2024-2025學(xué)年天津市和平區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)模擬試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年天津市和平區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)模擬試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）下列是幾個(gè)城市地鐵標(biāo)志，其中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）不透明的袋子中裝有1個(gè)紅球和3個(gè)黃球，這兩種球除顏色外無(wú)其他差別，從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，摸到黃球的概率是（）A．13 B．12 C．233．（3分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，且分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，若ADABA．ADABB．AEECC．S△ADED．DE4．（3分）已知A（2，y1），B（﹣3，y2），C（﹣5，y3）三個(gè)點(diǎn)都在反比例函數(shù)y=?k2+1x的圖象上，比較y1，y2A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y15．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD＝70°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．110° B．120° C．130° D．140°6．（3分）如圖，點(diǎn)M是反比例函數(shù)y=4x（x＜0）圖象上一點(diǎn)，MN⊥y軸于點(diǎn)N．若P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△A．2 B．4 C．6 D．無(wú)法確定7．（3分）二次函數(shù)y＝（x+2m）2﹣1，當(dāng)x≤5時(shí)y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是（）A．m＜?52 B．m＞?52 C．8．（3分）如圖，在長(zhǎng)70m，寬40m的矩形花園中，欲修寬度相等的觀賞路（陰影部分），要使觀賞路面積占總面積的110．則路寬xmA．（40﹣x）（70﹣x）＝280 B．（40﹣2x）（70﹣3x）＝280 C．（40﹣x）（70﹣x）＝2520 D．（40﹣2x）（70﹣3x）＝25209．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC和△DEF是位似三角形，且CO＝2FO，若點(diǎn)E（2，﹣1），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（4，﹣2） B．（4，2） C．（﹣4，2） D．（﹣4，﹣2）10．（3分）把二次函數(shù)y＝3x2的圖象向下平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，所得到的圖象對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式是（）A．y＝3（x+1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2 C．y＝3（x﹣1）2﹣2 D．y＝3（x﹣1）2+211．（3分）如圖，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與AB交于點(diǎn)D，再分別以A、D為圓心，大于12AD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)M、N，作直線MN，分別交AC、AB于點(diǎn)E、F，則AEA．52 B．3 C．22 12．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示．下列結(jié)論：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③m為任意實(shí)數(shù)，則a+b＞am2+bm；④若ax12+bx1=ax22+bx2A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）13．（3分）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，OA＝3，則正六邊形ABCDEF的面積為．14．（3分）一個(gè)不透明的口袋中裝有7個(gè)紅球，4個(gè)黃球，這些球除了顏色外無(wú)其它差別．從袋中隨機(jī)摸取一個(gè)小球，它是黃球的概率為．15．（3分）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2+3，當(dāng)﹣1＜x＜2時(shí)，函數(shù)y的取值范圍為．16．（3分）如圖，將Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到△AB'C'，點(diǎn)C恰好落在AB上，連接BB'，若∠BB'C'＝30°，則α＝．17．（3分）如圖，⊙O的半徑是2，AB是⊙O的弦，點(diǎn)C在⊙O外，連接AC，BC，OC．若∠B＝30°，∠ACB＝90°，則OC長(zhǎng)的最大值為．18．（3分）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D都在格點(diǎn)上．（Ⅰ）AC的長(zhǎng)是；（Ⅱ）將四邊形ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕EF交BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q，得五邊形ABEFQ．請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺在網(wǎng)格中畫(huà)出折疊后的五邊形，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)E，F(xiàn)，Q的位置是如何找到的．三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或推理過(guò)程）．19．已知關(guān)于x的方程x2﹣ax+a﹣1＝0的根為x1、x2．（1）當(dāng)a＝4時(shí)，求x1+x2+x1?x2的值；（2）若方程的一個(gè)根x1＝6，求a的值與另一個(gè)根x2．20．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，過(guò)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)OE至點(diǎn)D，連接CD，且CD是⊙O的切線．（1）求證：∠D＝∠A；（2）若AB＝CD＝2，求AC的長(zhǎng)．21．如圖1，AB為⊙O直徑，CB與⊙O相切于點(diǎn)B，D為⊙O上一點(diǎn)，連接AD、OC，若AD∥OC．（1）求證：CD為⊙O的切線；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AB交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BD交OC于點(diǎn)F，若AB＝3AE＝12，求BF的長(zhǎng)．22．如圖，在△ABC中，D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，連結(jié)ED，并延長(zhǎng)ED至點(diǎn)F，連結(jié)AF，使AF∥BC，且AF2＝FD×FE．（1）求證：∠FAD＝∠FEA．（2）若AB＝20，AE＝13，求EC的長(zhǎng)．23．小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對(duì)此展開(kāi)研究：測(cè)得噴水頭P距地面0.4m，水柱在距噴水頭P水平距離4m處達(dá)到最高，最高點(diǎn)距地面2m；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．（1）求拋物線的表達(dá)式．（2）身高1.6m的小紅在水柱下方走動(dòng)，當(dāng)她的頭發(fā)不接觸到水柱時(shí)，求她在x軸上的橫坐標(biāo)x的取值范圍．24．在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBC是矩形，點(diǎn)O（0，0）、點(diǎn)A（6，0）、點(diǎn)B（0，8）以點(diǎn)A為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形AOBC，得到矩形ADEF，點(diǎn)O、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D、E、F，記旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°）．（1）如圖①，當(dāng)α＝30°時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E落在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)D落在線段OC上時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）．25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．（1）該拋物線的表達(dá)式為；（2）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接PC．當(dāng)∠PCB＝∠ACB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，在對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)Q，連接PQ，將線段PQ繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)P恰好落在拋物線上？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2024-2025學(xué)年天津市和平區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)模擬試卷參考答案與試題解析題號(hào)1234567891011答案BDDCDADDACA題號(hào)12答案B一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）下列是幾個(gè)城市地鐵標(biāo)志，其中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：選項(xiàng)A、C、D均不能找到這樣的一條直線，使這個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，選項(xiàng)B能找到這樣的一條直線，使這個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱(chēng)圖形．故選：B．2．（3分）不透明的袋子中裝有1個(gè)紅球和3個(gè)黃球，這兩種球除顏色外無(wú)其他差別，從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，摸到黃球的概率是（）A．13 B．12 C．23【解答】解：由題意可得：從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)，摸到黃球的概率為31+3故選：D．3．（3分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，且分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，若ADABA．ADABB．AEECC．S△ADED．DE【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=AEDEBC=AD∴AEEC=ADS△ADE∴S△ADES四邊形DBCE故A、B、C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：D．4．（3分）已知A（2，y1），B（﹣3，y2），C（﹣5，y3）三個(gè)點(diǎn)都在反比例函數(shù)y=?k2+1x的圖象上，比較y1，y2A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1【解答】解：∵反比例函數(shù)y=?kk2+1＞0，∴﹣（k2+1）＜0，∴此函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于二、四象限．∴反比例函數(shù)在第二、四象限各個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大，且第二象限內(nèi)，函數(shù)值都大于0，第四象限內(nèi)函數(shù)值都小于0，∵﹣3＞﹣5，﹣3＜0，2＞0，∵點(diǎn)B（﹣3，y2），C（﹣5，y3）位于第二象限，點(diǎn)A（2，y1）位于第四象限，∴y1＜y3＜y2．故選：C．5．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD＝70°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．110° B．120° C．130° D．140°【解答】解：∵AD∥BC，∴∠B＝180°﹣∠BAD＝110°，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣110°＝70°，由圓周角定理得∠AOC＝2∠D＝140°，故選：D．6．（3分）如圖，點(diǎn)M是反比例函數(shù)y=4x（x＜0）圖象上一點(diǎn)，MN⊥y軸于點(diǎn)N．若P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△A．2 B．4 C．6 D．無(wú)法確定【解答】解：設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（a，b），∵點(diǎn)M在反比例函數(shù)圖象上，∴ab＝4，∴S△MNP=12MN?（yP﹣yM）=12×（﹣a）（﹣故選：A．7．（3分）二次函數(shù)y＝（x+2m）2﹣1，當(dāng)x≤5時(shí)y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是（）A．m＜?52 B．m＞?52 C．【解答】解：拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝﹣2m，∵當(dāng)x≤5時(shí)y隨x的增大而減小，∴﹣2m≥5，∴m≤?5故選：D．8．（3分）如圖，在長(zhǎng)70m，寬40m的矩形花園中，欲修寬度相等的觀賞路（陰影部分），要使觀賞路面積占總面積的110．則路寬xmA．（40﹣x）（70﹣x）＝280 B．（40﹣2x）（70﹣3x）＝280 C．（40﹣x）（70﹣x）＝2520 D．（40﹣2x）（70﹣3x）＝2520【解答】解：設(shè)路寬為xm，由題意，得：(40?2x)(70?3x)=70×40×(1?1即：（40﹣2x）（70﹣3x）＝2520，故選：D．9．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC和△DEF是位似三角形，且CO＝2FO，若點(diǎn)E（2，﹣1），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（4，﹣2） B．（4，2） C．（﹣4，2） D．（﹣4，﹣2）【解答】解：由題意可得：位似比為2：1，點(diǎn)E（2，﹣1），∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，﹣2），故選：A．10．（3分）把二次函數(shù)y＝3x2的圖象向下平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，所得到的圖象對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式是（）A．y＝3（x+1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2 C．y＝3（x﹣1）2﹣2 D．y＝3（x﹣1）2+2【解答】解：根據(jù)平移法則可得y＝3（x﹣1）2﹣2．故選：C．11．（3分）如圖，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與AB交于點(diǎn)D，再分別以A、D為圓心，大于12AD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)M、N，作直線MN，分別交AC、AB于點(diǎn)E、F，則AEA．52 B．3 C．22 【解答】解：由題意得，BC＝BD＝6，直線MN為線段AD的垂直平分線，∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，∴AB=6∴AD＝AB﹣BD＝4，∴AF=12∵∠EAF＝∠BAC，∠AFE＝∠ACB＝90°，∴△AEF∽△ABC，∴AEAB即AE10解得AE=5故選：A．12．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示．下列結(jié)論：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③m為任意實(shí)數(shù)，則a+b＞am2+bm；④若ax12+bx1=ax22+bx2A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：①圖象開(kāi)口向下，與y軸交于正半軸，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，∴a＜0，c＞0，?b∴b＞0，∴abc＜0，故①正確；②由條件可知二次函數(shù)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（﹣1，0）與（0，0）之間，∴a﹣b+c＜0，故②正確；③由條件可知x＝1時(shí)，函數(shù)最大值是a+b+c；∴m為任意實(shí)數(shù)，則a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥am2+bm，故③錯(cuò)誤；④∵ax∴ax∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，∵x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，∵x1+x2=?∴x1+x2＝2，故④錯(cuò)誤；故正確的有2個(gè)，故選：B．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）13．（3分）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，OA＝3，則正六邊形ABCDEF的面積為2723【解答】解：過(guò)F點(diǎn)作FH⊥AO于點(diǎn)H，連接OA，OF，如圖：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠AOF=360°∵OA＝3，OA＝OF，∴AF＝OA＝3，△AOF是等邊三角形，∴AH=OH=1∴FH=O∴等邊△AOF的面積為：S=1∴正六邊形ABCDEF的面積為：6S=6×9故答案為：27214．（3分）一個(gè)不透明的口袋中裝有7個(gè)紅球，4個(gè)黃球，這些球除了顏色外無(wú)其它差別．從袋中隨機(jī)摸取一個(gè)小球，它是黃球的概率為411【解答】解：∵一個(gè)不透明的口袋中裝有7個(gè)紅球，4個(gè)黃球，∴口袋中共有7+4＝11個(gè)球，∴從袋中隨機(jī)摸取一個(gè)小球，它是黃球的概率為411故答案為：41115．（3分）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2+3，當(dāng)﹣1＜x＜2時(shí)，函數(shù)y的取值范圍為3≤y＜11．【解答】解：∵關(guān)于x的二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2+3，圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1，∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有最小值3，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝11，∴當(dāng)﹣1＜x＜2時(shí)，函數(shù)y的取值范圍為3≤y＜11．故答案為：3≤y＜11．16．（3分）如圖，將Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到△AB'C'，點(diǎn)C恰好落在AB上，連接BB'，若∠BB'C'＝30°，則α＝60°．【解答】解：∵將Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到△AB'C'，∴AB＝AB'，∴∠ABB'＝∠BB'A，∵∠BB'C'＝30°，∠BC'B'＝90°，∴∠ABB'＝∠BB'A＝90°﹣30°＝60°，∴∠AB'C'＝60°﹣30°＝30°，∴∠BAB'＝90°﹣30°＝60°，即α＝60°，故答案為：60°．17．（3分）如圖，⊙O的半徑是2，AB是⊙O的弦，點(diǎn)C在⊙O外，連接AC，BC，OC．若∠B＝30°，∠ACB＝90°，則OC長(zhǎng)的最大值為1+3【解答】解：如圖所示，當(dāng)BC與⊙O交于點(diǎn)D時(shí)，連接OA，OD，AD，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AD于E，連接CE，∵∠ABC＝30°，∴∠AOD＝2∠ABC＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等邊三角形，∴AD＝OA＝2，∵OE⊥AD，∴E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝1，∴OE=O∴∠ACD＝90°，∴CE=1∵OC≤OE+CE，∴當(dāng)C、E、O三點(diǎn)共線，且點(diǎn)E在線段OC上時(shí)，OC有最大值，最大值為1+3如圖所示，當(dāng)直線BC與⊙O交于點(diǎn)D，在優(yōu)弧AD上取一點(diǎn)T，連接AT，DT，連接OA，OD，AD，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AD于E，連接CE，∵∠ABC＝30°，∴∠ABD＝150°，∴∠T＝30°，∴∠AOD＝2∠T＝30°，同理可得CE=1，OE=3則OC＜OE+CE＜3綜上所述，OC得到最大值為1+3故答案為：1+318．（3分）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D都在格點(diǎn)上．（Ⅰ）AC的長(zhǎng)是25；（Ⅱ）將四邊形ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕EF交BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q，得五邊形ABEFQ．請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺在網(wǎng)格中畫(huà)出折疊后的五邊形，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)E，F(xiàn)，Q的位置是如何找到的取格點(diǎn)O，H，M，N，連接HO并延長(zhǎng)交AD，BC于點(diǎn)F，E，連接BN，DM相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)E，F(xiàn)，Q即為所求．【解答】解：（Ⅰ）AC=22+故答案為：25；（Ⅱ）如圖所示，取格點(diǎn)O，H，M，N，連接HO并延長(zhǎng)交AD，BC于點(diǎn)F，E，連接BN，DM相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)E，F(xiàn)，Q即為所求．三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或推理過(guò)程）．19．已知關(guān)于x的方程x2﹣ax+a﹣1＝0的根為x1、x2．（1）當(dāng)a＝4時(shí)，求x1+x2+x1?x2的值；（2）若方程的一個(gè)根x1＝6，求a的值與另一個(gè)根x2．【解答】解：（1）a＝4時(shí)，方程為x2﹣4x+3＝0，∴x1+x2＝4，x1x2＝3，∴x1+x2+x1?x2＝7；（2）∵方程的一個(gè)根x1＝6，∴36﹣6a+a﹣1＝0，∴a＝7，∴方程為x2﹣7a+6＝0，解得x1＝6，x2＝1．∴a＝7，另一個(gè)根為1．20．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，過(guò)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)OE至點(diǎn)D，連接CD，且CD是⊙O的切線．（1）求證：∠D＝∠A；（2）若AB＝CD＝2，求AC的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：⊙O是△ABC的外接圓，CD是⊙O的切線，如圖，連接OC，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝∠ACO+∠DCE＝90°，∵OE⊥AC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)OE至點(diǎn)D，∴∠DEC＝90°，∴∠D+∠DCE＝90°，∴∠D＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠D＝∠A；（2）解：∵AB＝CD＝2，在直角三角形OCD中，OC＝1，由勾股定理得：OD=C∵S△COD=12OC?CD=12∴CE=OC?CD∵OD⊥AC，∴AC＝2CE=421．如圖1，AB為⊙O直徑，CB與⊙O相切于點(diǎn)B，D為⊙O上一點(diǎn)，連接AD、OC，若AD∥OC．（1）求證：CD為⊙O的切線；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AB交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BD交OC于點(diǎn)F，若AB＝3AE＝12，求BF的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接OD，∵CB與⊙O相切于點(diǎn)B，∴OB⊥BC，∵AD∥OC，∴∠A＝∠COB，∠ADO＝∠DOC，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝∠COB＝∠DOC，∴△DOC≌△BOC（SAS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，又OD為⊙O半徑，∴CD為⊙O的切線；（2）解：設(shè)CB＝x，∵AE⊥EB，∴AE為⊙O的切線，∵CD、CB為⊙O的切線，∴ED＝AE＝4，CD＝CB＝x，∠DOC＝∠BCO，∴BD⊥OC，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BC于M，則EM＝12，CM＝x﹣4，∴（4+x）2＝122+（x﹣4）2，解得x＝9，∴CB＝9，∴OC=O∵S△OBC∴BF=OB?BC22．如圖，在△ABC中，D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，連結(jié)ED，并延長(zhǎng)ED至點(diǎn)F，連結(jié)AF，使AF∥BC，且AF2＝FD×FE．（1）求證：∠FAD＝∠FEA．（2）若AB＝20，AE＝13，求EC的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵AF2＝FD×FE，∴AFFD∵∠F＝∠F，∴△AFD∽△EFA．∴∠FAD＝∠FEA．（2）解：∵AF∥BC，∴∠FAD＝∠B．∵∠FAD＝∠FEA．∴∠B＝∠FEA．又∵∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB，∴ADAC∴AD=12AB∵AE＝13，∴1013+EC解得EC=3123．小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對(duì)此展開(kāi)研究：測(cè)得噴水頭P距地面0.4m，水柱在距噴水頭P水平距離4m處達(dá)到最高，最高點(diǎn)距地面2m；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．（1）求拋物線的表達(dá)式．（2）身高1.6m的小紅在水柱下方走動(dòng)，當(dāng)她的頭發(fā)不接觸到水柱時(shí)，求她在x軸上的橫坐標(biāo)x的取值范圍．【解答】解：（1）由題意知，拋物線頂點(diǎn)為（4，2），設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣4）2+2，將（0，0.4）代入得：0.4＝16a+2，解得a=?1∴y=?1∴拋物線的表達(dá)式為y=?1（2）當(dāng)y＝1.6時(shí)，?1解得x＝2或x＝6，結(jié)合拋物線圖象可得，當(dāng)她的頭發(fā)不接觸到水柱時(shí)，她在x軸上的橫坐標(biāo)x的取值范圍為2＜x＜6．24．在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBC是矩形，點(diǎn)O（0，0）、點(diǎn)A（6，0）、點(diǎn)B（0，8）以點(diǎn)A為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形AOBC，得到矩形ADEF，點(diǎn)O、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D、E、F，記旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°）．（1）如圖①，當(dāng)α＝30°時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E落在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)D落在線段OC上時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸于G，如圖①所示：∵點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B（0，8）．∴OA＝6，OB＝8，∵以點(diǎn)A為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形AOBC，得到矩形ADEF，∴AD＝AO＝6，α＝∠OAD＝30°，DE＝OB＝8，在Rt△ADG中，DG=12AD＝3，AG=3DG∴OG＝OA﹣AG＝6﹣33，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6﹣33，3）；（2）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸于G，DH⊥AE于H，如圖②所示：則GA＝DH，HA＝DG，∵DE＝OB＝8，∠ADE＝∠AOB＝90°，∴AE=A∵12AE×DH=12AD∴DH=AD×DE∴OG＝OA﹣GA＝OA﹣DH＝6?245=6∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（65，18（3）連接AE，作EG⊥x軸于G，如圖③所示：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠DAE＝∠AOC，AD＝AO，∴∠AOC＝∠ADO，∴∠DAE＝∠ADO，∴AE∥OC，∴∠GAE＝∠AOD，∴∠DAE＝∠GAE，在△AEG和△AED中，∠AGE=∠ADE=90°∠GAE=∠DAE∴△AEG≌△AED（AAS），∴AG＝AD＝6，EG＝ED＝8，∴OG＝OA+AG＝12，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（12，8）．25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)