新課標(biāo)2025版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題八數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)思想第1講數(shù)學(xué)文化練習(xí)文新人教A版

PAGE1-第1講數(shù)學(xué)文化一、選擇題1．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有一衰分問題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百人，則北鄉(xiāng)遣()A．104人 B．108人C．112人 D．120人解析：選B.由題設(shè)可知這是一個(gè)分層抽樣的問題，其中北鄉(xiāng)可抽取的人數(shù)為300×eq\f(8100,8100＋7488＋6912)＝300×eq\f(8100,22500)＝108.故選B.2．如圖，半徑為1的圓形古幣內(nèi)有一陰影區(qū)域，在圓內(nèi)隨機(jī)撒一大把豆子，共n顆，其中，落在陰影區(qū)域內(nèi)的豆子共m顆，則陰影區(qū)域的面積約為()A.eq\f(m,n) B.eq\f(n,m)C.eq\f(mπ,n) D.eq\f(nπ,m)解析：選C.設(shè)陰影區(qū)域的面積為S，由幾何概型概率計(jì)算公式可得eq\f(S,π×12)＝eq\f(S,π)＝eq\f(m,n)，所以S＝eq\f(mπ,n)，故選C.3．將元代聞名數(shù)學(xué)家朱世杰的《四元玉鑒》中的一首詩改編如下：“我有一壺酒，攜著游春走，遇店添一倍，逢友飲一斗，店友經(jīng)三處，沒了壺中酒，借問此壺中，當(dāng)原多少酒？”用程序框圖表示如圖，用x表示壺中原有酒的量，可知最終輸出的x＝0，則一起先輸入的x的值為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(15,16)C．4 D.eq\f(7,8)解析：選D.這是一道函數(shù)與程序框圖相結(jié)合的題，當(dāng)i＝1時(shí)，酒量為2x－1；當(dāng)i＝2時(shí)，酒量為2(2x－1)－1＝4x－3；當(dāng)i＝3時(shí)，酒量為2(4x－3)－1＝8x－7；當(dāng)i＝4時(shí)，酒量為0，即2(4x－3)－1＝0，解得x＝eq\f(7,8).故選D.4．大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論．主要用于說明中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理．?dāng)?shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)驗(yàn)過的兩儀數(shù)量總和．是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列第20項(xiàng)為()A．180 B．200C．128 D．162解析：選B.依據(jù)前10項(xiàng)可得規(guī)律：每兩個(gè)數(shù)增加相同的數(shù)，且增加的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列．可得從第11項(xiàng)到20項(xiàng)為60，72，84，98，112，128，144，162，180，200.所以此數(shù)列第20項(xiàng)為200.5．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不犯難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．”其意思為：“有一個(gè)人要走378里路，第一天健步行走，從其次天起，由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，走了六天后(第六天剛好用完)到達(dá)目的地．”若將此問題改為“第6天到達(dá)目的地”，則此人其次天至少走了()A．96里 B．48里C．72里 D．24里解析：選A.依據(jù)題意知，此人每天行走的路程構(gòu)成了公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列．設(shè)第一天走a1里，則其次天走a2＝eq\f(1,2)a1(里)．易知eq\f(a1[1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(6)],1－\f(1,2))≥378，則a1≥192.則其次天至少走96里．故選A.6．遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”．如圖所示的是一位母親記錄的孩子自誕生后的天數(shù)，在從右向左依次排列的不同繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，依據(jù)圖示可知，孩子已經(jīng)誕生的天數(shù)是()A．336 B．510C．1326 D．3603解析：選B.由題意滿七進(jìn)一，可得該圖示為七進(jìn)制數(shù)，化為十進(jìn)制數(shù)為1×73＋3×72＋2×7＋6＝510.7.漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”(如圖)，四個(gè)全等的直角三角形(朱實(shí))，可以圍成一個(gè)大的正方形，中空部分為一個(gè)小正方形(黃實(shí))．若直角三角形中一條較長的直角邊長為8，直角三角形的面積為24，若在上面扔一顆玻璃小球，則小球落在“黃實(shí)”區(qū)域的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,25) D.eq\f(25,73)解析：選C.因?yàn)橹苯侨切沃幸粭l較長的直角邊長為8，直角三角形的面積為24，所以可得另外一條直角邊長為6，所以小正方形的邊長為8－6＝2，則“黃實(shí)”區(qū)域的面積為22＝4，因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e為82＋62＝100，所以小球落在“黃實(shí)”區(qū)域的概率為eq\f(4,100)＝eq\f(1,25)，故選C.8．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，它的出現(xiàn)標(biāo)記著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系．其中《方田》章有弧田面積計(jì)算問題，術(shù)曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面積計(jì)算公式為：弧田面積＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢×矢)．弧田是由圓弧(弧田弧)和以圓弧的端點(diǎn)為端點(diǎn)的線段(弧田弦)圍成的平面圖形，公式中的“弦”指的是弧田弦的長，“矢”指的是弧田弧所在圓的半徑與圓心到弧田弦的距離之差．現(xiàn)有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圓為圓O，若用上述弧田面積計(jì)算公式算得該弧田的面積為eq\f(7,2)平方米，則cos∠AOB＝()A.eq\f(1,25) B.eq\f(3,25)C.eq\f(1,5) D.eq\f(7,25)解析：選D.如圖，依題意AB＝6，設(shè)CD＝x(x>0)，則eq\f(1,2)(6x＋x2)＝eq\f(7,2)，解得x＝1.設(shè)OA＝y(tǒng)，則(y－1)2＋9＝y(tǒng)2，解得y＝5.由余弦定理得cos∠AOB＝eq\f(25＋25－36,2×5×5)＝eq\f(7,25)，故選D.9．(2024·昆明市質(zhì)量檢測)數(shù)列{Fn}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，稱為斐波那契數(shù)列，是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入的，故又稱為“兔子數(shù)列”．該數(shù)列從第三項(xiàng)起先，每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)之和．記數(shù)列{Fn}的前n項(xiàng)和為Sn，則下列結(jié)論正確的是()A．S2019＝F2021－1 B．S2019＝F2021＋2C．S2019＝F2020－1 D．S2019＝F2020＋2解析：選A.依據(jù)題意有Fn＝Fn－1＋Fn－2(n≥3)，所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…，所以S2019＝F2021－1.10．中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思，關(guān)于“芻童”體積計(jì)算的描述，《九章算術(shù)》注曰：“倍上袤，下袤從之．亦倍下袤，上袤從之．各以其廣乘之，并，以高乘之，六而一．”其計(jì)算方法是：將上底面的長乘二，與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘；將下底面的長乘二，與上底面的長相加，再與下底面的寬相乘；把這兩個(gè)數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一．已知一個(gè)“芻童”的下底面是周長為18的矩形，上底面矩形的長為3，寬為2，“芻童”的高為3，則該“芻童”的體積的最大值為()A.eq\f(39,2) B.eq\f(75,2)C．39 D.eq\f(601,8)解析：選B.設(shè)下底面的長為xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)≤x<9))，則下底面的寬為eq\f(18－2x,2)＝9－x.由題可知上底面矩形的長為3，寬為2，“芻童”的高為3，所以其體積V＝eq\f(1,6)×3×[(3×2＋x)×2＋(2x＋3)(9－x)]＝－x2＋eq\f(17x,2)＋eq\f(39,2)，故當(dāng)x＝eq\f(9,2)時(shí)，體積取得最大值，最大值為－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(9,2)×eq\f(17,2)＋eq\f(39,2)＝eq\f(75,2).故選B.11．我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題，與題中描繪的器具形態(tài)一樣(大小不同)的器具的三視圖如圖所示(單位：寸)．若在某地下雨天時(shí)利用該器具接的雨水深度為6寸，則這一天該地的平均降雨量約為(注：平均降雨量等于器具中積水的體積除以器具口的面積．參考公式：圓臺(tái)的體積V＝eq\f(1,3)πh(R2＋r2＋R·r)，其中R，r分別表示上、下底面的半徑，h為高)()A．2寸 B．3寸C．4寸 D．5寸解析：選A.由三視圖可知，該器具的上底面半徑為12寸，下底面半徑為6寸，高為12寸．因?yàn)樗佑晁纳疃葹?寸，所以水面半徑為eq\f(1,2)×(12＋6)＝9(寸)，則盆中水的體積為eq\f(1,3)π×6×(62＋92＋6×9)＝342π(立方寸)，所以這一天該地的平均降雨量約為eq\f(342π,π×122)≈2(寸)，故選A.12．(2024·江西玉山一中期中)在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖．在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，點(diǎn)P在棱AC上運(yùn)動(dòng)，設(shè)CP的長度為x，若△PBD的面積為f(x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是()解析：選A.如圖，作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，作QR⊥BD于點(diǎn)R，連接PR，則PQ∥AB，QR∥CD.因?yàn)镻Q⊥BD，且PQ∩QR＝Q，所以BD⊥平面PQR，所以BD⊥PR，即PR為△PBD中BD邊上的高．設(shè)AB＝BD＝CD＝1，則eq\f(CP,AC)＝eq\f(x,\r(3))＝eq\f(PQ,1)，即PQ＝eq\f(x,\r(3)).又eq\f(QR,1)＝eq\f(BQ,BC)＝eq\f(AP,AC)＝eq\f(\r(3)－x,\r(3))，所以QR＝eq\f(\r(3)－x,\r(3))，所以PR＝eq\r(PQ2＋QR2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,\r(3))))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)－x,\r(3))))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),3)eq\r(2x2－2\r(3)x＋3)，所以f(x)＝eq\f(\r(3),6)eq\r(2x2－2\r(3)x＋3)＝eq\f(\r(6),6)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(3),2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))，故選A.13．楊輝三角又稱“賈憲三角”，是因?yàn)橘Z憲約在公元11世紀(jì)首先運(yùn)用“賈憲三角”進(jìn)行高次開方運(yùn)算，而1261年楊輝在《詳解九章算法》一書中，輯錄了賈憲三角形數(shù)表，并稱之為“開方作法本源”圖．下列數(shù)表的構(gòu)造思路就源于楊輝三角．該表由若干行數(shù)字組成，從其次行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最終一行僅有一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)是()A．2017×22016 B．2018×22015C．2017×22015 D．2018×22016解析：選B.由題意，最終一行為第2017行，且第1行的最終一個(gè)數(shù)為2×2－1，第2行的最終一個(gè)數(shù)為3×20，第3行的最終一個(gè)數(shù)為4×21…第n行的最終一個(gè)數(shù)為(n＋1)×2n－2，則第2017行僅有的一個(gè)數(shù)為2018×22015，故選B.14．(2024·蓉城名校第一次聯(lián)考)高斯是德國聞名的數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，以他的名字“高斯”命名的成果達(dá)110個(gè)，其中的一個(gè)成果是：設(shè)x∈R，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[1.7]＝1，[－1.2]＝－2，并用{x}表示x的非負(fù)純小數(shù)，即{x}＝x－[x]，若方程{x}＝1－kx有且僅有4個(gè)實(shí)數(shù)根，則正實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(1,4)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))解析：選D.依據(jù)題意可得函數(shù)y＝{x}在x軸正半軸的圖象如圖所示，函數(shù)y＝1－kx為過定點(diǎn)P(0，1)的直線，所以要使方程{x}＝1－kx有且僅有4個(gè)實(shí)數(shù)根且k為正實(shí)數(shù)，則直線y＝1－kx應(yīng)在PA，PB之間以及恰好在PA處，所以－eq\f(1,3)≤－k<－eq\f(1,4)，即k∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3))).故選D.二、填空題15.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分(即榫卯結(jié)構(gòu))嚙合，非常奇妙，外觀看是嚴(yán)絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱．從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來，如圖，若正四棱柱體的高為6，底面正方形的邊長為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為________．(容器壁的厚度忽視不計(jì))解析：表面積最小的球形容器可以看成長、寬、高分別為1、2、6的長方體的外接球．設(shè)其半徑為R，(2R)2＝62＋22＋12，解得R2＝eq\f(41,4)，所以該球形容器的表面積的最小值為4πR2＝41π.答案：41π16．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，其中“勾股”章講解并描述了“勾股定理”及一些應(yīng)用．直角三角形的三條邊分別稱為“勾”“股”“弦”．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)，P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，若線段PF2，PF1分別是Rt△F1PF2的“勾”“股”，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為________．解析：由題意知半焦距c＝eq\r(3)，又PF1⊥PF2，故點(diǎn)P在圓x2＋y2＝3上，設(shè)P(x，y)，聯(lián)立，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝3，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(6),3)，\f(\r(3),3))).故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為eq\f(2\r(6),3).答案：eq\f(2\r(6),3)17．公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派探討過正五邊形和正十邊形的作圖方法，發(fā)覺了黃金分割，其比值約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為m＝2sin18°，若m2＋n＝4，則eq\f(m\r(n),2cos227°－1)＝________．解析：由題設(shè)n＝4－m2＝4－4sin218°＝4(1－sin218°)＝4cos218°，eq\f(m\r(n),2cos227°－1)＝eq\f(2sin18°\r(4cos218°),2cos227°－1)＝eq\f(2·（2sin18°cos18°）,cos54°)＝eq