利用導(dǎo)函數(shù)研究恒（能）成立問題（5題型+高分技法+限時提升練）-2025年天津高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專練（解析版）

重難點(diǎn)01利用導(dǎo)函數(shù)研究恒（能）成立問題

明考情?知方向

三年考情分析2025年考向預(yù)測

2024年，第20題第（2）問，考察不等式恒成立求利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒（能）成立問題，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

的重點(diǎn)，常涉及函數(shù)單調(diào)性，最值，常使用變量分離

參數(shù)

法，分類討論法，今后也是天津高考重點(diǎn)考點(diǎn)。

重難點(diǎn)題型解讀

題型1不等式恒成立問題（變量分離法）

用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，

另一端是變量表達(dá)式的不等式；

步驟：

①分類參數(shù)（注意分類參數(shù)時自變量X的取值范圍是否影響不等式的方向）

②轉(zhuǎn)化：若a>/（x））對恒成立，則只需。>/（X）max；若“</（x）對恒成立，則只需

a</（X）mm.

③求最值.

1.（2023?天津紅橋?一模）己知函數(shù)/（x）=也-h

X

⑴當(dāng)左=。時，求曲線y=/（x）在點(diǎn)（e"（e））處的切線方程：

⑵若/（x）W0恒成立，求實(shí)數(shù)％的取值范圍；

【答案】⑴y」

e

(2)k^-

e

【知識點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)、利用導(dǎo)數(shù)證明不等

式、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案；

(2)利用分離參數(shù)法，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即構(gòu)造函數(shù)g(x)=g,利用導(dǎo)數(shù)求出其

X

最大值，即可求得答案；

【詳解】⑴當(dāng)左=0時，函數(shù)/")=皿的定義域?yàn)?0,+8),尸(同=上羋，/(e)=-,

xxe

曲線y=/(x)在點(diǎn)(e,/(e))處的切線方程的斜率k=/'(e)=0,

則切線方程為y=1；

e

(2)若2(x)?0恒成立,則1竽,xe(O,+s)恒成立,

、幾/、In%/八、“、1-Inx

%60

設(shè)g("=:，(<+°0)>g⑺=尤2，

由g'(x)>0,得0<x<e,由g'(x)<0,得x>e,

函數(shù)g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+e)上單調(diào)遞減.

2.(2023?天津河西?模擬預(yù)測)已知/(x)=d—4x—61nx.

⑴求〃x)在(I"⑴)處的切線方程；

(2)對Vx?l,+s),有礦3-〃尤)>/+6(1-￡|-12恒成立，求％的最大整數(shù)解；

【答案】(l)〉=-8x+5

(2)3

【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、求在曲線

上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出/⑴，/⑴即可得到切線方程；

(2)礦⑴-/(尤)>尤2+641」112等價于4<五半=〃(初而，求導(dǎo)分析g)的單調(diào)性，即可求出左的

\XJx—1

最大整數(shù)解；

【詳解】(1)/(x)=f_4x—61nx的導(dǎo)數(shù)為：

/(無)=2x-4~~,

所以/")=-8,/(1)=-3,

所以〃尤)在(1,“功處的切線方程為：

y+3=-8(x-l),即y=-8x+5；

(2)由已知可得礦(x)—/+64[1—1—I2’

(x+xln尤、

等價于———，

IX-1人ni

可令〃3=安Y+Y1TIY，如if()\=下%—2士—In廣x

iflm(x)=x—2-lnj;,mr(x)=l-—>0,

所以m(x)為(1,+00)上的遞增函數(shù)，

且加(3)=1-ln3<0,m(4)=2-ln4>0,

所以九?3,4),m(xo)=O,即％—2—ln%o=。，

所以,(%)在(1,%)上遞減，在(%0，長°)上遞增，

且h()

=M=%：：[,。=xoe3,4,

所以上的最大整數(shù)解為3；

3.(2017?安徽?三模)已知函數(shù)/(x)=xlnx

⑴求的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若對任意xe(O,+8),小)”+3成立,求實(shí)數(shù)機(jī)的最大值.

【答案】⑴單調(diào)增區(qū)間是+s],單調(diào)減區(qū)間是[。,：)，極小值無極大值

(2)4

【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)、求已知函數(shù)的極值、利用

導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)

【分析】(1)求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值的定義即可求出極值；

(2)對任意xe(O,+回，仆)”+:一3成立,即相《獨(dú)受蟲恒成立，構(gòu)造函數(shù)

g(x)=2xlnx+x2+3(x>0),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g(x)的最小值即可得解.

【詳解】（1）由/（x）=xlnx（x>0）,得/（x）=l+lnx,

令/'（無）>0,得無>1；令/'（尤）<0,得0<*<4，

ee

“X）的單調(diào)增區(qū)間是‘,+口，單調(diào)減區(qū)間是（0,）,

故了（無）在工=工處有極小值=無極大值；

e\e/e

（2）由〃到”+:一3及/⑺71nx,得相<勁丫了±2恒成立，

令g（司=2xln丁+3（尤>①，貝|j⑺=2X+；3,

由g'（x）>0=x>l,由g'（x）<0=>0<x<l,

所以g。）在（0,1）上是減函數(shù)，在。,”）上是增函數(shù)，

所以g（xL=g（l）=4，

因此4,所以m的最大值是4.

4.（2023?天津河北?一模）已知函數(shù)/（x）=x-lnx-2.

⑴求曲線y=〃”在點(diǎn)（L〃l））處的切線方程；

⑵討論函數(shù)〃x）的單調(diào)性；

（3）若對任意的xe（L+°o）,都有xlnx+x>Z（xT）成立，求整數(shù)上的最大值.

【答案】（i）y=T；

⑵遞減區(qū)間是（0,1）,遞增區(qū)間是（1,+8）;

（3）3.

【知識點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、由導(dǎo)數(shù)求函

數(shù)的最值（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題

【分析】（1）求出函數(shù)/（彳）的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程作答.

（2）利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的單調(diào)區(qū)間作答.

（3）等價變形給定的不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值情況作答.

【詳解】⑴函數(shù)/Xx）=無一Inx—2,求導(dǎo)得八尤）=1二，則-⑴=0,而/⑴=一1,

所以曲線>=于3在點(diǎn)（1,/（1））處的切線方程是y=-L

⑵函數(shù)f(x)=x-lnx-2的定義域是(0,+8),/(x)=l--,

X

當(dāng)xw（0,l）時，r（x）<0,函數(shù)/（X）單調(diào)遞減,當(dāng)無e（l,+w）時,f'（x）>0,函數(shù)單調(diào)遞增,

所以函數(shù)AW的遞減區(qū)間是（0,1）,遞增區(qū)間是（L+8）.

/八v/iT/Y、Tx\nx+x

(3)Vxe(1,+oo),x\nx+x>k(x-l)<=>k<--------

x-1

(2+Inx)(x-l)-(xlnx+x)_x-lnx-2

令8(無)=6\1>1,求導(dǎo)得g'(x)

x-1(if—

由(2)知，由x)=x-lnx-2在(1,+8)上單調(diào)遞增,/(3)=l-ln3<0,/(4)=2(l-ln2)>0,

因此存在唯一％e（3,4）,使得/（而）=0,即升一111%-2=00111%=%-2,

當(dāng)尤€(1,不)時，f{x)<0,即g'(x)<0,當(dāng)xe(Xo，+co)時，/(x)>0,即g'(x)>。，

因此函數(shù)g（x）在（1,與）上單調(diào)遞減，在（%,+⑹上單調(diào)遞增,

x0Inx0+x0_x0(x0-2)+x0

于是g(x)min=g(x°)==xo,則左<加e(3,4),

%-1

所以整數(shù)上的最大值是3.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)

性、最值是解決問題的關(guān)鍵.

5.（2022?天津?模擬預(yù)測）5知函數(shù)〃x）=l+ln,+l）（

x>0).

⑴試判斷函數(shù)在（0,+s）上單調(diào)性并證明你的結(jié)論;

（2）若+對于Vxe（O,-）恒成立，求正整數(shù)%的最大值;

⑶求證：(1+1X2)(1+2X3)(1+3X4)[l+?(n+l)]>e2B-3

【答案】（1）函數(shù)/（X）在（0,+8）上為減函數(shù)，證明見解析

（2）3

（3）證明見解析

【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得出結(jié)論;

（2）由/（力＞白恒成立，即。＜x+l+11）ln（x+l）恒成立,構(gòu)造函數(shù)〃（x）=x+l+（x［）ln（x+l）,其

中x＞0,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)M》）的最小值，即可得出整數(shù)％的最大值;

(3)由(2)可得出ln(x+l)>2---,令x=〃("+l),可得出

?+1)]>2-31.J_,利用裂

nn+1

項(xiàng)法結(jié)合指數(shù)與對數(shù)互化可證得結(jié)論成立.

【詳解】（1）解：函數(shù)/（X）在（0,+8）上為減函數(shù)，證明如下:

-J-ln(l+x)

因?yàn)椤▁)J+ln?+x)(x>0),所以廣(x)

又因?yàn)閤>0,所以￡^>0,ln(l+x)>0,所以尸(x)<0,

即函數(shù)〃x)在(0,+功上為減函數(shù).

(2)解：由恒成立，即2<"+l+(x+l)ln("+l)恒成立,

X+1X

x+l+(x+l)ln(x+l)

即左<

x

-imin

設(shè)Mx)「+l+(x+l)g+l),其中空0,所以/x)「T”(x+l),

XX

1Y

令g(x)=x—l-ln(x+l),則g<x)=l--——-=-->0,即g(尤)在(0,+8)為增函數(shù),

JiI1人IL

又g⑵=1-ln3<0,g(3)=2-21n2>0,

即存在唯一的實(shí)數(shù)ae(2,3),滿足g(a)=a-l—ln(a+l)=0,

當(dāng)尤>。時，g(x)>0,h'(x)>0,當(dāng)0<x<a時,g(x)<0,hr(x)<0,

即函數(shù)”(x)在(0,4)為減函數(shù)，在(。,+00)為增函數(shù)，

r?/、/、a+1+(〃+1)In(〃+1L)a+1+(a+1L)(〃-1)/、

貝I]01m==---------——」——=------——=a+1e(3,4),

故整數(shù)上的最大值為3.

⑶證明：由⑵知，匕貝口心+】)>煞=2-其中x>°‘

3

令龍+則In「1+〃(〃+1)]>2——--------——

JL、〃f+1)+1

貝I]ln(l+lx2)+ln(l+2x3)+ln(l+3x4)++ln[l+?(?+1)]

>2-3M-1j+2-

=2n-3\l—>2n—3,

In+1

故(1+1X2)(1+2X3)(1+3X4)+

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒(能)成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解:

(1)VxeD,m<f{x)<^m<f{x)^a-

(2)VxeD,：心

(3)ae。,加1rax；

(4)Bx&D,m>f{x)^m>f{x)^.

題型2不等式恒成立問題(分類討論法)

;如果無法分離參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以

1考慮二次項(xiàng)系數(shù)與判別式的方法(a>0,A<0或a<0,A<0)求解.

1.72024天津?模擬預(yù)測)已知函及元￡=sin尤+ln(l+xj-礫

⑴求f(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)若恒成立，求。的值;

【答案】(1"=(2-a)x

(2)2

【知識點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問

題

【分析】(1)求出切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率，即可得到切線方程；

(2)根據(jù)題意求出極大值點(diǎn)，進(jìn)而求出。的值，然后利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立；

【詳解】(1)/(x)=sinx+ln(l+x)-ax,有f(0)=0,

因?yàn)?'(無)=COSXH------a,所以/'(0)=2—a,

1+X

則曲線/(X)在點(diǎn)(0,7(0))處的切線方程為y=(2-a)x.

(2)因?yàn)?(0)=0"(x)40,/(元)的定義域?yàn)?T,+e),

所以x=0是/(X)的極大值點(diǎn)，因?yàn)?'(x)=cosx+J——a,

所以7(0)=2-a=0,所以〃=2,

需驗(yàn)證，當(dāng)。=2時，=sin%+ln(l+%)—2元〈。恒成立即可,

因?yàn)?'(%)=cosxH------2

令0(x)=r(x)=cosxH------2,貝|o'(x)=_sinx_

所以，(%)>f(。)=0,/(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增,f(x)</(0)=0,

②當(dāng)X￡[0,+a))時，/(x)<0,則/。)在[0,+")上單調(diào)遞減，所以/(%)?/(0)0,

綜上，〃=2符合題意.

所以/(%)工0恒成立時，。=2.

2.(2024?天津?二模)已知函數(shù)〃x)=asinx-ln(l+x).

⑴當(dāng)。=2時，求曲線y=/(x)在x=0處的切線方程；

⑵若對Vx?TO］時，f(x)>0,求正實(shí)數(shù)。的最大值；

【答案】⑴y=x

(2)1

【知識點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究方程

的根、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(含參)

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解即可；(2)兩次求導(dǎo)后，分和。>1兩種情況，結(jié)合隱零

點(diǎn)問題，分析的單調(diào)性，確定使得了(無"0對Vxe(-l,0卜恒成立時正實(shí)數(shù)4的值即可；

【詳解】(1)當(dāng)a=2時，/(x)=2sinx-ln(l+x),(無)=2cosx———,

所以/(0)=0,/(0)=1,

則曲線在x=o處的切線方程為y=x

(2)由題意知，/'(%)=〃cosx--------,令/2(%)=〃cosx--------,

l+x1+X

所以〃'(x)=-asin尤+7r

。+尤)

因?yàn)閤e(-l,0］,所以sinx<0,而。為正實(shí)數(shù),

1

所以〃(幻=-asinx+>。在x?T,0］上恒成立,

(1+尤)2

所以函數(shù)抓x)=/z(x)在區(qū)間(-1,0］上單調(diào)遞增，且八0)=a-l,

①當(dāng)0<aV1時，f\x)V尸(0)<。在區(qū)間(一1,0］上恒成立，

所以函數(shù)f(x)在(-1,0］上單調(diào)遞減，止匕時f(x)2/(0)=0,符合題意;

②當(dāng)a>l時，/(0)=。-1>0,/r(—-1)=<7cos(--l)-tz<=0,

aa

由零點(diǎn)存在定理知，3xoeQ-l,OL使得/'(修)=0,

所以函數(shù)/(x)在(-1,%)上單調(diào)遞減，在5,0)上單調(diào)遞增,

則當(dāng)xe(%0)時,</(x)</(0)=0,不符合題意，

綜上，正實(shí)數(shù)。的最大值為1

3.(2024?天津?二模)已知函數(shù)/'(x)=e"-依，aeR.

⑴若曲線y=〃外在尤=1處的切線的斜率為2,求。的值;

(2)當(dāng)a=0時,證明：Vxe(O,l),/(2x)<--;

L-X

⑶若/(x)+sinx>1在區(qū)間(0,+巧上恒成立，求a的取值范圍.

【答案】(l)a=e-2

(2)證明見解析

(3)A<2

【知識點(diǎn)】已知切線(斜率)求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題

【分析】(1)對于/(x),求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；

(2)將問題化為證明2x<ln(l+x)-ln(l-x)恒成立，構(gòu)造函數(shù)g(x)=ln(l-x)-ln(l+x)+2x,利用導(dǎo)數(shù)即

可得證.

(3)構(gòu)造函數(shù)0(x)=e=ar+sinx,將問題轉(zhuǎn)化為°(x)>1恒成立，利用導(dǎo)數(shù)分類討論aW2與a>2兩種情

況，從而得解.

【詳解】(1)由〃x)=e*-czx,可知尸(x)=e*-a,

因?yàn)閥=/■(x)在(1，〃功處的切線斜率為2,

所以/'(l)=e—a=2,所以，a=e—2.

1_i_Y

(2)證明：當(dāng)a=0時，/(2x)=e2x,要證〃2x)<——,

1-X

即證e2'<手，兩邊取對數(shù)得，lne2x<ln—,

1-x1-x

即證2%<ln(l+x)-In(l-x),

4^g(x)=ln(l-x)-ln(l+x)+2x,只需證g(x)<0即可.

g(%)=---------+2=7----w----r<0.

1-x1+x+

所以，g(%)在X￡(o,1)上單調(diào)遞減.

所以，g(%)vg(o)=。成立,

所以Vxe(O,l),/(2x)<-^.

1—X

(3)若〃%)+sin)>1在區(qū)間(0,+功上恒成立,

即e"-辦+sin%>1在區(qū)間(。,+功上恒成立.

令夕(x)=e，-av+sinx.貝ij(pf^=ex-a+cosx,

令m(x)=e，-a+cosx,z?/(x)=e"-sinx,因?yàn)楣?gt;0,

所以e">l,所以e“>sin%,加(x)=e"—sinx>0

所以m(x)在x￡(0,-+W)時單調(diào)遞增.

可知加(%)>鞏0)=2—a.

當(dāng)aW2時，機(jī)(x)>0,即d(x)>0,所以°(x)在x?0,+oo)時單調(diào)遞增.

所以°(x)>0(0)=1成立.

當(dāng)a>2時,m(0j=2—a<0,

當(dāng)xf+00時，m(x)>0,

所以叫)e(0,+?>)使得m(x0)=0.

當(dāng)xe(O,Xo)時，m(x)<0,即“(x)<0,所以夕(%)此時單調(diào)遞減；

當(dāng)時，機(jī)(x)>0,即d⑺>0,所以0(X)此時單調(diào)遞增；

所以，火%焉=0(%)<°(0)=1不成立，舍去.

綜上，a<2.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用分離參數(shù)法確定不等式〃x,/l)N0(xeD,X為參數(shù))恒成立問題中參數(shù)范圍的

步驟：

1.將參數(shù)與變量分離，不等式化為f^>f2(尤)或工(44人(力的形式；

2.求人(x)在xeD時的最大值或者最小值；

3.解不等式f^>f2(XL或工(另〈人(耳.，得到2的取值范圍.

4.(2024高三下?天津?專題練習(xí))已知函數(shù)21nx.

(1)當(dāng)a=1時，求>=/(尤)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程；

⑵若對Vxe[l,3],都有f(x)41恒成立，求。的取值范圍；

【答案】⑴y=i

⑵，W

【知識點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問

題

【分析】(1)當(dāng)。=1時，/(X)=%2-21WV,求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得。=(⑴，由兩點(diǎn)式可得切線

的方程.

(2)問題可轉(zhuǎn)化為Ax)1mx對/(x)求導(dǎo)，分析單調(diào)性，求出/(x)得最大值，使得它小于等于;，進(jìn)而

可得a的取值范圍.

【詳解】(1)當(dāng)。=1時，/(X)=%2-21WV,所以r(X)=2X，,得至必=尸(1)=2-2=0,

X

又/(I)=1,所以/(X)在(1,/⑴)處的切線方程為y=l.

(2)由題意知，當(dāng)xe[l,3]時,/(x)TO<i又小)=2依-2=迎上。，

4xx

①當(dāng)aWO時，r(x)<0恒成立，即“X)在［1,3］上單調(diào)遞減,

所以了⑴呷=/(1)=〃4；恒成立，所以a。。,

②當(dāng)a>0時，由/'(x)>0,得至由/(元)<0,得到0<殳<下，

所以f(X)在區(qū)間(。，3)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(；，+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)AVI,即時，f(x)在區(qū)間［1,3］上單調(diào)遞增，

+21n3

所以了(幻.=〃3)=9.-2山3螳，jr;4;1(舍去)，

4-9

當(dāng)白23,即時，f(x)在［1,3］上單調(diào)遞減，/?_=/(D=?<^,所以0<a《,

當(dāng)1<小<3,即時，/(x)在區(qū)間口，3］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［；，3］上單調(diào)遞增，

97a7a

得到嗎,所以也4

所以

綜上，a的取值范圍為.

4

5.(2023?天津河西?二模)已知函數(shù)/(x)=Q-lnx,aeR.

⑴若a=L求函數(shù)的最小值及取得最小值時的x值；

e

(2)求證:lnx<ex-l；

(3)若函數(shù)/(x)Wxe*-(a+l)lnx對xe(0,+co)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴X=e時，/(x)min=/(e)=0；

(2)證明見解析；

(3)［0,e］

【知識點(diǎn)】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)最值即可；

(2)結(jié)合(1)將問題轉(zhuǎn)化為證明'x<e'-l,x>0,進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)證明即可；

e

(3)由題知xe"-a(x+lnx)2。對x￡(0,+oo)恒成立，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)/z(x)=xe"-a(x+lnx),x>。，結(jié)合函數(shù)

性質(zhì)，分當(dāng)。=0,avO,。>0時三種情況討論求解即可.

【詳解】(1)解：當(dāng)。=工時，，(x)=」無一In無，定義域?yàn)?0,+8),

ee

所以尸(x)=1-工=匕，令尸(》)=0得％=0,

exex

所以,當(dāng)x?0,e)時,r(x)<0,〃x)單調(diào)遞減；當(dāng)x?e,0)時,/(左)>0,〃力單調(diào)遞增,

所以，函數(shù)/(X)在x=e處取得最小值，/(x)min=/(e)=0.

(2)解：由(1)知，當(dāng)。=—時，/(%)0,即一無Nlnx,

ee

所以，要證lnx<e"-1成立，只需證L<e尤-l,x>0,

e

^g(x)=ex--x-l,x>0,則/(x)=eX—L

ee

所以，當(dāng)時，/(%)=/—：>0恒成立，

所以，函數(shù)g(%)=e，-L九-1,%>0為單調(diào)遞增函數(shù)，

e

所以，g(x)>g(O)=。，即e，_5_l〉0,

所以L<e”-l,x>0,

e

所以lnx<e"-l成立

(3)解：因?yàn)楹瘮?shù)一(a+l)lnx對無￡(0,+oo)恒成立

所以年，一〃(％+山工)之0對%￡(0,+00)恒成立，

令/z(x)=xe*-tz(x+lnx),x>0,貝!J"(%)=(x+l)ex-a(l+—)=(x+l)(ex-—),

當(dāng)a=0時，hXx)=(x+T)ex>0,"⑺在(0,+a)上單調(diào)遞增,

所以，由/i(x)=%e"可得/z(x)>。，即滿足xe"—a(x+lnx)20對無?0,+oo)恒成立；

當(dāng)avO時，則-4>0,當(dāng)無)>0,網(wǎng)%)在(0,+功上單調(diào)遞增,

因?yàn)楫?dāng)犬趨近于0+時，M%)趨近于負(fù)無窮，不成立，故不滿足題意；

當(dāng)〃>0時，令"(%)=。得〃=%9”

令心)=1-三，=e'+/>0恒成立，故心)在(0,+巧上單調(diào)遞增，

因?yàn)楫?dāng)x趨近于正無窮時，%(x)趨近于正無窮，當(dāng)尤趨近于。時，A(x)趨近于負(fù)無窮，

所以叫e(0,+oo),使得〃(r)=0,a=xoe*,

所以，當(dāng)尤e(O,x(,)時,h'(x)<0,—單調(diào)遞減,當(dāng)xe?,+oo)時,h'(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增,

所以，只需以力二=用(飛)=書局-a(%+ln%)=%e%(1-毛-In5"。即可；

所以，1-%-ln尤oNO,l>x0+lnx0,

因?yàn)閤()=aef,所以In%=lna-x(),

所以Inxo+x。=lnaVl=lne,解得0<aVe,

所以，ae(O,e],

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[O,e]

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問解題的關(guān)鍵在于討論當(dāng)。>0時，結(jié)合函數(shù)上("=1-0的性質(zhì)得

X

3xoe(O,+<?),使得〃(x)=O,a=%e&,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解人⑺1nhi=/i(豌)NO.

題型3不等式能成立(有解)問題(變量分離法)

用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù),

另一端是變量表達(dá)式的不等式；

步驟：

①分類參數(shù)(注意分類參數(shù)時自變量X的取值范圍是否影響不等式的方向)

②轉(zhuǎn)化：Bx^D,使得a>/(x)能成立oa〉/(x)mm；

3xeD,使得a<f(x)能成立Oa</(x)max.

③求最值.

1.(2021?天津?qū)幒?一模)已知函數(shù)〃x)=x|x—4―Inx,aeR.

⑴當(dāng)a=l時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)。=0時，證明-(M-/(x)winx；

2

(3)若關(guān)于x的不等式〃力W0有解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴/⑺在[L+⑹單調(diào)遞增，在(0,1)單調(diào)遞減;

(2)證明見解析

⑶[1,+CO)

【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題

【分析】(1)把函數(shù)寫成分段函數(shù)，再判斷每一段函數(shù)的單調(diào)性；

(2)要證明的不等式化簡成要證明f+lnx-Zx+l2。成立，求導(dǎo)判斷單調(diào)性求最小值.

⑶分離參量轉(zhuǎn)化求-分別求導(dǎo)判斷單調(diào)性，求最值即可.

x2—x—]nx,x>l

【詳解】(1)當(dāng)〃=1時,求函數(shù)〃%)=%卜-1|-lnx=

x-x2-\nx,O<x<l

當(dāng)時，r(x)n」=24"1=(2x+l)(.”l)*

XXX

所以/(X)在[1,E)單調(diào)遞增；

當(dāng)0<x<l時，/'(x)=l-2x_'=x-2.-l=(x-l)-2/<0

XXX

所以“X)在(0,1)單調(diào)遞減；

綜上函數(shù)/(x)在[L")單調(diào)遞增，在(0,1)單調(diào)遞減；

(2)當(dāng)。=0時/(xJuxW—lnxuf-lnxG〉。)，f\x)=lx-—

要證/'(x)T('winx,只需證_f(x)-/(x)W21nx,即證明V+inx-2x+!》0

2%

F(x)=x2+\nx-2x+—,則F,(x\=2x+--2—-j_=+X_2.2_]=(2x-

%JXfff

當(dāng)％￡(0,1)時，方'(x)<0,當(dāng)％￡(1,4W)時，F(xiàn)f(x)>0

所以尸(x)在(0,1)單調(diào)遞減，在(l,y)單調(diào)遞增

所以網(wǎng)力2*1)=0,即

(3)由題意，不等式〃x)WO有解，即不等式卜-。區(qū)當(dāng)在(0,+“)上有解

等價于x-電二WaWx+也■在(0,+8)上有解，則(x-史m)+@)]

%兀IXzmin\*/max

設(shè)g(x)=x-些，g〈x)=￡±竽二1,當(dāng)xe(o,l)時，g,x)<0,g(尤)單調(diào)遞減;

XX

當(dāng)xe(l,+co)時,g，(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

所以gfXLin=g6=L所以aNl.

設(shè)〃(x)=x+處，/?外二七1；a1,

XX

設(shè)夕(x)=Y—inx+i(%>0),(pr(x}-2x——=——-,由“(x)=N—=0,得l=.所以夕(%)在0,-^—

xxx212

單調(diào)遞減，在芋，+8單調(diào)遞增.

所以?(耳?！逗啵?gt;0,則〃(x)>0,所以Mx)=x+/在(0,+8)上單調(diào)遞增

當(dāng)x->+8時，〃(x)_>+oo,所以aeR

綜上，實(shí)數(shù)”的取值范圍是

2.(24-25高三上?天津西青?期中)已知函數(shù)7'。)=111%+2依(℃1<).

(1)當(dāng)a=e時，求函數(shù)/(x)在(L/⑴)處切線方程；

⑵求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑶若g(x)=/(x)-2/，不等式g(x)2-1在［L+8)上存在實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴(l+2e)x-y-l=0；

(2)答案見解析；

(3)a>—.

【知識點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題、含參分類討論求函數(shù)的單

調(diào)區(qū)間

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；

(2)對函數(shù)求導(dǎo)，討論參數(shù)的符號研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(3)問題化為〃2m%十zx1在［1,+a))上存在實(shí)數(shù)解,利用導(dǎo)數(shù)求右側(cè)表達(dá)式在［1,+8)上最小值，即可

lx

得范圍.

【詳解】(1)當(dāng)。=e時，/(x)=lnx+2ex(x>0),貝iJ/'(%)=L+2e,

x

所以/(l)=2e,r(D=l+2e,故在(1"⑴)處切線方程為y-2e=(l+2e)(x—1),

所以(l+2e)x-y-1=0.

(2)由題設(shè)/'(］)=,+2々，且x>0,

x

當(dāng)a20時,Ax)>0,即的遞增區(qū)間為(0,+8),無遞減區(qū)間；

當(dāng)avO時，0<%<----有/(%)>0,x>----有了'(X)v0，

2a2a

11

此時7。)的遞增區(qū)間為(0,-丁)，遞減區(qū)間為(-丁,+8).

(3)原條件等價于g(x)=inx-2x2+2ax2-1在［1,-Hx))上存在實(shí)數(shù)解.

所以a?Tn-在口+8)上存在實(shí)數(shù)解，

2x

令〃(x)=Tnx+21-1,則x^L+^-［-lnx+2^-l)2八出》，

2xh(x)=--------；----------------=——；—

在[1,E)上2V+lnx>0,得「3>0,故為(尤)在口,口)上單調(diào)遞增，

所以M尤)的最小值為⑴=!,故此;時不等式g(x)11在口,包)上存在實(shí)數(shù)解.

3.(2024?浙江金華?三模)已知函數(shù)/(x)=ox+xlnx在X=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))處取得極值.

⑴求實(shí)數(shù)。的值；

⑵若不等式上恒成立，求上的范圍.

xvx)

【答案】⑴。=-2

⑵左<一1.

【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)、利用導(dǎo)數(shù)研究能成

立問題、根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)

【分析】⑴求導(dǎo)，利用析(e)=a+2=0,求出答案；

(2)參變分離得到左<-2x+：lnx對任意％e(0,+8)恒成立,令g(x)=2x+nx,求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)

X+lX+1

性和最值，得到左V-1.

【詳解】(1)v/(x)=ox+xlnx,

/r(x)=a+lnx+l,

???函數(shù)/(%)=冰+%lnx在點(diǎn)子二e處取得極值，

/[e)=a+2=0,

a=-2,經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，

〃=—2；

(2)*.*/(x)=-2x+xlnx,

??.6<以到恒成立，

X+1

口一一2x+%lnxr_Ly./C-

即k<---------對任思％6(0,+8)恒成乂.

x+1

令g(小言詈，則，⑺(-2+lnx+l)(x+l)-(-2x+xlnx)lnx+x-1

(x+以(尤+1)2.

設(shè)/i(x)=lnx+x—l(x>0),易得h(%)是增函數(shù)，

而九(1)=0,

時，/i(x)>0,即g'(x)>0,

0<x<l時，/i(x)<0,即g'(%)<0,

???g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，(0,1)上單調(diào)遞減,

???g（xL.=g（l）=T，

4.(2024高二上?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=lnx-gd.

⑴求函數(shù)在g，2上的最大值和最小值；

⑵若不等式/(另>(2-。)/有解，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【答案】(1)最大值為-;，最小值為ln2-2.

(2)f|-T：'+GO\

[22e)

【知識點(diǎn)】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題

【分析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性即可求得最值；

Iny1

(2)代入函數(shù)，參變分離，即可得到新的函數(shù)，2-a<^--,構(gòu)造函數(shù)求最值即可.

x22

11-X2

【詳解】(1)易得(3=；-尤=匕工">0),

令/<x)=0,貝ijx=l或x=—l(舍去).

當(dāng)時，尸(%)>0；當(dāng)1<%(2時，f'(%)<0,

所以函數(shù)〃x)在；，“上單調(diào)遞增，在2]上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=l時，/(x)取得極大值，也是最大值，最大值為了⑴=-).

X/f^=ln1-1=-ln2-1,/(2)=ln2-2,

JZooJ

所以當(dāng)x=2時，/(x)取得最小值，最小值為/(2)=ln2-2.

故〃x)在If上的最大值為:，最小值為ln2-2.

(2)易知“力的定義域?yàn)?0,+8),

故不等式/(x)>(2—a)/可化為2-a<―5-――.

記g(x)=羋一;,則原不等式有解可轉(zhuǎn)化為2—a<g(x)1mx,

易得g'(x)=T^,令F(x)=0,則無=五，

所以當(dāng)0〈尤〈五時，g'(x)>0：當(dāng)芯>五時，g'(x)<0,

故g(4

于是--《，解得.

2e222e

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為^-｝，+°〕.

122eJ

5.(22-23高三上?天津?yàn)I海新?期末)已知函數(shù)/(x)=xlnx,g(x)=(。+1)龍-。.

⑴當(dāng)a=1時,求函數(shù)Kx)=/(x)-g(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若存在xe[l,e]時，使依-3成立，求a的取值范圍.

【答案】⑴遞減區(qū)間為(0,e),遞增區(qū)間為(e,+s)；

3

(2)Q?2e+—；

【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)、利用導(dǎo)數(shù)研究不等

式恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題

【分析】(1)把。=1代入，求出函數(shù)九(X),再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(2)根據(jù)給定伯，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)歹(無)=21nx+x+：,尤再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即得.

【詳解】(1)當(dāng)。=1時，函數(shù)皿》=尤111_￥-2_￥+1的定義域?yàn)?0,+00),求導(dǎo)得Y(x)=lnx-1,

由/(無)<0,得0<%<e；由(無)>0,得x>e,

所以函數(shù)/7(x)的遞減區(qū)間為(0,e),遞增區(qū)間為(e,+8).

3

(2)依題意，2/(x)>-X2+tzx-3<^>2xlnx>-x2+ax-3,貝!JaW21nJV+X+—,

則9(x)=+］_==(J_吁+3W0,函數(shù)/(x)在［l,e］上遞增，F(xiàn)(x)max=F(e)=2+e+-,

3

所以a?2e+—.

題型4不等式能成立(有解)問題(分類討論法)

\0G

如果無法分離參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以

考慮二次項(xiàng)系數(shù)與判別式的方法(a>0,A<0或a<0,A<0)求解.

1.(24-25局三上?天津?yàn)I海新?期中)設(shè)函數(shù)/(x)=}+alnx.

(1)若。＜0,求/(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；

⑵在(1)的條件下，若/(尤)存在零點(diǎn)，則討論在區(qū)間但上零點(diǎn)個數(shù)；

(3)若存在421,使得〃尤)_32-尤＜三("1),求a的取值范圍.

2a-1

【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間是(0,二)，單調(diào)遞增區(qū)間是(G,+8),最小值—°+[n(-。)

(2)僅有一個零點(diǎn)

⑶(-血(1,+s)

【知識點(diǎn)】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究能

成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)

【分析】(1)對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)通分化簡，求出廣(力=。解得x=c,在列出了(X)與廣⑺在區(qū)間(o,+s)上

的表格，即可得到答案.

(2)由(1)知，“X)在區(qū)間(0,+8)上的最小值為F+?n(F),因?yàn)橛?玲存在零點(diǎn)，所以一°十乎(-a)?。,

從而aW-e.在對。進(jìn)行分類討論，再利用函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論.

(3)構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)--x=alnx+—/-x,在對g(x)進(jìn)行求導(dǎo)，在對。進(jìn)行分情況討論，即

可得的得到答案.

2

【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),r(x)=x+0=土上4,a＜0

XX

由/'(x)=0解得x=G.

/(尤)與/'(尤)在區(qū)間(0,+8)上的情況如下:

X(0,y1-a)+8)

廣⑺-0+

—a+aln(—cC)

/■(X)/

2

所以，“X)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,G),單調(diào)遞增區(qū)間是(G,+8);

/(X)在X="處取得極小值-a+[n(-a),無極大值，

所以/⑺的最小值為/(G)=+.

(2)由(1)知，/(X)在區(qū)間(。,+8)上的最小值為一a+1n(-a).

因?yàn)?(彳)存在零點(diǎn)，所以f+'(一")40,即in(-a)21,從而aW—e.

當(dāng)a=-e時，/(x)在區(qū)間(0,遂)上單調(diào)遞減，且/(八)=0,

所以x=充是/(x)在區(qū)間(0,加上的唯一零點(diǎn).

當(dāng)a<-e時，/(x)在區(qū)間(0,五)上單調(diào)遞減，且/⑴=g>0,

于(金)=審<0，所以/(左)在區(qū)間(0,五］上僅有一個零點(diǎn).

綜上可知，若/(力存在零點(diǎn)，則/(尤)在區(qū)間(0,五］上僅有一個零點(diǎn).

(3)設(shè)g(無)=f{x)——x2—x=alnx-i----x1—x,g，(x)=—F(1—a)x—\=----1x------|(x—1).

22xx\1-aJ

①若。>1,則g6=F-i