中考數(shù)學(xué)難點突破與訓(xùn)練：全等三角形與矩形翻折模型（含答案及解析）

專題05全等三角形與矩形翻折模型

【模型展示】

在矩形ABCD中，將小ABC沿著對角線AC翻折得到^ABC,B,C交AD于點E。

結(jié)論(1)AAEB^ACED：(2)AE=CEo

【模型變換】

A____________￡..........D

;

特點

C

在矩形ABCD中，E、F分別為邊BC、AD上的任意點，連接EF,將四邊形CDFE沿著

EF翻折得到CDWE,。

(1)ACED^AC,ED,;

結(jié)論(2)四邊形EDFD為菱形；

(3)C、E、D'三點共線，且C'D〃FD'。

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，矩形紙片ABC。中，AB=4,BC=6,將AABC沿AC折疊，使點2落在點E處，CE交于點凡

則。尸的長等于（）

2.如圖，將矩形紙片ABCD折疊（A￡>>AB）,使AB落在AD上，AE為折痕，然后將矩形紙片展開鋪在

一個平面上，E點不動，將BE邊折起，使點8落在AE上的點G處，連接DE,若DE=EF,CE=l,則AD

的長為（）

A.1+V2B.2+V2C.2.x/2D.4

3.如圖，矩形。48c中，OA=4,AB=3,點。在邊BC上，且CD=3DB,點E是邊。4上一點，連接。E,

將四邊形A8DE沿。E折疊，若點A的對稱點A恰好落在邊OC上，則0E的長為（）

4.如圖，在矩形紙片ABC。中，AB=5,BC=3,將△BCD沿8。折疊到一BED位置，DE交AB于點、F,

則cosNAZ）廠的值為（）

2

5.如圖，ABC。是一張矩形紙片，AB=20,BC=4,將紙片沿MV折疊，點"，C'分別是3,C的對應(yīng)點,

八四'與。C交于K,若AMNK的面積為10,則0V的最大值是（）

A.7.5B.12.5C.15D.17

二、填空題

6.如圖，在矩形紙片A3CD中，AB=6,BC=9,M是BC上的點，且CM=3,將矩形紙片ABC。沿過點

M的直線折疊，使點。落在A3上的點P處，點C落在點C'處，折痕為MN,則線段A7V的長是—.

7.如圖，在矩形ABC。中，點E是邊。的中點，沿AE所在的直線折疊△ADE,落在矩形內(nèi)部得到△AFE,

延長AF交BC邊于點G,若穿=￡，則硬的值為_________.

CB7AB

GC

8.如圖，在矩形ABC。中，AB=6,AD=8,將此矩形折疊，使點C與點A重合，點。落在點。處，折痕

為EF,則。。的長為.

9.如圖，矩形ABCD中，AB=3&,BC=12,E為AD中點.歹為45上一點，將^AEF沿E尸折疊后,

點A恰好落到CP上的點G處，貝|EG=,EF=.

10.如圖，矩形ABC。中，AB>AD,把矩形沿對角線AC所在直線折疊，使點8落在點E處，AE交CD

于點R連接QE.

(2)求證：△。瓦'是等腰三角形.

11.如圖，將矩形A8C。沿對角線AC折疊，點3的對應(yīng)點為E,AE與CD交于點?

4

(1)求證：ADAF四Z\ECF；

(2)若/FCE=40。，求NC4B的度數(shù).

12.將矩形ABC。對折，使AO與BC重合，得到折痕EF,展開后再一次折疊，使點A落在上的點A處,

并使得折痕經(jīng)過點8,得到折痕BG,連接如圖1,問題解決：

圖1圖2

(1)試判斷圖1中△W是什么特殊的三角形？并說明理由;

(2)如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上，A4,與BG相交于點N,點尸是BN的中點，連接AP并延長交&V于點。，求

爵的值.

13.如圖，在矩形A8CD中，M,N是對角線AC上的兩點，將矩形折疊分別使點8與點M重合，點。與

點N重合，折痕分別為AE,CF.連接ER交AC于點0.

B

(1)求證：AABE四￡CDF.

(2)求證：四邊形EC硒是平行四邊形.

14.實踐與探究

如圖①，在矩形A8CD中，AB=12,AD=16.將矩形ABC。沿過點A的直線折疊，使點。落在矩形48CD

的內(nèi)部，點。的對應(yīng)點為點DC,折痕為AE,再將矩形ABC。沿過點A的直線折疊，使點2落在邊AD上,

折痕為AF點2的對應(yīng)點為點延長EB'交AE于點G,過點G作直線交AD于點M,交BC

于點N.

5

⑴求證：△AMG四△AB'G.

(2)求證：四邊形A8NM是正方形.

(3)若OE=4,求線段8尸的長.

(4)如圖②，將矩形沿即'所在直線繼續(xù)折疊，點C的對應(yīng)點為點C，.我們發(fā)現(xiàn)，點E的位置不同，點C，的

位置也不同.當(dāng)點C'恰好與點夕重合時，線段。E的長為.

15.在矩形ABC。中，點E,P分別是邊A。，8C上的動點，MDE=BF,連接￡尸.將矩形ABC。沿EF折

疊，點A落在點G處，點8落在點H處.

A,--------------------------Jr—(Z)Ar-

I/I

I//I

H—

圖①G

⑴如圖①，當(dāng)線段EG與線段BC交于點尸時，求證：PE=PF；

(2)如圖②，當(dāng)線段EG的延長線與線段BC的延長線交于點尸時.GH交線段交于點

①求證：4PCM沿APGM；

②E,尸在運動過程中，點M是否在線段瓦'的垂直平分線上？如果在，請證明；如果不在，請說明理由.

16.如圖，四邊形ABC。是矩形，把矩形AC沿折疊，點B落在點E處，AE與。C的交點為。，連接。E.

(1)求證：AADE^ACED.

6

(2)求證：DE//AC.

17.如圖，在矩形A3C￡>中，E是A。的中點，將△ABE沿BE折疊后得到：GBE,且G點在矩形A8CD的

內(nèi)部，延長BG交DC于點尸，連接EF.

An2

(2)若。C:OF=3:2,求豢的值.

18.折疊矩形ABC。，使點。落在BC邊上的點尸處，折痕為AE.

⑴求證△ABFs^FCE；

(2)若CP=4,EC=3,求矩形ABC。的面積.

19.如圖，在矩形A2CD中，AD<2AB,點E是A。的中點，連接BE,將△ABE沿BE折疊后得到△G8E,

延長8G交。C于點孔連接EF.

(1)求證：△EGFqAEDF；

(2)若點歹是的中點，BC=8,求CD的長.

20.如圖，在正方形ABCD中，AB=6,E為BC中點，連接AE,將八45后沿AE折疊，點8的對應(yīng)點為

G,連接EG并延長交CO于點E連接AF,CG.

7

(D判斷CG與AE的位置關(guān)系，并說明理由；

⑵求DF的長.

21.如圖，長方形ABC。中，AB>AD,把長方形沿對角線AC所在直線折疊，使點B落在點E處，AE交

C。于點R連接。E.

(1)圖中有個等腰三角形；(請直接填空，不需要證明)

(2)求證：AADEdCED；

(3)請證明點尸在線段AC的垂直平分線上.

22.如圖，在4ABe中，AB^AC,點。為邊BC上一點，以A8,2。為鄰邊作YA5DE,連接A。、EC.

⑴求證：AADC^AECD；

(2)若BD=CD,求證：四邊形AOCE是矩形.

23.如圖1,為了探究某種類型矩形A8CD的性質(zhì)，數(shù)學(xué)項目學(xué)習(xí)小組在BC邊上取一點E,連接。E.經(jīng)

探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)DE平分/AOC時，將△A8E沿AE折疊至AAFE,點尸恰好落在。E上.據(jù)此解決下列問題：

8

(1)求證：&AFD懸XDCE；

(2)如圖2,延長CF交AE于點G,交AB于點H.

①求證：AHAF=AGCF；

②求GH：。F的值.

24.在矩形ABC。中，AB=12,尸是邊AB上一點，把P3C沿直線尸C折疊，頂點8的對應(yīng)點是點G,過

點8作3ELCG,垂足為E且在AO上，BE交PC于點、F.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若點E是的中點，求證：AAEBaDEC；

CF

(2)如圖2,當(dāng)AD=25,且AEvDE時，求正的值；

⑶如圖3,當(dāng)3￡￡F=84時，求8尸的值.

9

專題05全等三角形與矩形翻折模型

【模型展示】

【模型變換】

特點

在矩形ABCD中，E、F分別為邊BC、AD上的任意點，連接EF,將四邊

形CDFE沿著EF翻折得到CDFE,。

(1)△CED^ACTD1*35;

結(jié)論(2)四邊形EDFD為菱形；

(3)C、E、D'三點共線，且C'D〃FD'。

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，矩形紙片中，AB=4,BC=6,將△ABC沿AC折疊，使點8落在點E處,

CE交于點R則。尸的長等于()

10

E

D-7

【答案】B

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AE=AB,NE=/B=9Q°,易證名△CD尸，即可得到結(jié)論

EF=DF；易得尸C=M設(shè)以=x,貝!JPC=x,FD=6-x,在RdC￡>/中利用勾股定理得到關(guān)于

X的方程/=42+(6-X)2,解方程求出X.

【詳解】解：???矩形ABCD沿對角線AC對折，使△ABC落在△ACE的位置，

：.AE=AB,ZE=ZB=ZD=90°,

又?.,四邊形ABC。為矩形，

：.AB=CD,

：.AE=DC,

1^ZAFE=ZDFC,

;在△4￡/與小CO尸中，

'NAFE=NCFD

<ZE=ZD

AE=CD

：.AAEF^ACDF(AAS),

：.EF=DF；

?.?四邊形ABC。為矩形，

：.AD=BC=6,CD=AB=4,

,?△AEF咨△CDF,

：.FC=FA,

設(shè)出=尤，貝l]FC=x,FD=6-x,

在RtXCDF中，CF2=CD2+DF2,

13

即N=4?+(6-x)2,解得x=[,

貝l]rD=6-尤=I".

故選：B.

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等.也考

查了矩形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)以及勾股定理.

2.如圖，將矩形紙片ABCD折疊(A￡)>AB),使45落在上，AE為折痕，然后將矩

11

形紙片展開鋪在一個平面上，E點不動，將BE邊折起,使點8落在AE上的點G處,連接DE,

若DE=EF,CE=1,則的長為（）

2+72C.272D.4

【答案】B

【分析】證明及△EBF等RdE8'。（乩），推出3尸=。3',再證明。B'=EC=8/=1,由直

角三角形的性質(zhì)求出則可得結(jié)論.

【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知，EB=EB',ZB=ZAB'E=ZEB'D=90°,

在RtAEBF和RtAEB'D中,

EB=EB'

EF=ED'

：.RtAEBF^RtAEB'D(HL),

：.BF=DB',

:四邊形ABC。是矩形,

/.ZC=ZCDB'=ZEB'D=90°,

四邊形ECQ9是矩形,

：.DB'=EC=1,

：.BF=EC=\,

由翻折的性質(zhì)可知，BF=FG=1,/E4G=45°,/4GP=/AGP=90°,

：.AG=FG=1,

.,.AF=&.

：.AB=AB'=\+yfi,

：.AD^AB'+DB'^2+應(yīng),

故選B.

【點睛】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判

定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是證明四邊形ECDB是矩形.

3.如圖，矩形。43c中，04=4,AB=3,點。在邊上，且8=308,點E是邊。4

上一點，連接。E,將四邊形A8OE沿。E折疊，若點A的對稱點A恰好落在邊OC上，則

OE的長為（）

12

B'

【答案】B

【分析】連接AD、AD,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC=0A=4,OC=AB=3,ZC=ZB=Z0=90°,

即可求得CD、BD,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AD-AD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可到AC=BD=],

再根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】連接AO、AD,如圖，

:四邊形。4BC是矩形，

：.BC=OA=4,OC=AB=3,NC=NB=NO=90°,

'：CD=3BD,

：.CD=3,BD=l,

：.CD=AB,

根據(jù)翻折的性質(zhì)有：AD=AD,AE^AE,

在Rt&ACD和Rt2DBA中，CD-AB,AD=AD,

:.RmACD=Rt^DBA(HL),

：.AC=80=1,

A0=2,

:在A0E1中，AO2+OE2=AE2,

：.22+OE2=(4-OE)2,

故選：B.

13

【點睛】本題考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，正確的作出輔助線

是解答本題的關(guān)鍵.

4.如圖，在矩形紙片48CD中，AB=5,BC=3,將△BCD沿BD折疊到，BED位置，DE

交AB于點凡貝ijcosNAD尸的值為（）

E

8八7"15一8

A.—B.—C.—D.—

17151715

【答案】c

【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，利用“AAS”證明AAFD也AEFB,得出AF=EF,

DF=BF,設(shè)Ab=EF=x,則班'=5-x,根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程得出x

的值，最后根據(jù)余弦函數(shù)的定義求出結(jié)果即可.

【詳解】解：：四邊形ABC。為矩形，

：.CD=AB=5,AB=BC=3,ZA=ZC=90°,

根據(jù)折疊可知，BE=BC=3,DE=DE=5,ZE=ZC=90°,

ZA=NE=90°

在小AFD和4EFB中<NAFD=ZEFB,

AD=BE=3

：■AAFD^AEFB（AAS）,

:?AF=EF,DF=BF,

^AF=EF=x,貝l]B/=5—x,

在RtABEV中，BF?=EF?+BE?,

BP（5-x）2=X2+32,

oa[7

解得：x=y,則O/=5/=5_y=可，

…尸AO315

??DF1717，故C正確.

y

故選：c.

【點睛】本題主要考查了矩形的折疊問題，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)

的定義，根據(jù)題意證明AAFC^AEFB,是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，A8CD是一張矩形紙片，42=20,BC=4,將紙片沿MN折疊，點"，C'分別是

14

B,C的對應(yīng)點，MB，與DC交于K,若AA/NK的面積為10,則ON的最大值是（）

C'

A.7.5B.12.5C.15D.17

【答案】D

【分析】作于E,NFLBM于F,由折疊得/1=/2,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得NE

=NF,可得四邊形2CN/是矩形,則N尸=BC=4,根據(jù)△MNK的面積為10得NK=MK=5,

根據(jù)勾股定理得K￡=3,則“/二加“二“長-KE=5-3=2,設(shè)DN=x,則CN=20-x,BM

=BF+MF=20-x+2=22-x,由折疊可得即22-近5.可得爛17,即可得ONW17,

則DN的最大值是17.

【詳解】解：如圖所示，過點N作NE_L笈加于E,NFLBM于F,

由折疊得Nl=/2,

：.NE=NF,

:四邊形ABC。是矩形，

：.ZB=ZC=ZBFN=90°,AB//CD,

四邊形2CN尸是矩形，/DNM=N2,

：.NE=NF=BC=4,Z1=ZDNM,

：.NK=MK,

「△MNK的面積為10,

|KM,NE=1KN?NF=10,

；.NK=MK=5,

KE=-JKN2-NE2=3,

在AMEN和AMFN中,

'Zl=Z2

-ZMEN=NMFN,

ME=NF

：.AMEN學(xué)AMFN(AAS),

：.MF=ME=MK-KE=5-3=2,

15

設(shè)DN=x,則CN=BF=20-x,

：.BM=BF+MF=20-x+2=22-x,

由折疊得BM>KM,即22-x>5.

.?.立17,即ZWW17,

.二ON的最大值是17.

故選：D.

【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，勾股定

理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

6.如圖，在矩形紙片ABC。中，AB=6,BC=9,M是BC上的點，且CM=3,將矩形紙

片沿過點M的直線折疊，使點。落在A8上的點尸處，點C落在點。處，折痕為

MN,則線段AN的長是—.

【答案】4

【分析】連接PM,推出BM=BC-CM=9-3=6,由折疊性質(zhì)得,CD=PC=6,NC=NPCM

=/PBM=90°,C'M=CM^3,由Rt△尸絲RsMC'P（乩），得出「B=C'M=3,所以

PA=AB-PB=6-3=3.設(shè)AN=x,則ND=9-尤=PN,在RtAAPN中，AN2+AP2=PN2,

即f+32=（9-X）2,求出x的值即可得出答案.

【詳解】解：連接如圖：

'：AB=6,8c=9,CM=3,

:.BM=BC-CM=9-3=6,

由折疊性質(zhì)得，CD=PC'=6,ZC=ZPC'M=ZPBM=90°,C/M=CM=3,

在RtAPBM和RtAMC'P中，

jPM=PM

\BM=PC''

16

/.RtAMC'P(HL),

：.PB=C'M=3,

.\PA=AB-PB=6-3=3.

設(shè)AN=x,則ND=9-x=PN,

在RtAAPN中，AN2+AP2=PN2,

即一+32=(9-x)2,

解得x=4,

的長是4.

故答案為：4.

【點睛】本題主要考查了翻折變化、矩形的性質(zhì)及勾股定理，熟練應(yīng)用翻折變化的性質(zhì)及矩

形的性質(zhì)進行計算是解決本題的關(guān)鍵.

7.如圖，在矩形ABC。中，點E是邊C。的中點，沿AE所在的直線折疊AADE,落在矩

形內(nèi)部得到AAFE,延長AF交8C邊于點G,若穿=］，則空的值為_________.

CB/AB

【分析】連接GE,證明sEFG絲.ECG(HL),得CG=PG,^AD^BC=la,表示出AF,

CG,GF,BG,AG的長度，再由勾股定理得AB的長度，即可得出比值.

【詳解】如圖，連接GE,

:在矩形ABCO中，

AAD^BC,AB=CD,ZB=ZC=ZD=90°,

由折疊的性質(zhì)可知：AD=AF,DE=EF,ZAFE=ND=NC=90。,

:點E是邊CO的中點，

DE=CE=-CD,

2

，CE=EF,

又,：EG=EG(公共邊)，

:…EFG汨AECG(HL),

:.CG=FG,

..CG2

'CB一〒

17

，設(shè)AD=BC=1a,

則AP=7a,CG=FG=2a,BG=BC-CG=5a,

AG=AF+FG=7a+2a=9a,

:在RfABG中，由勾股定理得：AB2+BG2=AG2,

AB=^AG2-BG-=J（9a）2_（5q）2=2屈a,

.AD7aV14

【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，折疊前后的圖形對應(yīng)

邊、對應(yīng)角分別相等是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在矩形中，AB=6,AD=8,將此矩形折疊，使點C與點A重合，點。落

在點。處，折痕為ER則的長為.

14

【答案】y

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得A￡?'=CD=6；連接AC,根據(jù)勾股定理求得AC=10,證得

△BAEdDAF（A4S）,根據(jù)全等的性質(zhì)得：D'F=BE,根據(jù)勾股定理列出關(guān)于線段BE的

方程，解方程求得8E的長，即可求得=二=5，然后通過證△"XFs^c4E,利用相似

AE25

三角形的性質(zhì)即可求得。。.

【詳解】解：：四邊形ABC。是矩形，

：.AB=CD=6,

'：AD'=CD,

：.AD'=6；

連接AC,

18

D

VAB=6,BC=AD=8,ZABC=90°,

?,?由勾股定理得：AC=1AB2+5c2=&2+82=10，

r

ZBAF=ZDAE=90°f

f

：.ZBAE=ZDAF9

在4846和4ZX4/中

ZBAE=ZDrAF

<ZB=ZADfF=90°,

AB=ADr

ABAE^AiyAF(ASA),

f

:?D，F(xiàn)=BE,ZAEB=ZAFD9

：./AEC=/DFD,

由題意知：AE=EC；

設(shè)BE=x,則A斤EC=8-x,

在心△ABE中，ZB=90°,由勾股定理得：

(8-x)2=6W,

7

解得：x=j

4

7725

；?BE=—，AE=S-———,

444

.BE7nID'F7

AE25AE25

,,

ZADF=ZDAE=90°f

：.DF//AE,

?/DF//EC,

J/\DDF^CAE,

.DDDF_7

714

DD'=—xl0=—,

255

14

故答案為

【點睛】本題主要考查了矩形的翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運用全等

19

三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，勾股定理等幾何知識點來解題.

9.如圖，矩形ABCD中，AB=3瓜,8C=12,E為中點.尸為A3上一點，將一4EF

沿所折疊后，點A恰好落到C尸上的點G處，貝UEG=，EF=.

【答案】62^/15

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，即可求EG；連接EC,證RtAECG=RfAECD(HL),由勾股定理

即可求EF；

【詳解】解：連接CE,

為AD中點

EG=ED=AE=6

在RtNECG和RtAECD中

VEG=ED,EC=EC

：.RtAECG三RtNECD(HL)

：.CG=CD

設(shè)AF=x,則C7^=2歹2+BC2

即(3#+x『=(3#-x『+122

解得：x=2A/6

EF=y/AF2+AE2=J(2&j+62=2厲

故答案為：6；2715.

【點睛】本題主要考查矩形得性質(zhì)，三角形的全等，勾股定理，正確做出輔助線是解題的關(guān)

鍵.

三、解答題

10.如圖，矩形ABC。中，AB>AD,把矩形沿對角線AC所在直線折疊，使點8落在點E

處，AE交CD于點尸,連接。E.

20

E

D

B

(1)求證：4ADE%CED；

(2)求證：△OEF是等腰三角形.

【答案】(1)證明見解析；

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)可知4D=BC、AB=CD,再由折疊的性質(zhì)，可得BC=CE,

AB=AE,進而可推導(dǎo)A￡>=CE,AE=CD,然后由“SSS，證明△即可；

(2)由(1)可知△ADE四△CEO,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知NOEA=/E￡)C,即NOEF

=ZEDF,即可證明ADE尸是等腰三角形.

(1)

證明：(1):四邊形ABC。是矩形，

J.AD^BC,AB=CD,

由折疊的性質(zhì)，可得BC=CE,AB=AE,

：.AD^CE,AE=CD,

在△4?！旰?CED中，

AD=CE

<AE=CD,

DE=ED

：.AADE^ACED(SSS)；

(2)

由(1)得AADE-CED,

：.ZDEA=ZEDC,即ZDEF=ZEDF,

：.EF=DF,

...△QEF是等腰三角形.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形

的判定等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

11.如圖，將矩形ABC。沿對角線AC折疊，點8的對應(yīng)點為E,AE與CZ)交于點?

21

E

(1)求證：△DAF/AECF；

⑵若NFCE=40。，求NCAB的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)ZCAB=25°

【分析】(1)由矩形與折疊的性質(zhì)可得">=BC=EC,ND=NB=NE=90°,從而可得結(jié)

論；

(2)先證明"4F=NECF=40。，再求解=/=90。-40。=50。，結(jié)合

對折的性質(zhì)可得答案.

(1)

證明：將矩形ABC。沿對角線AC折疊，

則">=3C=EC,ZD=ZB=ZE=90°.

在ADAF和4ECF中,

ADFA=NEFC,

<ZD=NE,

DA=EC,

：.ADAF^AECF.

(2)

解：ADAF^AECF,

：.NDAF=ZECF=40°.

:四邊形ABC。是矩形，

ZDAB=90°.

：.ZEAB=ZDAB-ZDAF=90°-40°=50°,

?/ZFAC=ZCAB,

：.ZCAB=25°.

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練的運用

軸對稱的性質(zhì)證明邊與角的相等是解本題的關(guān)鍵.

12.將矩形ABC。對折，使與BC重合，得到折痕跖，展開后再一次折疊，使點A落

在所上的點A，處，并使得折痕經(jīng)過點8,得到折痕8G,連接AV,如圖1,問題解決：

22

圖1圖2

⑴試判斷圖1中△ABA'是什么特殊的三角形？并說明理由;

(2)如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上，A4'與相交于點N,點P是8N的中點，連接AP并延長交

.于點°,求器的值?

【答案】是等邊三角形，理由見解析

⑵3

【分析】(1)等邊三角形，解法一利用垂直平分線性質(zhì)得出AA'=24,利用折疊得出比1'=54

即可，解法二：根據(jù)折疊得出BA=BA,/A'EB=90。然后利用銳角三角函數(shù)

2

BF1

定義得出cosNAZ^=—；=—,求出N/龐=60。即可；

BA2

(2)解法一：過點N作交A尸于先證△尸四/XP?(AAS),再證

△A/WS^AQA,得出黑=:即可解法二：由折疊可知AN=4V，由點尸是的中點，

PAZ

A，NRCRP

得出BP=PN,利用平行線等分性質(zhì)得出國=京=1,湍=而=1，證出

BQ=QM=AM即可.

(1)

解：△ABA'是等邊三角形.

解法一：理由是：由折疊可知所垂直平分AB；

：.AA'=BA',

,：ZxABG折疊得△A5G,

BA=BA,

/.AA=BA=BA-.

△W是等邊三角形；

解法二：理由是：由折疊可知=1區(qū)4,BA=BA,ZAEB=90°9

2

BF1

/.cosZA'BE=—=-,

BA'2

ZA'BE=60°,

23

**?Z\ABA是等邊二角形;

圖1

(2)

解法一：

過點N作NH〃尺B交AP于H,

：.ZHNP=ZQBP,NNHP=NBOP,

又：點尸是BN的中點,

：.BP=NP,

在4尸例和八PQ2中，

ZHNP=NQBP

<NNHP=NBQP,

PN=PB

：.Z\PHN^/\PQB(AAS),

/.HN=BQ,

丈：NH//NB,

：.ZANH=ZAAQ,ZAHN=ZAQA',

/.AAHN,

由折疊可知A'N=AN=，A4',

2

.HNANI

"G?"AA7-2，

.歿」

「QA'~2'

.BQ_1

??-------——I

BA!3

解法二：由折疊可知A'N=4V，

24

又：點P是BN的中點，

/.BP=PN,

過點N作M0〃AQ交加于

.A'M_A'N_]BQBP_

,?QM-AN一'QM~PN~

：.BQ^QM^A'M,

?.?BQ~_—1—.

BA'3

【點睛】本題考查一題多解，等邊三角形的判定，折疊性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，平行線

等分線段定理，三角形相似判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)值求角，掌握一題多解，等邊三角形

的判定，折疊性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，平行線等分線段定理，三角形相似判定與性質(zhì)是

解題關(guān)鍵.

13.如圖，在矩形ABC。中，M,N是對角線AC上的兩點，將矩形折疊分別使點2與點M

重合，點。與點N重合，折痕分別為CF.連接ER交AC于點0.

D

C

⑴求證：AABEdCDF.

(2)求證：四邊形EC剛是平行四邊形.

【答案】⑴證明見解析；

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合折疊證明即可；

(2)由(1)中全等可得AE=C—再證明AE〃W即可.

(1)

?.?四邊形A8CO是矩形，

：.AB=CD,ZB=ZD=90°,AB//CD,

ZBAC=ZDCA.

25

:將矩形折疊分別使點8與點M重合，點。與點N重合，折痕分別為AE,CF,

NBAE=-ABAC,ZDCF=-ZDCA,

22

ZBAE=ZDCF,

：.Z\ABE^ACDF(ASA).

(2)

：.AE=CF.

VZBAE=ZCAE,ZDCF=ZACF,ZBAE=ZDCF,

：.ZCAE^ZACF,

：.AE//CF,

四邊形ECEl是平行四邊形

【點睛】本題考查矩形與折疊、平行四邊形的判定，熟記矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.實踐與探究

如圖①，在矩形ABC。中，AB^U,AD=16.將矩形ABC。沿過點A的直線折疊，使點

。落在矩形ABC。的內(nèi)部，點。的對應(yīng)點為點折痕為AE,再將矩形ABC。沿過點A

的直線折疊，使點8落在邊AD上，折痕為AR點8的對應(yīng)點為點延長E5'交AE于

點G,過點G作直線MVL43交于點交8c于點N.

圖①

⑴求證：四△M'G.

(2)求證：四邊形是正方形.

(3)若DE=4,求線段8尸的長.

(4)如圖②，將矩形沿ED所在直線繼續(xù)折疊，點C的對應(yīng)點為點C.我們發(fā)現(xiàn)，點E的位

置不同，點C的位置也不同.當(dāng)點C恰好與點B'重合時，線段。E的長為

【答案】(1)見解析;

(2)見解析；

(3)7.2；

(碟

26

【分析】(1)利用折疊性質(zhì)和全等三角形的判定證明即可；

(2)利用全等三角形的性質(zhì)和正方形的判定證明即可；

(3)利用正方形的性質(zhì)得出AfN=A6=BN=AM=12,再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)證明

△AMGszXAOE求得MG=3,^BF=B'F=x,可求得GN=9,FG=3+x,FN=l2-x,在XGNF

中利用勾股定理求得x即可求解；

(4)設(shè)￡>E=y,則CE=12-y,根據(jù)折疊性質(zhì)得B'E=12-y,再由勾股定理求得y值

即可求解.

(1)

證明：???四邊形ABCD是矩形，

：.AB=CD=12,AD=BC=16,ZB=ZD=ZBAD=ZC=90°,

由折疊性質(zhì)得：ZMAG=ZB'AG,/AB'F=/AB'G=NB=90°,AB=AB',

\"MN.LAD,

：.NAMN=90°,則ZAMG=ZAB'G=90°

在△AMG和△AEG中，

ZMAG=ZB'AG

<ZAMG=NAB'G

AG^AG

：.ZXAMG^Z^AB'G(AAS)；

(2)

證明："?ZB=ZBAD=ZAMN=90°,

，四邊形ABMW是矩形，

,/Z\AMG^Z\AB'G,

：.AM=AB',貝I]AM=AB,

四邊形ABNM是正方形；

(3)

解：：四邊形是ABNM正方形，

MN=AM=BN=AB=12,

■:/AMN=/D=90。,ZDAE=ZDAE,

：.AAMGS^ADE,

.AMMG

??--=---,

ADDE

VAM=12,DE=4,AD=16,

.12MG

??—，

164

：.MG=3,

「AAMGm△AB'G,

：.MG=B,G=3,

27

設(shè)BF=B，F(xiàn)=X,則GN=12-3=9,FG=X+3,FN=12-X,

在△GNF中,ZGNF=9Q0,

...由勾股定理得：GN2+FN2=FG2,

92+(12-x)2=(尤+3)2,

解得：尸7.2,

:.BF=72；

(4)

解：由折疊性質(zhì)得：Ar>0=AD=16,AB=AB'^2,B'E=CE,DE=D^E,ZD=ZB'DE=90°,

：.B'00=16-12=4,

設(shè)。E=y,則CE=12-y,

在AB'D'E中，ZBW=90°,D'E=y,BE=n-y,

由勾股定理得：B'iy2+D'E2=BE-，

則4?+y2=(12-y)2,解得：y=,

.16

??DE=—.

3

“小士d

故答案為：—16.

【點睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判

定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用是解答的關(guān)鍵.

15.在矩形ABC。中，點E,尸分別是邊AD,8c上的動點，^.DE=BF,連接EE將矩

形A8C。沿EF折疊，點A落在點G處，點B落在點”處.

⑴如圖①，當(dāng)線段EG與線段BC交于點尸時，求證：PE=PF；

(2汝口圖②，當(dāng)線段EG的延長線與線段的延長線交于點P時.GH交線段CO交于點M,

①求證：4PCM%APGM；

②E,尸在運動過程中，點M是否在線段所的垂直平分線上？如果在，請證明；如果不在，

請說明理由.

【答案】(1)見解析

(2)①見解析；②當(dāng)點E,尸在運動過程中，點M一直在線段跖的垂直平分線上.證明見解

析

28

【分析】(1)由折疊的性質(zhì)可知：NAEB=NGER根據(jù)矩形的性質(zhì)可得NAEF=NE尸尸，

即可得到/GE/=ZEFP,根據(jù)等角對等邊即可得證；

(2)①根據(jù)HL證明RtAPCAfgRsPGM,即可得證；

②當(dāng)點E,尸在運動過程中，點M一直在線段所的垂直平分線上.

如圖：連接8。交EF于點。，連接。P,證明△/(ASA),由①可得尸E=尸尸，

0P是線段E尸的垂直平分線，OP也是/EPF的角平分線(三線合一).

由①△PCM?△PGM,得NCPM=NGPM,即：是NCPG的角平分線，可得當(dāng)點E、F

在移動過程中，點M一直在線段所的垂直平分線上.

(1)

由折疊的性質(zhì)可知：NAEF=NGEF,

:矩形ABC。中，AD//BC,

：.NAEF=ZEFP,

NGEF=ZEFP,

：.PE=PF；

(2)

①由折疊的性質(zhì)可知：AE=EG,

:矩形ABC￡>中，A￡?=BC,DE=BF,

：.AD—DE=BC—BF,即：

AE=FC,

:.EG=FC,

又ZPEF=ZAEF=NPFE,

：.PE=PF,

：.PE~EG=PF-CF,即：PG=PC；

又：OC_LBC,HGYEG,

：.ZMCP=ZMGP=90°；

又；PM=PM,

:.RtAPCM^RtLPGM(HL)；

即：XPCM沿APGM；

②當(dāng)點E,尸在運動過程中，點M一直在線段所的垂直平分線上.

如圖：連接2￡)交EP于點。，連接。尸，

29

,JAD//BC,

：.ZEDO=ZFBO,ZDEO=ZBFO,

又；DE=BF,

:.△DOEQXBOF(ASA),

：.OE=OF；

由①可得尸E=PF,...OP是線段EF的垂直平分線，

也是NEPF的角平分線(三線合一).

由①也△PGM得：ZCPM=ZGPM,即：是/CPG的角平分線，

ZEPF與ZCPG是同一個角，

尸與。尸重合，

即：當(dāng)點E、尸在移動過程中，點M一直在線段EF的垂直平分線上.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性

質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，四邊形A8C。是矩形，把矩形AC沿折疊，點8落在點E處，AE與。C的交點

為。，連接。E.

⑵求證：DE//AC.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得BC=CE=A。，AB=AE=CD,根據(jù)SSS可證

△ADE絲ACED(SSS)；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得由于△ACE與AACB關(guān)于AC所在直線對

稱，可得/O4C=/C4B,根據(jù)等量代換可得N。4c=ND但,再根據(jù)平行線的判定即可求解.

⑴

30

證明：?.?四邊形ABC。是矩形,

：.AD=BC,AB=CD,

：AC是折痕,

：.BC=CE=AD,AB=AE=CD,

在小ADE與^CED中,

CE=AD

<AE=CD

DE=ED

△ADEEMED(SSS),

證明：,:△ADEQXCED,

：./EDC=/DEA,

又：ZXACE與△ACB關(guān)于AC所在直線對稱,

：.ZOAC-ZCAB,

,：ZOCA=ZCAB,

：.ZOAC=ZOCA,

在^。。后和4AOC中，ZDOE=ZAOC,

,：2ZOAC=l80°—ZAOC,2ZDEA=180°—/DOE,

：.2ZOAC=2ZDEA,

：.ZOAC=ZDEA,

：.DE//AC.

【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正

確證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，在矩形A2CZ）中，E是的中點，將△AfiE沿BE折疊后得到&GBE,且G點

在矩形ABC。的內(nèi)部，延長8G交。C于點死連接EF

(1)求證：△DEF/△G￡F；

4n2

(2)若DC:DF=3:2,求豢的值.

【答案】（1）見解析

31

(分析】(1)由折疊的性質(zhì)可得AE=EG=DE,由“乩”可證RtADEF^RtAGEF；

(2)設(shè)￡>C=3x,DF=2x,由線段的和差關(guān)系可求AB=3尤，BF=5x,由勾股定理可求解.

(1)

?.?四邊形ABC。是矩形，

：.AB=CD,AD=BC,ZA=ZD=ZC=90°,

是AD的中點，

/.AE=DE,

,/將AABE沿BE折疊后得到一GBE,

：.AE=EG,AB=BG,ZA=NBGE=90°,

：.ZD=ZEGF=90°,ED=EG,

[EG=ED

???在RtDEF和Rt.GEF中，〈?，

[EF-EF

：.RtDEF^RtGEF(HL)；

⑵

?/Z\DEF沿AGEF,

DF=GF,

,/DC:DF=3:2,

.?.設(shè)￡>C=3x,DF=2x,

：.GF=2x,AB=BG=3x,

：.BF=BG+GF=5x,

在RtABCF中，BC-=BF2-CF2=25x2-x2=24x2,

?*.AD2=BC2=24x2,

.AD224.r28

"AB2~9x2-3,

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，靈活

運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

18.折疊矩形ABCD使點。落在BC邊上的點尸處，折痕為AE.

(1)求證448/62\尸(7￡；

(2)若b=4,EC=3,求矩形ABC。的面積.

【答案】⑴見解析

⑵矩形ABCD的面積為80

3