山東省德州市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第四次學(xué)情檢測數(shù)學(xué)試題(解析版)_第1頁
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文檔簡介

第頁,共頁第18頁,共18頁2022級高三上學(xué)期第四次學(xué)情檢測數(shù)學(xué)試題一.單選題1.已知集合,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域得到集合B,再由集合的并集運(yùn)算得到結(jié)果.【詳解】由可得,則,又,所以,故選:D.2.已知復(fù)數(shù)且復(fù)數(shù)z是方程的一個(gè)根,則實(shí)數(shù)()A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】將復(fù)數(shù)代入方程,化簡后利用復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)求解即可/【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)且復(fù)數(shù)z是方程的一個(gè)根,所以.即,則故選:B.3.已知拋物線,則拋物線C的準(zhǔn)線方程為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,直接得出準(zhǔn)線方程即可.【詳解】由可得,所以拋物線C的準(zhǔn)線方程為,故選:C4.已知雙曲線的漸近線方程為,則雙曲線的離心率()A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】分焦點(diǎn)在軸、軸上兩種情況討論可得,即可得答案.【詳解】若焦點(diǎn)在軸上,則;焦點(diǎn)在軸上,則.故選:C.5.若,則()A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式、余弦的二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.【詳解】由題意可得,所以,,故選:A6.今年賀歲片,《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》引爆了電影市場,小明和他的同學(xué)一行四人決定去看這三部電影,則恰有兩人看同一部影片的選擇共有()A.9種 B.36種 C.38種 D.45種【答案】B【解析】【分析】先安排2人看同一部影片,再安排剩余2人,利用排列組合知識進(jìn)行求解.【詳解】從4人中選擇2人看同一部影片,再從3部影片中選擇一部安排給這兩人觀看,剩余的2人,2部影片進(jìn)行全排列,故共有種情況.故選:B7.已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和,且,若對任意正整數(shù)n恒成立,則實(shí)數(shù)的最小值為()A.4 B. C.9 D.【答案】D【解析】【分析】利用關(guān)系及等比數(shù)列定義得,將問題化為恒成立,研究右側(cè)數(shù)列的單調(diào)性并求其最大值,即可得答案.【詳解】由,令,解得,當(dāng)時(shí),由,得,即,所以數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,所以,由,即恒成立,令,則,而,所以,即數(shù)列單調(diào)遞減,故,所以,所以的最小值為.故選:D8.在中,角的對邊分別為,若,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由,結(jié)合,由正弦定理可得.最后由,結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】,由正弦定理,則.由余弦定理,.故選:B二.多選題9.已知隨機(jī)變量X,且,則()A. B.若則C.若,則 D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件,利用正態(tài)分布的性質(zhì)、期望及方差的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】由題知,故A正確;,故B正確;,故C錯(cuò)誤;由正態(tài)分布密度曲線關(guān)于對稱,利用對稱性知,,所以,故D正確.故選:ABD.10.有6個(gè)相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中不放回地隨機(jī)取兩次,事件表示“第一次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”,事件表示“第二次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”,事件表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”,則()A.與為互斥事件 B.與相互獨(dú)立C. D.【答案】BD【解析】【分析】由互斥事件、相互獨(dú)立事件的定義判斷AB;利用概率的基本性質(zhì)計(jì)算判斷C;求出條件概率判斷D.【詳解】依題意,不放回的隨機(jī)取兩次,共有種不同結(jié)果,,共個(gè)不同結(jié)果,,共個(gè)不同結(jié)果,,共個(gè)不同結(jié)果,對于A,事件能同時(shí)發(fā)生,如基本事件,與不互斥,A錯(cuò)誤;對于B,,,共6個(gè)不同結(jié)果,,與相互獨(dú)立,B正確;對于C,,共9個(gè)不同結(jié)果,,,C錯(cuò)誤;對于D,由選項(xiàng)B知,,D正確.故選:BD11.已知函數(shù),則()A.當(dāng),時(shí),直線與曲線相切B.當(dāng)時(shí),函數(shù)的減區(qū)間為C.當(dāng)時(shí),若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為D.當(dāng),時(shí),若(其中),有【答案】ACD【解析】【分析】對于A,由切線斜率為1求出切點(diǎn),結(jié)合點(diǎn)斜式即可判斷A;求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)情況即可判斷B;由函數(shù)的單調(diào)性和極值以及零點(diǎn)即可求解判斷C;由函數(shù)的零點(diǎn)情況,結(jié)合和基本不等式即可求解判斷D.【詳解】對于A選項(xiàng),當(dāng),時(shí),,有,若,解得或,由,可得與曲線相切,故A選項(xiàng)正確;對于B選項(xiàng),,當(dāng)時(shí),由,有,故函數(shù)的減區(qū)間為,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;對于C選項(xiàng),當(dāng)時(shí),,所以由B可知函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,又,,極大值,故若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為,故C選項(xiàng)正確;對于D選項(xiàng),當(dāng),時(shí),,由,若(其中),則有,有,可得,有,又由,有,可得,故D選項(xiàng)正確.故選:ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:求證的關(guān)鍵1是先由即結(jié)合立方和公式化簡得到,關(guān)鍵2是利用基本不等式得到關(guān)于的不等關(guān)系得解.三、填空題12.有一組數(shù)據(jù):,且n為這組數(shù)據(jù)的分位數(shù),則的展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)為______.【答案】80【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)定義求出,由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)即可求解.【詳解】將數(shù)據(jù)按從小到大排成一列:,由,可知這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為5,即,所以的展開式中第三項(xiàng)為:,所以的展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)為:80.故答案為:8013.已知圓,直線與圓交于兩點(diǎn),則最小值為______.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn),結(jié)合弦長公式即可求.【詳解】由可得,所以直線恒過定點(diǎn),因?yàn)?,所以在圓內(nèi),由圓可知圓心為,半徑,當(dāng)時(shí),圓心到直線的距離取到最大值,此時(shí)最小,因?yàn)?,所?故答案為:214.已知個(gè)點(diǎn)大致呈線性分布,其中,且數(shù)據(jù)的回歸直線方程為,則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)回歸方程必過樣本中心點(diǎn),即可得到答案.【詳解】回歸直線經(jīng)過,且,代入回歸方程得:,即,所以當(dāng)時(shí),的最小值為.故答案為:.四、解答題15.已知函數(shù),其中為常數(shù),為自然對數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;(2)若在區(qū)間上的最大值為2,求的值.【答案】(1)答案見解析;(2).【解析】【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間;(2)先求得,然后對a進(jìn)行分類討論,研究單調(diào)性及最值求a的值.【小問1詳解】由題設(shè)的定義域?yàn)?,且,則,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】由題設(shè),當(dāng),結(jié)合,易知,所以在上單調(diào)遞增,故無最大值,不符合;當(dāng),且,則時(shí),時(shí),所以在上遞增,在上遞減,則,故,可得.綜上,.16.某高中學(xué)校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況,統(tǒng)計(jì)了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)每周參加體育鍛煉的次數(shù),現(xiàn)隨機(jī)抽取了60名同學(xué)在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù),結(jié)果如下表一周參加體育鍛煉次數(shù)01234567合計(jì)男生人數(shù)1245654330女生人數(shù)4556432130合計(jì)579111086460(1)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的,稱為“經(jīng)常鍛煉”,其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”.請完成以下2×2列聯(lián)表,并依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn),能否有90%的把握認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系;性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常男生

女生

合計(jì)

(2)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”,“極度缺乏鍛煉”會導(dǎo)致肥胖等諸多健康問題,以樣本頻率估計(jì)概率,在全校抽取20名同學(xué),其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為X,求和;(3)若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學(xué)稱為“運(yùn)動愛好者”,為進(jìn)一步了解他們的生活習(xí)慣,在樣本的10名“運(yùn)動愛好者”中,隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談,設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附:參考數(shù)據(jù):0.10000500.0100.0052.7063.8416.6357.879【答案】(1)列聯(lián)表見解析;有90%的把握認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系(2),(3)分布列見解析,【解析】【分析】(1)由60名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表,代入公式可得,再對照臨界值表即可得出結(jié)論;(2)求出隨機(jī)抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率,易得服從二項(xiàng)分布,由二項(xiàng)分布即可得和;(3)依題意可得的所有可能取值為0,1,2,3,利用超幾何分布公式求得概率,進(jìn)而即可得到的分布列和期望值.【小問1詳解】根據(jù)統(tǒng)計(jì)表格數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下:性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常男生72330女生141630合計(jì)213960根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計(jì)算可得,故有90%的把握認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系;【小問2詳解】因?qū)W校總學(xué)生數(shù)遠(yuǎn)大于所抽取學(xué)生數(shù),故近似服從二項(xiàng)分布,易知隨機(jī)抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率,即可得,故,;【小問3詳解】易知10名“運(yùn)動愛好者”有7名男生,3名女生,所以Y的所有可能取值為0,1,2,3,且Y服從超幾何分布:,,,故所求分布列為Y0123P可得17.設(shè)x∈R,函數(shù)的最小正周期為,且圖象向左平移后得到的函數(shù)為偶函數(shù).(1)求解析式,并通過列表、描點(diǎn)在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)在上的圖象;(2)在銳角中,分別是角的對邊,若,求的值域.【答案】(1)詳見解析;(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)的最小正周期為,求得,再利用平移變換,得到函數(shù),再根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)求得,從而得到,然后利用“五點(diǎn)法”作圖求解;(2)由,利用正弦定理,結(jié)合恒等變換求得,再根據(jù)是銳角三角形,求得角B的范圍,再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求解.【小問1詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為,所以,則,由圖象向左平移后得到的函數(shù)為,因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù),所以,則,因?yàn)椋?,所以.由五點(diǎn)法,列表如下:0010-10的圖象,如圖所示:【小問2詳解】由,利用正弦定理得,即,即,因?yàn)?,所以,,所以;因?yàn)槭卿J角三角形,所以,即,解得因?yàn)?,所以,所以,所以的值域?18.已知圓與軸交于點(diǎn),且經(jīng)過橢圓的上頂點(diǎn),橢圓的離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn),且在軸上方,為關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn),點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn),直線與交于點(diǎn)的面積為,求直線的斜率.【答案】(1)(2)直線的斜率或【解析】【分析】(1)由題意首先依次得出,,進(jìn)一步結(jié)合離心率公式以及的關(guān)系式即可求解;(2),則,進(jìn)一步表示出點(diǎn)以及的面積,結(jié)合已知可得點(diǎn)的坐標(biāo),由此即可得解.【小問1詳解】圓過1,0,,又圓過,,又,橢圓的方程為.【小問2詳解】設(shè),則,由題知且,則,,由,解得,,又,,又,,直線的斜率或.19.已知有窮數(shù)列中的每一項(xiàng)都是不大于的正整數(shù).對于滿足的整數(shù),令集合.記集合中元素的個(gè)數(shù)為(約定空集的元素個(gè)數(shù)為0).(1)若,求及;(2)若,求證:互不相同;(3)已知,若對任意的正整數(shù)都有或,求的值.【答案】(1),.(2)證明見解析(3)答案見解析【解析】【分析】(1)觀察數(shù)列,結(jié)合題意得到及;(2)先得到,故,再由得到,從而證明出結(jié)論;(3)由題意得或,令,得到或,當(dāng)時(shí)得到,當(dāng)時(shí),考慮或兩種情況,求出答案.【小問1詳解】因?yàn)?,所以,則;【小問2詳解】依題意,則有,因此,又因?yàn)椋运曰ゲ幌嗤?【小問3詳解】依題意由或,知或.令,可得或,對于成立,故或①當(dāng)時(shí),,所以.②當(dāng)時(shí),或.當(dāng)時(shí),由或,有,同理,所以.當(dāng)時(shí),此時(shí)有,令,可得或,即或.令,可得或.令,可得.所以.若,則令,可得,與矛盾.所以有.不妨設(shè),令,可得,因此.令,

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