山東省德州市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第四次學(xué)情檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

第頁，共頁第18頁，共18頁2022級高三上學(xué)期第四次學(xué)情檢測數(shù)學(xué)試題一．單選題1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域得到集合B，再由集合的并集運(yùn)算得到結(jié)果.【詳解】由可得，則，又，所以，故選：D.2.已知復(fù)數(shù)且復(fù)數(shù)z是方程的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】將復(fù)數(shù)代入方程，化簡后利用復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)求解即可/【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)且復(fù)數(shù)z是方程的一個(gè)根，所以.即，則故選：B.3.已知拋物線，則拋物線C的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直接得出準(zhǔn)線方程即可.【詳解】由可得，所以拋物線C的準(zhǔn)線方程為，故選：C4.已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】分焦點(diǎn)在軸、軸上兩種情況討論可得，即可得答案.【詳解】若焦點(diǎn)在軸上，則；焦點(diǎn)在軸上，則.故選：C.5.若，則（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式、余弦的二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.【詳解】由題意可得，所以，，故選：A6.今年賀歲片，《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》引爆了電影市場，小明和他的同學(xué)一行四人決定去看這三部電影，則恰有兩人看同一部影片的選擇共有（）A.9種 B.36種 C.38種 D.45種【答案】B【解析】【分析】先安排2人看同一部影片，再安排剩余2人，利用排列組合知識進(jìn)行求解.【詳解】從4人中選擇2人看同一部影片，再從3部影片中選擇一部安排給這兩人觀看，剩余的2人，2部影片進(jìn)行全排列，故共有種情況.故選：B7.已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，若對任意正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A.4 B. C.9 D.【答案】D【解析】【分析】利用關(guān)系及等比數(shù)列定義得，將問題化為恒成立，研究右側(cè)數(shù)列的單調(diào)性并求其最大值，即可得答案.【詳解】由，令，解得，當(dāng)時(shí)，由，得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，由，即恒成立，令，則，而，所以，即數(shù)列單調(diào)遞減，故，所以，所以的最小值為.故選：D8.在中，角的對邊分別為，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，結(jié)合，由正弦定理可得.最后由，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】，由正弦定理，則.由余弦定理，.故選：B二．多選題9.已知隨機(jī)變量X，且，則（）A. B.若則C.若，則 D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正態(tài)分布的性質(zhì)、期望及方差的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】由題知，故A正確；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；由正態(tài)分布密度曲線關(guān)于對稱，利用對稱性知，，所以，故D正確.故選：ABD.10.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中不放回地隨機(jī)取兩次，事件表示“第一次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，事件表示“第二次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，事件表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則（）A.與為互斥事件 B.與相互獨(dú)立C. D.【答案】BD【解析】【分析】由互斥事件、相互獨(dú)立事件的定義判斷AB；利用概率的基本性質(zhì)計(jì)算判斷C；求出條件概率判斷D.【詳解】依題意，不放回的隨機(jī)取兩次，共有種不同結(jié)果，，共個(gè)不同結(jié)果，，共個(gè)不同結(jié)果，，共個(gè)不同結(jié)果，對于A，事件能同時(shí)發(fā)生，如基本事件，與不互斥，A錯(cuò)誤；對于B，，，共6個(gè)不同結(jié)果，，與相互獨(dú)立，B正確；對于C，，共9個(gè)不同結(jié)果，，，C錯(cuò)誤；對于D，由選項(xiàng)B知，，D正確.故選：BD11.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)，時(shí)，直線與曲線相切B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為C.當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D.當(dāng)，時(shí)，若（其中），有【答案】ACD【解析】【分析】對于A，由切線斜率為1求出切點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)斜式即可判斷A；求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)情況即可判斷B；由函數(shù)的單調(diào)性和極值以及零點(diǎn)即可求解判斷C；由函數(shù)的零點(diǎn)情況，結(jié)合和基本不等式即可求解判斷D.【詳解】對于A選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，有，若，解得或，由，可得與曲線相切，故A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，由，有，故函數(shù)的減區(qū)間為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以由B可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，極大值，故若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，故C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，由，若（其中），則有，有，可得，有，又由，有，可得，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求證的關(guān)鍵1是先由即結(jié)合立方和公式化簡得到，關(guān)鍵2是利用基本不等式得到關(guān)于的不等關(guān)系得解.三、填空題12.有一組數(shù)據(jù)：，且n為這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)，則的展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)為______．【答案】80【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)定義求出，由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)即可求解.【詳解】將數(shù)據(jù)按從小到大排成一列：，由，可知這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為5，即，所以的展開式中第三項(xiàng)為：，所以的展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)為：80.故答案為：8013.已知圓，直線與圓交于兩點(diǎn)，則最小值為______．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)，結(jié)合弦長公式即可求.【詳解】由可得，所以直線恒過定點(diǎn)，因?yàn)?，所以在圓內(nèi)，由圓可知圓心為，半徑，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離取到最大值，此時(shí)最小，因?yàn)?，所?故答案為：214.已知個(gè)點(diǎn)大致呈線性分布，其中，且數(shù)據(jù)的回歸直線方程為，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)回歸方程必過樣本中心點(diǎn)，即可得到答案.【詳解】回歸直線經(jīng)過，且，代入回歸方程得：，即，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：.四、解答題15.已知函數(shù)，其中為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在區(qū)間上的最大值為2，求的值．【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間；（2）先求得，然后對a進(jìn)行分類討論，研究單調(diào)性及最值求a的值.【小問1詳解】由題設(shè)的定義域?yàn)?，且，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】由題設(shè)，當(dāng)，結(jié)合，易知，所以在上單調(diào)遞增，故無最大值，不符合；當(dāng)，且，則時(shí)，時(shí)，所以在上遞增，在上遞減，則，故，可得.綜上，.16.某高中學(xué)校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計(jì)了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)每周參加體育鍛煉的次數(shù)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了60名同學(xué)在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表一周參加體育鍛煉次數(shù)01234567合計(jì)男生人數(shù)1245654330女生人數(shù)4556432130合計(jì)579111086460（1）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的，稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”．請完成以下2×2列聯(lián)表，并依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否有90%的把握認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常男生

女生

合計(jì)

（2）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會導(dǎo)致肥胖等諸多健康問題，以樣本頻率估計(jì)概率，在全校抽取20名同學(xué)，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為X，求和；（3）若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學(xué)稱為“運(yùn)動愛好者”，為進(jìn)一步了解他們的生活習(xí)慣，在樣本的10名“運(yùn)動愛好者”中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：參考數(shù)據(jù)：0.10000500.0100.0052.7063.8416.6357.879【答案】（1）列聯(lián)表見解析；有90%的把握認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系（2），（3）分布列見解析，【解析】【分析】（1）由60名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表，代入公式可得，再對照臨界值表即可得出結(jié)論；（2）求出隨機(jī)抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率，易得服從二項(xiàng)分布，由二項(xiàng)分布即可得和；（3）依題意可得的所有可能取值為0，1，2，3，利用超幾何分布公式求得概率，進(jìn)而即可得到的分布列和期望值.【小問1詳解】根據(jù)統(tǒng)計(jì)表格數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下：性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常男生72330女生141630合計(jì)213960根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計(jì)算可得，故有90%的把握認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；【小問2詳解】因?qū)W校總學(xué)生數(shù)遠(yuǎn)大于所抽取學(xué)生數(shù)，故近似服從二項(xiàng)分布，易知隨機(jī)抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率，即可得，故，；【小問3詳解】易知10名“運(yùn)動愛好者”有7名男生，3名女生，所以Y的所有可能取值為0，1，2，3，且Y服從超幾何分布：，，，故所求分布列為Y0123P可得17.設(shè)x∈R，函數(shù)的最小正周期為，且圖象向左平移后得到的函數(shù)為偶函數(shù)．（1）求解析式，并通過列表、描點(diǎn)在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)在上的圖象；（2）在銳角中，分別是角的對邊，若，求的值域．【答案】（1）詳見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)的最小正周期為，求得，再利用平移變換，得到函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)求得，從而得到，然后利用“五點(diǎn)法”作圖求解；（2）由，利用正弦定理，結(jié)合恒等變換求得，再根據(jù)是銳角三角形，求得角B的范圍，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求解.【小問1詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以，則，由圖象向左平移后得到的函數(shù)為，因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，則，因?yàn)椋?，所以．由五點(diǎn)法，列表如下：0010-10的圖象，如圖所示：【小問2詳解】由，利用正弦定理得，即，即，因?yàn)?，所以，，所以；因?yàn)槭卿J角三角形，所以，即，解得因?yàn)?，所以，所以，所以的值域?18.已知圓與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過橢圓的上頂點(diǎn)，橢圓的離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，且在軸上方，為關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)的面積為，求直線的斜率．【答案】（1）（2）直線的斜率或【解析】【分析】（1）由題意首先依次得出，，進(jìn)一步結(jié)合離心率公式以及的關(guān)系式即可求解；（2），則，進(jìn)一步表示出點(diǎn)以及的面積，結(jié)合已知可得點(diǎn)的坐標(biāo)，由此即可得解.【小問1詳解】圓過1,0，，又圓過，，又，橢圓的方程為.【小問2詳解】設(shè)，則，由題知且，則，，由，解得，，又，，又，，直線的斜率或.19.已知有窮數(shù)列中的每一項(xiàng)都是不大于的正整數(shù).對于滿足的整數(shù)，令集合.記集合中元素的個(gè)數(shù)為（約定空集的元素個(gè)數(shù)為0）.（1）若，求及；（2）若，求證：互不相同；（3）已知，若對任意的正整數(shù)都有或，求的值.【答案】（1），.（2）證明見解析（3）答案見解析【解析】【分析】（1）觀察數(shù)列，結(jié)合題意得到及；（2）先得到，故，再由得到，從而證明出結(jié)論；（3）由題意得或，令，得到或，當(dāng)時(shí)得到，當(dāng)時(shí)，考慮或兩種情況，求出答案.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，則；【小問2詳解】依題意，則有，因此，又因?yàn)椋运曰ゲ幌嗤?【小問3詳解】依題意由或，知或.令，可得或，對于成立，故或①當(dāng)時(shí)，，所以.②當(dāng)時(shí)，或.當(dāng)時(shí)，由或，有，同理，所以.當(dāng)時(shí)，此時(shí)有，令，可得或，即或.令，可得或.令，可得.所以.若，則令，可得，與矛盾.所以有.不妨設(shè)，令，可得，因此.令，