2024-2025學(xué)年山西省晉中市高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測試題合集2套（附解析）

2024-2025學(xué)年山西省晉中市高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測試題（一）一、單選題（本大題共8小題）1．給出下列命題：①零向量的方向是任意的；②若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；③若空間向量，滿足，則；④空間中任意兩個單位向量必相等．其中正確命題的個數(shù)為（

）．A． B． C． D．2．如圖，在直三棱柱中，E為棱的中點.設(shè)，，，則（

）

A． B．C． D．3．對于任意空間向量，，，下列說法正確的是（

）．A．若，，則 B．C．若，則，的夾角是鈍角 D．4．設(shè)，向量，，，且，，則（

）．A． B． C．5 D．65．我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標系中，過點的直線l的一個法向量為，則直線l的點法式方程為；，化簡得．類比以上做法，在空間直角坐標系中，經(jīng)過點的平面的一個法向量為，則該平面的方程為（

）．A． B．C． D．6．已知圓錐的母線長為2，表面積為，O為底面圓心，為底面圓直徑，C為底面圓周上一點，，M為中點，則的面積為（

）．A． B． C． D．7．如圖，在棱長為2的正方體中，已知，，分別是棱，，的中點，為平面上的動點，且直線與直線的夾角為，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．8．在四棱錐中，平面，底面為矩形，.若邊上有且只有一個點，使得，此時二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知平面與平面平行，若是平面的一個法向量，則平面的法向量可能為（

）．A． B． C． D．10．在空間直角坐標系中，有以下兩條公認事實：（1）過點，且以為方向向量的空間直線l的方程為；（2）過點，且為法向量的平面的方程為．現(xiàn)已知平面，，，，則（

）．A． B． C． D．11．如圖，正方體的棱長為1，則下列四個命題中正確的是（

）A．兩條異面直線和所成的角為B．直線與平面所成的角等于C．點到面的距離為D．四面體的體積是三、填空題（本大題共3小題）12．如圖，四棱柱為正方體．①直線的一個方向向量為；

②直線的一個方向向量為；③平面的一個法向量為；

④平面的一個法向量為1,1,1．則上述結(jié)論正確的是.（填序號）13．已知空間向量，，，若，，共面，則的最小值為．14．設(shè)空間向量是一組單位正交基底，若空間向量滿足對任意的的最小值是2，則的最小值是．四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在直四棱柱中，，，，E，F(xiàn)，G分別為棱，，的中點．

(1)求的值；(2)證明：C，E，F(xiàn)，G四點共面．16．如圖，已知平行六面體中，底面是邊長為1的菱形，，(1)求線段的長；(2)求證：．17．已知空間中三點，，．(1)若向量與平行，且，求的坐標；(2)求向量在向量上的投影向量；(3)求以，為鄰邊的平行四邊形的面積．18．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面內(nèi)過作，交于，連.(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值；(3)在線段上存在一點，使直線與平面所成的角的正弦值為，求的長.19．將菱形繞直線旋轉(zhuǎn)到的位置，使得二面角的大小為，連接，得到幾何體.已知分別為上的動點且.(1)證明：平面；(2)求的長；(3)當?shù)拈L度最小時，求直線到平面的距離.

參考答案1．【答案】D【詳解】零向量是大小為的向量，零向量的方向是任意的，命題①正確；方向相同，大小相等的空間向量相等，它們的起點不一定相同，終點也不一定相同，命題②錯誤；若空間向量，滿足，但由于它們的方向不一定相同，故不一定相等，③錯誤；空間中任意兩個單位向量由于它們的方向不一定相同，故它們不一定相等，④錯誤；所以正確的命題只有個；故選：D.2．【答案】A【詳解】由題意可得.故選：A.3．【答案】B【詳解】對于A，若，，則或，故A錯誤；對于B，由數(shù)量積的運算律可知，故B正確；對于C，若，則，的夾角是鈍角或反向共線，故C錯誤；對于D，由數(shù)量積的運算律可知，等號左面與共線，等號右面與，兩邊不一定相等，故D錯誤；故選：B.4．【答案】D【詳解】因為，，，所以，所以，因為，，，所以，所以，所以，所以.故選：D.5．【答案】C【詳解】由題意可得，化簡可得，故選：C.6．【答案】A【詳解】設(shè)，由題意可得，即，解得或（舍去），連接，因為M為中點，所以，過作于，連接，則，在中，，即，解得，又在中，，所以，所以，所以的面積為，故選：A.7．【答案】C【詳解】解：以為坐標原點，，，所在直線分別為、、軸，建立空間直角坐標系，，，，，，故，，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則，令得，，故，因為，故平面，為平面上的動點，直線與直線的夾角為30°，平面，設(shè)垂足為，以為圓心，為半徑作圓，即為點的軌跡，其中，由對稱性可知，，故半徑，故點的軌跡長度為.故選：C.8．【答案】C【詳解】平面，平面，，又，，平面，平面，又平面，；設(shè)，，，，，，，即，關(guān)于的方程有且僅有一個范圍內(nèi)的解，對稱軸為，，解得：，，以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，軸平面，平面的一個法向量；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，，，由圖形可知：二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.故選：C.9．【答案】AD【詳解】設(shè)平面的法向量為，因為平面與平面平行，是平面的一個法向量，所以，且，所以平面的法向量可能為，，故選：AD.10．【答案】AC【詳解】平面的法向量為，對于，則，即：，故經(jīng)過點，方向向量為，則，即，故，即A正確，D錯誤；對于，即，故經(jīng)過點，方向向量為，因點滿足平面，即與有公共點，故B錯誤；對于，可知經(jīng)過點，方向向量為，因，可得，即或，但點不滿足平面，即，故，故C正確.故選：AC.11．【答案】BCD【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系，對A：、、、，則、，故，故，即異面直線和所成的角為，故A錯誤；對B：，由軸平面，故平面法向量可為，則，故直線與平面所成的角為，故B正確；對C：，，，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，故，故C正確；對D：易得四面體為正四面體，則，故D正確.故選：BCD.12．【答案】①②③【詳解】不妨設(shè)正方體的棱長為1，則按照圖中坐標系可知，于是，,故①，②正確；因平面，而，故可作為平面的法向量，即③正確；在正方體中，因平面,平面，則，易得，又，故平面，而，即可作為平面的法向量，故④錯誤.故答案為：①②③.13．【答案】【詳解】因為，，共面，所以，即，即，解得，所以，所以，所以最小值為，故答案為：.14．【答案】【詳解】以方向為軸建立空間直角坐標系，則，，設(shè)則，當時的最小值是，取則又因為是任意值，所以的最小值是.取則又因為是任意值，所以的最小值是.故答案為：.15．【答案】(1)6(2)證明見解析【詳解】（1）解：在直四棱柱中，，易得，，，兩兩垂直.故以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

,，，，．

，．

．（2）證明：由（1）得：．

令，即，解得，．故C，E，F(xiàn)，G四點共面．16．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）設(shè)，則，∵，則.∵，∴.故線段的長為.（2）證明：∵，∴.故.17．【答案】(1)的坐標為或；(2)；(3).【詳解】（1）因為，，所以，因為向量與平行，所以可設(shè)，，所以，因為，所以，所以，所以或，所以的坐標為或；（2）因為，，，所以，，所以，所以向量在向量上的投影向量，所以；（3）因為，，，所以，，所以，即，又，所以，所以的面積，所以以，為鄰邊的平行四邊形的面積為．18．【答案】(1)證明見解析(2).(3).【詳解】（1）因為，因為，，所以四邊形為矩形，在中，，，，則，，，且平面平面，平面平面平面，平面；（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，，，可得，則，，，，C?1,3,0，設(shè)平面的法向量為，，，由，取.設(shè)平面的法向量為，，由，取，.二面角是鈍角，二面角的正弦值為.（3）設(shè)，則，又平面的法向量為，直線與平面所成的角的正弦值為，解得，.19．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）證明：在上取點，使得，連接，如圖1.因為，所以.因為平面平面，所以平面.因為，所以，又，所以.因為平面平面，所以平面.因為且都在面內(nèi)，所以平面平面.因為平面，所以平面.（2）取的中點，連接，如圖2.由題意可得是邊長為4的正三角形，則，且，所以為二面角的平面角，即，則為正三角形，所以.（3）取的中點，連接，則，且.由（2）得，，平面，所以平面，因為平面，所以.又因為，，平面，所以平面.以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，建立如圖2所示的空間直角坐標系，則，.又，所以.連接，則，，所以.當時，取得最小值，且最小值為3，則的最小值為此時，則.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則即取，得.因為平面，所以直線到平面的距離就是點到平面的距離，則點到平面的距離.故直線到平面的距離為.2024-2025學(xué)年山西省晉中市高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測試題（二）一、單選題（本大題共8小題）1．在空間直角坐標系中，已知點，則線般的中點坐標是（

）A． B．C． D．2．已知，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．若是平面的一個法向量，且與平面都平行，則向量等于（

）A．（） B．C． D．4．已知點，，則經(jīng)過線段AB的中點，且與直線平行的直線的方程為（

）A． B． C． D．5．若直線：的傾斜角為，則“”是“不是鈍角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知點，，，若A是直線：和：的公共點，則直線BC的方程為（

）A． B． C． D．7．如圖，將菱形紙片沿對角線折成直二面角，分別為的中點，是的中點，，則折后平面與平面夾角的余弦值為（

）

A． B． C． D．8．正方體的棱長為2，P是空間內(nèi)的動點，且，則的最小值為（

）.A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知空間中三點則下列說法正確的有（

）A． B．C． D．在上投影向量的長度為10．直線l過點，傾斜角為，且，則直線l經(jīng)過點（

）A． B．C． D．11．直線：與：在同一平面直角坐標系內(nèi)的位置可能是（

）A．

B．

C．

D．

三、填空題（本大題共3小題）12．如圖，圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，為中點，動點P在圓錐底面內(nèi)（包括圓周），若，則與底面所成角的正弦值的取值范圍是.13．如圖，已知二面角的平面角大小為，四邊形，均是邊長為4的正方形，則．

14．某公園的示意圖為如圖所示的六邊形，其中，，，，且，米，米．若計劃在該公園內(nèi)建一個有一條邊在上的矩形娛樂健身區(qū)域，則該娛樂健身區(qū)域面積（單位：平方米）的最大值為．

四、解答題（本大題共5小題）15．已知，，．是否存在點D，使四邊形ABDC為等腰梯形，且?若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．16．如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．17．已知直線：.(1)證明無論為何值，直線經(jīng)過定點，并求出點的坐標；(2)若斜率大于0，且經(jīng)過（1）中點的直線與軸，軸分別交于，兩點，為坐標原點，求面積的最小值.18．已知菱形中，，，邊所在直線過點．求：(1)邊所在直線的方程；(2)對角線所在直線的方程．19．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，，，E為BC的中點．

(1)證明：．(2)若二面角的平面角為，G是線段PC上的一個動點，求直線DG與平面PAB所成角的最大值．

參考答案1．【答案】A【詳解】設(shè)線般的中點坐標為，由可得，所以可得，所以線般的中點坐標是，故選：A.2．【答案】B【詳解】由題知，且與不共線，即，解得且．故選：B．3．【答案】D【詳解】因為是平面的一個法向量，且與平面都平行，則，即，解得，所以．故選：D．4．【答案】B【詳解】由點，，得線段AB中點的坐標為，故過點且與直線平行的直線的方程可設(shè)為，代入點，可得，故所求直線方程為，故選：B5．【答案】A【詳解】若，則的斜率，則不是鈍角.若或，則.故“”是“不是鈍角”的充分不必要條件.故選：A6．【答案】B【詳解】由點在：上可知，，同理由點在：上可知，故點與均滿足方程，由于兩點確定一條直線，因此直線BC的方程為，故選：B7．【答案】A【詳解】因為菱形紙片沿對角線折成直二面角，所以平面平面，因為是菱形，是的中點，所以，，而平面平面，平面，所以平面，而平面，所以，以為原點，所在的直線分別為軸、軸、軸，為兩個單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，．設(shè)平面的法向量為，則得取，則，得平面的一個法向量為，易得平面的一個法向量為，所以平面與平面夾角的余弦值為．故選：A

8．【答案】C【詳解】取的中點M，連接，則，則，即，故動點P的軌跡為以M為球心，為半徑的球.由正方體的棱長為2，可知正方體外接球的半徑為3，即動點P的軌跡為正方體的外接球.取的中點N，連接，則.由題可知，，則，，則.所以的最小值為，故選：C9．【答案】ACD【詳解】對于A，由，則，故A正確；對于B，由，，因為，所以兩向量顯然不平行，故B錯誤；對于C，由，，則，故C正確；對于D，在上投影向量的長度為，故D正確.故選：ACD.10．【答案】ABC【詳解】因為，所以，則直線l斜率為，又直線l過點，所以直線l方程為，即.對方程，令，得，故A正確；令，得，故B正確；令，得，故C正確；將點代入方程左式得，故D錯誤.故選：ABC.11．【答案】BC【詳解】對于A選項，兩條直線的斜率和截距均大于0，且其中一條直線的斜率和截距均大于另一條直線的斜率和截距，不符合題意，A不正確．對于B選項，當時，符合題意，B正確．對于C選項，當或時，符合題意，C正確．對于D選項，其中一條直線斜率不存在，不符合題意，D不正確．故選：12．【答案】【詳解】由題意，建立空間直角坐標系，如圖所示，面，則即為與底面所成角則設(shè)，，，由，即得，，則則OP的最小值為，最大值為1，PM的最小值為，最大值為，所以與底面所成角的正弦值的最大值為，最小值為，故答案為：13．【答案】【詳解】因為，所以又二面角的平面角大小為，四邊形，均為邊長為4的正方形，所以，，，所以，則．故答案為：14．【答案】【詳解】以所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，娛樂健身區(qū)域為矩形．

由題可知，直線的方程為，直線的方程為．設(shè)，其中，則，，則，，四邊形的面積．當時，取得最大值．故答案為：15．【答案】不存在，理由見解析【詳解】由已知得，，則三點不共線.假設(shè)存在點滿足條件，則，．因為四邊形是等腰梯形，且，所以．即所以，解得或．當，，時，，且三點不共線，故此時四邊形為平行四邊形，不合題意；當，，時，點與點重合，不合題意．故假設(shè)不成立，即不存在滿足條件的點．16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）在直三棱柱中，設(shè)點A到平面的距離為h，