中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與訓(xùn)練：解直角三角形中的背靠背模型（含答案及解析）

專(zhuān)題14解直角三角形中的背靠背模型

【模型展示】

特點(diǎn)

通過(guò)在三角形內(nèi)作高AC,構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形求解，其中公共邊AC是解題的關(guān)鍵.在

RtAACD和RtABCA中，AC為公共邊，DC+CB=DB.

結(jié)論“背靠背”型的關(guān)鍵是找到兩個(gè)直角三角形內(nèi)的公共高

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東方向，距離燈塔60海里的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時(shí)

間后，到達(dá)位于燈塔C的南偏東方向上的B處，這時(shí)輪船B與小島A的距離是（）

A.304海里B.（30+30的）海里C.120海里D.60海里

2.如圖所示，從一熱氣球的探測(cè)器A點(diǎn)，看一棟高樓頂部B點(diǎn)的仰角為30。，看這棟高樓底部C點(diǎn)的俯角

為60。，若熱氣球與高樓的水平距離為30m,則這棟高樓高度是（）

B

LIE□

LIE口

口[II

[][

］口

A.60mB.406mC.30百mD.60石m

二、填空題

3.如圖，海中有個(gè)小島A,一艘輪船由西向東航行，在點(diǎn)B處測(cè)得小島A位于它的東北方向，此時(shí)輪船與

小島相距20海里，繼續(xù)航行至點(diǎn)D處，測(cè)得小島A在它的北偏西60。方向，此時(shí)輪船與小島的距離/W為

海里.

4.4月26日，2015黃河口（東營(yíng)）國(guó)際馬拉松比賽拉開(kāi)帷幕，中央電視臺(tái)體育頻道用直升機(jī)航拍技術(shù)全

程直播.如圖，在直升機(jī)的鏡頭下，觀測(cè)馬拉松景觀大道A處的俯角為30°,B處的俯角為45°.如果此時(shí)

直升機(jī)鏡頭C處的高度CD為200米，點(diǎn)A、D、B在同一直線上，則AB兩點(diǎn)的距離是米.

5.如圖所示，輪船在A處觀測(cè)燈塔C位于北偏西70。方向上，輪船從A處以每小時(shí)20海里的速度沿南偏西

50°方向勻速航行，1小時(shí)后到達(dá)碼頭8處，此時(shí)，觀測(cè)燈塔C位于北偏西25。方向上，則燈塔C與碼頭8的

距離是海里（結(jié)果精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：應(yīng)它1.4，6。1.7,太。2.4）

2

6.如圖，某輪船以每小時(shí)30海里的速度向正東方向航行，上午8：00,測(cè)得小島C在輪船A的北偏東45。

方向上；上午10：00,測(cè)得小島C在輪船B的北偏西30。方向上，則輪船在航行中離小島最近的距離約為

—海里（精確到1海里，參考數(shù)據(jù)④目.414,73-1.732）.

C

45"、q（r

、一

3

7.某攔水壩的橫截面為梯形ABCD,迎水坡的坡角為a,且=背水坡AD的坡度為，=2:5是

指坡面的鉛直高度AE與水平寬度DE的比，壩面寬AB=3m,壩高4E=12m,則壩底寬CD=.

三、解答題

8.如圖，A,2兩地之間有一座山，汽車(chē)原來(lái)從A地到2地須經(jīng)C地沿折線A-C-2行駛，全長(zhǎng)68萬(wàn)加現(xiàn)

開(kāi)通隧道后，汽車(chē)直接沿直線A3行駛.已知NA=30。，ZB=45°,則隧道開(kāi)通后，汽車(chē)從A地到8地比原

來(lái)少走多少千米？（結(jié)果精確到0」初z）（參考數(shù)據(jù)：72=1.4,6切.7）

9.已知銳角AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,邊角總滿足關(guān)系式：號(hào):工=今,

sinAsmBsmC

*

(1)如圖1,若a=6,ZB=45o,NC=75。，求6的值;

（2）某公園準(zhǔn)備在園內(nèi)一個(gè)銳角三角形水池ABC中建一座小型景觀橋8（如圖2所示），若

3

CD，AB,AC=14米，AB=10米，SmZACB=^-,求景觀橋CD的長(zhǎng)度.

14

10.為加強(qiáng)我市創(chuàng)建文明衛(wèi)生城市宣傳力度，需要在甲樓A處到E處懸掛一幅宣傳條幅，在乙樓頂部D點(diǎn)

測(cè)得條幅頂端A點(diǎn)的仰角NADF=45。，條幅底端E點(diǎn)的俯角為NFDE=30。，DF±AB,若甲、乙兩樓的水平

距離BC為21米，求條幅的長(zhǎng)AE約是多少米？（叢=1.73,結(jié)果精確到01米）

11.如圖，是某小區(qū)的甲、乙兩棟住宅樓，小麗站在甲棟樓房4B的樓頂，測(cè)量對(duì)面的乙棟樓房C。的高度，

已知甲棟樓房AB與乙棟樓房CO的水平距離AC=186米，小麗在甲棟樓房頂部2點(diǎn)，測(cè)得乙棟樓房頂部

。點(diǎn)的仰角是30。，底部C點(diǎn)的俯角是45。，求乙棟樓房。的高度（結(jié)果保留根號(hào)）.

12.如圖，我市計(jì)劃在某工業(yè)園區(qū)內(nèi)，為相距4千米的彩印公司、包裝公司修一條筆直的公路.點(diǎn)尸表示

住宅小區(qū)，在彩印公司北偏東30。方向與包裝公司北偏西60。方向的交點(diǎn)，住宅小區(qū)在以P為圓心，0.8千米

為半徑的范圍內(nèi)，問(wèn)這條公路是否會(huì)穿越這個(gè)住宅小區(qū)？（參考數(shù)據(jù)：0=1.414,73?1.732）

13.如圖，為了測(cè)量河寬,在河的一邊沿岸選取8、C兩點(diǎn),對(duì)岸岸邊有一塊石頭A,在AABC中，測(cè)得N3=64。,

ZC=45°,3c=50米，求河寬（即點(diǎn)A到邊2C的距離）（結(jié)果精確到0.1米）.

（參考數(shù)據(jù)：J2?1.41，sin64°=0.90,cos64°=0.44,tan640-2.05）

4

14.在一次課外活動(dòng)中，甲、乙兩位同學(xué)測(cè)量公園中孔子塑像的高度，他們分別在A,8兩處用高度為1.5m

的測(cè)角儀測(cè)得塑像頂部C的仰角分別為30。，45°,兩人間的水平距離為20m,求塑像的高度CE（結(jié)果

保留根號(hào)）

15.如圖，C地在A地的正東方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要繞行3地，已知2位于A地北偏東

67。方向，距離A地520km,C地位于3地南偏東30。方向，若打通穿山隧道，建成兩地直達(dá)高鐵，求A地

12512

到C地之間高鐵線路的長(zhǎng).（結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：（近1167噌石；cos67y^；tan67%W；6*1.73）

16.某次臺(tái)風(fēng)來(lái)襲時(shí)，一棵筆直且垂直于地面的大樹(shù)AB被刮傾斜后在C處折斷倒在地上，樹(shù)的頂部恰好

接觸到地面D處，測(cè)得/ACD=60。，ZADC=37°,AD=5米，求這棵大樹(shù)AB的高.（結(jié)果精確到0.1米）

（參考數(shù)據(jù)：sin37tM）.6,cos37°?0.8,tan37°~0.75,73-1.73）

17.一滑板運(yùn)動(dòng)場(chǎng)斜坡上的點(diǎn)A處豎直立著一個(gè)旗桿，旗桿在其點(diǎn)5處折斷，旗桿頂部落在斜坡上的點(diǎn)C處,

5

AC=26米，折斷部分與斜坡的夾角為75。，斜坡與水平地面的夾角為30。，求旗桿的高度.

18.一艘輪船向正東方向航行，在A處測(cè)得燈塔尸在A的北偏東60。方向，航行40海里到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)

得燈塔P在8的北偏東15。方向上.

(1)求燈塔P到輪船航線的距離尸￡＞是多少海里？(結(jié)果保留根號(hào))

(2)當(dāng)輪船從2處繼續(xù)向東航行時(shí)，一艘快艇從燈塔P處同時(shí)前往。處,盡管快艇速度是輪船速度的2倍，

但快艇還是比輪船晚15分鐘到達(dá)。處，求輪船每小時(shí)航行多少海里？(結(jié)果保留根號(hào))

19.如圖，在東西方向的海面線上，有A,3兩艘巡邏船，兩船同時(shí)收到漁船C在海面停滯點(diǎn)發(fā)出的求

救信號(hào)，測(cè)得漁船分別在巡邏船A,B的北偏西30。和北偏東45。方向，巡邏船A和漁船C相距120海里.(結(jié)

果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：&刃.41,百刃.73,V6-2.45)

(1)求巡邏船B與漁船C間的距離；

(2)已知在A,8兩艘巡邏船間有一觀測(cè)點(diǎn)。(A,B,。在直線上)，測(cè)得漁船C在觀測(cè)點(diǎn)。的北偏

東15。方向，觀測(cè)點(diǎn)。的45海里范圍內(nèi)有暗礁.若巡邏船8沿8C方向去營(yíng)救漁船C,問(wèn)有沒(méi)有觸礁的危

險(xiǎn)？并說(shuō)明理由.

6

20.如圖，某野外生態(tài)考察小組早晨7點(diǎn)整從A營(yíng)地出發(fā)，準(zhǔn)備前往正東方向的8營(yíng)地，由于一條南北向

河流的阻擋（圖中陰影部分），他們需要從C處過(guò)橋.經(jīng)過(guò)測(cè)量得知，A、B之間的距離為13km,NA和

的度數(shù)分別是37。和53。，橋C。的長(zhǎng)度是0.5km,圖中的區(qū)域。FE近似看做一個(gè)矩形區(qū)域.

（1）求CE的長(zhǎng)；

（2）該考察小組希望到達(dá)B營(yíng)地的時(shí)間不遲于中午12點(diǎn)，則他們的行進(jìn)速度至少是多少？（結(jié)果保留1

位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin37tM）.60,cos37°?0.80,tan37°~0.75）

21.一艘漁船從位于A海島北偏東60。方向，距A海島60海里的8處出發(fā)，以每小時(shí)30海里的速度沿正南

方向航行.已知在A海島周?chē)?0海里水域內(nèi)有暗礁.（參考數(shù)據(jù)：V3?1.73,75?2.24,A/7?2.65）

（1）這艘漁船在航行過(guò)程中是否有觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）漁船航行3小時(shí)后到達(dá)C處，求A,C之間的距離.

22.如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點(diǎn)分別為A、B、C,測(cè)得NC4B=30。，NABC=45。,AC=8千米,

求A、8兩點(diǎn)間的距離.（參考數(shù)據(jù)：小1.7,結(jié)果精確到1千米）.

7

23.共抓長(zhǎng)江大保護(hù)，建設(shè)水墨丹青新岳陽(yáng)，推進(jìn)市中心城區(qū)污水系統(tǒng)綜合治理項(xiàng)目，需要從如圖A,8兩

地向C地新建AC,BC兩條筆直的污水收集管道，現(xiàn)測(cè)得C地在A地北偏東45。方向上，在8地北偏西68。

方向上，A3的距離為76，求新建管道的總長(zhǎng)度.（結(jié)果精確到0.1版，sin22°?0.37,cos22°?0.93,

tan22°~0.40，?1.41）

24.在數(shù)學(xué)實(shí)踐與綜合課上，某興趣小組同學(xué)用航拍無(wú)人機(jī)對(duì)某居民小區(qū)的1、2號(hào)樓進(jìn)行測(cè)高實(shí)踐，如圖

為實(shí)踐時(shí)繪制的截面圖.無(wú)人機(jī)從地面點(diǎn)B垂直起飛到達(dá)點(diǎn)A處，測(cè)得1號(hào)樓頂部￡的俯角為67。，測(cè)得2

號(hào)樓頂部尸的俯角為40。，此時(shí)航拍無(wú)人機(jī)的高度為60米，已知1號(hào)樓的高度為20米，且EC和田分別

垂直地面于點(diǎn)C和。，點(diǎn)8為的中點(diǎn)，求2號(hào)樓的高度.（結(jié)果精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)sin40y（）.64,

cos40°=0.77,tan40°=0.84,sin67°=0.92,cos67°=0.39,tan67°=2.36）

25.今年由于防控疫情，師生居家隔離線上學(xué)習(xí)，AB和CD是社區(qū)兩棟鄰樓的示意圖，小華站在自家陽(yáng)臺(tái)

的C點(diǎn)，測(cè)得對(duì)面樓頂點(diǎn)A的仰角為30。，地面點(diǎn)E的俯角為45。.點(diǎn)E在線段BD上.測(cè)得B,E間距離

為8.7米.樓AB高126米.求小華家陽(yáng)臺(tái)距地面高度CD的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1米，V2?1.41,下，Q.73）

26.小婷在放學(xué)路上，看到隧道上方有一塊宣傳“中國(guó)-南亞博覽會(huì)”的豎直標(biāo)語(yǔ)牌CD.她在A點(diǎn)測(cè)得標(biāo)語(yǔ)

牌頂端D處的仰角為42。，測(cè)得隧道底端B處的俯角為30。（B,C,D在同一條直線上），AB=10m,隧道

8

高6.5m（即BC=6.5m）,求標(biāo)語(yǔ)牌CD的長(zhǎng)（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.（參考數(shù)據(jù)：sin42°~0.67,cos42°=0.74,

tan42°=0.90,石勺.73)

27.如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東66.1。方向，距離燈塔120海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)

間后,到達(dá)位于燈塔P的南偏東45。方向上的B處，求BP和BA的長(zhǎng)（結(jié)果取整數(shù)）.參考數(shù)據(jù):sin66.130.91,

cos66.1°?0.41,tan64°=2.26,收取1.414.

9

專(zhuān)題14解直角三角形中的背靠背模型

【模型展示】

特點(diǎn)

通過(guò)在三角形內(nèi)作高AC,構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形求解，其中公共邊AC是解題的

關(guān)鍵.在RtAACD和RtABCA中，AC為公共邊，DC+CB=DB.

結(jié)論“背靠背”型的關(guān)鍵是找到兩個(gè)直角三角形內(nèi)的公共高

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東方向，距離燈塔60海里的小島A出發(fā)，沿正南

方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔C的南偏東方向上的8處，這時(shí)輪船B與小島A的距

離是()

A.30若海里B.(30+306)海里C.120海里D.60海里

【答案】B

【分析】過(guò)點(diǎn)C作CDLAB于點(diǎn)D,先解RSACD,求出AD,CD,再根據(jù)BD=CD,即

可解出AB.

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CDJ_AB于點(diǎn)D,

10

北

則NACD=30。，ZBCD=45°,

在RtZkACD中，AD=-CA=-x60=30（海里），

22

CD=CAcos/ACD=60x也=306（海里），

2

VZBCD=45°,ZBDC=90°,

在RtABCD中，BD=CD,

；.AB=AD+BD=AD+CD=（30+30若）海里，

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用一方向角問(wèn)題，解一般三角形的問(wèn)題，一般

可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是作高線.

2.如圖所示，從一熱氣球的探測(cè)器A點(diǎn)，看一棟高樓頂部B點(diǎn)的仰角為30。，看這棟高樓

底部C點(diǎn)的俯角為60。，若熱氣球與高樓的水平距離為30m,則這棟高樓高度是（）

A.60mB.40月mC.30GmD.606m

【答案】B

【分析】作ADLBC于D,由俯仰角得出NADB、NCAD的值，則由AD的長(zhǎng)及俯仰角的

正切值得出BD、CD的長(zhǎng)，BC的長(zhǎng)即可求出.

【詳解】過(guò)A作AD_LBC,垂足為D在RtAABD中，VZBAD=30°,AD=30m,

，BD=AD-tan30°=30x立=10#(m),在RtAACD中，VZCAD=60°,AD=30m,

3

CD=AD?tan60°=30xg=30百(m),/.BC=BD+CD=10>/3+3073=4073(m),

即這棟高樓高度是40Gm.

故選擇：B.

11

【點(diǎn)睛】本題考查俯角與仰角的定義，要求學(xué)生能借助俯角與仰角構(gòu)造直角三角形并會(huì)解直

角三角形.

二、填空題

3.如圖，海中有個(gè)小島A,一艘輪船由西向東航行，在點(diǎn)B處測(cè)得小島A位于它的東北方

向，此時(shí)輪船與小島相距20海里，繼續(xù)航行至點(diǎn)D處，測(cè)得小島A在它的北偏西60。方向，

此時(shí)輪船與小島的距離AD為海里.

北

【答案】2072

【分析】過(guò)點(diǎn)A作ACLBD,根據(jù)方位角及三角函數(shù)即可求解.

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A作ACLBD,

依題意可得NABC=45。

.二△ABC是等腰直角三角形，AB=20（海里）

.,.AC=BC=ABsin45°=10V2（海里）

在RtAACD中，ZADC=90°-60°=30°

；.AD=2AC=20夜（海里）

故答案為：200.

北

【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟知特殊角的三角函數(shù)值.

4.4月26日，2015黃河口（東營(yíng)）國(guó)際馬拉松比賽拉開(kāi)帷幕，中央電視臺(tái)體育頻道用直升

12

機(jī)航拍技術(shù)全程直播.如圖，在直升機(jī)的鏡頭下，觀測(cè)馬拉松景觀大道A處的俯角為30°,

B處的俯角為45°.如果此時(shí)直升機(jī)鏡頭C處的高度CD為200米，點(diǎn)A、D、B在同一直

線上，則AB兩點(diǎn)的距離是米.

【答案】200（6+1）

【分析】在兩個(gè)直角三角形中，都是知道已知角和對(duì)邊，根據(jù)正切函數(shù)求出鄰邊后，相加求

和即可.

【詳解】VZCDA=ZCDB=90°,ZA=30°,ZB=45°,

AD=&CD=200君,BD=CD=200,

.?.AB=AD+BD=200（G+1）（米）

考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用.

5.如圖所示，輪船在A處觀測(cè)燈塔C位于北偏西70。方向上，輪船從A處以每小時(shí)20海里

的速度沿南偏西50°方向勻速航行，1小時(shí)后到達(dá)碼頭B處，此時(shí)，觀測(cè)燈塔C位于北偏西

25。方向上，則燈塔C與碼頭8的距離是海里（結(jié)果精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：血。1.4,

石“7,76^2.4）

【答案】24

【分析】作BDLAC于點(diǎn)D,在直角AABD中，利用三角函數(shù)求得BD的長(zhǎng)，然后在直角

△BCD中，利用三角函數(shù)即可求得BC的長(zhǎng).

【詳解】NCBA=25°+50°=75°,

作BD±AC于點(diǎn)D,

則NCAB=（90°-70°）+（90°-50°）=20°+40°=60°,

ZABD=30°,

AZCBD=75°-30°=45°,

在直角△ABD中，BD=AB?sin/CAB=20xsin60°=20x3=10石，

2

13

在直角△BCD中，ZCBD=45°,

則BC=V2BD=10V3XV2=10A/6=10X2,4=24（海里），

故答案是：24.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——方向角問(wèn)題，正確求得NCBD以及NCAB的

度數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.

6.如圖，某輪船以每小時(shí)30海里的速度向正東方向航行，上午8：00,測(cè)得小島C在輪船

A的北偏東45。方向上；上午10：00,測(cè)得小島C在輪船B的北偏西30。方向上，則輪船在

航行中離小島最近的距離約為—海里（精確到1海里，參考數(shù)據(jù)0n414,6刃.732）.

【答案】38.

【分析】作CDLAB于點(diǎn)D,再求得AB、/ACD、/BCD的值，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)

求出CD的長(zhǎng)即可解答.

【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)￡）,

根據(jù)題意可知：

AB=30x（10-8）=60（海里），NACO=45°,ZBC￡>=30°,

在RtAACD中，CD=AD,

在RtACBD中，BD=AB-AD=60-CD,

BD

tan30°

CD

14

且=也必

3CD

解得CD=38（海里）.

答：輪船在航行中離小島最近的距離約為38海里.

故答案為38.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知識(shí)是解答

本題的關(guān)鍵.

7.某攔水壩的橫截面為梯形ABC。，迎水坡3c的坡角為且背水坡AD的

4

坡度為/=2:5是指坡面的鉛直高度AE與水平寬度的比，壩面寬AB=3m,壩高

AE=12m,則壩底寬CD=.

3

【分析】添一條輔助線，作BFLCD,A￡=12m,根據(jù)tana二，可得CF的長(zhǎng)，根據(jù)背水坡

AD的坡度i=2:5,可得。E的長(zhǎng)，5.AB=EF,壩底CD=DE+EF+FC,可得出答案.

【詳解】解：如圖所示，添一條輔助線，作

BFAE

-------=-------=16m,

tanatana

AJ72

又???背水坡AO的坡度'=25..?力于故皿。m,

S.EF=AB=3m,DE+EF+FC=30+3+16=49m,

故答案為：49m.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了用正切值求邊長(zhǎng)，坡度是坡角的正切，在直角三角形中，正切值為

對(duì)邊：斜邊，掌握定義就不會(huì)算錯(cuò).

三、解答題

8.如圖，A,8兩地之間有一座山，汽車(chē)原來(lái)從A地到8地須經(jīng)C地沿折線A-C-8行駛,

全長(zhǎng)68歷加現(xiàn)開(kāi)通隧道后，汽車(chē)直接沿直線行駛.已知/A=30。，N3=45。，則隧道

開(kāi)通后，汽車(chē)從A地到8地比原來(lái)少走多少千米？（結(jié)果精確到01加）（參考數(shù)據(jù)：0刃.4,

15

百切.7)

【分析】首先過(guò)點(diǎn)C作CDLAB,垂足為設(shè)CD=x,即可表示出AC,2C的長(zhǎng)，進(jìn)而求

出x的值，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出AD,2。的長(zhǎng)，即可得出答案.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作COLA2,垂足為。，設(shè)CD=x.

CDCD

在Rt/XACZ)中，sinNA=-----，AC=..............-lx,

ACsin30°

CDCD

在RtZkBCD中，sinZB=----,BC=-----------=J2x

BCsin450”f

\*AC+BC=2x+y/2x=68,

在RtAACD中，tanZA=-----,AD—..............=20也,

ACtan30°

__,CDCD

在R3BCD中，tanN5=----,BD=----------=20,

BDtan45°

45=20^+20=54,

AC+BC-AB=68-54=14.0(km).

答：隧道開(kāi)通后，汽車(chē)從A地到5地比原來(lái)少走14.0千米.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

c

9.已知銳角AABC中，角48,C的對(duì)邊分別為mb,c,邊角總滿足關(guān)系式：號(hào)=「

sinAsinBsinC

16

（2）某公園準(zhǔn)備在園內(nèi)一個(gè)銳角三角形水池A3C中建一座小型景觀橋8（如圖2所示）,

若CD，AB,AC=14米，回=10米，sinNAC8=%叵，求景觀橋的長(zhǎng)度.

14

【答案】（1）26；⑵873

【分析】（1）過(guò)C作CD,延于點(diǎn)。，解直角三角形即可；

（2）由已知條件可知一求得sin5,勾股定理求得30,解小△BDC即可

smZACBsinB

求得8的長(zhǎng)

【詳解】（1）如圖，過(guò)。作SLAB于點(diǎn)。

?/ZB=45°

:.DC=BD,/DCB=45。

DC=DB=BCxsinB=axsin45°=6x

?.?ZC=75°

:.ZACD=30°

CD

cosZACD=----

AC

.AC-CD

cosZACD

2

即8=2#

…ABAC

(2)???二——,AC=14,sinZACB=—,AB=10

sinZACBsinB14

14x^1

.nACXsinZACB

/.sinB=-----------1-4--------

AB10一2

「.ZB=60。

在尺以取心中，設(shè)=貝ICQ二后

AD=W-x

在mAADC中，AD2+CD2=AC2

即：(10-4+(瓜y=14?

解得：芯=8,々=-3（不符題意，舍）

.-.CD=V3X=8A/3

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

17

10.為加強(qiáng)我市創(chuàng)建文明衛(wèi)生城市宣傳力度，需要在甲樓A處到E處懸掛一幅宣傳條幅,

在乙樓頂部D點(diǎn)測(cè)得條幅頂端A點(diǎn)的仰角ZADF=45°,條幅底端E點(diǎn)的俯角為/FDE=30。,

DFJ_AB,若甲、乙兩樓的水平距離BC為21米，求條幅的長(zhǎng)AE約是多少米？（g=1.73，

結(jié)果精確到01米）

【分析】根據(jù)題意及解直角三角形的應(yīng)用直接列式求解即可.

【詳解】解:

過(guò)點(diǎn)D作DFLAB,如圖所示:

在RtAADF中，DF=BC=21米，NADF=45。

；.AF=DF=21米

在RSEDF中，DF=21米，ZEDF=30°

EF=DFxtan30°=773米

；.AE=AF+BF=7后+2B33.1米.

答：條幅的長(zhǎng)AE約是33.1米.

【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意及利用三角函數(shù)求出線段的長(zhǎng).

11.如圖，是某小區(qū)的甲、乙兩棟住宅樓，小麗站在甲棟樓房的樓頂，測(cè)量對(duì)面的乙棟

樓房。的高度，已知甲棟樓房AB與乙棟樓房8的水平距離AC=18g米，小麗在甲棟樓

房頂部2點(diǎn)，測(cè)得乙棟樓房頂部。點(diǎn)的仰角是30。，底部C點(diǎn)的俯角是45。，求乙棟樓房CO

的高度（結(jié)果保留根號(hào)）.

18

【答案】18(g+l)m

【分析】根據(jù)仰角與俯角的定義得到AB=BE=AC,再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解.

【詳解】如圖，依題意可得/BCA=45。，

.".△ABC是等腰直角三角形，

/.AB=CE=AC=18A/3

?.*ZDBE=30°

；.DE=BExtan300=18

/.8的高度為CE+ED=18(J3+l)m.

【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)犍是熟知三角函數(shù)的定義.

12.如圖，我市計(jì)劃在某工業(yè)園區(qū)內(nèi)，為相距4千米的彩印公司、包裝公司修一條筆直的公

路.點(diǎn)尸表示住宅小區(qū)，在彩印公司北偏東30。方向與包裝公司北偏西60。方向的交點(diǎn)，住

宅小區(qū)在以尸為圓心，0.8千米為半徑的范圍內(nèi)，問(wèn)這條公路是否會(huì)穿越這個(gè)住宅小區(qū)？(參

考數(shù)據(jù)：V2?1.414,6*1.732)

【答案】不會(huì)

【分析】過(guò)點(diǎn)P作于。，根據(jù)角的正切值表示出和ND的長(zhǎng)，然后列方程求

19

解PD的長(zhǎng)度，從而做出判斷.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作朋N于D

由題意得Z.PMD=60°,ZPND=30°,MN=4.

...在RfA中，tan60°=且L即MD==@PD

MDtan6003

在PND中,tan30°=型，即ND=—^-=也尸。

NDtan30°

?/MD+ND=MN=4,

即］尸。+也「。=4，

PD=73>0.8.

答：這條公路不會(huì)穿越這個(gè)住宅小區(qū).

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，正確標(biāo)注方向角、熟記銳角三角

函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，為了測(cè)量河寬，在河的一邊沿岸選取8、C兩點(diǎn)，對(duì)岸岸邊有一塊石頭A,在AABC

中，測(cè)得/3=64。，ZC=45°,3c=50米，求河寬（即點(diǎn)A到邊3c的距離）（結(jié)果精確

至IJ0.1米）.

（參考數(shù)據(jù)：071.41,sin64°=0.90,cos64°=0.44,tan64°=2.05）

【答案】河寬約為33.6米

【分析】過(guò)A作8c于D,并設(shè)ADr米，則由已知條件可以得到關(guān)于x的方程，解方

程即可得到河的寬度.

【詳解】解：如圖，過(guò)A作于￡>,并設(shè)AQ=x米，

20

VZC=45°,AZ￡>AC=90°-45o=45°,

CD=AD=x,

???N3=64。，

.ncA￡）X

??BD=------=---------,

tan64°tan64°

Y

-：BC=50米，二一一+x=50,

tan64°

解之得：x?33.6,

答：河寬約33.6米.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義并結(jié)合方程思想求解

是解題關(guān)鍵.

14.在一次課外活動(dòng)中，甲、乙兩位同學(xué)測(cè)量公園中孔子塑像的高度，他們分別在A,8兩

處用高度為L(zhǎng)5m的測(cè)角儀測(cè)得塑像頂部C的仰角分別為30。，45°,兩人間的水平距離A8

為20m,求塑像的高度C?（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】（10為-8.5）米.

【分析】在Rt^CDG和Rt^CEG中，求出公共邊CG的長(zhǎng)度，然后可求得CF=CG+G尸.

【詳解】解：?.?AB=20m,

:.DE=DG+EG=20m,

在RtZkCEG中，

■：ZCEG=45°,

:.EG=CG,

在RtZXCDG中，

ZCDG=30°,ZDCG=60°,

:.DG=CG.tan600,

則DE=CG.tan60。+CG=20m.

即DE=6CG+CG=20.

21

.-.CG=10>/3-10.

由題意知：GF=1.5m

CF=CG+GF=10x/3-10+1.5=10^/3-8.5

答：塑像C尸的高為(10/-8.5)m.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利

用三角函數(shù)的知識(shí)求解.

15.如圖，C地在A地的正東方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要繞行2地，己知B

位于A地北偏東67。方向，距離A地520km,C地位于2地南偏東30。方向，若打通穿山隧

道，建成兩地直達(dá)高鐵，求A地到C地之間高鐵線路的長(zhǎng).(結(jié)果保留整數(shù))參考數(shù)據(jù)：(sin67%

12512

——；cos67°~—；tan67°~—；尺1.73)

13135

【答案】A地到C地之間高鐵線路的長(zhǎng)約為596(5?).

【分析】過(guò)點(diǎn)B作BDLAC于點(diǎn)D,利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD及CD的長(zhǎng)，進(jìn)而

可得出結(jié)論.

【詳解】解：如解圖，過(guò)點(diǎn)8作3DLAC于點(diǎn)O,

BD=AB-cos67°。520x卷=200(fo??).

VC地位于B地南偏東30°方向，

，ZCBD=30°,

CD=BD-tan30°=200x走=20°^(km),

33

AC=AD+CD=480+2°^?596(km).

22

答：A地到C地之間高鐵線路的長(zhǎng)約為596（初。.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，解題關(guān)鍵是添加常用輔助線，構(gòu)

造直角三角形.

16.某次臺(tái)風(fēng)來(lái)襲時(shí)，一棵筆直且垂直于地面的大樹(shù)AB被刮傾斜后在C處折斷倒在地上,

樹(shù)的頂部恰好接觸到地面D處，測(cè)得NACD=60。，/ADC=37。，AD=5米，求這棵大樹(shù)

AB的高.（結(jié)果精確到01米）（參考數(shù)據(jù)：sin37°=0.6,cos37°=0.8,tan37°=0.75,石印.73）

【答案】這棵大樹(shù)AB原來(lái)的高度約是9.2米.

【分析】過(guò)點(diǎn)A作AE±CD于點(diǎn)E,解RtAAED,求出DE及AE的長(zhǎng)度，再解RtAAEC,

得出CE及AC的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【詳解】過(guò)點(diǎn)A作AELCD于點(diǎn)E,則NAEC=NAED=90。.

:在RtAAED中，ZADC=37°,AD=5,

DFDF

.e.cos37°=—=——=0.8,

AD5

.\DE=4,

AEAE

Vsin37°~AD~0.6,

???AEM,

在RtAAEC中，

NCAE=90。-NACE=90。-60°=30°,

/.CE=AE-tanZCAE=y-AE=6，

，AC=2CE=25

AB=AC+CE+ED=2&+6+4=3&+4=9.2（米）.

23

答：這棵大樹(shù)AB原來(lái)的高度約是9.2米.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解

答此題的關(guān)鍵.

17.一滑板運(yùn)動(dòng)場(chǎng)斜坡上的點(diǎn)A處豎直立著一個(gè)旗桿，旗桿在其點(diǎn)8處折斷，旗桿頂部落在

斜坡上的點(diǎn)C處，AC=26米，折斷部分與斜坡的夾角為75。，斜坡與水平地面的夾角為

30°,求旗桿的高度.

（V2?1.4,V3?1.7,精確到1米）.

【答案】旗桿的高度約為9米.

【分析】根據(jù)題意過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)￡>,利用解直角三角形的方法進(jìn)行分析即可求得

答案.

=73,CD=AC-cos30°=2^.-=3,

2

24

又丁NBCA=75。，

/.ZBCD=75°-30°=45°,

CD-BD—3,BC=-Jl,>BD=3A/2>AB+BC=A/3+3+3^2?3xl.4+3+1.7=8.9?9（T|^）

答：旗桿的高度約為9米.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，熟練掌握并根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形進(jìn)行分析是解題的關(guān)

鍵.

18.一艘輪船向正東方向航行，在A處測(cè)得燈塔尸在A的北偏東60。方向，航行40海里到

達(dá)8處，此時(shí)測(cè)得燈塔尸在B的北偏東15。方向上.

（1）求燈塔尸到輪船航線的距離尸。是多少海里？（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）當(dāng)輪船從8處繼續(xù)向東航行時(shí)，一艘快艇從燈塔P處同時(shí)前往。處，盡管快艇速度是

輪船速度的2倍，但快艇還是比輪船晚15分鐘到達(dá)。處，求輪船每小時(shí)航行多少海里？（結(jié)

果保留根號(hào)）

【答案】（1）燈塔尸到輪船航線的距離是（106+10）海里；（2）輪船每小時(shí)航行（60

-20月）海里

【分析】（1）作BCLAP于C,根據(jù)余弦的定義求出4C,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出

CP,得到AP的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案；

（2）根據(jù)余弦的定義求出A。，得到8。的長(zhǎng)，根據(jù)題意列出分式方程，解方程得到答案.

【詳解】解：（1）作BCLAP于C,

在ABC中，NB42=30°,

BC=^-AB=20,AC=AB,cosXPAB=2Qy/3,

'：ZNBP=15°,

：.ZPBD=15°,

：.ZCBP=180°-60°-75°=45°,

：.PC=BC=20,

：.AP=AC+PC=2Q6+20,

在尸中，NA=30°,

尸=10百+10,

答：燈塔P到輪船航線的距離PD是（10百+10）海里；

（2）設(shè)輪船每小時(shí)航行x海里，

25

在放AAOP中，AO=AP-cosA=106+30,

：.BD=AD-AB=i0y/j-10,

由題意得，1岫-1。+”」。6+10,

x602x

解得，尤=60-206，

經(jīng)檢驗(yàn)，x=60-20也是原方程的解，

答：輪船每小時(shí)航行（60-206）海里.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題和分式方程的應(yīng)用，掌握方向角的

概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義、正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，在東西方向的海面線MN上，有A,8兩艘巡邏船，兩船同時(shí)收到漁船C在海面

停滯點(diǎn)發(fā)出的求救信號(hào)，測(cè)得漁船分別在巡邏船48的北偏西30。和北偏東45。方向，巡邏

船A和漁船C相距120海里.（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：V2-1.41,73=1.73,76~2.45）

（2）已知在A,8兩艘巡邏船間有一觀測(cè)點(diǎn)。（A,B,。在直線MNJL）,測(cè)得漁船C在

觀測(cè)點(diǎn)。的北偏東15。方向，觀測(cè)點(diǎn)。的45海里范圍內(nèi)有暗礁.若巡邏船8沿BC方向去

營(yíng)救漁船C,問(wèn)有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)？并說(shuō)明理由.

【答案】（1）巡邏船2與漁船C間的距離為60#海里；（2）沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)，理由詳見(jiàn)

解析.

【分析】（1）作CELMN于E,由直角三角形的性質(zhì)得AE=gAC=60,

CE=BE=6AE=60由,/ABC=45。，證ABCE是等腰直角三角形，得出BC=60?即

可；

（2）作小，于尸，由NABC=45。，得出AfiDF是等腰直角三角形，則。尸=也8。？54

2

海里，由54>45,即可得出沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn).

26

【詳解】解：（1）作于E,如圖I所示:

貝1」ZACE=3O°,ZBCE=45°,ZDCE=15。,^ABC=45°,

\AE=1^C=60,CE=y/3AE=6073,ABCE是等腰直角三角形,

\BE=CE=60G,BC=0CE=60面，

答：巡邏船3與漁船C間的距離為60面海里；

(2)沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)；理由如下：

由題意得：AB=BE+AE=60^/3+60,

Q?ACD2ACE2DCE30?15?45?,

:.ZACD=ZABC,

ACAD=ABAC,

\DCAD^DBAC,

ADACAD120

---=,即nn——=——產(chǎn)----,

ACAB12060用60

解得:AD=120(6-1),

\BD=AB-AD=60氐60-120(61)=180-606(海里)；

作OF_L8C于尸，如圖2所示：

?/ZABC=45°,

，此￡>尸是等腰直角三角形，

\DF=-BD=9072-3076?54（海里），

2

Q54>45,

:?沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn).

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、含30。角直

27

角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，證明三角

形相似是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，某野外生態(tài)考察小組早晨7點(diǎn)整從A營(yíng)地出發(fā)，準(zhǔn)備前往正東方向的8營(yíng)地，

由于一條南北向河流的阻擋（圖中陰影部分），他們需要從C處過(guò)橋.經(jīng)過(guò)測(cè)量得知，A、B

之間的距離為13km,NA和的度數(shù)分別是37。和53。，橋O）的長(zhǎng)度是0.5km,圖中的

區(qū)域CDFE近似看做一個(gè)矩形區(qū)域.

（1）求CE的長(zhǎng)；

（2）該考察小組希望到達(dá)8營(yíng)地的時(shí)間不遲于中午12點(diǎn)，則他們的行進(jìn)速度至少是多少？

（結(jié)果保留1位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin37tM）.60,cos37°~0.80,tan37°?0.75）

【答案】（1）CE的長(zhǎng)為6初?；（2）他們的行進(jìn)速度至少是3.6初?//z.

【分析】（1）沒(méi)CE=xkm,先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得EF=CD=0.5Am,CE=DF=xkm,

43

CELEF,DF八EF,再解直角三角形分別求出==然后根據(jù)線段的和

差列出等式，求解即可得；

（2）先根據(jù)題（1）的結(jié)論求出AE、BF、DF的長(zhǎng)，再利用勾股定理分別求出AC、BD的

長(zhǎng)，然后根據(jù)速度的計(jì)算公式列出不等式，求解即可得.

【詳解】（1）設(shè)CE=xkm

???四邊形CDFE是矩形

EF=CD=0.5km,CE=DF=xkm,CEJ_EF,DFAEF

(hX