第一課時拋物線的簡單幾何性質(zhì)-高二數(shù)學理科選修教學課件(人教A版)

2.4拋物線

拋物線的簡單幾何性質(zhì)(第一課時)1.

拋物線有哪些幾何性質(zhì)?2.

拋物線的離心率是怎樣定義的?與橢圓和雙曲線比較有什么不同?3.

拋物線標準方程中的字母常數(shù)p

的大小變化使拋物線的形狀發(fā)生什么樣的變化?學習要點由定義和方程,可以得到拋物線的簡單幾何性質(zhì).Fxyoly2=2px(p>0)1.范圍x≥0,y∈R.2.對稱性以-y

代y,方程不變,拋物線關于x

軸對稱,3.頂點拋物線與它的軸的交點叫拋物線的頂點,4.離心率

拋物線上任一點到焦點的距離與到準線的距離之比叫拋物線的離心率,離心率

e=1.拋物線的對稱軸叫拋物線的軸.頂點坐標(0,0).

問題1.

雙曲線的離心率的大小能引起開口大小的變化,拋物線的率心率有這個特性嗎?引起拋物線開口大小變化的是拋物線方程中的什么數(shù)?拋物線的離心率是個定值,e=1,沒有變化.我們觀察幾條拋物線(練習第2題):y2=xy2=2xy2=4xxy4444

2

4x41oy2-2-44-11y2=xy2=2xy2=4xx

的系數(shù)大,拋物線開口大.xyop

拋物線y2=2px(p>0),p

逐漸增大,拋物線的開口逐漸增大.·Fl

例3.

已知拋物線關于x

軸對稱,它的頂點在原點,并且經(jīng)過點M(2,),求它的標準方程.xoyM2·解:如圖,由點M的位置知拋物線的焦點在x

軸正半軸點上,∴可設拋物線的方程為y2=2px(p>0),∵拋物線經(jīng)過點M,所以有解得p=2,∴拋物線的方程為y2=4x.

例2.

一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如圖所示,衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接收天線,經(jīng)反射聚集到焦點處.已知接收天線的口徑(直徑)為4.8m,深度為0.5m,求拋物線的標準方程和焦點坐標.xyOABF解:因為軸截面是拋物線,如圖,以拋物線的軸為x

軸,拋物線頂點為原點建立平面直角坐標系.則A點的坐標為A(0.5,2.4).設拋物線的方程為y2=2px.將點A的坐標代入方程解得p=5.76,∴拋物線的方程為y2=11.52x,焦點的坐標為(2.88,0).練習:(課本72頁)第1題.練習:(課本72頁)1.

求適合下列條件的拋物線的標準方程:

(1)

頂點在原點,關于x

軸對稱,并且經(jīng)過點

M(5,-4);

(2)

頂點在原點,焦點是F(0,5);

(3)

頂點在原點,準線是x

=4;(4)

焦點是F(0,-8),準線是y

=8.解:由M的位置知,焦點在x

軸正半軸上,設拋物線方程為y2=2px(p>0),將點M(5,-4)代入方程得16=2p

5,∴拋物線的方程為(1)練習:(課本72頁)1.

求適合下列條件的拋物線的標準方程:

(1)

頂點在原點,關于x

軸對稱,并且經(jīng)過點

M(5,-4);

(2)

頂點在原點,焦點是F(0,5);

(3)

頂點在原點,準線是x

=4;(4)

焦點是F(0,-8),準線是y

=8.解:(2)由焦點坐標知焦點在y

軸正半軸上,∴拋物線的方程為得2p=20,x2=20y.練習:(課本72頁)1.

求適合下列條件的拋物線的標準方程:

(1)

頂點在原點,關于x

軸對稱,并且經(jīng)過點

M(5,-4);

(2)

頂點在原點,焦點是F(0,5);

(3)

頂點在原點,準線是x

=4;(4)

焦點是F(0,-8),準線是y

=8.解:(3)由準線方程知焦點在x

軸負半軸上,∴拋物線的方程為得2p=16,y2=-16x.練習:(課本72頁)1.

求適合下列條件的拋物線的標準方程:

(1)

頂點在原點,關于x

軸對稱,并且經(jīng)過點

M(5,-4);

(2)

頂點在原點,焦點是F(0,5);

(3)

頂點在原點,準線是x

=4;(4)

焦點是F(0,-8),準線是y

=8.解:(4)焦點在y

軸負半軸上,∴拋物線的方程為得2p=32,x2=-32y.由焦點坐標與準線方程知拋物線頂點在原點,【課時小結】1.

拋物線的幾何性質(zhì)y2=2px(p>0),x≥0,y∈R.(1)范圍y2=-2px(p>0),x≤0,y∈R.x2=2py(p>0),y≥0,x∈R.x2=-2py(p>0),y≤0,x∈R.【課時小結】1.

拋物線的幾何性質(zhì)(2)對稱性y2=

2px(p>0),拋物線關于x

軸對稱.x2=

2py(p>0),拋物線關于y

軸對稱.拋物線的對稱軸叫拋物線的軸.【課時小結】1.

拋物線的幾何性質(zhì)(3)頂點拋物線與它的軸的交點叫拋物線的頂點,標準方程中,拋物線的頂點是原點.(4)離心率

拋物線上任一點到焦點的距離與到準線的距離之比叫拋物線的離心率,離心率

e=1.【課時小結】2.

拋物線方程的系數(shù)p(1)焦點到準線的距離等于p.(2)p

增大時,拋物線開口增大;p

減小時,拋物線開口減小.習題2.4A組第3、4、5、7、8題.

3.

拋物線y2=2px(p>0)上一點M

與焦點F

的距離|MF|=2p,求點M

的坐標.解:·2p2pFl··xyoM如圖,∵|MF|=2p,∴xM

=代入拋物線方程得解得y

=∴點M的坐標為習題2.4A組xoy-6

4.

根據(jù)下列條件,求拋物線的方程,并畫出圖形:

(1)

頂點在原點,對稱軸是x

軸,并且頂點與焦點的距離等于6;

(2)

頂點在原點,對稱軸是y

軸,并經(jīng)過點P(-6,-3).解:由題設知,焦點在x

軸正半軸或負半軸上,則2p=24,∴拋物線的方程為y2=24x,或y2=-24x.6y2=24x,y2=-24x,-1212前一條拋物線過點(6,12)與(6,-12),后一條拋物線與前一條反方向.(1)

4.

根據(jù)下列條件,求拋物線的方程,并畫出圖形:

(1)

頂點在原點,對稱軸是x

軸,并且頂點與焦點的距離等于6;

(2)

頂點在原點,對稱軸是y

軸,并經(jīng)過點P(-6,-3).解:(2)由點P

的坐標知,焦點在y

軸負半軸上,∴拋物線方程可設為x2

=-2py,將點P

的坐標代入方程得(-6)2=-2p(-3),解得p=6,∴拋物線方程為x2

=-12y.xoy-3-6即得2p=12,5.

如圖,M是拋物線y2=4x

上一點,F是拋物線的焦點,以Fx

為始邊,FM

為終邊的角∠xFM=60

,求|FM|.FxyoMlKHB解:如圖,作準線l

交x

軸于K,由拋物線定義知|FM|=|MH|=|KB|=|KF|+|FB|=

p

+|FM|cos∠xFM,則|FM|=2+|FM|cos60,

MB⊥x

軸于B,MH⊥l于H,由題設得p=2,∠xFM=60,解得|FM|=4.

7.

如圖,吊車梁的魚腹部分AOB是一段拋物線,寬7m,高為0.7m,求這條拋物線的方程.70.7AOBxy解:以拋物線的軸為y

軸,以頂點為原點建立坐標系,于是,拋物線方程可為x2

=2py,由題設知,拋物線過點B(3.5,0.7),代入方程得3.52=1.4p,解得p

=8.75,∴所求拋物線的方程為x2

=17.5y(0≤y≤0.7).

8.

圖中是拋物線形拱橋,當水面在l時,拱頂離水面2m,水面寬4m,水下降1m后,