《試論幾類不等式的證明和應(yīng)用5000字（論文）》

試論幾類不等式的證明和應(yīng)用摘要：本文將主要梳理幾個(gè)著名不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系及運(yùn)用。這幾個(gè)不等式也是我們經(jīng)常在學(xué)習(xí)中所要用到的。具體來說，就是通過凸函數(shù)的相關(guān)定義及其性質(zhì)，引入詹森不等式，由詹森不等式推導(dǎo)得到赫爾德不等式，從赫爾德不等式中我們看出只要稍加變形就是大家廣為熟知的柯西不等式，隨后我們還通過柯西不等式推導(dǎo)出著名的均值不等式，從均值不等式再推導(dǎo)回到詹森不等式。針對(duì)以上各類不等式我們還給出了相關(guān)的證明,應(yīng)用舉例等等。關(guān)鍵詞：不等式；凸函數(shù)；應(yīng)用目錄TOC\o"1-3"\h\u3026緒論 緒論數(shù)學(xué)不等式的研究首先從歐洲國(guó)家興起，東歐國(guó)家有一個(gè)較大的研究群體，特別是原南斯拉夫國(guó)家。自從著名數(shù)學(xué)家G.H.Hardy，J.E.Littlewood和G.Plya的著作Inequalities[1]由CambridgeUniversityPress于1934年出版以來，學(xué)者們對(duì)數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用展開了一系列的研究，成為了數(shù)學(xué)研究的主要內(nèi)容之一。從此不等式不再是一些零星散亂的、孤立的公式綜合，它已發(fā)展成為一套系統(tǒng)的科學(xué)理論。隨著對(duì)不等式的深入研究，現(xiàn)如今已經(jīng)有了許多以單個(gè)不等式為研究對(duì)象而出版的專著?？锢^昌的《常用不等式》[2]于1991年被中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)評(píng)為全國(guó)七本優(yōu)秀數(shù)學(xué)傳播圖書之一，包含了美國(guó)數(shù)學(xué)評(píng)論（MR）2000主題分類中所有關(guān)于不等式論題的40個(gè)三級(jí)分類項(xiàng)目，不光讓我認(rèn)識(shí)了多種多樣的不等式還學(xué)習(xí)到了許多不等式的常用證法?？挛鞑坏仁绞菙?shù)學(xué)領(lǐng)域中最重要的不等式之一，在不同的領(lǐng)域有著不同的形式。我通過陳亞萍的《柯西不等式的證明與推廣應(yīng)用》[3]學(xué)習(xí)了柯西不等式的幾種證明方法，認(rèn)識(shí)了它在代數(shù)學(xué)和概率論中的一些應(yīng)用。王陽和崔春紅的《幾類定積分不等式的證明》[4]則是給出了柯西不等式在積分學(xué)中的應(yīng)用，并以適當(dāng)?shù)睦}說明一些積分不等式的證明思路和解題技巧。邢家省，張?jiān)刚碌热嗽凇稁缀嗡阈g(shù)平均值不等式的初等證明與應(yīng)用》[5]中給出了幾何平均算術(shù)平均不等式的初等證明，文中均值不等式不同的證明方法，為我后續(xù)整理均值不等式與其他著名不等式的關(guān)系提供了很大的幫助。本人通過查閱書籍、期刊、雜志等，擴(kuò)大了對(duì)不等式基礎(chǔ)知識(shí)和前沿理論的了解與掌握。隨后，又分別對(duì)各類不等式的證明及其應(yīng)用加以調(diào)查分析。由于不等式分布范圍很廣，大多學(xué)科都有涉獵，但是很少有給出以我們現(xiàn)階段所學(xué)的這些著名不等式為主要脈絡(luò)的整理?；谶@個(gè)前提，本選題梳理了詹森不等式，赫爾德不等式，柯西不等式以及均值不等式這幾個(gè)重要不等式的內(nèi)在聯(lián)系，并分別討論了各類不等式的不同形式以及證明方法，通過具體例子給出這幾類不等式的應(yīng)用?；仡檾?shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程，不等式的證明問題，由于題型多變、方法多樣、技巧性強(qiáng)，在證明不等式前，往往需要依據(jù)題設(shè)和特征不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語言特點(diǎn)，通過揭示問題的本質(zhì)特征，使得難解性問題轉(zhuǎn)化為可解性問題。因此熟練掌握不等式證明的幾種方法并能靈活運(yùn)用常用的證明方法，對(duì)以后的學(xué)習(xí)有著非常重要的意義。1凸函數(shù)的定義及詹森不等式1.1凸函數(shù)的定義及性質(zhì)定義1[6]設(shè)是定義在閉區(qū)間上的函數(shù)，若對(duì)任意，和任意，有則稱為上的凸函數(shù)。反之，如果有則稱為上的凹函數(shù)。性質(zhì)1[6]設(shè)為區(qū)間I上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則在I上為凸（凹）函數(shù)的充分必要條件（）我們可以發(fā)現(xiàn)凸函數(shù)的定義本身就是一種不等式，通過凸函數(shù)的定義我們可以應(yīng)用推廣得到著名的詹森不等式。例1證明不等式其中均為正數(shù)。證設(shè)。由的一階和二階導(dǎo)數(shù)可見，在時(shí)為嚴(yán)格凸函數(shù)。由詹森不等式有從而即又因，所以。1.2詹森不等式的一般形式及應(yīng)用定義2[7]若在為凸函數(shù)，則對(duì)于任意,,,有例2已知，，求證：證設(shè)，所以由詹森不等式可得=即成立，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到。1.2.1詹森不等式推導(dǎo)均值不等式[8]即證對(duì)，有證設(shè)，則，取，因?yàn)?，所以在上為凸函?shù)。由詹森不等式有所以，因?yàn)橥?，取即所?.2.2由詹森不等式推導(dǎo)赫爾德不等式的相關(guān)證明定義3[8]設(shè)，有。我們把這樣的不等式稱作赫爾德不等式。證法一[8]證令，則，所以在為凹函數(shù)，則對(duì)于任意,由詹森不等式可知從而可得令則整理后即得到赫爾德不等式證法二[9]證設(shè)由上式證明可知為凸函數(shù)，令代入則有于是得兩端同時(shí)乘以，再對(duì)得由赫爾德不等式我們可以看出當(dāng)時(shí)就是我們所熟知的柯西不等式。詹森不等式既是反映函數(shù)凸性的一個(gè)重要不等式，同時(shí)也是利用函數(shù)凸性解決一些不等式問題的一個(gè)重要方法和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的重要手段。而應(yīng)用凸函數(shù)的相關(guān)知識(shí)證明不等式，我們需要根據(jù)凸函數(shù)的判定定理，確定所求問題中凸函數(shù)。如果不能直接找出來，可以通過對(duì)不等式相應(yīng)的變形來得到結(jié)論中的形式，再運(yùn)用凸函數(shù)的定義或者性質(zhì)證明不等式。從而把證明不等式問題歸結(jié)為可以利用凸函數(shù)解決問題上來。一般來說如果了解了凸函數(shù)的各種形式，找出凸函數(shù)的過程是比較容易的。通過對(duì)凸函數(shù)定義、性質(zhì)以及直接應(yīng)用詹森不等式證明不等式問題是非常有效、直接的。2柯西不等式及其應(yīng)用2.1柯西不等式的幾何證明及主要形式柯西不等式在數(shù)學(xué)中的用途非常廣泛且十分重要。我們?cè)趯?duì)柯西不等式有個(gè)概括性了解之前，有必要先對(duì)柯西不等式做一個(gè)直觀的了解?，F(xiàn)在就對(duì)柯西不等式的二維、三維情況做出簡(jiǎn)單的幾何解釋。2.1.1二維形式圖2-1如圖，可知線段的長(zhǎng)度分別是表示與的夾角。由余弦定理，有將，，的代入，得到而，故有即這就是柯西不等式的二維形式。當(dāng)且僅當(dāng)，即是零或平角，亦即當(dāng)且僅當(dāng)在同一條直線上時(shí)等號(hào)成立。2.1.2三維形式對(duì)于三維情形，設(shè)是不同于原點(diǎn)的兩個(gè)點(diǎn)，則與之間的夾角的余弦有又因?yàn)?，得到柯西不等式的三維形式當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立。此時(shí)，只要這里的都不是零，就有。2.1.3柯西不等式的三角形式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等式成立。證因?yàn)橛煽挛鞑坏仁?，有?-1）和（2-2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等式成立。由（2-1）（2-2），得所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等式成立。2.1.4柯西不等式的主要形式定義4[2]設(shè)和是兩個(gè)實(shí)數(shù)序列，則即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。據(jù)我們所知，這個(gè)經(jīng)典不等式在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的不同分支中起著重要作用，包括希爾伯特空間理論、概率和統(tǒng)計(jì)、經(jīng)典實(shí)分析和復(fù)雜分析、數(shù)值分析、微分方程定性理論及其應(yīng)用等。下面給出這個(gè)不等式的兩種證明。證法一[10]證構(gòu)造二次函數(shù)=因?yàn)樗院愠闪?。即?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立。證法二[11]證假設(shè)。通過算術(shù)幾何方法不等式，我們有因此所以2.1.5柯西不等式的不同形式（1）積分形式的柯西不等式[12]定義5設(shè)和是在上的實(shí)可積函數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)和是線性相關(guān)函數(shù)時(shí)等式成立。證對(duì)任意實(shí)數(shù),有即所以即這個(gè)不等式也稱為柯西-施瓦茨不等式。代數(shù)學(xué)中的柯西不等式[13]定義6對(duì)于任意向量，有。當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān)時(shí)，等號(hào)成立。證當(dāng)時(shí)，式子顯然成立。以下設(shè).令是一個(gè)實(shí)變數(shù)，作向量記（2-3）由（2-3）可知，不論取何值，一定有即（2-4）取代入（2-4）式，得即兩邊開方便得當(dāng)線性相關(guān)時(shí)，等號(hào)顯然成立.反過來，如果等號(hào)成立，由以上證明過程可以看出，或者。泛函分析中的柯西不等式[14]。設(shè)為內(nèi)積空間，則對(duì)于,均有。概率論中的柯西不等式[15]。對(duì)于任意隨機(jī)變量，都有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等式成立，其中為常數(shù)。該不等式反映了兩個(gè)隨機(jī)變量之間具有的線性關(guān)系，以隨機(jī)變量的數(shù)字特征值形式給出。以上是柯西不等式在數(shù)學(xué)的4個(gè)基礎(chǔ)分支中的不同表達(dá)形式，靈活運(yùn)用可以使一些較為復(fù)雜的問題迎刃而解。2.2柯西不等式的應(yīng)用舉例利用柯西不等式我們能夠簡(jiǎn)便證明初等數(shù)學(xué)中較復(fù)雜的代數(shù)不等式、幾何不等式以及導(dǎo)出點(diǎn)到直線的距離公式等[12]。下面利用柯西不等式導(dǎo)出空間一點(diǎn)到直線的距離與極值問題。2.2.1應(yīng)用柯西不等式求最值例3設(shè)實(shí)數(shù)解因?yàn)?，由柯西不等式?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。故當(dāng).例4求函數(shù)。解由柯西不等式知所以函數(shù)有極小值，極大值。2.2.2柯西不等式推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式[17]例5已知點(diǎn)為直線外的一點(diǎn)及直線求點(diǎn)到直線的距離。解設(shè)點(diǎn)是直線上的任意一點(diǎn)，記（2-5）（2-6）點(diǎn)兩點(diǎn)間的距離就是點(diǎn)到直線的距離等價(jià)于（2-6）有最小值。由柯西不等式，有由（2-5）（2-6）得即（2-7）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，（2-7）式取等號(hào)，即點(diǎn)到直線的距離公式為2.2.3柯西不等式求解有關(guān)三角形的問題例6已知是三角形的三個(gè)內(nèi)角，求證：證由柯西不等式，有即（2-8）因?yàn)楣剩?-9）又因?yàn)樗裕?-10）將（2-10）代入（2-9）得（2-11）將（2-11）代入（2-8）得例7設(shè)p是內(nèi)的一點(diǎn)，是到三邊的距離，是外接圓的半徑。求證：證由柯西不等式，得所以故不等式成立。通過以上例子，我們可以看出柯西不等式的應(yīng)用是相當(dāng)廣泛的。對(duì)于在不等式中涉及到平方和的積，或是積的平方和問題時(shí)，我們往往可以通過條件或是由條件轉(zhuǎn)變而來運(yùn)用柯西不等式解決問題[18]。2.3由柯西不等式推導(dǎo)均值不等式的部分相關(guān)證明在推導(dǎo)均值不等式前我們先了解下均值不等式。定義7[19]被稱為均值不等式。即調(diào)和平均值不超過幾何平均值，幾何平均值不超過算術(shù)平均值，算術(shù)平均值不超過平方平均值。其中：設(shè)則算術(shù)平均幾何平均調(diào)和平均平方平均證先證由柯西不等式令則有兩邊除以得兩邊同時(shí)開方得現(xiàn)在來證[8]。由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。所以當(dāng)時(shí)，命題成立。假設(shè)時(shí)命題成立，現(xiàn)在來證時(shí)成立。當(dāng)，則分子分母同乘以得=即從而，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立。所以有，。綜上所述，有。由于的相關(guān)證明未用到柯西不等式，故在此不加贅述，有關(guān)的證明詳情見3.1?？傊?，通過對(duì)柯西不等式形式和證明方法的學(xué)習(xí)，我們能更好地掌握柯西不等式。它作為數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的不等式，靈活應(yīng)用它可使許多問題得到簡(jiǎn)化。運(yùn)用柯西不等式解題的關(guān)鍵是要能夠?qū)⒃瓎栴}變形，使之適合于柯西不等式的各種形式。3均值不等式及其應(yīng)用3.1幾種常見的平均值及均值不等式常見的平均值有四種，分別是算術(shù)平均值、幾何平均值、調(diào)和平均值和平方平均值，具體定義見2.3定義7。則以上平均值的關(guān)系為。證[19]令且，由于，即兩邊取倒數(shù)得即。的證明詳見2.3。綜上所述，有（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）。3.2均值不等式的應(yīng)用舉例在運(yùn)用均值不等式前，我們應(yīng)該要知道均值不等式的所謂“一正，二定，三相等”的原則，即變量都是正數(shù)，其次平方和或積為正值，最后含變數(shù)的個(gè)項(xiàng)均相等，取得最值。我們現(xiàn)在通過一個(gè)例子簡(jiǎn)單的說明下。3.2.1均值不等式求最值例8當(dāng)時(shí)，即時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。當(dāng)時(shí)，即時(shí)所以故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。所以該函數(shù)值域。注：遇到分式求最值時(shí)，如果目標(biāo)函數(shù)能夠化成，其中恒正或恒負(fù)，那么我們可以考慮運(yùn)用均值不等式解決最值問題。3.2.2運(yùn)用均值不等式及相關(guān)的變形求解不等式例9設(shè),求證證因?yàn)榧从忠蛩?.2.3均值不等式推導(dǎo)詹森不等式[19]證將均值不等式兩端取對(duì)數(shù)由觀察可設(shè)，所以有上式即為我們所證得的詹森不等式。相對(duì)應(yīng)的，我們還可以通過詹森不等式來推導(dǎo)均值不等式，詳見1.2.1。參考文獻(xiàn)[1]G.H.Hardy,J.E.Littlewood,G.Plya.Inequalities[M].CambridgeUniversityPress.1952.[2]匡繼昌.常用不等式[M].山東科學(xué)技術(shù)出版社,2004.[3]陳亞萍、柯西不等式的證明與推廣應(yīng)用[J]黔南民族師專學(xué)報(bào).1999(12):76-79.[4]王陽，崔春紅.幾類定積分不等式的證明[J].和田師范專科學(xué)校學(xué)報(bào)(漢文綜合版)，2009，28:208-209.[5]邢家省，張?jiān)刚碌?幾何算術(shù)平均不等式的初等證明與應(yīng)用[J].河南科學(xué),2007,25(3):353-357.[6]王磊.凸函數(shù)及其相關(guān)的一些重要不等式[J].民營(yíng)科技,2010(06):62.[7]劉勇.關(guān)于詹森不等式證明不等式問題[J].科教文匯(中旬刊),2009(10):136.[8]史仁杰,趙連闊.詹森不等式的推廣及應(yīng)用[J].山西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014,28(S2):8-10.[9]張?zhí)斓?，韓振來，數(shù)學(xué)分析同步輔導(dǎo)及習(xí)題精