軸對(duì)稱（易錯(cuò)必刷40題13種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）解析版

猜想03軸對(duì)稱（易錯(cuò)必刷40題13種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）

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線段垂直平分線的性質(zhì)（共4小題）等腰三角形的性質(zhì)（共9小題）

三.等腰三角形的判定（共3小題）四.等腰三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）

五.等邊三角形的性質(zhì)（共1小題）六.等邊三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）

七.含30度角的直角三角形（共3小題）A.生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象（共1小題）

九.軸對(duì)稱的性質(zhì)（共2小題）十.軸對(duì)稱圖形（共2小題）

十一.關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)（共8小題）十二.作圖-軸對(duì)稱變換（共1小題）

十三.軸對(duì)稱-最短路線問題（共2小題）

?題型通關(guān)專訓(xùn)?

一.線段垂直平分線的性質(zhì)（共4小題）

1.（2023春?定邊縣校級(jí)期末）如圖，在△48C中，垂直平分5C,分別交3。、AB于力、E,連接CE,

BF平分/ABC,交CE于尸，若BE=AC,NACE=2Q°,則/EFS的度數(shù)為（）

【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得即=EC,從而可得NEBC=/ECB,再根據(jù)已知可得C￡=/C,

從而利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得N/=//EC=80°,然后利用三角形的外角性質(zhì)

可得NEBC=/ECB=40°,再利用角平分線的定義NE8C=20°,最后利用三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)

算即可解答.

【解答】解：垂直平分8C,

：.EB=EC,

：./EBC=/ECB,

；BE=AC,

：.CE=AC,

VZACE=2Q°,

/.ZA=ZAEC=1.（180°-NACE）=80°，

2

:NAEC=/EBC+NECB=8Q°,

:.NEBC=NECB=4Q°,

■:BF平分N4BC,

：.ZFBC=^ZEBC=20°,

2

/.ZEFB=ZFBC+ZECB=60°,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?漣源市期末）如圖，在足球場(chǎng)內(nèi)，A,B,C表示三個(gè)足球運(yùn)動(dòng)員，為做折返跑游戲，現(xiàn)準(zhǔn)備在

足球場(chǎng)內(nèi)放置一個(gè)足球，使它到三個(gè)運(yùn)動(dòng)員的距離相等，則足球應(yīng)放置在（）

A.AC,3c兩邊高線的交點(diǎn)處

B.AC,2C兩邊中線的交點(diǎn)處

C.AC,8c兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處

D.N4,兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處

【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理，即可解答.

【解答】解：如圖，在足球場(chǎng)內(nèi)，A,B,C表示三個(gè)足球運(yùn)動(dòng)員，為做折返跑游戲，現(xiàn)準(zhǔn)備在足球場(chǎng)內(nèi)

放置一個(gè)足球，使它到三個(gè)運(yùn)動(dòng)員的距離相等，則足球應(yīng)放置在/C,2C兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?吉林期末）如圖，在△NBC中，48的垂直平分線交3c于點(diǎn)E,/C的垂直平分線交2c于點(diǎn)

F.若/3+/C=70°,則/E4尸的度數(shù)是（）

A

BEFC

A.30°B.35°C.40°D.45°

【分析】先利用三角形的內(nèi)角和定理求出/A4c=11?！?再利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得E/=匹，

E4=FC,從而可得NB=NB4E,NC=/E4C,然后利用等量代換可得/A4E+NE4c=70°,最后利用

角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：???/8+/C=70°,

AZBAC=180°-(ZB+ZC)=110°,

；AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)E,AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)F,

:.EA=EB,FA^FC,

：./B=/BAE,/C=/E4C,

：.ZBAE+ZE4C=10°,

AZEAF=ZBAC-(ZBAE+ZFAC)=40°,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.(2022秋?懷化期末)如圖，直線/與加分別是△/8C邊ZC和2C的垂直平分線，/與機(jī)分別交邊48

于點(diǎn)D和點(diǎn)E.

(1)若/2=10,則△€?￡的周長是多少？為什么？

(2)若//C2=125°,求NDCE的度數(shù).

【分析】(1)依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得到△(?￡)￡的周長=CD+r)￡+CE=Nr>+DE+3E=/8；

(2)依據(jù)4D=CD,BE=CE,即可得到=NB=/BCE,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可

得到//+48=55°,進(jìn)而得到//CD+/3CE=55°,再根據(jù)NDCE=N/C2-(//CD+/BCE)進(jìn)行

計(jì)算即可.

【解答】解：(1)△CDE的周長為10.

V直線/與根分別是△NBC邊AC和BC的垂直平分線，

：.AD=CD,BE=CE,

￡\CDE的周長=Cr>+D￡+C￡=/O+￡>￡+3￡=/3=10；

（2）?..直線/與機(jī)分別是△/BC邊/C和BC的垂直平分線，

：.AD=CD,BE=CE,

：.ZA=Z.ACD,/B=/BCE,

又“：N4CB=125",

：.ZA+ZB=l80°-125°=55°,

AZACD+ZBCE=55°,

：.ZDCE^ZACB-QACD+/BCE）=125°-55°=70°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等.

二.等腰三角形的性質(zhì)（共9小題）

5.（2022秋?門頭溝區(qū)期末）一個(gè)等腰三角形的兩條邊分別是2c%和5cm,則第三條邊的邊長是（）

A.2cmB.5cmC.2cm或5cmD.不能確定

【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L為2CM,底邊長為5c"?時(shí)，當(dāng)?shù)妊切蔚难L為5c〃z,底

邊長為2°加時(shí)，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)?shù)妊切蔚难L為2cm,底邊長為5cm時(shí)，

V2+2=4<5,

不能組成三角形；

當(dāng)?shù)妊切蔚难L為5cm,底邊長為2cm時(shí)，

...等腰三角形的三邊長分別為5c%,5cm,2cm,

綜上所述：等腰三角形的第三條邊的邊長是5cm,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵.

6.（2022秋?番禺區(qū)校級(jí)期末）等腰三角形的一條邊長為6,另一邊長為14,則它的周長為（）

A.26B.26或34C.34D.20

【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L為6,底邊長為14時(shí)；當(dāng)?shù)妊切蔚难L為14,底邊長為

6時(shí)，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)?shù)妊切蔚难L為6,底邊長為14時(shí),

；6+6=12V14,

不能組成三角形；

當(dāng)?shù)妊切蔚难L為14,底邊長為6時(shí)，

.?.它的周長=14+14+6=34；

綜上所述：它的周長為34,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵.

7.（2022秋?南開區(qū)校級(jí)期末）等腰二角形的一個(gè)外角是70°,則它的頂角的度數(shù)為（）

A.70°B.70°或40°C.110°D.110°或40°

【分析】利用平角定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：如圖：在△48C中，AB=AC,

：.Z5^C=180°-S4c=110°,

等腰三角形的頂角的度數(shù)為HO。，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

8.（2022秋?聊城期末）若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°,則這個(gè)等腰三角形的底角的度

數(shù)為（）

A.20°B.50°或70°C.70°D.20°或70°

【分析】分兩種情況討論：①若該等腰三角形為鈍角三角形；②若該等腰三角形為銳角三角形；先求

出頂角即可求出底角的度數(shù).

【解答】解：①如圖1,當(dāng)該等腰三角形為鈍角三角形時(shí)，

?.?一腰上的高與另一腰的夾角是50°,

.?.底角=工(90°-50°)=20°,

2

②如圖2,當(dāng)該等腰三角形為銳角三角形時(shí),

二,一腰上的高與另一腰的夾角是50°,

底角=1_[180°-(90°-50°)]=70°.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及余角和鄰補(bǔ)角的定義；注意分類討論方法的運(yùn)用，避免漏解.

9.（2022秋?平谷區(qū)期末）如圖，△NBC中，AB=AC,。是胡延長線上一點(diǎn)，且/ZUC=100°,則NC

【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)可得/2=NC,再利用三角形的外角性質(zhì)可得Nn4C=NB+NC=100°,

然后進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：?.13=NC,

NB=NC,

,/ZDAC是△NBC的一個(gè)外角,

AZDAC^ZB+ZC=100°,

AZB=ZC=50°,

故答案為：50°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.（2022秋?衡山縣期末）己知等腰三角形的兩邊長分別為10和4,則三角形的周長是24.

【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L為10,底邊長為4時(shí)，當(dāng)?shù)妊切蔚难L為4,底邊長為

10時(shí)，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)?shù)妊切蔚难L為10,底邊長為4時(shí)，

...這個(gè)等腰三角形的周長=10+10+4=24；

當(dāng)?shù)妊切蔚难L為4,底邊長為10時(shí)，

V4+4=8<10,

???不能組成三角形；

綜上所述：這個(gè)等腰三角形的周長為24,

故答案為：24.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵.

11.（2022秋?東昌府區(qū)校級(jí)期末）如圖，在中，AB=AC,。為3c的是中點(diǎn)，AD=AE,/BAD=

30°,求/EDC的度數(shù).

【分析】先利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得/4。。=90°,ZBAD=ZCAD=3Q°,然后再利用等

腰三角形的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理可得//￡>￡=/N￡D=75°,從而利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算

即可解答.

【解答】解：?.13=NC,。為8C的是中點(diǎn)，

AZADC=90°,/BAD=/CAD=30°,

'：AD=AE,

：.N4DE=NAED=L（180°-/CAD）=75°,

2

/EDC=ZADC-/4DE=15°,

的度數(shù)為15°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.（2022秋?忠縣期末）如圖△NBC中，點(diǎn)。在上，已知

<1）求//C2的大??；

（2）若//=30°,48=4,求△BCD的周長.

【分析】（1）先利用等腰三角形的性質(zhì)可得//=N/CD,NB=NBCD,然后利用三角形的內(nèi)角和定理,

進(jìn)行計(jì)算即可解答；

（2）利用（1）的結(jié)論，在RtZ\/3C中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得3。=工48=2,然后

2

再根據(jù)已知可得NO=8O=C￡>=2,從而利用三角形的周長公式，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：（1）'：AD=BD=CD,

；./4=NACD,/B=NBCD,

'：ZA+ZACD+ZBCD+ZB=180°,

：.2ZACD+2ZBCD^18Q0,

AZACD+ZBCD=90°,

/.ZACB=90°；

（2）：N/=30°,ZACB=90°,AB=4,

：.BC=^AB=2,

2

,:AD=BD=CD,

.".AD=BD=CD=—AB=2,

2

△BCD的周長為6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握含30度角的直角三角形的

性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.（2022秋?開封期末）已知在△48C中，48=20,BC=3,AC=2m-2.

（1）求加的取值范圍；

（2）若△/8C是等腰三角形，求△NBC的周長.

【分析】（1）利用三角形的三邊關(guān)系可得：20-8V2〃L2<20+8,然后進(jìn)行計(jì)算即可解答；

（2）分兩種情況：當(dāng)/3=/C=20時(shí)；當(dāng)8C=/C=8時(shí)，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：（1）在△43C中，AB=2Q,BC=8,AC=2m-2.

：.2O-8<2/M-2<20+8,

解得：7<n<15；

二%的取值范圍為：7V機(jī)<15；

（2）???△NBC是等腰三角形，

，分兩種情況：

當(dāng)/8=/C=20時(shí)，

，AABC的周長=20+20+8=48；

當(dāng)3C=/C=8時(shí)，

V8+8=16<20,

???不能組成三角形；

綜上所述，△43C的周長為48.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形三邊關(guān)系，以及等腰三角形

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三.等腰三角形的判定（共3小題）

14.（2022秋?平橋區(qū)校級(jí)期末）線段48在如圖所示的8X8網(wǎng)格中（點(diǎn)/、8均在格點(diǎn)上），在格點(diǎn)上找一

點(diǎn)C,使△ABC是以為頂角的等腰三角形，則所有符合條件的點(diǎn)。的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.5C.6D.7

【分析】根據(jù)題意可得，以點(diǎn)3為圓心，砌長為半徑畫圓，圓與格點(diǎn)的交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)C

【解答】解：如圖所示:

使△NBC是以N2為頂角的等腰三角形，

所以所有符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是6個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，解決本題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定.

15.（2022秋?臥龍區(qū)校級(jí)期末）如圖，正方形的網(wǎng)格中，點(diǎn)N,B是小正方形的頂點(diǎn)，如果。點(diǎn)是小正方

形的頂點(diǎn)，且使是等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（）

【分析】當(dāng)是腰長時(shí)，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，找出一個(gè)小正方形與/、3頂點(diǎn)相對(duì)的頂點(diǎn)，連接即可得到等

腰三角形；當(dāng)是底邊時(shí)，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，N2垂直平分線上的

格點(diǎn)都可以作為點(diǎn)C,然后相加即可得解.

【解答】解：如圖，分情況討論：

①為等腰△48C的底邊時(shí)，符合條件的。點(diǎn)有4個(gè)；

②42為等腰△NBC其中的一條腰時(shí)，符合條件的。點(diǎn)有4個(gè).

所以△N3C是等腰三角形，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為8個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實(shí)際條件的圖形.分類討

論思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想.

16.（2022秋?邳州市期末）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，已知2是兩格點(diǎn)，如果C

也是圖中的格點(diǎn)，且使得△/BC為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）

【分析】分N8是腰長時(shí)，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，找出一個(gè)小正方形與/、3頂點(diǎn)相對(duì)的頂點(diǎn)，連接即可得到等

腰三角形，是底邊時(shí)，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，N8垂直平分線上的格

點(diǎn)都可以作為點(diǎn)C,然后相加即可得解.

【解答】解：①N5為等腰△/8C底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)；

②為等腰△48C其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，要注意分是腰長

與底邊兩種情況討論求解.

四.等腰三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）

17.（2022秋?潢川縣校級(jí)期末）如圖，在△NBC中，AB=3,AC=4,/N8C和N4C3的平分線交于點(diǎn)￡,

過點(diǎn)￡作〃N〃2c分別交48、/C于"、N,則的周長為（）

A.4B.6C.7D.8

【分析】利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證和△NEC是等腰三角形，從而可得〃2=旌,

NE=NC,然后利用等量代換可得△/MN的周長=N8+/C,進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：:BE平分N4BC,CE平分/4CB,

：./ABE=/EBC,ZACE=ZECB,

'JMN//BC,

:.NMEB=NEBC,/NEC=/ECB,

：.ZABE^ZMEB,/ACE=/NEC,

：.MB=ME,NE=NC,

9

：AB=3fAC=4,

AAMN的周長=AM+MN+AN

=AM+ME+EN+AN

=AM+MB+CN+AN

=AB+AC

=3+4

=7,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證等腰

三角形是解題的關(guān)鍵.

18.（2022秋?荊門期末）如圖，在△ZBC中，ED//BC,N45C和N4C5的平分線分別交切于點(diǎn)G、F,

若尸G=4,ED=8,求EB+DC=12.

【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證△防G和△?；?。是等腰三角形，從而可得EB=EG,

DF=DC,進(jìn)而可得血+。。=切+bG,然后進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：???￡Q〃5C,

:?/EGB=/GBC,ZDFC=ZFCB,

〈BG平分N/5C,CF平分N4C5,

:?/ABG=/CBG,NACF=NFCB,

：.ZEBG=ZEGB,ZDFC=ZACF,

：.EB=EG,DF=DC,

VFG=4,瓦）=8,

：.EB+DC=EG+DF

=ED+FG

=12,

故答案為：12.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握利用角平分線的定義和平行線

的性質(zhì)可證等腰三角形是解題的關(guān)鍵.

五.等邊三角形的性質(zhì)（共1小題）

19.（2022秋?睢陽區(qū)期末）已知△48C為等邊三角形，AB=10,M在48邊所在直線上，點(diǎn)N在ZC邊所

在直線上，旦MN=MC,若4W=16,則CN的長為4或36.

M

【分析】分兩種情形：①當(dāng)點(diǎn)M在48的延長線上時(shí)，作地于。.②當(dāng)點(diǎn)”在A4的延長線上

時(shí)，作MO_LCN于D分別求解即可.

【解答】解：由題意可知，BM=AN=6,

①如圖，當(dāng)點(diǎn)M在的延長線上時(shí)，作A/D_L4C于。.

Nr

在RtA^A?中，

VZADM^90°,ZA=6Q°,AM=16,

.".AD=-AM=S,

2

：.CD=AC-AD^l,

,:MN=MC,MDLCN,

：.DN=CD,

:.CN=2CD=4.

②如圖，當(dāng)點(diǎn)M在氏4的延長線上時(shí)，作兒ZD_LCN于￡）,

N,

1

Bi-------Nc

在RtAAMD中，

VZADM^90°,ZDAM=60°,AM=16,

.".AD=—AM=S,

2

：.CD=AD+AC^lS,

,:MN=MC,MDLCN,

：.DN=CD,

:.CN=2CD=36,

故答案為：4或36.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考

問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線面構(gòu)造直角三角形解決問題.

六.等邊三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）

20.（2022秋?岳麓區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知4D平分/A4C,NDEB=NEBC=60°,若BE=5,

DE=2,則BC=7.

【分析】作出輔助線后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出△BE"為等邊三角形，得出3M=EN=3E=5,從而

得出8N的長，進(jìn)而求出答案.

【解答】解：延長ED交3C于M,延長/。交8c于N,如圖，

9：AB=AC,4。平分NA4C,

C.ANLBC,BN=CN,

VZEBC=ZDEB=60°,

???為等邊三角形，

：.BM=EM=BE=5,ZEMB=60°,

,:DE=2,

:?DM=3,

■:ANIBC,

：.ZDNM=9Q°,

：.ZNDM=30°,

:.NM=LDM=3,

22

：.BN=BM-MN=5-3=工，

22

：.BC=2BN=1.

故答案為：7.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)等

知識(shí)，根據(jù)題意構(gòu)造含30°的直角三角形是解題的關(guān)鍵.

21.（2022秋?東洲區(qū)期末）如圖，直線a〃6,△48C是等邊三角形，點(diǎn)/在直線a上，邊8C在直線6上,

把△48C沿方向平移的一半得到△/'B'C（如圖①）；繼續(xù)以上的平移得到圖②，再繼續(xù)

以上的平移得到圖③，…；請(qǐng)問在第100個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)是400.

【分析】先證出陰影的三角形是等邊三角形，又觀察圖可得，第〃個(gè)圖形中大等邊三角形有2〃個(gè)，小等

邊三角形有2〃個(gè)，據(jù)此求出第100個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù).

【解答】解：如圖①

■:AABC是等邊三角形，

???AB=BC=AC,

?：A'B'//AB,BB'=B'C=Lc,

2

：.B'CO=1-AC,

22

...△夕oc是等邊三角形，同理陰影的三角形都是等邊三角形.

又觀察圖可得，第1個(gè)圖形中大等邊三角形有2個(gè)，小等邊三角形有2個(gè)，

第2個(gè)圖形中大等邊三角形有4個(gè)，小等邊三角形有4個(gè)，

第3個(gè)圖形中大等邊三角形有6個(gè)，小等邊三角形有6個(gè)，…

依次可得第n個(gè)圖形中大等邊三角形有2"個(gè)，小等邊三角形有2?個(gè).

故第100個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)是：2X100+2X100=400.

故答案為：400.

①

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)及平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是據(jù)圖找出規(guī)律.

七.含30度角的直角三角形（共3小題）

22.（2022秋?白云區(qū)校級(jí)期末）若等腰三角形腰上的高是腰長的一半，則這個(gè)等腰三角形的底角是（）

A.75°或15°B.75°C.15°D.75°和30°

【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時(shí)；當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時(shí)；然后分別進(jìn)行計(jì)

算即可解答.

【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時(shí)，如圖：

A

在△48C中，AB=AC,BDLAC,

：.ZBDA=90°,

,：BD=^-AB,

2

ZBAD=30a,

'：AB=AC,

：.ZABC=ZC=1.(180°-/A)=75

2

???這個(gè)等腰三角形的底角是75°；

當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時(shí)，如圖：

在△NBC中，AB=AC,BDLAC,

:.NBDA=90°,

?:BD=LB,

2

:.NBAD=30°,

：.ZABC+ZC=30°,

;AB=AC,

：.ZABC=ZC=^ZBAD=15°,

2

，這個(gè)等腰三角形的底角是15°；

綜上所述：這個(gè)等腰三角形的底角是75°或15°,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵.

23.（2022秋?洪山區(qū)校級(jí)期末）如圖，在RtZk/BC中，ZBAC=90°,ZS=30°,ADLBC.則下列等式

成立的是（）

2DCC.AB=4DCD.BD=2AC

【分析】根據(jù)在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，求出3O=3OC,BD=3AC,BC

2

4DC,AC=2DC.

【解答】解：???/8/C=90°,/B=30°,

；.BC=2AC,ZC=60",

"JADLBC,

：.ZDAC=30°,

：.AC=2DC,

B不符合要求;

：.BC=4DC,

不符合要求;

：.BD=3DC,

：.A符合要求;

,:AC=2DC,BC=4DC

：.BD=^-AC,

2

二。不符合要求;

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30度角的直角三角形，掌握此定理，應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)30。的角所對(duì)的直角

邊，點(diǎn)明斜邊，是解題的關(guān)鍵.

24.（2022秋?楊浦區(qū)期末）已知，如圖，在△/BC中，為3c邊上的中線，S.AD=^BC,AE±BC.

2

（1）求證：/CAE=/B；

(2)若/C4￡=30°,CE=2,求N3的長.

A

【分析】(1)根據(jù)三角形的中線定義可得助=。。=工2。從而可得4D=DC=BD,然后利用等腰三角

2

形的性質(zhì)可得/C=ND4C,再利用三角形的內(nèi)角和定理可得N8+/C=90°,最后根據(jù)

垂直定義可得/N￡C=90°,從而可得/。/￡+/。=90°,進(jìn)而根據(jù)同角的余角相等即可解答；

(2)在Rt^/EC中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出/C的長，然后在中，利用含

30度角的直角三角形的性質(zhì)即可解答.

【解答】(1)證明：為8C邊上的中線，

:.BD=DC=LBC,

2

"：AD=LBC,

2

：.AD=DC=BD,

:./B=NBAD,ZC=ADAC,

VZB+ZBAD+ZDAC+ZC=1SO°,

：.2(ZS+ZC)=180°,

：.ZB+ZC=90°,

"：AE±BC,

：.ZAEC=9Q°,

：.ZCAE+ZC=90°,

；.NCAE=NB；

(2)解：VZAEC=90°,NCAE=30°,CE=2,

；./C=2CE=4,

VZB+ZC^90°,

：.Z^C=180°-(Z5+ZC)=90°,

,:/B=/CAE=30°,

'.AB=y/3AC=4/s,

：.AB的長為4愿.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30度角的直角三角形，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

八.生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象（共1小題）

25.（2022秋?高陽縣校級(jí)期末）如圖是跳棋盤，其中格點(diǎn)上的黑色點(diǎn)為棋子，剩余的格點(diǎn)上沒有棋子，我

們約定跳棋游戲的規(guī)則是：把跳棋棋子在棋盤內(nèi)沿直線隔著棋子對(duì)稱跳行，跳行一次稱為一步，已知點(diǎn)

/為乙方一枚棋子，欲將棋子/跳進(jìn)對(duì)方區(qū)域（陰影部分的格點(diǎn)），則跳行的最少步數(shù)為（）

A.2步B.3步C.4步D.5步

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，由軸對(duì)稱的性質(zhì)判定正確選項(xiàng).

【解答】解：觀察圖形可知：先向右跳行，在向左，最后沿著對(duì)稱的方法即可跳到對(duì)方那個(gè)區(qū)域，所以

最少是3步.

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查軸對(duì)稱的基本性質(zhì)，注意：對(duì)稱軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線.通過對(duì)稱的性質(zhì)找到最短

的路線是解題的關(guān)鍵.

九.軸對(duì)稱的性質(zhì)（共2小題）

26.（2022秋?大連期末）如圖，在2X2的正方形格紙中，有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△/2C,在格紙中能畫出

與成軸對(duì)稱且也以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形（不包括A/BC本身），這樣的三角形共有3個(gè)

B

【分析】依據(jù)大正方形的對(duì)稱軸，即可畫出與△/8C成軸對(duì)稱且也以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形.

【解答】解：如圖所示，與△N8C成軸對(duì)稱且也以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形有3個(gè)：

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱圖形的定義與判斷，如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折，兩側(cè)的圖形能完全重合,

這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形.折痕所在的這條直線叫做對(duì)稱軸.

27.（2022秋?華容區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)3關(guān)于/C的對(duì)稱點(diǎn)⑶恰好落在CD上，

若N84D=a,則N/C5的度數(shù)為（）

A.45°B.a-45。C.LD.90°--la

22

【分析】連接48',BB',過/作/E_LCD于E,依據(jù)ZDAE^ZB'AE,即可得出/C/E

=工48/。=工a，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和以及三角形外角性質(zhì)，即可得到b=90°-工11.

222

【解答】解：如圖，連接/9，BB',過/作4B_LCD于￡,

,/點(diǎn)2關(guān)于NC的對(duì)稱點(diǎn)9恰好落在CD上，

垂直平分89，

：.AB=AB',

：.NBAC=ZB'AC,

；AB=AD,

：.AD=AB',

又；4E_LCD,

：./DAE=ZB'AE,

：.ZCAE=1-ZBAD=1-a，

22

又；/AEB'=/4OB'=90°,

，四邊形/OB'E中，/EB'O=180°-

2

,

：.ZACB'=ZEB'O-ZCO5=180°-90°=90°-Xa,

22

ZACB=ZACB'=90°-Aa,

2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和以及三角形外角性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是

作輔助線構(gòu)造四邊形解題時(shí)注意：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)

點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

一十.軸對(duì)稱圖形（共2小題）

28.（2022秋?海安市期末）觀察如圖的網(wǎng)絡(luò)圖標(biāo)，其中可以看成軸對(duì)稱圖形的是（）

AOBSCnD

【分析】如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這

條直線叫做對(duì)稱軸.

【解答】解：選項(xiàng)C的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相

重合，所以是軸對(duì)稱圖形，

選項(xiàng)48、。的圖形均不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重

合，所以不是軸對(duì)稱圖形，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形的概念.軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重

合.

29.（2023?岳麓區(qū)校級(jí)三模）“致中和，天地位焉，萬物育焉.”對(duì)稱美是我國古人和諧平衡思想的體現(xiàn)，

常被運(yùn)用于建筑、器物、繪畫、標(biāo)識(shí)等作品的設(shè)計(jì)上，使對(duì)稱之美驚艷了千年的時(shí)光.下列大學(xué)的校徽

圖案是軸對(duì)稱圖形的是()

【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形,

這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可.

【解答】解：A,C,。選項(xiàng)中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的

部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；

8選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以

是軸對(duì)稱圖形；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

一十一.關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)(共8小題)

30.(2022秋?天河區(qū)校級(jí)期末)下列說法正確的是()

A.已知點(diǎn)M(2,-5),則點(diǎn)M到x軸的距離是2

B.若點(diǎn)/("I,0)在x軸上，則°=0

C.點(diǎn)/(-1,2)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-2)

D.點(diǎn)C(-3,2)在第一象限內(nèi)

【分析】分別根據(jù)點(diǎn)的幾何意義；在x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為零；關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)

不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；各個(gè)象限上的點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)逐一判斷即可.

【解答】解：A.已知點(diǎn)“(2,-5),則點(diǎn)M到x軸的距離是|-5|=5,故本選項(xiàng)不合題意；

B.若點(diǎn)4(a-1,0)在x軸上，則?？梢允侨w實(shí)數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；

C.點(diǎn)N(-1,2)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-2),故本選項(xiàng)符合題意；

D.C(-3,2)在第二象限內(nèi)，故本選項(xiàng)不合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)以及點(diǎn)的坐標(biāo)，掌握平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是

解答本題的關(guān)鍵.

31.(2022秋?廣宗縣期末)若點(diǎn)/(a,3),B(2,-b)關(guān)于y軸對(duì)稱，則點(diǎn)b)所在的象限是

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【分析】根據(jù)“關(guān)于7軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”求出a、b的值，即可得到結(jié)論.

【解答】解：,?,點(diǎn)/(a,3)、點(diǎn)2(2,-b)關(guān)于y軸對(duì)稱，

??=-2,-6=3,

解得：a=-2,6=-3,

:.點(diǎn)、M(a,b)在第三象限，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了關(guān)于x軸、了軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)以及各點(diǎn)所在象限的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好

對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：(1)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；(2)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，

縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；(3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù).

32.(2022秋?扶溝縣校級(jí)期末)已知點(diǎn)M(a,3)和N(4,b)關(guān)于y軸對(duì)稱，則a-6=-7.

【分析】直接利用關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)(橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變)得出。，6的值，進(jìn)而得出

答案.

【解答】解：；點(diǎn)M(a,3)和N(4,b)關(guān)于了軸對(duì)稱，

".a=-4,b=3,

:.a-b—-4-3=-7.

故答案為：-7.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確掌握橫縱坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

33.(2022秋?靈寶市期末)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/(1+m,1-n)與點(diǎn)2(-1,2)關(guān)于丁軸對(duì)稱，則

m+n=-].

【分析】關(guān)于丁軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變.直接利用關(guān)于〉軸對(duì)稱點(diǎn)的

性質(zhì)得出冽，〃的值，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：?.?點(diǎn)力(1+冽，1-幾)與點(diǎn)呂(-1,2)關(guān)于y軸對(duì)稱，

m+l=l,1-〃=2,

解得：m=0,n=-1,

/.m+n=0-1=-1.

故答案為：-1.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的特征，點(diǎn)尸（X,/）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-X,＞）.

34.（2022秋?辛集市期末）規(guī)定：在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)點(diǎn)作“0”變換表示將它向右平移一個(gè)單位，

一個(gè)點(diǎn)作“1”變換表示將它關(guān)于x軸作對(duì)稱點(diǎn)，一個(gè)點(diǎn)作“2”變換表示將它關(guān)于y軸作對(duì)稱點(diǎn).由數(shù)

字0,1,2組成的序列表示一個(gè)點(diǎn)按照上面描述依次連續(xù)變換.例如：如圖，點(diǎn)/（-2,3）按序列“012”

作變換，表示點(diǎn)/先向右平移一個(gè)單位得到4（-1,3）,再將出（-1,3）關(guān)于x軸對(duì)稱得到/2（-

1,-3）,再將加（-1,-3）關(guān)于〉軸對(duì)稱得到出（1，-3）…依次類推.點(diǎn)（1,1）經(jīng)過“012012012…”

100次變換后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為（）（注：“012”算3次變換）

AA.yf

____I_____I----------1-----1—

Io工

I

I

I

I

I

-卜--*"43

A.（2,1）B.（-2,1）C.（-2,-1）D.（-1,-1）

【分析】根據(jù)變換的定義解決問題即可.

【解答】解：點(diǎn)3（1,1）按序列“012”作變換，表示點(diǎn)2先向右平移一個(gè)單位得到囪（2,1）,再將

Ai（2,1）關(guān)于x軸對(duì)稱得到&（2,-1）,再將比（2,-1）關(guān)于y軸對(duì)稱得到明（-2,-1）…依

次類推，點(diǎn)（1,1）經(jīng)過“012”變換得到點(diǎn)（-2,-1）,點(diǎn)（-2,-1）經(jīng)過“012”變換得到點(diǎn)（1,

1）,說明經(jīng)過6次變換回到原來的位置，

1004-6=16...4,

所以點(diǎn)（1,1）經(jīng)過“012012012…”100次變換后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1,-1）.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，平移變換，旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用

所學(xué)知識(shí)解決問題.

35.（2022秋?金牛區(qū)校級(jí)期末）已知有序數(shù)對(duì)（a,b）及常數(shù)左，我們稱有序數(shù)對(duì)Qka+b,a-b）為有序

數(shù)對(duì)（a,6）的“左階結(jié)伴數(shù)對(duì)如（3,2）的“1階結(jié)伴數(shù)”對(duì)為（1X3+2,3-2）即（5,1）.若有

序數(shù)對(duì)（a,b）（b聲0）與它的“左階結(jié)伴數(shù)對(duì)”關(guān)于y軸對(duì)稱，則此時(shí)人的值為（）

A.-2B.-3C.0D.-A

22

【分析】根據(jù)新定義可得：有序數(shù)對(duì)(a,6)(6W0)的“左階結(jié)伴數(shù)對(duì)”是(ka+b,a-b),并根據(jù)y

軸對(duì)稱：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，可列方程組，從而可解答.

【解答】解：:,有序數(shù)對(duì)(。，b)(6W0)的“左階結(jié)伴數(shù)對(duì)”是(ka+b,a-b),

.(a-b=b

la+ka+b=O

解得：k=-3.

2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解二元一次方程組，新定義階結(jié)伴數(shù)對(duì)”的理解和運(yùn)用，能根據(jù)題意列出方程

組是解此題的關(guān)鍵.

36.(2022秋?寧波期末)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)-3,-4)平移后能與原來的位置關(guān)于y軸對(duì)稱，

則應(yīng)把點(diǎn)/()

A.向左平移6個(gè)單位B.向右平移6個(gè)單位

C.向下平移8個(gè)單位D.向上平移8個(gè)單位

【分析】關(guān)于〉軸成軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，那么向右平移兩個(gè)橫坐標(biāo)差的

絕對(duì)值即可.

【解答】解：???點(diǎn)/(-3,-4)平移后能與原來的位置關(guān)于y軸軸對(duì)稱，

...平移后的坐標(biāo)為(3,-4),

???橫坐標(biāo)增大，

???點(diǎn)是向右平移得到，平移距離為|3-(-3)|=6.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平移中點(diǎn)的變化規(guī)律及點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的知識(shí)點(diǎn)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩點(diǎn)關(guān)于y

軸對(duì)稱，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；點(diǎn)的左右移動(dòng)只改變點(diǎn)的橫坐標(biāo).

37.(2022秋?欽州期末)下列各點(diǎn)中，點(diǎn)又(1,-2)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(1,2)B.(-1,2)C.(-1,-2)D.(1,-2)

【分析】根據(jù)“關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答.

【解答】解：點(diǎn)M(l,-2)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1.2).

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：(1)

關(guān)于X軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；(2)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互

為相反數(shù).

一十二.作圖-軸對(duì)稱變換(共1小題)

38.(2022秋?吁胎縣期末)△N3C在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，其中-3,5),8(-5,