2024秋高中數(shù)學模塊綜合評價含解析新人教A版必修2

PAGE1-模塊綜合評價(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．已知直線l1：2x＋my＝2，l2：m2x＋2y＝1，且l1⊥l2，則m的值為()A．0 B．－1C．0或1 D．0或－1解析：因為l1⊥l2，所以2m2＋2m＝0，解得m＝0或m＝－1.答案：D2．若一個圓錐的軸截面是面積為1的等腰直角三角形，則該圓錐的側面積為()A.eq\r(2)π B．2eq\r(2)πC．2π D．4π解析：設底面圓的半徑為r，高為h，母線長為l，由題可知，r＝h＝eq\f(\r(2),2)l，則eq\f(1,2)(eq\r(2)r)2＝1，r＝1，l＝eq\r(2).所以圓錐的側面積為πrl＝eq\r(2)π.答案：A3．把正方形ABCD沿對角線AC折起，當以A，B，C，D四點為頂點的三棱錐體積最大時，直線BD和平面ABC所成角的大小為()A．90° B．60°C．45° D．30°解析：當三棱錐D-ABC體積最大時，平面DAC⊥平面ABC.取AC的中點O，則∠DBO即為直線BD和平面ABC所成的角．易知△DOB是等腰直角三角形，故∠DBO＝45°.答案：C4．設A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動點，PA是圓的切線且|PA|＝1，則點P的軌跡方程是()A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2C．y2＝2x D．y2＝－2x解析：由題意知，圓心(1，0)到點P的距離為eq\r(2)，所以點P在以(1，0)為圓心、eq\r(2)為半徑的圓上．所以點P的軌跡方程是(x－1)2＋y2＝2.答案：B5．下列命題中，正確的是()A．隨意三點確定一個平面B．三條平行直線最多確定一個平面C．不同的兩條直線均垂直于同一個平面，則這兩條直線平行D．一個平面中的兩條直線與另一個平面都平行，則這兩個平面平行解析：由線面垂直的性質，易知C正確．答案：C6．已知M(3，2eq\r(3))，N(－1，2eq\r(3))，F(xiàn)(1，0)，則點M到直線NF的距離為()A.eq\r(5) B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．3eq\r(3)解析：易知NF的斜率k＝－eq\r(3)，故NF的方程為y＝－eq\r(3)(x－1)，即eq\r(3)x＋y－eq\r(3)＝0.所以M到NF的距離為eq\f(|3\r(3)＋2\r(3)－\r(3)|,\r(（\r(3)）2＋12))＝2eq\r(3).答案：C7．已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且側棱垂直于底面)高為4，體積為16，則這個球的表面積是()A．16π B．20πC．24π D．32π解析：由題意知正四棱柱的底面積為4，所以正四棱柱的底面邊長為2，正四棱柱的底面對角線長為2eq\r(2)，正四棱柱的對角線為2eq\r(6).而球的直徑等于正四棱柱的對角線，即2R＝2eq\r(6).所以R＝eq\r(6).所以S球＝4πR2＝24π.答案：C8．在平面直角坐標系xOy中，圓C與圓O：x2＋y2＝1外切，且與直線x－2y＋5＝0相切，則圓C的面積的最小值為()A.eq\f(4,5)π B．3－eq\r(5)πC.eq\f(3－\r(5),2)π D．(6－2eq\r(5))π解析：由題可知，(0，0)到直線x－2y＋5＝0的距離為eq\f(|5|,\r(12＋22))＝eq\r(5).又因為圓C與圓O：x2＋y2＝1外切，圓C的直徑的最小值為eq\r(5)－1，圓C的面積的最小值為eq\f(π（\r(5)－1）2,4)＝eq\f(3－\r(5),2)π.答案：C9．已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直線，則下列命題不正確的是()A．若m⊥α，m∥n，n?β，則α⊥βB．若m∥n，α∩β＝m，則n∥α，n∥βC．若m∥n，m⊥α，則n⊥αD．若m⊥α，m⊥β，則α∥β解：由m⊥α，m∥n，得n⊥α.又n?β，所以α⊥β，故A正確．在B項中，m∥n，α∩β＝m，則n?α，n∥β或n∥α，n?β或n∥α，n∥β.所以選項B不正確．由線面垂直，面面垂直的判定，C、D正確．答案：B10．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則點B到平面AB1C的距離是()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3) D．4解析：由正方體的性質，易知AC＝B1C＝AB1＝eq\r(2)，所以S△AB1C＝eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝eq\f(\r(3),2).又S△ABC＝eq\f(1,2)×12＝eq\f(1,2).知V三棱柱B1-ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,6).設點B到平面AB1C的距離為h，從而V三棱錐B-AB1C＝eq\f(1,3)·h×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,6)，所以h＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).答案：C11．已知直線(1＋k)x＋y－k－2＝0恒過點P，則點P關于直線x－y－2＝0的對稱點的坐標是()A．(3，－2) B．(2，－3)C．(1，3) D．(3，－1)解析：由(1＋k)x＋y－k－2＝0得k(x－1)＋(x＋y－2)＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＝0，,x＋y－2＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))故點P的坐標為(1，1)．設點P關于直線x－y－2＝0的對稱點的坐標是(a，b)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,2)－\f(b＋1,2)－2＝0，,\f(b－1,a－1)＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－1，))所以點P關于直線x－y－2＝0的對稱點的坐標是(3，－1)．答案：D12．如圖，多面體ABCD-A1B1C1D1為正方體，則下面結論正確的是()A．A1B∥B1CB．平面CB1D1⊥平面A1B1C1D1C．平面CB1D1∥平面A1BDD．異面直線AD與CB1所成的角為30°解析：若A1B∥B1C，因為A1B∥CD1，所以B1C∥CD1，沖突，故A錯誤．因為BB1⊥平面A1B1C1D1，所以平面BB1D1D⊥平面A1B1C1D1，則平面CB1D1⊥平面A1B1C1D1也是錯的，故B錯誤．因為A1B∥CD1，A1D∥CB1，所以平面CB1D1∥平面A1BD，故C正確．因為ABCDA1B1C1D1為正方體．所以∠BCB1＝45°，又AD∥BC，所以AD與CB1所成的角為45°，故D錯誤．答案：C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P是上底面A1B1C1D1內一動點，則三棱錐P-ABC的正視圖與側視圖的面積的比值為________．解析：三棱錐P-ABC的正視圖與側視圖為底邊和高均相等的三角形，故它們的面積相等，面積比值為1.答案：114．已知直線l1的方程為y1＝－2x＋3，l2的方程為y2＝4x－2，直線l與l1平行且與l2在y軸上的截距相同，則直線l的斜截式方程為________________．解析：由斜截式方程知直線l1的斜率k1＝－2，又l∥l1，所以l的斜率k＝k1＝－2.由題意知l2在y軸上的截距為－2，所以l在y軸上的截距b＝－2.由斜截式方程可得直線l的方程為y＝－2x－2.答案：y＝－2x－215．若直線l：y＝kx與曲線M：y＝1＋eq\r(1－（x－3）2)有兩個不同交點，則k的取值范圍是________．解析：曲線M：y＝1＋eq\r(1－（x－3）2)是以(3，1)為圓心，1為半徑的，且在直線y＝1上方的半圓．要使直線l與曲線M有兩個不同交點，則直線l在如圖所示的兩條直線之間轉動，即當直線l與曲線M相切時，k取得最大值eq\f(3,4)；當直線l過點(2，1)時，k取最小值eq\f(1,2).故k的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4))).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))16．(2024·全國卷Ⅰ)已知三棱錐S-ABC的全部頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為________．解析：如圖，連接OA，OB.由SA＝AC，SB＝BC，SC為球O的直徑，知OA⊥SC，OB⊥SC.又由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，知OA⊥平面SCB.設球O的半徑為r，則OA＝OB＝r，SC＝2r，所以三棱錐S-ABC的體積為V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)SC·OB))·OA＝eq\f(r3,3)，即eq\f(r3,3)＝9.所以r＝3.所以S球表＝4πr2＝36π.答案：36π三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知直線l1的方程為x＋2y－4＝0，若l2在x軸上的截距為eq\f(3,2)，且l1⊥l2.(1)求直線l1與l2的交點坐標；(2)已知直線l3經(jīng)過l1與l2的交點，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍，求l3的方程．解：(1)設l2的方程為2x－y＋m＝0，因為l2在x軸上的截距為eq\f(3,2)，所以3－0＋m＝0，m＝－3，即l2：2x－y－3＝0.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4＝0，,2x－y－3＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1.))所以直線l1與l2的交點坐標為(2，1)．(2)當l3過原點時，l3的方程為y＝eq\f(1,2)x.當l3不過原點時，設l3的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,2a)＝1.又直線l3經(jīng)過l1與l2的交點，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,2a)＝1，得a＝eq\f(5,2)，l3的方程為2x＋y－5＝0.綜上，l3的方程為y＝eq\f(1,2)x或2x＋y－5＝0.18．(本小題滿分12分)四棱錐P-ABCD的底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝eq\f(1,2)CD＝1，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝eq\r(3).(1)求證：PD⊥AB；(2)求四棱錐P-ABCD的體積．(1)證明：因為PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以PA⊥AB，又因為AB⊥AD，AD∩PA＝A，所以AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，所以AB⊥PD.(2)解：S梯形ABCD＝eq\f(1,2)(AB＋CD)·AD＝eq\f(3\r(3),2)，又PA⊥平面ABCD，所以V四棱錐P-ABCD＝eq\f(1,3)×S梯形ABCD·PA＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)×eq\r(3)＝eq\f(3,2).19．(本小題滿分12分)已知圓C的圓心坐標為(a，0)，且圓C與y軸相切．(1)已知a＝1，M(4，4)，點N是圓C上的隨意一點，求|MN|的最小值；(2)已知a＜0，直線l的斜率為eq\f(4,3)，且與y軸交于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(2,3))).若直線l與圓C相離，求a的取值范圍．解：(1)由題意可知，圓C的方程為(x－1)2＋y2＝1.又|MC|＝eq\r(（4－1）2＋（4－0）2)＝5，所以|MN|的最小值為5－1＝4.(2)因為直線l的斜率為eq\f(4,3)，且與y軸相交于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(2,3)))，所以直線l的方程為y＝eq\f(4,3)x－eq\f(2,3).即4x－3y－2＝0.因為直線l與圓C相離，所以圓心C(a，0)到直線l的距離d＞r.則eq\f(|4a－2|,\r(42＋32))＞|a|.又a＜0，所以2－4a＞－5a，解得a＞－2.所以a的取值范圍是(－2，0)．20．(本小題滿分12分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，點D是線段AB上的動點．(1)當點D是AB的中點時，求證：AC1∥平面B1CD；(2)線段AB上是否存在點D，使得平面ABB1A1⊥平面CDB1？若存在，試求出AD的長度；若不存在，請說明理由．(1)證明：如圖，連接BC1，交B1C于點E，連接DE，則點E是BC1的中點，又點D是AB的中點，由中位線定理得DE∥AC1，因為DE?平面B1CD，AC1?平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD.(2)解：當CD⊥AB時，平面ABB1A1⊥平面CDB1.證明：因為AA1⊥平面ABC，CD?平面ABC，所以AA1⊥CD.又CD⊥AB，AA1∩AB＝A，所以CD⊥平面ABB1A1，因為CD?平面CDB1，所以平面ABB1A1⊥平面CDB1，故點D滿意CD⊥AB時，平面ABB1A1⊥平面CDB1.因為AB＝5，AC＝3，BC＝4，所以AC2＋BC2＝AB2，故△ABC是以角C為直角的三角形，又CD⊥AB，所以AD＝eq\f(9,5).21．(本小題滿分12分)已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若直線l過點(－2，0)且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程；(2)從圓C外一點P向圓C引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．解：(1)x2＋y2＋2x－4y＋3＝0可化為(x＋1)2＋(y－2)2＝2，當直線l的斜率不存在時，其方程為x＝－2，易求得直線l與圓C的交點為A(－2，1)，B(－2，3)，|AB|＝2，符合題意；當直線l的斜率存在時，設其方程為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，則圓心C到直線l的距離d＝eq\f(|－k－2＋2k|,\r(k2＋1))＝eq\r(（\r(2)）2－12)＝1，解得k＝eq\f(3,4)，所以直線l的方程為3x－4y＋6＝0.綜上，直線l的方程為x＝－2或3x－4y＋6＝0.(2)如圖，PM為圓C的切線，連接MC，PC，則CM⊥PM，所以△PMC為直角三角形．所以|PM|2＝|PC|2－|MC|2.設點P為(x，y)，由(1)知點C為(－1，2)，|MC|＝eq\r(2)，因為|PM|＝|PO|，所以eq\r(（x＋1）2＋（y－2）2－2)＝eq\r(x2＋y2)，化簡得點P的軌跡方程為2x－4y＋3＝0.求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，也即求原點O到直線2x－4y