專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練：PISA類(lèi)解直角三角形的應(yīng)用（原卷版）-2024-2025學(xué)年浙教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

PISA類(lèi)解直角三角形的應(yīng)用

1.（2024?溫州模擬）“圭表”是中國(guó)古代用來(lái)確定節(jié)氣的儀器.某“圭表”示意圖如圖所示，ACLBC,NC=3米,

測(cè)得某地夏至正午時(shí)“表”的影長(zhǎng)CD=1米，冬至?xí)r的正午太陽(yáng)高度角N/2C=a,則夏至到冬至，影長(zhǎng)差

的長(zhǎng)為（）

表

北（子）南（午）

圭f

冬立春春分立夏夏

至立冬秋分立秋至

線

線

A.(3sina-1)米B.品D米

D

C.(3tana-1)米+1)米

C.x-10=xtan50°D.x=(x+10)sin50°

3.（2024?瑞安市二模）如圖，在中，ZACB=90°，以其三邊為邊向外作正方形，記△ZBC的面積為

Si，三個(gè)正方形的面積和為必，過(guò)點(diǎn)C作CM」尸G于點(diǎn)連結(jié)CG交48于點(diǎn)N,設(shè)N45C=a,NMCG=0,

若端）2=tana，tanB'則$2為（

A.AB.C.3D.

4488

4.（2024?嘉善縣一模）為了改善自己書(shū)房的照明，小明在書(shū)房?jī)?nèi)圓桌中央的上方安裝了一個(gè)吊燈，根據(jù)小明的設(shè)

計(jì)，吊燈到桌面的距離可以調(diào)節(jié)，這樣桌面上的光線亮度可以根據(jù)不同需要加以選擇.根據(jù)光學(xué)中的相關(guān)定律,

電燈/到圓桌邊緣3的照度I=ksinB,其中《是電燈的發(fā)光強(qiáng)度“為常數(shù)且左＞0）,/是電燈到圓桌邊緣的

I2

距離，0是電燈到圓桌邊緣的光線與桌面所成的角.當(dāng)0=60°時(shí)，電燈的照度記作/],當(dāng)電燈到圓桌距離與圓

桌半徑相等時(shí)，電燈的照度記作A，則土=.

12

5.（2024春?樂(lè)清市期中）如圖1是某位游客拍攝的景區(qū)纜車(chē)實(shí)景圖.如圖2是該段索道抽象出的平面示意圖，索

道N8的傾斜角為30°,長(zhǎng)度/8=82米，其兩端由BC、AD兩座等高的支架架設(shè)，這一時(shí)刻索道之間如圖

均勻分布著五個(gè)車(chē)廂，車(chē)廂的寬高之比（PN：MN）是2：3,若點(diǎn)J,L,。恰好在同一直線上，KC=21米，

貝!JMN=米.

圖1圖2

6.（2024?鹿城區(qū)一模）圖1是一個(gè)水平地面上的長(zhǎng)方體密封容器，內(nèi)部裝有水，其正方形底面的邊CD=8cm,棱

上標(biāo)有刻度，水面與交于點(diǎn)讀得DW=30c"?,如圖2將容器放在斜坡上，此時(shí)水面分別與ND,

BC交于點(diǎn)、N,P（NP〃OF）,讀得DN=25cm.若容器厚度不計(jì)，貝UtanNEOP=.

7.（2024?湖北模擬）圖1是臨安區(qū)一地鐵站入口的雙翼閘機(jī)，雙翼展開(kāi)時(shí)示意圖如圖2所示，它是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖

形，AC^40cm,則雙翼邊緣端點(diǎn)C與。之間的距離為（用含a的三角函數(shù)表示）.

圖1

8.（2024?鹿城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）利用無(wú)人機(jī)探照燈測(cè)量坡面的角度.如圖，一架無(wú)人機(jī)探照燈在點(diǎn)。處，測(cè)得它的下

邊緣光線以落在坡腳點(diǎn)/處，上邊緣光線。5落在斜坡點(diǎn)3處，此時(shí)無(wú)人機(jī)離地面12米，將無(wú)人機(jī)沿水平方

向前進(jìn)5米到達(dá)點(diǎn)￡處，探照燈的上下邊緣光線EC,￡8落在斜坡3,C處，AD//BE,DB//CE,此時(shí)點(diǎn)￡恰

好在/的正上方，現(xiàn)測(cè)得BC&AB，則tan/5/N=.

9.（2023秋?樂(lè)清市校級(jí)期中）圖1為手機(jī)支架實(shí)物圖，圖2為它的側(cè)面示意圖，“工型”托架N-C-E用于放置

手機(jī)，支架8。兩端分別與托架和底座（其厚度忽略不計(jì)）相連，支架8端可調(diào)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度，已知

6cm,AB=2BD=4BC,支架調(diào)整到圖2位置時(shí)，/BDM=60°,/ABD=120°.因?qū)嶋H需要，現(xiàn)將支架2端

角度調(diào)整為//8。=150。，如圖3所示，則點(diǎn)/的位置較原來(lái)的位置上升高度為cm.

10.（2024?鹿城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）新能源汽車(chē)是指采用非常規(guī)的車(chē)用燃料作為動(dòng)力來(lái)源，綜合車(chē)輛的動(dòng)力控制和驅(qū)動(dòng)方

面的先進(jìn)技術(shù)，形成的技術(shù)原理先進(jìn)、具有新技術(shù)、新結(jié)構(gòu)的汽車(chē).如圖1是某新能源汽車(chē)側(cè)面示意圖，圖2是

該車(chē)后備廂開(kāi)起側(cè)面示意圖，具體數(shù)據(jù)如圖所示（單位：cm）,l.AC=BD,AF〃BE,sin/BAF=0.8,箱蓋開(kāi)

起過(guò)程中，點(diǎn)C,尸不隨箱蓋轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)8,D,E繞點(diǎn)/沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)相同角度，分別到點(diǎn)夕，D',

E'的位置，氣簧活塞桿。隨之伸長(zhǎng)CO',已知直線E',CD'=Hc。，則CD=cm.

3

B'E，

力i105cm

4

B

E

圖1圖2

11.（2023秋?義烏市期末）有一長(zhǎng)桿花藝剪如圖1所示，上刀片與上把手固定在長(zhǎng)桿上，把手桿“GE的點(diǎn)G

固定在48上，NEGH大小不變，當(dāng)手握N2G8兩邊時(shí)，GE繞著點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)，帶動(dòng)桿反，桿反再帶動(dòng)刀片桿

CD尸繞固定點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，且/CD尸=90°.圖2是該花藝剪自然張開(kāi)狀態(tài)下的示意圖，CD、族都與N5平行，

測(cè)得。尸=5cm,CD=20cm,FE、間的距離為1c加，當(dāng)桿"GE繞點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a時(shí)，花藝剪完全閉合，

點(diǎn)。落在48邊上，如圖3所示，此時(shí)GEL/2,且斯還是與48平行，則sina=.

（圖1）

（圖2）（圖3）

12.（2023秋?新化縣期末）小明家的腳踏式垃圾桶如圖，當(dāng)腳踩踏板時(shí)垃圾桶蓋打開(kāi)最大張角N/BC=50°,為節(jié)

省家里空間，小明想把垃圾桶放到桌下，經(jīng)測(cè)量桌子下沿離地面高55CM垃圾桶高2。=33.工加，桶蓋直徑BC=

28.2cm,當(dāng)垃圾桶放到桌下踩踏板時(shí)，桶蓋完全打開(kāi)有沒(méi)有碰到桌子下沿？（參考數(shù)據(jù)：sin50°仁0.76,cos50。

心0.64,tan50°-1.19）

13.（2024?下城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，氨氣球位于西溪濕地慢生活街區(qū)，是目前唯一由我國(guó)自主研發(fā)、制造的載人觀

光氫氣球，也是杭州目前唯一的高空氧氣球體驗(yàn)項(xiàng)目.從氣球/上測(cè)得正前方的河流的兩岸8,C的俯角分別為

75°,30°,此時(shí)氣球的高是60加，求河流的寬度2c的長(zhǎng)度.（用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位.參考數(shù)據(jù)：

sin75°^0.97,cos75°心0.26,tan75°弋3.73,通仁1.73)

14.（2024?溫嶺市一模）如圖，某電腦顯示器由顯示屏（矩形/BCD）和支架組成，顯示屏對(duì)角線/C中點(diǎn)。固定

在支架直桿。尸一端處，顯示屏可繞點(diǎn)。順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，已知N8=36c%,ZBAC=58°.

（1）求3c長(zhǎng)度；

（2）為避免在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中顯示屏與支架平臺(tái)即發(fā)生磕碰，則支架直桿。P的最小值是.

（結(jié)果精確到1cm,參考數(shù)據(jù)：tan58°^1.60,cos58°=0.53,sin58°七0.85）

15.（2024?青田縣校級(jí)模擬）為建設(shè)美好公園社區(qū)，增強(qiáng)民眾生活幸福感，如圖1,某社區(qū)服務(wù)中心在文化活動(dòng)室

墻外安裝遮陽(yáng)篷，便于社區(qū)居民休憩.在如圖2的側(cè)面示意圖中，遮陽(yáng)篷靠墻端離地高記為BC,遮陽(yáng)篷長(zhǎng)

為5米，與水平面的夾角為16°.

（1）求點(diǎn)/到墻面2c的距離；

（2）當(dāng)太陽(yáng)光線與地面CE的夾角為45°時(shí)，量得影長(zhǎng)。為1.8米，求遮陽(yáng)篷靠墻端離地高的長(zhǎng).（結(jié)

果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：sinl6°仁0.28,cosl6°仁0.96,tanl6°^0.29）

16.（2023秋?浙江期末）實(shí)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力的重要途徑之一.如圖是小紅同學(xué)安裝的化學(xué)實(shí)驗(yàn)裝置，安裝

要求為試管略向下傾斜，試管夾應(yīng)固定在距試管口的三分之一處.已知試管/8=24"7,試管傾斜角。

3

為10°.

（1）求酒精燈與鐵架臺(tái)的水平距離CD的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1C/M）；

（2）實(shí)驗(yàn)時(shí)，當(dāng)導(dǎo)氣管緊貼水槽九W,延長(zhǎng)8〃交CN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R且（點(diǎn)C,D,N,尸在一條

直線上），經(jīng)測(cè)得：DE=2736cm,MN=8cm,ZABM=145°,求線段ON的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1cm）.（參考

數(shù)據(jù)：sin10°-0.17,coslO°仁0.98,tanlO°心0.18）

17.（2024?浙江模擬）如圖1是我國(guó)古代提水的器具桔椽，創(chuàng)造于春秋時(shí)期.它選擇大小兩根竹竿，大竹竿中點(diǎn)架

在作為杠桿的竹梯上.大竹竿末端懸掛一個(gè)重物，前端連接小竹竿（小竹竿始終與地面垂直），小竹竿上懸掛水

桶.其原理是通過(guò)對(duì)架在竹梯上的大竹竿末端下壓用力，從而提水出井.當(dāng)放松大竹竿時(shí)，小竹竿下降，水桶就

會(huì)回到井里.如圖2是桔棒的示意圖，大竹竿/8=6米，。為N8的中點(diǎn)，支架。。垂直地面EF.

圖1圖2圖3

（1）當(dāng)水桶在井里時(shí)，ZAOD=120°,求此時(shí)支點(diǎn)。到小竹竿NC的距離（結(jié)果精確到0.1機(jī)）；

（2）如圖3,當(dāng)水桶提到井口時(shí)，大竹竿48旋轉(zhuǎn)至小叢的位置，小竹竿NC至小。1的位置，此時(shí)/小。。=

143°,求點(diǎn)/上升的高度（結(jié)果精確到0.1加）.

（參考數(shù)據(jù)：百七1.73,sin37°20.6,cos37°^0.8,tan37°20.75）

18.（2024春?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期末）小明在周末去方特游樂(lè)園乘坐了海盜船，海盜船是一種繞水平軸往復(fù)擺動(dòng)的游樂(lè)項(xiàng)

目，它的主體是由一個(gè)大型的船身和兩側(cè)的搖擺機(jī)械臂構(gòu)成.游客坐在船內(nèi)，隨著機(jī)械的運(yùn)動(dòng)，仿佛置身于一場(chǎng)

海盜航海的冒險(xiǎn)之中.當(dāng)它靜止時(shí)，我們可以把它抽象成如圖1所示的圖形，中心轉(zhuǎn)軸點(diǎn)。位于鉛垂線OC上,

兩條擺臂和均勻分布在鉛垂線兩側(cè)，它們的長(zhǎng)度相同.

小明在乘坐過(guò)程中遇到了下列問(wèn)題:

（1）如圖2,當(dāng)海盜船右側(cè)船頭轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)）時(shí)，左側(cè)船頭H看最高點(diǎn)⑶的仰角為23°,即=

23°,已知兩擺臂之間的夾角9=50°,求海盜船的最大擺角NC。9的度數(shù).

（溫馨提示：在△4。?,由OH=。9可得NO48=N。匠4）

（2）如圖3,已知轉(zhuǎn)軸。到地面的距離。。=10加，在乘坐的過(guò)程中，當(dāng)海盜船右側(cè)船頭在位置尸時(shí)，此時(shí)測(cè)得

點(diǎn)P到地面的距離小=7〃?；當(dāng)左側(cè)船頭擺動(dòng)到點(diǎn)P處時(shí)，PO±P'O.求點(diǎn)P到OC的距離.

圖2圖3

19.(2024?龍灣區(qū)二模)如圖1,拐尺與水平尺是生活中重要的測(cè)量工具.圖2是某排水管道系統(tǒng)的部分實(shí)物圖,

圖3是其示意圖.已知管道N8與8C的長(zhǎng)度相同，8C與地面平行.現(xiàn)將拐尺和水平尺放在上，使PN

//AD,測(cè)得MN=12厘米，MP=5厘米.

(1)求tan/2/D的值.

(2)若/。=12.5米，求C到地面的距離CD的長(zhǎng).

20.（2024?海寧市校級(jí)模擬）綜合與實(shí)踐：測(cè)算校門(mén)所在斜坡的坡度.

【背景】如圖1,某學(xué)校校門(mén)在一道斜坡上，該校興趣小組想要測(cè)量斜坡的坡度.

圖1圖2

【素材1】校門(mén)前的斜坡上鋪著相同的長(zhǎng)方形石磚，如圖2,從測(cè)量桿到校門(mén)所在位置在斜坡上有15塊

地磚.

【素材2】在點(diǎn)/處測(cè)得仰角tan/l=_l,俯角tan/2=工；在點(diǎn)2處直立一面鏡子，光線8。反射至斜坡CE

95

的點(diǎn)N處，測(cè)得點(diǎn)2的仰角tan/3=-L；測(cè)量桿上N8BC=5：8,斜坡CE上點(diǎn)N所在位置恰好是第9塊地

24

磚右邊線.

【討論】只需要在/I,Z2,/3中選擇兩個(gè)角，再通過(guò)計(jì)算，可得CE的坡度.

任務(wù)1分析規(guī)劃選擇兩個(gè)測(cè)量角的正切值：_________和—____.（填

“Nl”，“N2”或“N3）

求NE：CN的值.

任務(wù)2推理計(jì)算求坡度tan/ECM的值.

21.（2024?浙江模擬）我們?cè)诳茖W(xué)課中學(xué)過(guò)，光從空氣射入水中會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象（如圖1）,記入射角為a,折射角

為（3,我們把〃=卓嗎胸為水的折射率.為了觀察光的折射現(xiàn)象，進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn)：如圖2,為一圓柱形

sinP

敞口容器的縱切面，BC=32cm,容器未盛水時(shí)激光筆從。處發(fā)射光線，點(diǎn)O,A,C恰好共線，此時(shí)

53°.往容器內(nèi)注水，當(dāng)水面所到達(dá)容器高度一半時(shí)，激光筆在容器底面光斑落在點(diǎn)G處，測(cè)得CG=

7c加.（參考數(shù)據(jù)：sin53°七生,cos53°七3,tan53°七三）

553

（1）求容器的高度/8

（2）求水的折射率

（3）若繼續(xù)往容器內(nèi)注水，光斑會(huì)往左側(cè)移動(dòng)，如圖3,當(dāng)光斑G'移動(dòng)到3C的三等分點(diǎn)處（CG,=1CB）,

求水面上升的高度EE'（結(jié)果精確到0.1cm）

入射角a

O\A

譯

22.（2024?浙江模擬）某項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組研究一款擋雨棚，首先將擋雨棚抽象為柱體，如圖1所示，底面N2C與小為Q

全等且平行，△/8C與△小與。各邊表示擋雨棚支架，支架44i，BB[,C。垂直于平面/2C.雨滴下落方向與

外墻（所在平面）所成角為30。（即//。8=30。），擋雨棚有效遮擋的區(qū)域?yàn)榫匦?4QO（。，Q分別在

CA,Q4的延長(zhǎng)線上）.

（1）若。4=1.5加，AC=0.3m,/4=2加，小組成員對(duì)曲線段BC有兩種假設(shè)，分別為：

①擋雨板（曲面8SQC）的面積可以近似為線段8c與線段881長(zhǎng)的乘積，且//C8=60°.

②曲線2c近似為以點(diǎn)。為圓心的圓弧.

請(qǐng)分別計(jì)算這兩種假設(shè)下?lián)跤臧宓拿娣e（精確到0.1m2）.

（2）如圖2,設(shè)N8垂直墻面（AB±AC）,支架線段N4下0.1米處有一矩形的窗，上、下窗框平行于/小，上、

下窗框所在直線分別與C。相交于點(diǎn)E,F.若43=0.6加，窗的上、下框距離斯=1"，請(qǐng)問(wèn)下雨時(shí)，雨滴會(huì)打

進(jìn)窗內(nèi)嗎？若雨滴會(huì)打進(jìn)窗內(nèi)，請(qǐng)說(shuō)明雨棚N8外沿需要加長(zhǎng)多少米，才能使雨滴不會(huì)打進(jìn)窗內(nèi)；若雨滴不會(huì)打

進(jìn)窗內(nèi)，請(qǐng)寫(xiě)出雨滴落點(diǎn)距點(diǎn)尸的最小距離（參考數(shù)據(jù)：向心1.732,精確到0.01〃?）.

圖I圖2

23.（2024?杭州三模）倡導(dǎo)“低碳環(huán)?！弊尅熬G色出行”成為一種生活常態(tài).小海買(mǎi)了一輛自行車(chē)作為代步工具,

各部件的名稱(chēng)如圖1所示，該自行車(chē)的車(chē)輪半徑為26cm,圖2是該自行車(chē)的車(chē)架示意圖，立管AB=24cm,上

管/C=32c加，且它們互相垂直，座管/E可以伸縮，點(diǎn)/、B、E在同一條直線上，且/48。=75°.

（1）求下管2C的長(zhǎng)；

（2）若后下叉8。與地面平行，座管/￡伸長(zhǎng)到13c%，求座墊E離地面的距離.（結(jié)果精確到lew,參考數(shù)據(jù)

sin75°七0.97,cos75°心0.26,tan75°心3.73)

24.（2024?湖州一模）用某型號(hào)拖把去拖沙發(fā)底部地面的截面示意圖如圖所示，拖把頭為矩形N2CD,AB^lGcm,

DA=2cm.該沙發(fā)與地面的空隙為矩形EFGH,EF=55ctn,HE=12cm.拖把桿為線段（W,長(zhǎng)為45c加，。為

OC的中點(diǎn)，與。C所成角a的可變范圍是14°WaW90°,當(dāng)a大小固定時(shí)，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)G,或點(diǎn)/與

點(diǎn)E重合，則此時(shí)N尸的長(zhǎng)即為沙發(fā)底部可拖最大深度.

（1）如圖1,當(dāng)a=30°時(shí)，求沙發(fā)底部可拖最大深度/尸的長(zhǎng).（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）如圖2,為了能將沙發(fā)底部地面拖干凈，將a減小到14°,請(qǐng)通過(guò)計(jì)算，判斷此時(shí)沙發(fā)底部可拖最大深度

4F的長(zhǎng)能否達(dá)到55c加？（sinl4°=0.24,cosl4°』0.97,tanl4°20.25）

25.（2024?杭州二模）小興同學(xué)在母親節(jié)來(lái)臨之際，為媽媽購(gòu)買(mǎi)了如圖1所示的臺(tái)式桌面化妝鏡，由鏡面與底座組

成，鏡面可繞兩固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng).如圖2是將其放置在水平桌面上的正面示意圖，鏡面為圓形，底座上的固定點(diǎn)工,

8所在直線經(jīng)過(guò)鏡面的圓心。，如圖3是其側(cè)面示意圖.現(xiàn)測(cè)得底座最高點(diǎn)/到桌面高為18c〃z,C為鏡面上的

最高點(diǎn)，且直徑（邊框視為鏡面的一部分）CD為16cm.

（1）在鏡面轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，求鏡面上的點(diǎn)。到桌面的最短距離（即圖3中。〃的長(zhǎng)）.

（2）如圖4小興媽媽通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)鏡面，測(cè)得/。。〃=160°.求此時(shí)鏡面上的點(diǎn)。到桌面的距離.（精確到0.1cm,

參考數(shù)據(jù)：sin70°^0.94,cos70°^0.34,tan70°仁2.75.）

26.（2023秋?鹿城區(qū)期中）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)

探究紙傘中的數(shù)學(xué)問(wèn)題

素材1我國(guó)紙傘制作工藝十分巧妙，如圖1,傘

不管是張開(kāi)還是收攏，/尸是傘柄，傘骨

且/￡=豈8,AF=LC,DE=

33

p

DF,。點(diǎn)為傘圈.

圖1

素材2傘圈D能沿著傘柄滑動(dòng)，如圖2是完全收A

攏時(shí)傘骨的示意圖，此時(shí)傘圈?；瑒?dòng)到E(F)

。的位置，且/、E、D'三點(diǎn)共線.測(cè)得D'

4D'=50cm,AE=20cm,傘完全張開(kāi)時(shí)N

B/C=120°,如圖1所示（參考值：屈5P

]2

心24.49）.8

素材3項(xiàng)目化學(xué)習(xí)小組同學(xué)經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)：雨往

往是斜打的，且都是平行的.如圖3,某

B

一天，雨線8M與地面夾角為60°,小明