

79.兩條直線的平行和垂直

（1）若4：y=，，2：y=%2x+&

①4||4。K=k”b\豐b2；

②《±12ok、k?=—1.

(2)若4:A/+Uy+G=0,4：A2x+B?y+C2=0，且Ai、Az、Bi、B?都不為零,

①/1"oA=組工6；

A?B?C2

②4JL/20AA2+8避2=0；

80.夾角公式

,k->—k,

(l)tana=|-^—L

1+k2kl

(/i:y=k}x+b},/,:y=k2x+b2,kxk2.-1)

4g—A?B

⑵tana=|iI.

A4+

B]B2

(4:+=OJ2:A2x+B2y+C2=O,AiA2+B]B2^O).

直線4_L/,時(shí)，直線人與/2的夾角是王.

~2

81.4到6的角公式

k「k\

⑴Uma=

I+k2kl

(/,\y=k^x+b},/2'.y=k2x+b2,kxk2w-l)

一42少

(2)tan(7=

A4+B|B?

（/1:41+gy+G=0,4：A2X+B2y+C2=0,44+片為wO）.

直線時(shí)，直線八到"的角是生.

-2

82.四種常用直線系方程

（1）定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過定點(diǎn)《（%,%）的直線系方程為丁-%=&a-%）（除直線

工=/），其中人是待定的系數(shù)；經(jīng)過定點(diǎn)兄（小，為）的直線系方程為

人（大一/）十6（），一打）=°，其中A3是待定的系數(shù).

⑵共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線4：Ax+q），+G=0,/2：4工+82丁+。2=0的交

點(diǎn)的直線系方程為（4工+與），+0+〃4工+生），+。2）=0（除，2）,其中人是待定的系數(shù).

（3）平行直線系方程：直線＞="+〃中當(dāng)斜率k一定而b變動時(shí)，表示平行直線系方

程.與直線Ar+8.v+C=0平行的直線系方程是Av+By+4=0(；lH())，入是參變量.

(4)垂直直線系方程：與直線AY+B)，+C=O(ABO,B#0)垂直的直線系方程是

3x-Ay+/l=(),人是參變量.

83.點(diǎn)到直線的距離

<1=『+為。+0(點(diǎn)P(x0,%),直線/：Ax+By+C=O).

JA'B?

84.AY+B)，+C>0或<0所表示的平面區(qū)域

設(shè)直線/:Ar+B)，+C=O,則AE+B)，+C>0或<0所表示的平面區(qū)域是：

若3#(),當(dāng)B與Ax+8y+。同號時(shí)，表示直線/的上方的區(qū)域；當(dāng)B與

AY+8)，+C異號時(shí)，表示直線/的下方的區(qū)域.簡言之洞號在上，異號在下.

若8=0,當(dāng)A與Ar+5)，+C同號時(shí)，表示直線/的右方的區(qū)域；當(dāng)4與

Ar+gy+C異號時(shí)，表示直線/的左方的區(qū)域.簡言之，同號在右，異號在左.

85.(A.x+與)，+C,)(A2X+gy+。2)>0或<0所表示的平面區(qū)域

設(shè)曲線C:(4￥+4)，+CJ(&x+約y+G)=。［AAzA&wO),則

(\x+片y+G)(&x+層)，+C2)>0或<0所表示的平面區(qū)域是：

十4y十G)(a工十62y十。2)>0所表示的平面區(qū)域上下兩部分；

(Ax+Bj+G)(&x+員)，+。2)V0所表示的平面區(qū)域上下兩部分.

86.圓的四種方程

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x—4)2+()，-6)2

(2)圓的一般方程x2+/+Dx+Ey+F=O(D2+E2-4F＞0).

x=a-^-rcosO

八.

{y=b+rs\nO

(4)圓的直徑式方程(x-xj(x-x2)+(y-y)(y-y2)=()(圓的直徑的端點(diǎn)是

&芭,,)、B(x2,y2)).

87.圓系方程

(1)過點(diǎn)4玉，,)，8(工2，y2)的圓系方程是

(x-x1)(x-x2)+(y-yl)(y-y2)+/l[U-x1)(y1-y2)-(y-yl)(x1-x2)]=0

=*一內(nèi))(工一工2)+。'一51)()'一)'2)+〃?+")'+0)=0,其中依十by+c=O是直

線A3的方程，入是待定的系數(shù).

(2)過直線/:At+為+C=0與圓。：f+)，2+Dx+Ey+F=O的交點(diǎn)的圓系方程

是丁+),2+m+玲，+/+/1(4；+耳＞，+0=0,入是待定的系數(shù).

22

(3)過圓C]:x+y+Dix+E}y+^=0與圓C2:丁+y?+〃逐+七),十七二u的

2222

交點(diǎn)的圓系方程是x+y+D]x+E}y+Fi+A(x+y+D2x+E2y+F2)=0,X是待定

的系數(shù).

88.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)P(x0,%)與圓*—a)?+()，—加2=產(chǎn)的位置關(guān)系有三種

若d=J(47O)2+S-yo)2，則

d＞廠u＞點(diǎn)尸在圓外；d=〃。點(diǎn)P在圓上；d＜廠u＞點(diǎn)P在圓內(nèi).

89.直線與圓的位置關(guān)系

直線Ax+By+C=0與圓(x-of+(y-b)2=r2的位置關(guān)系有三種：

d>r<=>相離<=>A<0;

d=r=相切<=>A=0;

d<r<=>相交。△>().

|八々IBbICl

其中d=l/L

VA2+B-

90.兩圓位置關(guān)系的判定方法

設(shè)兩圓圓心分別為a,02,半徑分別為n,m,|。［02|二〃

">q+々=外離=4條公切線；

d=6+與=外切<=>3條公切線；

M—弓|vdva+Go相交<=>2條公切線；

"=吊o內(nèi)切o1條公切線；

0vdV,_々|=內(nèi)含o無公切線.

91.圓的切線方程

(1)己知圓X2+y2+Dx+Ey+F=0.

①若已知切點(diǎn)(%,%)在圓上，則切線只有一條，其方程是

xox十)o)十2十2十〃一5

當(dāng)(％,乳)圓外時(shí)，-X++,(x；+x)+J+F=°表示過兩個(gè)切點(diǎn)的切

乙乙

點(diǎn)弦方程.

②過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為》-%=%(?￥-%),再利用相切條件求k,這時(shí)必有

兩條切線，注意不要漏掉平行于丫軸的切線.

③斜率為k的切線方程可設(shè)為＞=依+人，再利用相切條件求b,必有兩條切線.

（2）已知圓/+

①過圓上的45，%）點(diǎn)的切線方程為y0y=/；

②斜率為k的圓的切線方程為y=kx±rjl+k2.

92.橢圓5+￡—＞。）的參數(shù)方程是，x=acosO

y=bsinO

22

xy

93.橢圓一?+二=1（。＞〃＞。）焦半徑公式

a'b~

22

|PF,|=e(x+^),\PF2\=e(^--x).

94.橢圓的的內(nèi)外部

(1)點(diǎn)P"。,%)在橢圓￡+與=l(a>"0)的內(nèi)部o國■+再<1.

a~b~a"b~

r2v2x2v2

(2)點(diǎn)P(x0,%)在橢圓二+==\(a>b>0)的外部oT+與>1?

a~b~a~b~

95.橢圓的切線方程

22

⑴橢圓5+與=1（。＞人＞0）上一點(diǎn)。（天,），0）處的切線方程是警+渾=1

a"b~a"b"

⑵過橢圓5+與=1（。＞〃＞0）外一點(diǎn)P（%,%）所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程

ab-

是

學(xué)+渾=1

a~b-

2

x-

(3)橢圓—4-Ar=l(t7>Z7>0)與直線AY+8V+C=0相切的條件是

a~b~

A2a2+B2b2=c2.

X,

96.雙曲線二1（。＞0/＞0）的焦半徑公式

b2

|P^|=|e(x+—)|,\PF2\=\e(--x)\.

cc

97.雙曲線的內(nèi)外部

2222

（1）點(diǎn)P*o，%）在雙曲線「一二二1（。＞0力＞0）的內(nèi)部=里一二:＞1.

a/rcro

2222

⑵點(diǎn)尸（如用）在雙曲線，一冬=13＞04＞0）的外部o與一普＜1.

98.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系

（1）若雙曲線方程為二一二二1=漸近線方程：二一與=0=），=±2,

crb-a-b-a

（2）若漸近線方程為y=±-x?-±2=0=＞雙曲線可設(shè)為二一二二九.

aaba~b~

（3）若雙曲線與「-二=1有公共漸近線，可設(shè)為二一二二九（九＞0,焦點(diǎn)

a~b-a~b-

在x軸上，X＜0,焦點(diǎn)在y軸上）.

99.雙曲線的切線方程

⑴雙曲線〉*叱?！┥弦稽c(diǎn)”艱處的切線方程是苦一若"

（2）過雙曲線［一5二1（。〉0力〉0）外一點(diǎn)尸（小,），0）所引兩條切線的切點(diǎn)弦

a~b~

方程是

V_2oZ_i

7rF

(3)雙曲線=一與=1(。>0力>0)與直線Ax+By+C=O相切的條件是

a~b~

A2a2-B2b2=c2.

100.拋物線V=2px的焦半徑公式

拋物線),2=2px(p>0)焦半徑|CF|=x0+-^.

過焦點(diǎn)弦長|cq=xI+^+x2+-|=x1+x2+p.

101.拋物線y2=2px上的動點(diǎn)可設(shè)為P《L)，。)或。(2〃產(chǎn),2〃?；騊(x,y),其

中y2=2px.

?-?2

102.二次函數(shù)y=or?+瓜+。=〃*+上_尸+4"?(〃豐())的圖象是拋物線：(1)

2a4〃

bAcic-b~h^cic-b~+1

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-上■「")；(2)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(-人，"““十b；(3)準(zhǔn)線方程是

2a4a