江西省多校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次學(xué)情聯(lián)合檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

2024-2025學(xué)年下學(xué)期江西省第一次學(xué)情聯(lián)合檢測(cè)高二數(shù)學(xué)試卷試卷共4頁(yè)，19小題，滿(mǎn)分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．考查范圍：選擇性必修第一冊(cè)占，選擇性必修第二冊(cè)第一章占.2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡指定位置上.3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知數(shù)列的前4項(xiàng)依次為，則的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A. B. C. D.2.已知直線，若，則（）A. B. C.8 D.3.已知數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，則（）A.12 B.4 C. D.4.已知數(shù)列滿(mǎn)足，則的前5項(xiàng)的乘積為（）A. B. C. D.5.若直線l一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則直線l與平面所成角的余弦值為（）A. B. C. D.6.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，則的最大值為（）A. B. C. D.17.若，且數(shù)列是遞減數(shù)列，數(shù)列是遞增數(shù)列，則的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知為數(shù)列的前n項(xiàng)乘積，且，則滿(mǎn)足的n的最小值為（）A.21 B.49 C.50 D.51二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知數(shù)列是公比為q等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為，則（）A. B.C.當(dāng)時(shí)， D.10.已知A，B，C，D是空間直角坐標(biāo)系中的四點(diǎn)，P是空間中任意一點(diǎn)，則（）A.若與關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)，則B.若，則A，B，C，D共面C.若，則A，B，C，D共面D.若三點(diǎn)共線，則11.已知數(shù)列是等差數(shù)列，公差，前n項(xiàng)和為，且，則（）A.時(shí)，最小 B.時(shí)，最小C.最小時(shí)，或9 D.最小時(shí)，或9三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某公園有4條同心圓環(huán)步道，其長(zhǎng)度構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，若最長(zhǎng)步道與最短步道之差為，則最長(zhǎng)步道為_(kāi)_________．13.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則___________．14.若數(shù)列滿(mǎn)足，在中插入n個(gè)2，按照原有順序構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列的前480項(xiàng)和為_(kāi)__________．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（1）已知數(shù)列，求的前10項(xiàng)和；（2）小明購(gòu)買(mǎi)了價(jià)格分別為x元、y元的甲、乙兩種學(xué)習(xí)用品，若1，x，y成等比數(shù)列，x，y，成等差數(shù)列，求x，y．16.記2020~2024年的年份代碼依次為1，2，3，4，5，下表為2020~2024年中國(guó)出生人數(shù)y（單位：萬(wàn)人）與年份代碼x的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份代碼x12345出生人數(shù)y12001062956902954（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)求得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，求x與y的相關(guān)系數(shù)r，并判斷該經(jīng)驗(yàn)回歸方程是否有價(jià)值：（若，則認(rèn)為經(jīng)驗(yàn)回歸方程有價(jià)值）（2）從表中第2行的5個(gè)數(shù)據(jù)中任取3個(gè)數(shù)據(jù)，記取到大于1000的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為X，求X的分布列與期望．參考數(shù)據(jù)與公式：回歸方程中，相關(guān)系數(shù)．17已知數(shù)列滿(mǎn)足．（1）證明：數(shù)列等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．18.已知雙曲線一條漸近線方程為，左、右頂點(diǎn)分別為，且．（1）求C的方程；（2）若動(dòng)直線與C交于不同的兩點(diǎn)，直線交于點(diǎn)E，證明：點(diǎn)E恒在橢圓上；（3）若過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線l與C的左、右支分別交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為R，判斷直線QR是否過(guò)定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．19.已知數(shù)列滿(mǎn)足：,．（1）證明：；（2）設(shè)，求的值；（3）求的通項(xiàng)公式，并證明：能被3整除．

2024-2025學(xué)年下學(xué)期江西省第一次學(xué)情聯(lián)合檢測(cè)高二數(shù)學(xué)試卷試卷共4頁(yè)，19小題，滿(mǎn)分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．考查范圍：選擇性必修第一冊(cè)占，選擇性必修第二冊(cè)第一章占.2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡指定位置上.3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知數(shù)列的前4項(xiàng)依次為，則的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)規(guī)律，利用觀察法求出通項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)榈那?項(xiàng)依次為，所以的一個(gè)通項(xiàng)公式為．故選：．2.已知直線，若，則（）A. B. C.8 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，，利用斜率相等即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以．?yàn)證當(dāng)時(shí)，，兩條直線平行.故選：D．3.已知數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，則（）A.12 B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題意得，.故選：C.4.已知數(shù)列滿(mǎn)足，則的前5項(xiàng)的乘積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件可得數(shù)列是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)果.【詳解】由得，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴，∴的前5項(xiàng)的乘積為．故選：C．5.若直線l的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則直線l與平面所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】應(yīng)用向量法求線面角的正弦值，進(jìn)而求余弦值.【詳解】設(shè)直線l與平面所成的角為，則，所以．故選：A．6.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，則的最大值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】設(shè)數(shù)列的公差為d，結(jié)合題設(shè)易得，進(jìn)而結(jié)合求解即可.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為d，由，得，整理得，把該式看作關(guān)于d的一元二次方程，則，解得．故選：A．7.若，且數(shù)列是遞減數(shù)列，數(shù)列是遞增數(shù)列，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】討論n為奇數(shù)和n為偶數(shù)，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可得t的取值范圍.【詳解】∵數(shù)列是遞減數(shù)列，∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，即，整理得，，∴，故，∵時(shí)，，∴，即.∵數(shù)列是遞增數(shù)列，∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，即，整理得，，∴，故，∵時(shí)，，∴，即.綜上得，的取值范圍是．故選：C.8.已知為數(shù)列的前n項(xiàng)乘積，且，則滿(mǎn)足的n的最小值為（）A.21 B.49 C.50 D.51【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件，變形計(jì)算，得到，構(gòu)造等差數(shù)列，求出，再解不等式即可.【詳解】因?yàn)?，所以，且，兩式相除得，所以，?shù)列是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，所以，所以令，得，所以滿(mǎn)足條件的n的最小值為51．故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為，則（）A. B.C.當(dāng)時(shí)， D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)判斷A；根據(jù)等比中項(xiàng)公式判斷B；根據(jù)等比數(shù)列求和公式，變形計(jì)算判斷CD.【詳解】，故A正確；，故B錯(cuò)誤；由求和公式易得C正確；，故D正確．故選：ACD．10.已知A，B，C，D是空間直角坐標(biāo)系中的四點(diǎn)，P是空間中任意一點(diǎn)，則（）A.若與關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)，則B.若，則A，B，C，D共面C.若，則A，B，C，D共面D.若三點(diǎn)共線，則【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A：利用“關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱(chēng)誰(shuí)不變”即可求出B點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷，對(duì)于B：利用共面向量定理可得B正確；對(duì)于C：利用共面向量定理的推論即可驗(yàn)證；對(duì)于D：利用共線向量定理即可求得結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，A與B關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由共面向量定理易知得B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，因?yàn)锳，B，C共線，所以共線，所以，所以，故D正確．故選：BD．11.已知數(shù)列是等差數(shù)列，公差，前n項(xiàng)和為，且，則（）A.時(shí)，最小 B.時(shí)，最小C.最小時(shí)，或9 D.最小時(shí)，或9【答案】ACD【解析】【分析】由條件推出，求得，根據(jù)各選項(xiàng)逐一判斷即得.詳解】由得，所以，對(duì)于A，因，由，，可得時(shí)最小，故A正確；對(duì)于B，由A可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，故時(shí)，最小，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以最小時(shí)或9，故C正確；對(duì)于D，因，當(dāng)時(shí)因，當(dāng)時(shí)，且，所以最小時(shí)，或9，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某公園有4條同心圓環(huán)步道，其長(zhǎng)度構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，若最長(zhǎng)步道與最短步道之差為，則最長(zhǎng)步道為_(kāi)_________．【答案】960【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程，進(jìn)而求出最長(zhǎng)步道的長(zhǎng)度.【詳解】設(shè)這條同心圓環(huán)步道的長(zhǎng)度構(gòu)成的等比數(shù)列為，公比，首項(xiàng)為（），根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，可得.因?yàn)樵酱?，的值越大，所以最短步道為，最長(zhǎng)步道為.可得.已知最長(zhǎng)步道與最短步道之差為，即，聯(lián)立解得，，即最長(zhǎng)步道為.故答案為：960.13.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則___________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)，結(jié)合前n項(xiàng)和計(jì)算得解.【詳解】等差數(shù)列中，，由，得，所以.故答案為：14.若數(shù)列滿(mǎn)足，在中插入n個(gè)2，按照原有順序構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列的前480項(xiàng)和為_(kāi)__________．【答案】1215【解析】【分析】由題意，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出數(shù)列項(xiàng)數(shù)和前480項(xiàng)中2的個(gè)數(shù)，再求出數(shù)列的前30項(xiàng)和即可.【詳解】數(shù)列中從到的項(xiàng)數(shù)為：，令，得，且，所以數(shù)列的前480項(xiàng)中后面還有15項(xiàng)，則數(shù)列的前480項(xiàng)中2的個(gè)數(shù)為．由，得，故數(shù)列的前30項(xiàng)和是數(shù)列的前10項(xiàng)和，且和為，所以數(shù)列的前480項(xiàng)和為．故答案為：1215【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)是推出數(shù)列的前480項(xiàng)中后面還有15項(xiàng).四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（1）已知數(shù)列，求的前10項(xiàng)和；（2）小明購(gòu)買(mǎi)了價(jià)格分別為x元、y元的甲、乙兩種學(xué)習(xí)用品，若1，x，y成等比數(shù)列，x，y，成等差數(shù)列，求x，y．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式計(jì)算；（2）運(yùn)用等比中項(xiàng)和等差中項(xiàng)聯(lián)立方程，計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)?，則數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為2的等比數(shù)列，所以的前10項(xiàng)和為．（2）因?yàn)?，x，y成等比數(shù)列，x，y，成等差數(shù)列，所以，且即解得．16.記2020~2024年的年份代碼依次為1，2，3，4，5，下表為2020~2024年中國(guó)出生人數(shù)y（單位：萬(wàn)人）與年份代碼x的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份代碼x12345出生人數(shù)y12001062956902954（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)求得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，求x與y的相關(guān)系數(shù)r，并判斷該經(jīng)驗(yàn)回歸方程是否有價(jià)值：（若，則認(rèn)為經(jīng)驗(yàn)回歸方程有價(jià)值）（2）從表中第2行的5個(gè)數(shù)據(jù)中任取3個(gè)數(shù)據(jù)，記取到大于1000的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為X，求X的分布列與期望．參考數(shù)據(jù)與公式：回歸方程中，相關(guān)系數(shù)．【答案】（1），有價(jià)值（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)題干中的條件和公式，將數(shù)值代入即可求得線性回歸方程與相關(guān)系數(shù)./（2）由表中第2行的5個(gè)數(shù)據(jù)中任取3個(gè)數(shù)據(jù)，且大于1000，故X的取值可為0，1，2，根據(jù)離散型隨機(jī)變量求出各個(gè)的概率，即可求出分布列和期望.【小問(wèn)1詳解】由x的取值依次為1，2，3，4，5，得，因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程為，所以，所以，所以．因?yàn)?，所以該?jīng)驗(yàn)回歸方程有價(jià)值．【小問(wèn)2詳解】X的取值依次為0，1，2，，所以X的分布列為X012P所以．17.已知數(shù)列滿(mǎn)足．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義，結(jié)合已知條件即可證明；（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，且，所以?shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，所以，所以，兩式相減得，所以．18.已知雙曲線的一條漸近線方程為，左、右頂點(diǎn)分別為，且．（1）求C的方程；（2）若動(dòng)直線與C交于不同的兩點(diǎn)，直線交于點(diǎn)E，證明：點(diǎn)E恒在橢圓上；（3）若過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線l與C的左、右支分別交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為R，判斷直線QR是否過(guò)定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）是，【解析】【分析】（1）根據(jù)漸近線方程以及即可求解，（2）求解的直線方程，即可得交點(diǎn)E的坐標(biāo)滿(mǎn)足求解，（3）聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達(dá)定理，即可根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得定點(diǎn)在x軸上，求解QR的方程為，令即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)镃的一條漸近線方程為，所以，所以C的方程為．【小問(wèn)2詳解】證明：由（1）知，設(shè)，則，且，直線的方程分別為，相乘得，即，因?yàn)辄c(diǎn)E既在直線上，又在直線上，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)滿(mǎn)足，所以點(diǎn)E恒在橢圓上．【小問(wèn)3詳解】設(shè)，則，設(shè)直線l的方程為，與聯(lián)立得，所以，所以，直