湖北省恩施州高中教育聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第頁(yè)，共頁(yè)第18頁(yè)，共18頁(yè)湖北省恩施州高中教育聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題命題單位：恩施州高中教育聯(lián)盟咸豐一中命題人：楊金煜謝勇謝輝考試滿分：150分考試用時(shí)：120分鐘注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出兩個(gè)集合后可求它們的交集.【詳解】，故，故選：C.2.設(shè)命題，則的否定為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由全稱(chēng)命題的否定即可得解.【詳解】因?yàn)槊}為全稱(chēng)命題，所以該命題的否定為.故選：B.3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷充分性，舉例說(shuō)明判斷必要性，進(jìn)而求解.【詳解】由，得，所以充分性成立；當(dāng)時(shí)，滿足，但不滿足，所以必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A4.已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由不等式的解集得出關(guān)系，再解分式不等式即可.【詳解】由不等式的解集為，可得，，即，所以不等式可化為，即，所以可得，解得或，所以不等式的解集為，故選：C5.已知函數(shù)，則函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)特殊點(diǎn)的函數(shù)值來(lái)確定正確答案.【詳解】，所以AD選項(xiàng)錯(cuò)誤，，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.綜上所述，B選項(xiàng)正確.故選：B6.當(dāng)生物死亡后，機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率（稱(chēng)為衰減率）衰減，大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱(chēng)為“半衰期”.如果是某生物剛死亡時(shí)機(jī)體內(nèi)碳14的質(zhì)量，那么經(jīng)過(guò)年后，其機(jī)體內(nèi)碳14所剩的質(zhì)量.考古學(xué)家經(jīng)常利用生物機(jī)體內(nèi)碳14的含量來(lái)推斷古生物死亡的大致時(shí)間.現(xiàn)考古發(fā)現(xiàn)某生物機(jī)體內(nèi)碳14的含量是剛死亡時(shí)的，根據(jù)以上知識(shí)推斷該生物的死亡時(shí)間距今約（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.年 B.年 C.年 D.年【答案】C【解析】【分析】由生物機(jī)體內(nèi)碳14所剩的質(zhì)量，生物機(jī)體內(nèi)碳14的含量是剛死亡時(shí)的，列出方程，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算求出.【詳解】因?yàn)樯餀C(jī)體內(nèi)碳14所剩的質(zhì)量，且生物機(jī)體內(nèi)碳14的含量是剛死亡時(shí)的，則，所以，則，則，又，又，，所以，解得，所以該生物的死亡時(shí)間距今約年.故選：C.7.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒有.若，則的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析條件可得為奇函數(shù)且為R上的增函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)可得，結(jié)合自變量的大小可得答案.【詳解】令，則，∴.令，則，∴，故為奇函數(shù).當(dāng)時(shí)，，∵當(dāng)時(shí)，恒有，∴，即，∴為R上的增函數(shù).∵，且，∴，即.故選：B.8.已知函數(shù)且且，，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件構(gòu)造新函數(shù)得到它在上是增函數(shù)，再利用分段函數(shù)的單調(diào)性列式求解即可.【詳解】因?yàn)榍?，不妨設(shè)，則，則，所以，令函數(shù)則為上的增函數(shù)，則解得.故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.若扇形的圓心角為，弧長(zhǎng)為，則該扇形的面積為C.若是第二象限角，則是第一或第四象限角D.若，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)值、扇形面積、象限角、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，，所以，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，對(duì)應(yīng)的弧度為，所以扇形的半徑為，所以扇形的面積為，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，是第二象限角，則，，所以是第一或第三象限角，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，若，兩邊平方可得：由于，所以，即或。當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，綜上，若，則（），所以D選項(xiàng)正確.故選：BD10.已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）AB.若方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則C.若方程有四個(gè)不等實(shí)根，則D.方程所有實(shí)數(shù)根的和為10【答案】ACD【解析】【分析】畫(huà)出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象對(duì)四個(gè)結(jié)論依次分析，即可求解.【詳解】畫(huà)出函數(shù)的圖象，對(duì)于A，由的圖象可知其關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，如圖1，當(dāng)方程有兩個(gè)不等實(shí)根時(shí)，或，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C，若方程有四個(gè)不等實(shí)根，由前分析知，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，而是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，所以，所以，故C選項(xiàng)正確.對(duì)于D，方程可化為，則，令，則，即的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，由A選項(xiàng)知，的圖象也關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，而，下面僅討論當(dāng)時(shí)兩個(gè)函數(shù)圖象公共點(diǎn)的情況：，如圖2，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，聯(lián)立和，得0，即，所以曲線和在上僅有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，聯(lián)立和，得（舍去）或，所以曲線和在上僅有一個(gè)交點(diǎn)；故的圖象與的圖象在上有兩個(gè)公共點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)對(duì)稱(chēng)性，的圖象與的圖象在上也有兩個(gè)公共點(diǎn).綜上，的圖象與的圖象共有五個(gè)公共點(diǎn)，且關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，如圖3，所以方程所有實(shí)數(shù)根的和為10，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.若，則函數(shù)的最小值為0 B.若且，則C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng) D.若是的三邊，則【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式判斷AB；利用函數(shù)定義域不對(duì)稱(chēng)判斷C；利用函數(shù)單調(diào)性、結(jié)合放縮法與作差法判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)1，即時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)的最小值為0，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，由，得，即（當(dāng)且僅當(dāng)4時(shí)，等號(hào)成立），故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，由的定義域?yàn)榍?，可知的定義域不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，在上單調(diào)遞增，是的三邊，則，，所以，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.函數(shù)稱(chēng)為Gauss函數(shù)，表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如：，.若函數(shù)，則______________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題中定義求出的值，即可求得的值.【詳解】因?yàn)?，所以；?故答案為：.13.已知是圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓上一點(diǎn)，點(diǎn)從開(kāi)始，在圓上按逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，角速度為，則2s時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____________.【答案】【解析】【分析】記點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，求出角；經(jīng)過(guò)2s，記點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)定義，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】記點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，則，，則；經(jīng)過(guò)2s，記點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，由題意，則，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：14.正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為_(kāi)_____________.【答案】##2.5【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性可得，再利用均值不等式即可求解.詳解】由，有，令函數(shù)，因?yàn)楹投际窃龊瘮?shù)，則是增函數(shù)，所以，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.（1）若，求的值；（2）計(jì)算：.【答案】（1）3；（2）7【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)先求出，再由指數(shù)運(yùn)算法則，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算和指數(shù)冪的運(yùn)算法則，即可求出結(jié)果.【詳解】（1），.（2）原式.16.已知.（1）若，求的值；（2）已知的三個(gè)內(nèi)角分別為，且，若，求的值.【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得正確答案.（2）利用誘導(dǎo)公式求得正確答案.【小問(wèn)1詳解】，因，所以，.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，因?yàn)榈娜齻€(gè)內(nèi)角分別為，所以，所以，即，又因?yàn)?，所以，所?17.已知函數(shù).（1）若函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明.【答案】（1）（2）唯一一個(gè)零點(diǎn)，證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由題意得對(duì)任意恒成立；討論，兩種情況，即可求出結(jié)果；（2）當(dāng)時(shí)，，先根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，判斷其單調(diào)性，再由零點(diǎn)存在性定理，即可判斷出零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以對(duì)任意恒成立；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得，不符合題意；當(dāng)時(shí)，只需，解得，所以實(shí)數(shù)取值范圍為.（2）在區(qū)間上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，證明如下：當(dāng)時(shí)，，令，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.又因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，而，又，所以，因?yàn)?，又，所以，所以，結(jié)合在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以在區(qū)間上有唯一一個(gè)零點(diǎn).18.矩形的周長(zhǎng)為20，設(shè).（1）求矩形面積的最大值及此時(shí)的值；（2）當(dāng)矩形為正方形時(shí)，將矩形分割成如圖1所示的四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形，若正方形的邊長(zhǎng)為1，求；（3）若，如圖2，把矩形沿某條直線折疊，使得重合，記為，折疊后，折痕與原矩形邊分別交于點(diǎn)的面積為，求的最小值.【答案】（1）最大值為25，此時(shí)（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)基本不等式可求最大值；（2）設(shè)，根據(jù)正余弦的平方關(guān)系可求該角的正余弦，故可求正切或者根據(jù)勾股定理可求的長(zhǎng)，從而求得角的正切值；（3）利用面積差或等積法可得，再結(jié)合基本不等式可求最小值【小問(wèn)1詳解】設(shè)，由題意，，所以矩形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以矩形面積的最大值為25，此時(shí).【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由題意，，即，又，所以，所以.另解：設(shè)，則，在中，，解得，所以，所以.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)椋?，設(shè)，所以，即，易知直線PQ過(guò)矩形中心，所以梯形APQD的面積為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故的最小值為.另解：因?yàn)?，所以，設(shè)，所以，即，易證，所以，所以，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故的最小值為.19.中國(guó)橋梁建筑的奇跡——四渡河大橋位于湖北省恩施土家族苗族自治州巴東縣，該橋主橋是一座特大單跨雙鉸鋼桁架加勁梁懸索橋，兩座橋墩之間的鋼索構(gòu)成的曲線形態(tài)在數(shù)學(xué)上被稱(chēng)為懸鏈線，懸鏈線在建筑和工程等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.懸鏈線是生活中常見(jiàn)的一種曲線，如沾滿露珠自然下垂的蜘蛛絲、兩根電線桿之間的電線、橫跨深澗的觀光索道的電纜等，這類(lèi)懸鏈線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為是非零常數(shù)，無(wú)理數(shù)2.71828…）（1）當(dāng)時(shí)，懸鏈線對(duì)應(yīng)的函數(shù)又稱(chēng)為雙曲正弦函數(shù)，記為；當(dāng)時(shí)，懸鏈線對(duì)應(yīng)的函數(shù)又稱(chēng)為雙曲余弦函數(shù)，記為.求證：；（2）若為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，請(qǐng)寫(xiě)出一組符合條件的a，b的值，并說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，關(guān)于的不等式的解集，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（答案不唯一），理由見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)新定義計(jì)算求證即可；（2）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)單調(diào)性的定義求解即可；（3）利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為，再由解集為的子集，列出不等式求解即可.【小問(wèn)1詳解】證明：由題意，，所以，【小問(wèn)2詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，所以，所以，即，此時(shí)，任取且，所以.因?yàn)?，?/p>