【七年級下冊】實數(shù)-重難點題型（舉一反三）（含答案）

實數(shù)?重難點題型

短儲于一更三

【知識點1無理數(shù)的概念】

無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù).

無理數(shù)常見的三種類型：

（1）開不盡的方根；（2）特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)；（3）含有元的絕大部分數(shù).

【題型1無理數(shù)的概念】

【例1】（2021春?漢陰縣期末）下列實數(shù)3m-余①也-3.1415,花丁3無理數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式1-1]（2021春?烏蘇市期末）在實數(shù)3.14,-竿，-V9,1.7,V5,0,-n,4.262262226…（兩個6

之間依次增加一個“2”）中，無理數(shù)有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

]

【變式1-2]（2021春?西雙版納期末）己知下列各數(shù):一，3.14159265,-3,V5,K,0.23,0.3131131113-

9

（每相鄰兩個3之間依次多一個1）,其中無理數(shù)一共有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式1-3]（2021春?扶溝縣期末）下列各數(shù)-0.101001,V7.士一弟V2-V3,0,J而中，無理數(shù)的

4乙

個數(shù)有（）

A.IB.2C.3D.4

【知識點2實數(shù)的分類】

正整數(shù)

整數(shù)?0

有理數(shù)＜負整數(shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

實數(shù)＜（正分數(shù)

分數(shù)

負分數(shù)

正無理數(shù)

無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)

負無理數(shù)

【題型2實數(shù)的分類】

【例2】（2021春?裕華區(qū)校級期末）把下列數(shù)填入相應(yīng)的集合中.

內(nèi)，V4f等，0.6＞-%,3.

（1）整數(shù)集合；

（2）分數(shù)集合;

（3）有理數(shù)集合;

（4）無理數(shù)集合;

（5）實數(shù)集合?

【變式2-1］（2020秋?杭州期中）用序號將下列各數(shù)填入相應(yīng)￡勺集合內(nèi).

①一特,②短，③-V5,④0,⑤-倔5，⑥遍⑦-?@o.23,⑨3.14

（1）整數(shù)集合｛-｝：

（2）分數(shù)集合｛-｝：

（3）無理數(shù)集合｛…｝.

【變式2-2］（2020春?贛州期中）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合中

0,-1,V16,3.1415926,-中,2n,V2-1,0，0.15,1-125

（1）整數(shù)集合：｛-1

（2）分數(shù)集合：｛-｝

（3）有理數(shù)集合：｛-I

（4）無理數(shù)集合：｛-｝

【變式2-3］（2020秋?海曙區(qū)期中）把下列各數(shù)的序號填入相應(yīng)的括號內(nèi)①?3,②IT,③④-3.14,

?V2,?0,⑧-1,⑨1.3,?1.8080080008-（兩個“8”之間依次多一個“0”）.

2

整數(shù)集合{…}:

負分數(shù)集合{???}:

正有理數(shù)集合{…}:

無理數(shù)集合{…}.

【題型3實數(shù)的性質(zhì)】

【例3】（2020春?叢臺區(qū)校級月考）已知，〃、〃互為倒數(shù)，c、4互為相反數(shù)，則一四+GZ+I的平

方根為（）

A.1B.-1C.0D.±1

【變式3-1]（2020春?叢臺區(qū)校級月考）已知實數(shù)小b,c,d,e,/,且〃，〃互為倒數(shù)，c,d互為相反

數(shù)，《的絕對值為或，/的算術(shù)平方根是8,求：必+空+/+/的值是（）

20

A.-+V2B.--V2C.2+歷或2-⑴口.—

22222

【變式3-2]（2020春?渝中區(qū)校級月考）已知x是整數(shù)，當(dāng)卜一后|取最小值時，K的值是（）

A.3B.4C.5D.6

【變式3-3]（2021春?營口期末）已知。、〃滿足J-（4+a）2=2021|b-遮則『+必的平方根為.

【題型4實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系】

[ft4]（2021春?德陽期末）如圖，數(shù)軸上A,3兩點表示的數(shù)分別為-1,V5,且4c=4從則點C所表

示的數(shù)為（）

-175

--------------1---------L---1-----1----------->

CAOB

A.-1+遙B.-1-V5C.-2-V5D.1+V5

【變式4-1]（2021春?景縣月考）如圖，將面積為3的正方形放在數(shù)軸上，以表示實數(shù)1的點為圓心，正

方形的邊長為半徑，作圓交數(shù)軸于點A、8,則點A表示的數(shù)為（）

A.1—y/3B.y/3—1C.—x/3—1D.y/3+1

【變式4-2]（2021春?單縣期末）數(shù)軸上A、。兩點分別對應(yīng)實數(shù)1和2療一1,點A、C關(guān)于點“對稱,

3

【例6】（2021春?嘉祥縣期末）如圖①是由8個同樣大小的立方體組成的魔方，體積為8.

（1）求出這個魔方的棱長；

（2）圖①中陰影部分是一個正方形ABCQ,求出陰影部分的面積及其邊長.

（3）把正方形48CQ放到數(shù)軸上，如圖②，使得點4與-1重合，那么點。在數(shù)軸上表示的數(shù)為

C.——,B

?D一4???.

-5-4-3-2-1012345

圖①圖②

【變式6-1］如圖，4X4方格中每個小正方形的邊長都為1.

（1）直接寫出圖（I）中正方形ABC。的面積及邊長；

（2）在圖（2）的4X4方格中，畫一個面積為8的格點正方形（四個頂點都在方格的頂點上）；并把圖

（2）中的數(shù)軸補充完整，然后用圓規(guī)在數(shù)軸上表示實數(shù)例.

【變式6-2】如圖1,紙上有五個邊長為1的小正方形組成的圖形紙，我們可以把它剪開拼成一個正方形.

5

圖3

（1）拼成的正方形的邊長為_____.

（2）如圖2,以數(shù)軸的單位長度的線段為邊作一個直角三角形，以數(shù)軸上表示的-1點為圓心，直角三

角形的最大邊為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點A,那么點A表示的數(shù)是_____.

（3）如圖3,網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1,若能把陰影部分剪拼成一個新的正方形，求新的正方形

的面積和邊長.

【變式6-3]（2020秋?瑞安市期中）如圖（1）,在4X4的方格中，每個小正方形的邊長為1.

（1）求圖（1）中正方形ABCD的面積；

（2）如圖（2）,若點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是-1,以A為圓心，AQ為半徑畫圓弧與數(shù)軸的正半軸交于

點￡則點E所表示的數(shù)是.

6

實數(shù)?重難點題型

短儲千一五三

【知識點1無理數(shù)的概念】

無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù).

無理數(shù)常見的三種類型：

（1）開不盡的方根；（2）特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)；（3）含有7T的絕大部分數(shù).

【題型1無理數(shù)的概念】

[ft1]（2021春?漢陰縣期末）下列實數(shù)3m0,V2,-3.1415,炳，工中，無理數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù).理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整

數(shù)與分數(shù)的統(tǒng)稱.即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù).由此即可判定選

擇項.

【解答】解：Y是分數(shù)，屬于有理數(shù)；

O

0,炳=3,是整數(shù)，屬于有理數(shù)；

-3.1415是有限小數(shù),屬于有理數(shù);

無理數(shù)有3TT,y/2,共3個.

故選：C.

【變式（2021春?烏蘇市期末）在實數(shù)3.14,一竿，-V9,1.7,V5,0,-n,4.262262226-（兩個6

之間依次增加一個“2”）中，無理數(shù)有（)

7

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】根據(jù)無理數(shù)的三種形式求解..

【解答】解：在實數(shù)3.14,一竿，-V9=-3,1.7,瓜0,4.262262226-（兩個6之間依次增加

一個“2”）中，無理數(shù)有叮，-n,4.262262226-（兩個6之間依次增加一個“2”），一共3個.

故選：B.

【變式1-2]（2021春?西雙版納期末）已知下列各數(shù)：3.14159265,-3,V5,n,0.23,0.3131131113-

9

（每相鄰兩個3之間依次多一個1）,其中無理數(shù)一共有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)即可判斷無理數(shù)的個數(shù).

【解答】解：V5,K,0.3131131113-（每相鄰兩個3之間依次多一個1）是無理數(shù)，

故選：C.

【變式1-3]（2021春?扶溝縣期末）下列各數(shù)-0.101001,V7,-一弟V2-V3,0,6石中，無理數(shù)的

4乙

個數(shù)有（）

A.IB.2C.3D.4

【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義即可判斷.

【解答】V-0.101001是有限小數(shù),

???-0.101001不是無理數(shù)，

???夕是無限不循環(huán)小數(shù)，

???6是無理數(shù)，

1

V-=0.25是有限小數(shù)，

4

???；不是無理數(shù)，

4

??丁是無限不循環(huán)小數(shù)，

???—?是無理數(shù)，

.?.或-百是無限不循環(huán)小數(shù)，

???式-6是無理數(shù)，

???（）是整數(shù)，

??.（）不是無理數(shù),

8

?.?俄=4是整數(shù)，

???舊不是無理數(shù),

，無理數(shù)有3個，

故選：C.

【知識點2實數(shù)的分類】

正整數(shù)

整數(shù)0

有理數(shù)負整數(shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

實數(shù)正分數(shù)

分數(shù)

.負分數(shù)

正無理數(shù)

無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)

負無理數(shù)

【題型2實數(shù)的分類】

【例2】（2021春?裕華區(qū)校級期末）把下列數(shù)填入相應(yīng)的集合中.

0.6,-3.

（I）整數(shù)集合;

（2）分數(shù)集合:

（3）有理數(shù)集合：

（4）無理數(shù)集合：

（5）實數(shù)集合.

【分析】有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)；整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；常見的無理數(shù)有n家族，開方開不盡

的數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)，逐一分析判斷即可.

【解答】解：（1）整數(shù)集合遮，3；

（2）分數(shù)集合0.6,

（3）有理數(shù)集合或,0.6,-p3；

（4）無理數(shù)集合V5,亨；

57r?Q

（5）實數(shù)集合V5,V4,—,0.6,一本3.

【變式2-1】（2020秋?杭州期中）用序號將下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi).

②VL③一@0.⑤@V8.⑦一今@0.23,(§)3.14

X乙*

9

（1）整數(shù)集合｛???｝:

（2）分數(shù)集合｛-｝：

（3）無理數(shù)集合｛-｝.

【分析】根據(jù)實數(shù)的分類：實數(shù)分為有理數(shù)、無理數(shù).或者實數(shù)分為正實數(shù)、0、負實數(shù)?進行填空?

【解答】解：（1）整數(shù)集合｛③④⑥…｝;

（2）分數(shù)集合（①⑧⑨…｝;

（3）無理數(shù)集合[②⑤⑦…｝.

故答案為：③④⑥；①⑧⑨；②⑤⑦.

【變式2-2]（2020春?贛州期中）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合中

0,-1,代，3.1415926,一中,2mV2-1,0.13O3OO3OOO3-,0.15,V-125

（1）整數(shù)集合：｛…｝

（2）分數(shù)集合：｛…｝

（3）有理數(shù)集合：｛…｝

（4）無理數(shù)集合：｛…｝

【分析】（1）根據(jù)整數(shù)的定義選出即可；

（2）根據(jù)負數(shù)和分數(shù)的定義選出即可；

（3）根據(jù)有理數(shù)的定義選出即可；

（4）根據(jù)無理數(shù)的定義選出即可.

【解答】解：＞/16=4,7^125=-5,

（1）整數(shù)集合：｛0,V16,7^125，-）:

（2）分數(shù)集合：｛一本3.1415926,0.15,…｝:

（3）有理數(shù)集合：｛0,一1V16,3.1415926,0.15,

（4）無理數(shù)集合：｛-V7,2mV2-1,0，…）.

故答案為：0,V16,7^125：3.1415926,0.15；0,-1,V16,3.1415926,0.15,--125；-V7,

2m&一1,0.13O3OO3OOO3-.

【變式2-3】（2020秋?海曙區(qū)期中）把下列各數(shù)的序號填入相應(yīng)的括號內(nèi)①?3,②m③=方，?-3.14,

孰②?0,,⑧-1,⑨1.3,⑩1.8080080008…（兩個“8”之間依次多一個“0”）.

10

整數(shù)集合｛???｝:

負分數(shù)集合｛,,?）:

正有理數(shù)集合｛…｝:

無理數(shù)集合｛…｝.

【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義及分類方法即可得出答案.

【解答】解：???在多二一3,

乂???整數(shù)有正整數(shù)和負整數(shù)，

，整數(shù)有：⑥?,

根據(jù)負分數(shù)的定義知負分數(shù)有：④，

根據(jù)正有理數(shù)的定義知正有理數(shù)有：0@，

???無理數(shù)是指無限不循環(huán)小數(shù)，

???無理數(shù)有②⑤@，

故答案為①?⑥@,④，⑦⑨，②⑤⑩.

【題型3實數(shù)的性質(zhì)】

【例3】（2020春?叢臺區(qū)校級月考）己知，〃、人互為倒數(shù)，c、4互為相反數(shù)，則一病+VF包+1的平

方根為（）

A.IB.-1C.0D.±1

【分析】直接利用倒數(shù)的定義以及相反數(shù)的定義分別分析得出答案.

【解答】解：???〃、〃互為倒數(shù)，c、d互為相反數(shù)，

：.ab=\fc+d=0,

則-4-y/c+d+1

=-1+0+1

=0.

故選：C.

【變式3-1】（2020春?叢臺區(qū)校級月考）己知實數(shù)小b,c,d,e,f,且小〃互為倒數(shù)，c,d互為相反

數(shù),e的絕對值為企，/的算術(shù)平方根是8,求;而+等+/+次的值是（）

A.2+亞B.2-&C.3+孤或3-e口.Y

22222

【分析】直接利用倒數(shù)以及互為相反數(shù)、絕對值、算術(shù)平方根的定義分別分析得出答案.

【解答】解：???〃，〃互為倒數(shù)，c,d互為相反數(shù)，。的絕對值為魚，/的算術(shù)平方根是8,

：?ab=l,c+d=O,e=±VLf=64,

=1+0+2+4

13

=T-

故選：D.

【變式3-2]（2020春?渝中區(qū)校級月考）已知x是整數(shù)，當(dāng)吐儂|取最小值時，x的值是（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】根據(jù)絕對值的意義，由于后最接近的整數(shù)是5,可得結(jié)論.

【解答】解：：代V后V癡，4.52=20.25,16,

.,.4.5<V23<5,

?“一局|取最小值時，x=5.

故選：C.

【變式3-3]（2021春?營口期末；已知a、b滿足J-（4+=2021|b-遮|,則/+貶的平方根為.

【分析】由二次根式6中必須可得，-（4+。）22。，得4+。=0后，。、〃的值就可求解，最終求

得結(jié)果.

【解答】解：由題意可得-（4+〃）22o,

；?（4+a）r0,

而（4+〃）220,

，4+。=0,

解得〃=-4,

V5=0,

解得b=V3,

???/+/的平方根為±J（-4）2+（V3）2=±719.

故答案為：土舊.

【題型4實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系】

[ft4]（2021春?德陽期末）如圖，數(shù)軸上A,B兩點表示的數(shù)分別為?I,y，且AC=A8,則點C所表

示的數(shù)為（)

12

-14

-----------------------1----------------L-----1---------1------------------>.

CAOB

A.-l+VSB.-1—\/5C.-2—\/5D.14-V5

【分析】設(shè)點C表示的數(shù)為x,根據(jù)題意列出方程，求出方程的解得到工的值，即可確定出點C的數(shù)即

可.

【解答】解：設(shè)點C表示的數(shù)-

根據(jù)AC=AB得：V5—（-1）=-l-x,即有+1=-I-x.

解得：x=-2-V5,

則點C表示的數(shù)為-2-遙.

故選：C,

【變式4?1】（2021春?景縣月考）如圖，將面積為3的正方形放在數(shù)軸上，以表示實數(shù)1的點為圓心，正

方形的邊長為半徑，作圓交數(shù)地于點A、，，則點A表示的數(shù)為（）

A.l-x/3B.6-1C.D.V3+1

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義以及數(shù)軸的定義解答即可.

【解答】解：???正方形的面積為3,

???正方形的邊長為VI，

即圓的半徑為0,

，點A表示的數(shù)為

故選：A.

【變式4-2］（2021春?單縣期末）數(shù)軸上A、。兩點分別對應(yīng)實數(shù)1和26-1,點A、。關(guān)于點B對稱,

則下列各數(shù)中，與點4所對應(yīng)的數(shù)最接近的是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】直接根據(jù)中點坐標公式即可得出結(jié)論.

【解答】解：???點4與C關(guān)于點B對稱，

13

，點3是線段AC的中點，

1402A/3-1r~

:.點B所對應(yīng)的實數(shù)為——--=V3,

V1<V3<2,且1.52=2.25V3,

???與點B所對應(yīng)的數(shù)最接近的是2.

故選：B.

【變式4-3]（2021春?銅官區(qū)期末）已知數(shù)軸上點A、8分別表示短、V3,若點C也在數(shù)軸上，且AC'=

2AB,則點C所表示的數(shù)為（）

A.3企-2百B.2V3-V2

C.遍+企或3或-2百D.3企-2國或2百-企

【分析】數(shù)軸上兩個不同的點之間的距離可以用右邊點代表的數(shù)減去左邊點代表的數(shù)，本題由于不知道

AC兩點的位置,可以用AC兩個點代表的數(shù)的差的絕對值來表示AC之間的距離，進而列出一個一元一

次方程求解出。點所代表的數(shù)

【解答】解：設(shè)數(shù)軸上點C所表示的數(shù)為x

由題人C=2人從AC=\x-V2\,AB=取一立

可得魚1=2（V3-V2）

???土（X-A/2）=2（V3-V2）

???x=3加-2b或26-&,C點表示的數(shù)為3聲-26或2百-可得。選項為正確答案

故選：

【題型5利用數(shù)軸化簡】

（ft5]（2020秋?二七區(qū)校級月考）實數(shù)A,8在數(shù)軸上的位置，如圖所示，那么化簡|a+計H?a|+W的

結(jié)果為.

-?------?_?------?

〃0b

【分析】借助數(shù)釉判斷出〃，4c?的符號，進行絕對值和立力根的化簡即可.

【解答】解：由數(shù)軸知：a+b<（）,〃vo,

.\\a+b\+\-a\+Vb^=—（a+b）-a+b

=-a-b-a+h

=-2a.

故答案為：?2〃.

14

【變式5-1](2020秋?東坡區(qū)月考)實數(shù)〃力在數(shù)軸上對應(yīng)點AI的位置如圖，化簡：|〃+目-必-師時.

BA

----1------------------------->

b0a

【分析】根據(jù)數(shù)軸判斷出。、”的正負情況以及絕對值的大小，然后利用算術(shù)平方根和絕對值的性質(zhì)解答

即可.

【解答】解:由圖可知,bVOVa,且同〈|州

所以，

所以，|a+0--火。一b)3

=-a-b-a-(a-b)

=-a-b-a-a+b

=-3a.

【變式5-2](2021?玉田縣二模)如圖，數(shù)軸上有A、B、C三個點，它們所表示的數(shù)分別為八b、c三個

數(shù)，其中力〈(),且〃的倒數(shù)是它本身，且a、c滿足(c-4)2+|?+3|=0.

——1-----------1-------------------------------1----------->

ABC

(1)計算：a2-2.-正的值；

(2)若將數(shù)軸折疊，使得點A與點B重合，求與點C重合的點表示的數(shù).

【分析】(1)利用非負數(shù)的性質(zhì)求出〃與。的值，代入原式計算即可求出值；

(2)根據(jù)a.%的值，確定出中點坐標，進而求出與C重合的點即可.

【解答】解：(1)V(c-4)2+|?+3|=0,

Ac-4=0,。+3=0,

解得：a=~3,c=4,

則原式=/-2。一五=(-3)2-2X(-3)-A/4=9-(-6)-2=13；

(2),：b<Qt且方的倒數(shù)是它本身,

:?b=-1,

Ya=-3,

???-3和-1重合，-3和-1的中點為-2,

Vc=4,

???與點C重合的點表示的數(shù)是?8；

故答案為：(I)13：(2)-8.

15

【變式5-3]（2021春?雨花區(qū)期中）實數(shù)。、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，其中c為8的立方根，求代

數(shù)式值+\b-〃|+J（b-c）2一|2〃|的值.

________I1114

ba~~0c

【分析】根據(jù)c為8的立方根，求得c=2,因為。VO,b-a<0,b-c<0,2b<0,根據(jù)負數(shù)的絕對值

等于它的相反數(shù)化簡即可.

【解答】解：為8的立方根，

:?c=2,

Va<0,b-a<0,h-c<0,2b<（）,

???原式=同+步?。|+止?。|?|2例

=-a+a~b+c~b+2b

=c

=2.

【題型6實數(shù)的應(yīng)用】

【例6】（2021春?嘉祥縣期末）如圖①是由8個同樣大小的立方體組成的魔方，體積為8.

（1）求出這個魔方的棱長；

（2）圖①中陰影部分是一個正方形ABC。，求出陰影部分的面積及其邊長.

（3）把正方形ABC。放到數(shù)軸上，如圖②，使得點A與-1重合，那么點。在數(shù)軸上表示的數(shù)為一.

C.——,B

]。:』?????[.

-5-4-3-2-1012345

圖①圖②

【分析】（1）根據(jù)立方體的體積公式，直接求棱長即可；

（2）根據(jù)棱長，求出每個小正方體的邊長，進而可得小正方形的對角線，即陰影部分圖形的邊長，即可

得解；

（3）用點A表示的數(shù)減去邊長即可得解.

【答案】解：（1）設(shè)魔方的楂長為X，

則9=8,解得：4=2；

（2）???棱長為2,

???每個小立方體的邊長都是1,

16

??.正方形ABCD的邊長為：V2,

2

:?S正方形ABCD=（V2）=2;

（3）丁正方形ABC。的邊長為或，點4與-1重合，

???點。在數(shù)軸上表示的數(shù)為：-I—或，

故答案為：-1—

【變式6-1］如圖，4