與特殊三角形有關(guān)的分類討論模型-2025年江西中考數(shù)學(xué)常見幾何模型解讀與提分訓(xùn)練（解析版）

專題01與特殊三角形有關(guān)的分類討論模型解讀與提分精練

目錄導(dǎo)航］

例題講模型］

模型1.等腰三角形的角和邊不確定

模型2.直角三角形的直角頂點(diǎn)不確定

習(xí)題練模型］

例題講模型］

模型1.等腰三角形的角和邊不確定

模型解讀

方法解讀：當(dāng)題干中出現(xiàn)類似“若△ABC為等腰三角形”這樣的表述時(shí)，未明確哪兩條邊為腰，需考慮分

類討論：?AB=AC(Ci,C4);?AB=BC(CZC5);?AC=BC［C^)

解題方法：①求角度：根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和及內(nèi)外角關(guān)系求解；②求線段

長：可用勾股定理、全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)求解，若出現(xiàn)30°、45°的角時(shí)，可考慮用銳

角三角函數(shù)或含30°、45°角的直角三角形的性質(zhì)求解.

模型運(yùn)用

例1.(2024?江西南昌?二模)如圖，在ABCD中，AB=2,BC=2g4=45。，點(diǎn)E在射線上，當(dāng)

VADE為等腰三角形時(shí)，NA即的度數(shù)為.

【答案】15?；?5°或90°

【知識(shí)點(diǎn)】等邊對(duì)等角、利用平行四邊形的性質(zhì)求解、三角函數(shù)綜合

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù).當(dāng)VAOE為等腰三角形

時(shí)，有以下三種情況：①當(dāng)AD=AE=2后時(shí)，過點(diǎn)A作AblBC于尸，先求出4尸=應(yīng)，在Rt但中

利用銳角三角函數(shù)可求出NA￡F=30。，則/ZME=NA￡F=30。，進(jìn)而得的度數(shù)；②當(dāng)

4D=￡>E=20時(shí)，又有兩種情況：（回）當(dāng)點(diǎn)E在線段8C上時(shí)，過點(diǎn)。作DG，3c交延長線于G,先

求出。G=0，在RtVDEG中利用銳角三角函數(shù)可求出，NDEG=30。,則NADE="EG=30。，進(jìn)而得

—AED的度數(shù)；（回）當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上時(shí)，過點(diǎn)。作DMLCE于先分別求出=60。，

NCDM=45。，進(jìn)而得NADE=150。，由此可得NASD的度數(shù)；③當(dāng)短=。七時(shí)，過點(diǎn)E作A￡>于"，

根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得犯=￡）”=夜，根據(jù)平行線間的距離得=應(yīng)，則==由此得

ZAEH=DEH=45°,進(jìn)而可得—AED的度數(shù)，綜上所述即可得出答案.

【詳解】解：回四邊形ABCD為平行四邊形，

0AB=CD=2,AD=BC=2&ADBC,ABCD,ZB=ZADC=45°,

當(dāng)V3為等腰三角形時(shí)，有以下三種情況：

①當(dāng)AD=AE=2應(yīng)時(shí)，過點(diǎn)A作A/于憶如圖1所示：

0AF=AB-sinB=2xsin45°=^,

即平行線AD,BC間的距離為血，

在RtAEF中，sinZAEF=—=^==~,

AE2A/22

I3NA￡F=3O°,

SAD//BC,

0ZDAE=ZAEF=30°,

0ZAED=ZADE=1(180°-ZDAE)=1x(180°-30°)=75°；

②當(dāng)A￡>=OE=2也時(shí)，又有兩種情況：

(0)當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，過點(diǎn)。作OGL3C交BC延長線于G,如圖2所示:

_________D

D/^7\

ECG

圖2

由①可知：平行線ADBC間的距離為萬，即。G=0，

在RtVDEG中，sinZDEG=—=^-==-,

DE2近2

SZDEG=30°,

^\AD//BC,

團(tuán)ZADE=NDEG=30°,

0ZAED=ZEAD=1(180°-ZAD￡)=1x(180°-30°)=75°；

(0)當(dāng)點(diǎn)E在3C的延長線上時(shí)，過點(diǎn)。作。暇，CE于如圖3所示：

貝I」DM=應(yīng),

在RtADAlE中，sinZDEAf=—=-^=-,

DE2近2

0ZZ>EM=3OO,

0Z.EDM=90°-ADEM=90°-30°=60°,

0ZDCM=ZB=45°,

0VCDM為等腰直角三角形，

0ZCE>M=45°,

0NCDE=Z.CDM+NEDM=45°+60°=105°,

0ZADE=ZADC+ZCDE=45°+105°=150°,

0ZAED=ZEAD=1(180°-ZA￡)E)=1x(180°-150°)=15°；

③當(dāng)=時(shí)，過點(diǎn)E作于H,如圖4所示：

圖4

BAE=DE,EHVAD,

S\AH=DH=-AD=y[2,

2

由①可知￡W=也，

0AH=HD=EH,

國ZAEH=DEH=45。（此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合），

0ZA￡D=9O°.

綜上所述：ZAED的度數(shù)為：15?；?5?；?0。.

故答案為：15?；?5。或90。.

例2.（2024?江西九江?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在VABC中，ZBCA90°,ZBAC=24°,將VABC繞點(diǎn)C逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0。<a<90。）得DEC.若CO交48于點(diǎn)R當(dāng)&=時(shí)，△A2加為等腰三角形.

【答案】28?；?4。

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、三角形的外角的定義及性質(zhì)

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)可得：ZDCA=a,DC=AC,根據(jù)等邊對(duì)等角可知：ZCDA=ZCAD,再表示出/ZMF,根據(jù)三角形

外角的性質(zhì)可表示出ZDE4,然后分①NADF=NDAF,@ZADF=ZDFA,③NZM產(chǎn)=NDE4三種情況

討論求解即可.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NDC4=CGDC=AC,

0ZCDA=ZCAD=1（18O°-tz）=9O°-1a,

0ZBAC=24°,

0ZDAF=NCAD-ABAC=90°--a-24°

2

根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得：ZDFA+ABAC+ZDCA=24°+a,

△AD/是等腰三角形，分三種情況討論：

①當(dāng)=時(shí)，則NADF=NDAF,90o-|rz=90°-1a-24°,此時(shí)無解；

②當(dāng)AF=AD時(shí)，則NAD尸=NDE4,90°-gc=24°+a,解得:a=44°；

③當(dāng)DF=AD時(shí)，則NZMF=NDE4,90°-1a-24°=24°+a,解得：a=28。；

綜上所述，旋轉(zhuǎn)角a度數(shù)為28?；?4。，

故答案為：28?；?4。.

例3.（2024?江西撫州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，VA8C中，AB=4,BC=^26,AC=5jL點(diǎn)尸為AC邊上的動(dòng)

點(diǎn)，當(dāng)尸是等腰三解形時(shí)，AP的長為.

A

【答案】4.2&或4應(yīng)

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、三線合一、等腰三角形的性質(zhì)和判定

【分析】本題考查等腰三角形綜合，涉及等腰三角形性質(zhì)、勾股定理及解方程等知識(shí)，由一尸是等腰三解

形，分三種情況：AB=AP；BA=B尸;=作出圖形，構(gòu)造直角三角形，解直角三角形即可得到答案,

熟練掌握等腰三角形性質(zhì)、勾股定理求線段長是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：AB尸是等腰三解形，

???分三種情況：AB=AP-BA=BP;PA=PB..

①當(dāng)AP=AB=4時(shí)，AB尸是等腰三解形；

②當(dāng)54=5尸時(shí)，

AB=4<726=BC,

.??點(diǎn)P的位置如圖所示：

A

由等腰三角形三線合一性質(zhì)得到3。是陽的中線，^DA=DP,

設(shè)DA=Z)P=x,則OC=AC-AD=5近一x，

在RtA4B￡)中，AIJr+BD1=AB1>^x2+BD2=42；

在RtZ\C3D中，CD2+BD1=CB2,即卜及+瓦爐=（后『；

（5A/^—x）—x2=26—16,10s/2x=40>解得x=，

AP=2尤=4>/2;

當(dāng)上4=P5時(shí)，如圖所示：

A

由②中=3尸=4,AP=40可知,AB尸是等腰直角三角形，即NA=45。，

???當(dāng)24=尸5時(shí)，ZPBA=ZA=45°,則/APB=90。，即二AB尸是等腰直角三角形，

.-.AP^+PB2=AB2>則2A產(chǎn)=16，解得AP=2也；

綜上所述，AP的長為4,2加或40\

故答案為：4,2a或4阪.

例4.(2024?江西南昌?模擬預(yù)測(cè))如圖，在"CB中，ZACB=90°,BC=43,VABC的外接圓O的半

徑為3,。是邊BC延長線上一點(diǎn)，連接A。，交（。于點(diǎn)E,連接CE.若△CED為等腰三角形，則線段30

的長度為.

【答案】6或6#或2后

【知識(shí)點(diǎn)】90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性質(zhì)和判定、圓周角定理

【分析】本題考查了三角形外接圓與外心，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵.根據(jù)

勾股定理得到47=，鈿2_302=屈,①當(dāng)CE=OE時(shí)，②當(dāng)。C=OE時(shí)，③當(dāng)CE=8時(shí)，根據(jù)圓

內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：NACB=90。，

是。的直徑，

AB=2x3=6,

?.AC=^IAB2-BC2=底,

①當(dāng)CE=O石時(shí)，

"D=/DCE,

ZDCE=ZBAD,

.\ZBAD=ZD,

BD=AB=6,

②當(dāng)DC=OE時(shí)，

二ZDCE=ZDEC,

/DEC=ZABC,ZDCE=ZDAB,

:.ZDBA=ZDAB,

AD=BD,

AE=BC=A/3,

ZACD=ZACB=90°,

s.AD1=AC2+CD\

BD2=33+(a)-a2

BD=6百，

③當(dāng)CE=CD時(shí)，

:.ND=/CED,

ZCED=ZB,

/B=/D,

AB=AD,

AC_LBD,

:.BD=2BC=2區(qū)

綜上所述，若△CEO為等腰三角形，線段8。的長度為6或66或26，

故答案為：6或6有或2vL

模型2.直角三角形的直角頂點(diǎn)不確定

模型解讀

方法解讀：當(dāng)題干中出現(xiàn)類似“若AABC為直角三角形”這樣的表述時(shí)，未明確哪個(gè)角為直角，需考慮分

類討論：①/A=90°（G）;②NB=90°（C/;③NC=90°（CaC^）;

模型證明

解題方法：①求角度：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和及內(nèi)外角關(guān)系求解；②求線段長：可用勾

股定理、全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)求解；若出現(xiàn)30°、45°的角時(shí)，可考慮用銳角三角函數(shù)

或含30°、45°角的直角三角形的性質(zhì)求解；若出現(xiàn)中點(diǎn)，可考慮用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)或者中位

線的性質(zhì)求解。

模型運(yùn)用

例5.（2024?江西南昌?模擬預(yù)測(cè)）在,ABCD中，AB=3,ZA=120°,AD=6,點(diǎn)P為平行四邊形ABCD邊

上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足△BBC是直角三角形，則8P的長度是

【答案】3或36或先

2

【知識(shí)點(diǎn)】利用平行四邊形的性質(zhì)求解、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，分NBPC=90。和NBCP=9O。兩種

情況畫出圖形解答即可求解，運(yùn)用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：回四邊形ABCD是平行四邊形，

0AD/7BC,

EIZBAC+ZB=180o,BC=AD=6,AB=CD=3,

回/區(qū)4c=120°,

0ZB=18OO-12O°=6O°,

(1)當(dāng)N3PC=90。時(shí),

①作于M,如圖1所示，則/AMB=NAWC=90。,

國4=60°,

0ZBAM=3O°,

39

BC-BM=6——=-,

22

0AB2+AC2=32+(3A/3J"=36,BC2=62=36,

AB2+AC2=BC2,

EIVABC為直角三角形，ABAC=90°,

團(tuán)此時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)A重合,

團(tuán)此時(shí)8P=AB=3；

②當(dāng)CP=CD=4B=3時(shí)，如圖2,BP=^BC2-CP2=^62-32=343：

(2)當(dāng)/8CP=90。時(shí)，如圖3,CP=AM=—

2

回BP=JBC*CP23M

2

綜上，3尸的長度是3或或獨(dú)

2

故答案為：3或3g或血.

2

圖1圖2圖3

【點(diǎn)睛】

例6.（2024?江西吉安?三模）如圖，在VA3C中，AB=AC,ZB=30°,BC=9,D為AC上一點(diǎn)，AD=2DC,

P為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，3尸的長為.

【答案】3或6或7

【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)綜合、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、等腰三角形的性質(zhì)和判定、含30度角的直角三

角形

【分析】分血￡>=90。，ZAPD=90°,NAD尸=90。三種情況計(jì)算即可.

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，正確分

類，靈活應(yīng)用相似和三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】團(tuán)在VABC中，AB=AC,ZB=30°,BC=9,

0ZC=ZB=3O°,ZBAC=120°,

過點(diǎn)A作于點(diǎn)M,

^AB=AC,4=30°,BC=9,

0AD=2Z)C,

團(tuán)旬=26，DC=V3.

①如圖1,當(dāng)"40=90。時(shí),

則NBA尸=30°,

0ZBAP=ZB,

SAP^BP.

在RtAAPC中,

ZC=30°,

SPC=2AP,

@BC=BP+PC=3BP,

0BP=3

②如圖2,當(dāng)NAPD=90。時(shí)，分別過點(diǎn)A,。作2C的垂線，垂足分別為，F(xiàn),

A

2

IBA￡=ABsin30o=—,DF=DCsin30°=—,CF=￡>Ccos30°=-.

222

設(shè)石尸=尤，貝iJPB=CE—EP—CF=3—x.

^ZEAP=90-ZEPA=ZFPD,ZAEP=ZPFD=90°,

團(tuán)ZXAPE^Z^PDF,

AEPE

團(tuán)-------，

PFDF

2%

0-------~~r，

3-xv3

g

整理得尤2-3x+—=0,

4

3

解得玉=%2=5，

3

團(tuán)石尸=一，

2

回BP=EP+BE=6；

③如圖3,當(dāng)/ADP=90。時(shí),

在Rt。尸C中，ZC=30°,

0BP=BC—PC=7.

綜上所述，當(dāng)△APD為直角三角形時(shí)，3P的長為3或6或7.

例7.（2023?江西?中考真題）如圖，在ABCD中，ZB=60°,BC=2AB,將48繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a

（0。<&<360。）得至UAP,連接尸C,PD.當(dāng)△PCD為直角三角形時(shí)，旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為.

【答案】90?；?70?；?80。

【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定和性質(zhì)、利用平行四邊形的性質(zhì)求解、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度、根據(jù)

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解

【分析】連接AC,根據(jù)已知條件可得N54C=90。，進(jìn)而分類討論即可求解.

【詳解】解：連接AC,取的中點(diǎn)E,連接AE,如圖所示，

D

團(tuán)在「ABC。中，ZB=60°,BC=2AB,

BBE=CE=-BC=AB,

2

團(tuán)_ABE是等邊三角形，

^ZBAE=ZAEB=6Q°,AE=BE,

0AE=EC

回ZEAC=NECA=-ZAEB=30°,

2

國NBAC=900

回AC_LCD,

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，止匕時(shí)NB4P=NB4C=90。，則旋轉(zhuǎn)角。的度數(shù)為90。,

當(dāng)點(diǎn)月在C4的延長線上時(shí)，如圖所示，則。=360。-90。=270。

當(dāng)尸在B4的延長線上時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角。的度數(shù)為180。，如圖所示,

⑦PA=PB=CD,PB//CD,

團(tuán)四邊形PACD是平行四邊形，

^AC±AB

團(tuán)四邊形尸ACQ是矩形，

^\ZPDC=90°

即△PDC是直角三角形,

綜上所述，旋轉(zhuǎn)角。的度數(shù)為90?；?70?；?80。

故答案為：90?；?70?；?80°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例8.（2024?江西景德鎮(zhèn)?二模）在VABC中，ZC=90°,ZA=35。，點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，將02繞著點(diǎn)。向

三角形外部旋轉(zhuǎn)a角時(shí)（0°<￡<90。），得到。尸，當(dāng)△ACP恰為軸對(duì)稱圖形時(shí)，a的值為

【答案】70?；?5?；?0。

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、等邊對(duì)等角、全等的性質(zhì)和SSS綜合（SSS）、直角三角形的兩個(gè)銳角互

余

【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，分三種情形討論①當(dāng)

AC=AP時(shí)，②當(dāng)PC=PA時(shí)，③當(dāng)C4=C尸時(shí)，分別利用全等三角形的性質(zhì)計(jì)算即可.解題的關(guān)鍵是學(xué)

會(huì)分類討論的思想思考問題.

【詳解】解：在中，SZACB=90°,N54c=35。，點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，

團(tuán)OC=OA=OB,

團(tuán)ZOAC=ZACO=35°,ZCOB=70°,ZAOC=110°,

①如圖，當(dāng)AC=AP時(shí),

OA=OA

在△AOC和4Aop中，＜AC=AP,

OC=OP

EIZ\AO&Z\AOP,

^ZAOC=ZAOP=UO°,

^a=ZPOB=10°.

②如圖，當(dāng)PC=R4時(shí),

同理可證OPA^OPC

0ZPOA=ZPOC=1(360°-ZAOC)=125°

Ela=ZPOB=Z.POC-ZCOB=55°.

③如圖中，當(dāng)C4=C尸時(shí),

同理可證一CQ4咨COB,

ZCOP=ZAOC=110°,

0a=ZPOB=NPOC-ZCOB=40°,

故答案為：70?；?5?；?0。.

習(xí)題練模型口

一、填空題

1.（2024?江西吉安,模擬預(yù)測(cè)）已知，正六邊形A3CDEF的邊長為2,點(diǎn)尸在它的邊上，當(dāng)4ABp為等腰三

角形時(shí)，AP的長為.

【答案】2或2壞或加

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、用勾股定理解三角形、正多邊形和圓的綜合、解直角三角形的相關(guān)

計(jì)算

【分析】根據(jù)題意，分三種情況討論：①當(dāng)=時(shí)，ABP為等腰二角形；②當(dāng)=3尸時(shí)，ABP為

等腰三角形，③當(dāng)AP=3P時(shí)，.尸為等腰三角形，分別求解即可.

【詳解】解：?正六邊形戶的邊長為2,

（6-2）x180°

AB=2,ZABC=---------------=120°,

6

①當(dāng)AB=AP時(shí),_ABP為等腰三角形,

:.MC=COS30°-BC=?X2=6,

2

:.AP=2也;

③當(dāng)AP=3尸時(shí)，為等腰三角形，連接8。，過點(diǎn)P作PNLAB,

由②可知BO=AC=26，NEDC=120。,ZBDC=30°,

ZEDB=ZEDC-ZBDC=90°,

同理？ABD90?,

PN±AB,

.1四邊形PD8N為矩形，

PN=BD=2百，

..APB為等腰三角形，

：.AN=BN=-x2=l,

2

AP=yjAN2+PN2=Jl2+(2網(wǎng)=岳,

綜上所述AP的長為2或2括或.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，勾股定理，多邊形內(nèi)

角和，解決本題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì).

3

2.（2024?江西贛州?二模）在Rt^ABC中，已知NC=90。，AB=10,cosB=g，點(diǎn)/在邊AB上，點(diǎn)N在

邊3C上，且4〃=&V,連接"N,當(dāng)zBMN為等腰三角形時(shí)，AM=.

【答案】5或S或行

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算

【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形，分三種情況結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和解直角三

角形討論求解即可.

【詳解】解：當(dāng)=時(shí)，如圖1,

H

圖I

^AM=BN,

^BM=AM，

：.AM=-AB=5；

2

當(dāng)=時(shí)，如圖2,作人位_L3C,則有=-BN=-AM,

22

3

且cos3=g,

圖2

1…

BE3art—AM,公

即/3,

W-5=

10-AM-M

解得：AM=—;

解得：AM=—.

綜上所述，答案為：5或號(hào)或

3.（22-23九年級(jí)上?江西九江,期末）正方形ABC￡＞的邊長為3,點(diǎn)P、。在正方形不同的邊上與點(diǎn)A構(gòu)成等

腰三角形，若等腰△AP。的底邊長為2萬，則等腰AAP。的腰長是.

【答案】2或癡或VTT

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、用勾股定理解三角形、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長、根據(jù)正方

形的性質(zhì)求線段長

［分析］分三種情況進(jìn)行討論，當(dāng)尸、。分別在AD、上，AP=AQ,當(dāng)P、。分別在CD,BDh,AP=AQ,

當(dāng)AP=PQ,點(diǎn)P在C。上，點(diǎn)。在48上，分別畫出圖形，根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：當(dāng)P、。分別在AO、上，AP=AQ,zSAP。為等腰宜角三角形，如圖所示:

回PQ=272,

當(dāng)P、。分別在8、AD上，AP=AQ,如圖所示:

團(tuán)四邊形ABCD為正方形，

國

AB=AC=BD=CD=3,ZB=ZC=90°f

團(tuán)Rt.ABQ^Rt.ACP,

回BQ=CP,

@BD—BQ=CD—CP,即。尸=OQ,

團(tuán)VQPQ為等腰直角三角形，

團(tuán)產(chǎn)。=2應(yīng),

回￡＞尸=￡＞。=華=^^=2,

V2V2

團(tuán)BQ=3-2=1,

回此時(shí)腰長為AQ=JAB?+BQ?=A/32+12=屈;

當(dāng)AP=PQ,點(diǎn)。在C￡）上，點(diǎn)。在A8上，過點(diǎn)尸作尸于點(diǎn)如圖所示:

QAP=PQ,PMLAB,AQ=2后,

SAM=^AQ=>/2,

^\ZAMP=ZCAM=ZC=90°,

團(tuán)四邊形AMPC為矩形，

^MP=AC=3,

^AP=^AM2+MP2=+32=A/T1.

綜上分析可知：等腰的腰長是2或炳或舊.

故答案為：2或J記或舊.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì).

4.（2023?江西新余?一模）在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=i2,D、E分別是邊BC、AB1.

的動(dòng)點(diǎn)?將VBDE沿直線OE翻折，使點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'恰好落在邊AC上?若是等腰三角形，則的

長是.

【答案】6或6拒-6或0

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理與折疊問題、折疊問題

【分析】分三種情況討論：當(dāng)=時(shí)，△AEB'是等腰三角形；當(dāng)=時(shí)，△A￡B'是等腰三角形；

當(dāng)AE=5右時(shí)，△AEB'是等腰三角形，分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可得到C8

的值.

【詳解】解：:NC=90。，ZA=30°,AB=6=12,

.?.4=60。，BC=6,

分三種情況討論：

①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)C重合時(shí)，NB=NCB'E=60°,

ZA=30°,

：.ZAEB'=30°,

..ZA=ZA￡B'，

:.AB'=EB',即△AES'是等腰三角形，

此時(shí)，CB'=BC=6；

②如圖所示，當(dāng)=時(shí)，是等腰三角形，

__2^彳

CB,

:.ZAB'E=15°,

由折疊可得，ZDB'E=ZABC=60°,

:.ZDB'C=45°,

X-.ZC=90°,

DC?是等腰直角三角形，

設(shè)CB'=x=OC,貝=6-

Rt、r）C￡中，x2+x2=（6-x）2,

解得玉=6A/2—6,x2=—6>/2-6（舍去），

:.CB'^6y/2-6;

③如圖所示，當(dāng)點(diǎn)B'與點(diǎn)C重合時(shí)，/B=ZDCE=60。,

J

:.ZEB'A=30°=ZA,

：.AE=B'E,即△AEB'是等腰三角形，

此時(shí)CB'=O,

綜上所述，當(dāng)△A￡B'是等腰三角形時(shí)，C&的值是6或60-6或0.

故答案為：6或60-6或0.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題，等腰三角形的性質(zhì)，解一元二次方程以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決

問題的關(guān)鍵是依據(jù)△A￡B'是等腰三角形，畫出圖形進(jìn)行分類討論，解題時(shí)注意方程思想的運(yùn)用.

5.（2024?江西吉安?一模）如圖，在矩形ABC。中，AB=2,BC=3,點(diǎn)E,點(diǎn)尸分別在AB,8C上，

AE=BE=BF,若尸為矩形邊上一點(diǎn)，當(dāng)△EFP為直角三角形時(shí)，斜邊長為

【答案】2或&或而

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、用勾股定理解三角形、根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.分三種情況討論，利用矩形

的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理求解即可.

【詳解】解：回矩形ABC。中，AB=2,BC=3,

SAB=CD=2,BC=AD=3,

團(tuán)AE=BE=BF,

^AE=BE=\,CF=3-l=2=CD,

ElZkBEF是等腰直角三角形，EF=RBE?+BF?=0

顯然點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，△EFP為直角三角形，

此時(shí)斜邊長為所=應(yīng)；

當(dāng)點(diǎn)E為頂點(diǎn)時(shí)，為直角三角形，如圖，

回ZAEP=180°-45°-90°=45°,

回△AEP是等腰直角三角形，且AE=AP=1,

團(tuán)PE=jAE2+A尸2=0，

團(tuán)斜邊長為PF=yjPE1+EF2=2；

當(dāng)點(diǎn)尸為頂點(diǎn)時(shí)，為直角三角形，如圖,

0ZPFG=180°-45°-90°=45°,

過點(diǎn)尸作PGLBC于點(diǎn)G,

0FGP是等腰直角三角形，

團(tuán)/G=PG=2,此時(shí)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合，點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，

^PF=yjFG2+PG2=272>

團(tuán)斜邊長為PE=y/PF2+EF2=回；

綜上，斜邊長為2或a或加，

故答案為：2或6,或可.

6.（2024?江西?二模）如圖，已知正六邊形ABCD跖的邊長為6,連接AE,AD,以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AF所在

直線為V軸建立平面直角坐標(biāo)系，P是射線AO上的點(diǎn)，若AAE尸是等腰三角形，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)可能

【答案】（36,3）或（9,3g）或（96,9）

【知識(shí)點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形、等腰三角形的性質(zhì)和判定、正多邊形和圓的綜合、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、解直角三角形、等腰三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形，分三種情

況：當(dāng)AP=EP時(shí)；當(dāng)AP=A￡=66時(shí)；當(dāng)AE=EP=6?時(shí)；分別作出圖形，利用等腰三角形的性質(zhì)、

解直角三角形，求解即可得出答案，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，作尸OLAE于。，

正六邊形ABCDEF的邊長為6,

：.AF=EF=6,ZAFE=120°,ZE4D=60°,

ZFAE=NFEA=的-4莊=3Qo,

2

:.AO=AF-cos30°=6x—=3y/3,ZEAD=ZFAD-ZFAE=30°,

2

FO-LAE,

:.AE=2AO=6y/3,

△收是等腰三角形,

回如圖，當(dāng)AP=EP時(shí)，則NPEA=NE4尸=30。=/區(qū)4區(qū),

AF//EG,

延長EP交x軸于G,則EGJ_x軸,

AG=-AE=3s/3,

2

ZPAG=90°-ZFAD=30°,

PG=AGtan30。=3岔x[=3,故此時(shí)尸3）；

如圖，當(dāng)AP=AE=66時(shí)，作軸于H,

則AH=APcos30o=66xt=9,PH=AP-sin30°=673x1=3>/3,故此時(shí)P（9,34）；

如圖，當(dāng)AE=EP=6石時(shí)，作EN_LAP于N,軸于V,

貝UA尸=2A7V=2XAE-COS30°=2><6A/5XL=18,

2

.?.AM=APcos30o=18x#=96，PM=APsin30°=18x1=9,故此時(shí)P（9右,9）；

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)可能是（36,3）或（9,3』）或（9后,9）,

故答案為：卜血,3）或（9,3石）或（94,9）.

7.（2023?江西九江?二模）如圖，在等腰VABC中，AB=AC=2,ZB=30°,。是線段3c上一動(dòng)點(diǎn)，沿直

線AD將.ADB折疊得到VADE,連接EC.當(dāng)DEC是以DE為直角邊的直角三角形時(shí)，則8。的長

為.

【答案】石+1或百-1或亞

3

【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定和性質(zhì)、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查了解直角三角形、勾股定理、等邊三角形的判定及性質(zhì)，分類討論：①當(dāng)NCDE=90。時(shí)，

當(dāng)點(diǎn)E在BC的下方時(shí)和當(dāng)點(diǎn)E在BC的上方時(shí)，作利用勾股定理可求得3。，②當(dāng)NCEE>=90。

時(shí)，利用解直角三角形即可求解，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：①當(dāng)NCDE=90。時(shí)，

如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在BC的下方時(shí)，作AHL3C,交BC于點(diǎn)H.

ADE由，ADB折疊而來，且DEJ_3C,

ZADE=（360°-90°）-2=135°,\1ADH?ADE?HDE135?90?45?.

在RtZXAB/7中，ZB=30°,AB=2,

:.AH=1,BH=6

在RtAD8中，

NADa=45。，AH=1,

：.DH=1,貝?。?=;

圖1

如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在BC的上方時(shí)，作AHL3C,交BC于點(diǎn)H.

同理，可求得A〃=l,BH=日AH=DH=1,

BD=A/3+1；

圖2

②如圖3,當(dāng)NCED=90。時(shí)，

NDEC=90°,ZA￡D=30°,

ZAEC=NDEC-ZAED=60°.

AE=AC,

：.AEC是等邊三角形，

..ZE4c=60。.

ABAD=NDAE=-{ABAC-ZEAC)=30°,

2

ZDAC=ZDAE+ZEAC=90°.

在RtZMC中，ZACD=30°,AC=2,

3A。=」=巫,

cosZACDcos3003

.?.BD=BC-CD=2V3--=—.

33

綜上所述，8。的長為g+1或代-1或更.

3

圖3

8.（2024?江西上饒,一模）如圖，在三角形紙片A3C中，ZC=90°,ZB=60°,BC=6,將三角形紙片折疊,

使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)3'落在AC上，折痕與3CAB分別相交于點(diǎn)E、F,當(dāng)VAFB'為等腰三角形時(shí)，班的長

為.

【答案】3或6或12-6后

【知識(shí)點(diǎn)】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)和判定、用勾股定理解三角形、折疊問題

【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及折疊性質(zhì)，三角形內(nèi)角和性

質(zhì)、外角性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.先得出

NA=30。，AB=2BC=12,再進(jìn)行分類討論，進(jìn)行作圖，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形

的性質(zhì)，以及折疊性質(zhì)，三角形內(nèi)角和性質(zhì)、外角性質(zhì)，逐一分析解答，

【詳解】解：回"=90。"=60。,=6,

0ZA=3O°,AB=2BC=12,

如圖：3'尸=入尸時(shí)

A

團(tuán)折疊

團(tuán)BF=FR=AF,

0F是直角三角形ABC的斜邊上的中點(diǎn),

SBF=FB'=AF=6,

此時(shí)點(diǎn)？與C重合，

回折疊，

BBE=EC=-CB=3；

2

如圖：B'R=AB'時(shí)

A

回折疊，

SBF=FB',BE=B'E,ZFB'E=ZFBE=60°,

0ZA=30°,B'F=AB',

團(tuán)NAFB'=30。，ZFB'C=6O°,

0ZFB'E=NFB'C=60°,

團(tuán)此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，

即8E=3C=6；

如圖：AF=AB'^

A

SZA^30°,AF=AB',

0ZAB'F=NAF2'=gx（180°-30°）=75°,

回折疊，

0EB=EB,ZFB'E=ZFBE=60°,

貝ljZEB'C=180°-75°-60°=45°,

0ZC=9O°,

團(tuán)△ECB'是等腰直角三角形，

^CE=B'C,

^EB'=y/CE2+EB'2>

0EB'=gCE,CE=^=—EB',

V22

B'E+CE=BE+CE=6,

即B'E+—B'E=6,

2

解得B'E=12-6也,

綜上：當(dāng)VAFB'為等腰三角形時(shí)，8E的長為3或6或12-60，

故答案為：3或6或12-6應(yīng)，

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及折疊性質(zhì)，三角形內(nèi)角和性

質(zhì)、外角性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

9.（2023?江蘇泰州?中考真題）如圖，VABC中，AB=AC,ZA=30°,射線CP從射線C4開始繞點(diǎn)C逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)a角（0。<a<75°）,與射線48相交于點(diǎn)D,將ACD沿射線CP翻折至△ACD處，射線CA1與射線AB

相交于點(diǎn)E.若一ADE是等腰三角形，則的度數(shù)為.

c

【答案】22.5°或45。或67.5°

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、三角形折疊中的角度問題、等邊對(duì)等角

【分析】分情況討論，禾傭折疊的性質(zhì)知/A=/A'=30。，ZACP^ZACP^a,再畫出圖形，利用三角形

的外角性質(zhì)列式計(jì)算即可求解.

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)知NA=NA'=30。，ZACP^ZACP'^a,

當(dāng)AD=DE時(shí)，/DE4'=ZA'=30。,

由三角形的外角性質(zhì)得NDE4'=ZA+ZACD+ZACD,即30。=30°+2a,

此情況不存在;

當(dāng)AD=A'E時(shí)，

N4=30°,NDEA'=ZEDA'=1(180°-30°)=75°,

由三角形的外角性質(zhì)得75。=30。+2二,

解得a=22.5。；

當(dāng)石4'=DE時(shí)，/EZM=NA'=30。,

c

由三角形的外角性質(zhì)得120。=30。+20,

解得夕=45。；

當(dāng)A'￡>=AZ時(shí)，ZADE=ZAED=15°,

0ZAZ)C=ZA,DC=-(18OO-15O)=82.5°,

0cz=ZACD=180°-30°-82.5°=67.5°；

綜上，/tz的度數(shù)為22.5。或45。或67.5。.

故答案為：22.5。或45?；?7.5。.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的

關(guān)鍵.

10.(2023?江西吉安?模擬預(yù)測(cè))如圖，ZAOB=30°,點(diǎn)尸在Q4上，且。尸=若，點(diǎn)C在。4上，點(diǎn)。在

上，若△PCD是以PC為直角邊的等腰直角三角形，則CD的長為.

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的相關(guān)計(jì)算、等腰三角形的性質(zhì)和判定、含30度角的直角三角形

【分析】分為直角邊和斜邊結(jié)合C的位置四種情況，利用解直角三角形的知識(shí)求解即可.

【詳解】解：如圖1，

B

D

圖1

回△PCD是以PC為直角邊的等腰直角三角形,

0ZDPC=90°,PD=PC,

在Rt0尸￡)中，ZAOB=30°,OP=^3,

[WP=OPtan30°=l,

?CD=柩PD=0，

如圖2,

圖2

回△PCD是以PC為直角邊的等腰直角三角形,

回/OCP=90°,PC=CD,

在Rt^OCD中，ZAOB=30°,CD=tan30°-OC,

設(shè)CD—a,則OC=a+#),

3+用

0tan3O°=—==解得a=--------

OCa+上32

回C￡>=2^

2

如圖3,

圖3

回是以尸c為直角邊的等腰直角三角形,

0ZDPC=90°,PD=PC,

在Rt中，ZAOB=30°,。尸=百，

0Z5P=tan3OoOP=l,

0CD=>/2;

如圖4,

回是以尸C為直角邊的等腰直角三角形，

0ZDCP=90°,CD=PC,

在Rt/XOCD中，［2/408=3。。，

0CD=tan30°-OC,

設(shè)C￡）=b,則。C=回,則6=￥（岔一b）,

解得。=匕3

2

團(tuán)CD=二史，

2

綜上所述，CD的長為四或與8或土三，

故答案為：血或犯詼或心后.

22

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和解直角三角形，全面分類、熟練掌握三角函數(shù)的知識(shí)是解題

的關(guān)鍵.

11.（2023?江西南昌?二模）如圖所示，。的直徑AB=4,弦AC=2,點(diǎn)E是直線AB上的一動(dòng)點(diǎn)，直線CE

【答案】1或1+省或6-1

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的判定