2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教材考點復(fù)習(xí)二次函數(shù)的角度、相似問題（二階）（學(xué)生版+教師版）

/2025年數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教材考點復(fù)習(xí)二次函數(shù)的角度、相似問題（二階）學(xué)生版考法探究突破考法一相似三角形問題1.探究相似三角形存在性問題的具體步驟：（1）找等角：其中直角三角形找對應(yīng)的直角，一般三角形中會存在隱含的等角；（2）表示邊長：直接或間接設(shè)出所求的點的坐標(biāo)，然后表示出線段長；（3）建立關(guān)系式并計算：對于對應(yīng)關(guān)系不確定的三角形相似，需要按照等角的兩邊分別對應(yīng)成比例列比例式，分情況討論，然后進(jìn)行計算求解.考法二角度問題2.若所求角為非特殊角，可通過相關(guān)角的和差關(guān)系將所求角度轉(zhuǎn)化為特殊角，再結(jié)合銳角三角函數(shù)求解；3.若探究角度之間的數(shù)量關(guān)系，?？紤]將角放在直角三角形中，通過解直角三角形求解或通過平行線求解.題型分類過關(guān)類型一相似存在性問題考法一相似為條件1.（2023天橋一模節(jié)選）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝－12x2＋bx＋c經(jīng)過A（－2，0），與y軸交于點B（0，4），直線x＝3與x軸交于點C（1）求該拋物線的表達(dá)式.（2）正比例函數(shù)y＝kx的圖象分別與線段AB，直線x＝3交于點D，E，當(dāng)△BDO與△OCE相似時，求線段OD的長度.考法二相似三角形存在性2.（2023高新二模節(jié)選）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝－34x＋3的圖象與x軸交于點A，與y軸交于B點，拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A，B兩點，在第一象限的拋物線上取一點D，過點D作DC⊥x軸于點C，交直線AB于點E（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）是否存在點D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，請求出點D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.類型二角存在性問題考法一特殊角3.（2023天橋二模節(jié)選）如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋6（a≠0）與x軸交于A（－1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C.（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）若在線段BC上存在一點M，使得∠BMO＝45°，過點O作OH⊥OM交CB的延長線于點H，求點H的坐標(biāo).考法二相等角4.（2023槐蔭二模節(jié)選）如圖，已知以D為頂點的拋物線y＝ax2＋bx＋3經(jīng)過A（－3，0），B兩點，與y軸交于C點，對稱軸為直線x＝－2.（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）連接BC，∠BCO和∠ACD有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請說明理由.考法三相等角為條件5.（2024歷下一模節(jié)選）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝12x＋1與y軸交于點A，與x軸交于點B，拋物線M：y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過點A，且頂點在直線AB上（1）如圖，當(dāng)拋物線的頂點在點B時，求拋物線M的表達(dá)式；（2）在（1）的條件下，拋物線M上是否存在點C，滿足∠ABC＝∠ABO.若存在，求點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.考法四二倍角6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝12x－2的圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點，拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過點A，B.點P為第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式.（2）當(dāng)∠PBA＝2∠BAO時，求點P的坐標(biāo).考法五A＋B＝C型角度問題7.如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋4經(jīng)過點A（－2，0），點B（4，0），與y軸交于點C，過點C作直線CD∥x軸，與拋物線交于點D，作直線BC，連接AC.（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）E是拋物線上的點，求滿足∠ECD＋∠CAO＝90°的點E的坐標(biāo).達(dá)標(biāo)演練檢測1.如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象經(jīng)過A（－1，0），B（4，0），C（0，2）三點.（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）點D是該二次函數(shù)圖象上的一點，且滿足∠DBA＝∠CAO（O是坐標(biāo)原點），求點D的坐標(biāo).2.（2023濟(jì)陽一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝a（x－3）2＋4過原點，與x軸的正半軸交于點A，已知B點為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸與x軸交于點D.（1）求a的值，并直接寫出A，B兩點的坐標(biāo)；（2）若P點是該拋物線對稱軸上一點，且∠BOP＝45°，求點P的坐標(biāo).3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝43x2＋bx＋c與x軸交于點A（1，0）和點B，與y軸交于點C（0，－4），點P是拋物線上的動點（不與點A，B，C重合）.設(shè)點P坐標(biāo)為m，過點P作PD⊥x軸，垂足為點D.（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點P在第三象限，且tan∠CPD＝2，求m的值.4.如圖，拋物線y＝－12x2＋x＋4與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，連接BC，點P是拋物線上的一個動點，且點P的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜6），連接AP，過點A作BC的平行線交拋物線于點D，連接DP（1）求點A，B，C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)t＝2時，求證：△ADP是直角三角形；（3）連接PC，過點P作PE⊥PC，交直線AD于點E，連接AC，CE，是否存在點P，使得△PCE與△AOC相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.2025年山東濟(jì)南中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教材考點復(fù)習(xí)二次函數(shù)的角度、相似問題（二階）學(xué)生版考法探究突破考法一相似三角形問題1.探究相似三角形存在性問題的具體步驟：（1）找等角：其中直角三角形找對應(yīng)的直角，一般三角形中會存在隱含的等角；（2）表示邊長：直接或間接設(shè)出所求的點的坐標(biāo)，然后表示出線段長；（3）建立關(guān)系式并計算：對于對應(yīng)關(guān)系不確定的三角形相似，需要按照等角的兩邊分別對應(yīng)成比例列比例式，分情況討論，然后進(jìn)行計算求解.考法二角度問題2.若所求角為非特殊角，可通過相關(guān)角的和差關(guān)系將所求角度轉(zhuǎn)化為特殊角，再結(jié)合銳角三角函數(shù)求解；3.若探究角度之間的數(shù)量關(guān)系，?？紤]將角放在直角三角形中，通過解直角三角形求解或通過平行線求解.題型分類過關(guān)類型一相似存在性問題考法一相似為條件1.（2023天橋一模節(jié)選）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝－12x2＋bx＋c經(jīng)過A（－2，0），與y軸交于點B（0，4），直線x＝3與x軸交于點C（1）求該拋物線的表達(dá)式.（2）正比例函數(shù)y＝kx的圖象分別與線段AB，直線x＝3交于點D，E，當(dāng)△BDO與△OCE相似時，求線段OD的長度.解：（1）∵拋物線y＝－12x2＋bx＋c經(jīng)過A（－2，0），B（0，4）兩點∴－解得b=1，c=4，∴該拋物線的表達(dá)式為y＝－12x（2）∵A（－2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4.在Rt△AOB中，AB＝OA2＋OB2＝22＋42＝25.∵△BDO與△OCE相似，∴∠BDO＝∠OCE＝90°.∵S△AOB＝12OA·OB＝12OD·AB，∴12×2考法二相似三角形存在性2.（2023高新二模節(jié)選）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝－34x＋3的圖象與x軸交于點A，與y軸交于B點，拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A，B兩點，在第一象限的拋物線上取一點D，過點D作DC⊥x軸于點C，交直線AB于點E（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）是否存在點D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，請求出點D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.解：（1）在y＝－34x＋3中，令x＝0，得y＝3，令y＝0，得x＝4，∴A（4，0），B（0，3），將A（4，0），B（0，3）分別代入拋物線y＝－x2＋bx＋c中，得－42+4b＋c=0，c=3，解得b（2）存在.如圖，過點B作BH⊥CD于點H，設(shè)C（t，0），則Dt,?Et,?34t+3，H（∴EC＝－34t＋3，AC＝4－t，BH＝t，DH＝－t2＋134t，DE＝－t2＋4∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC，∴△BDE∽△ACE或△DBE∽△ACE.①當(dāng)△BDE∽△ACE時，∠BDE＝∠ACE＝90°，此時BD∥AC，可得D134，3.②當(dāng)△DBE∽△ACE時，∠BDE＝∠CAE.∵BH⊥CD，∴∠BHD＝90°，∴BHDH＝tan∠BDE＝tan∠CAE＝CEAC，即BH·AC∴t（4－t）＝－3解得t1＝0（舍），t2＝4（舍），t3＝2312，∴D（2312，50綜上所述，點D的坐標(biāo)為134，3類型二角存在性問題考法一特殊角3.（2023天橋二模節(jié)選）如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋6（a≠0）與x軸交于A（－1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C.（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）若在線段BC上存在一點M，使得∠BMO＝45°，過點O作OH⊥OM交CB的延長線于點H，求點H的坐標(biāo).解：（1）∵拋物線y＝ax2＋bx＋6經(jīng)過點A（－1，0），B（3，0）兩點，∴a－b+6=0，9a+3b+6=0，解得a＝－2，b=4（2）由（1）得，點C（0，6）.設(shè)直線BC的表達(dá)式為y＝kx＋c，∵直線BC經(jīng)過點B（3，0），C（0，6），∴3k＋c=0，c=6，解得k＝－2，c=6，∴直線BC的表達(dá)式為y＝－2x＋6.設(shè)點H的坐標(biāo)為（m，－2m＋6），如圖，過點H作HK⊥y軸于點K，過點M作MS⊥y軸于點S.則∠MSO＝∠OKH＝90°，∵OH⊥OM，∴∠MOH＝90°，∵∠BMO＝45°，∴△MOH是等腰直角三角形，∴OM＝OH.∵∠MOS＋∠KOH＝90°，∠OHK＋∠KOH＝90°，∴∠MOS＝∠OHK，∴△OMS≌△HOK（AAS），∴MS＝OK，OS＝HK.∴M（2m－6，m）.∵點M（2m－6，m）在直線y＝－2x＋6上，∴－2（2m－6）＋6＝m，解得m＝185，則－2m＋6考法二相等角4.（2023槐蔭二模節(jié)選）如圖，已知以D為頂點的拋物線y＝ax2＋bx＋3經(jīng)過A（－3，0），B兩點，與y軸交于C點，對稱軸為直線x＝－2.（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）連接BC，∠BCO和∠ACD有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請說明理由.解：（1）∵拋物線y＝ax2＋bx＋3經(jīng)過A（－3，0），對稱軸為直線x＝－2.∴－解得a=1，b=4，∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2＋（2）令y＝x2＋4x＋3＝0，則（x＋1）（x＋3）＝0，解得x1＝－1，x2＝－3，∴A（－3，0），B（－1，0）.令x＝0，則y＝3，∴C（0，3），∴OB＝1，OC＝3，∴tan∠BCO＝OBOC＝13.∵當(dāng)x＝－2時，y＝－1，∴D（－2，－1），而A（－3，0），C（0，3），∴AD＝(?2+3）2＋(?1－0）2＝2，CD＝(?2－0）2＋(?1－3）2＝25，AC＝32＋32＝32，∴AC2＋AD2＝CD考法三相等角為條件5.（2024歷下一模節(jié)選）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝12x＋1與y軸交于點A，與x軸交于點B，拋物線M：y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過點A，且頂點在直線AB上（1）如圖，當(dāng)拋物線的頂點在點B時，求拋物線M的表達(dá)式；（2）在（1）的條件下，拋物線M上是否存在點C，滿足∠ABC＝∠ABO.若存在，求點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：（1）將x＝0代入y＝12x＋1，得y＝1，∴A（0，1），將y＝0代入y＝12x＋1，得x＝－2，∴B（－2，0∵拋物線M的頂點在點B（－2，0）且過點A（0，1），設(shè)y＝a（x＋2）2，將A（0，1）代入y＝a（x＋2）2，得a＝14，∴拋物線的表達(dá)式為y＝14（x＋2）（2）作O關(guān)于AB的對稱點O'，則OO'⊥AB，設(shè)垂足為D，則點D為O與O'的中點，如圖所示.∵直線AB的表達(dá)式為y＝12x＋1，∴OO'的表達(dá)式為y＝－2x聯(lián)立y＝12x+1，y＝－2x，解得x＝－25，y＝45，即D－25，45，O'－45，85.設(shè)直線BO'的表達(dá)式為y＝kx＋b，將點B（－2，0）和點O'－45，85代入，可得0=－2k＋b，85＝－45k＋b，，解得k＝43，b＝83，考法四二倍角6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝12x－2的圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點，拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過點A，B.點P為第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式.（2）當(dāng)∠PBA＝2∠BAO時，求點P的坐標(biāo).解：（1）令x＝0，得y＝12x－2＝－2，則B（0，－2）令y＝12x－2＝0，解得x＝4，則A（4，0）.把A（4，0），B（0，－2）代入y＝x2＋bx＋c中，得16+4b＋c=0，c＝－2，解得b＝（2）設(shè)點A關(guān)于y軸的對稱點為A'，則A'B＝AB.∴∠BAO＝∠BA'O.直線A'B交拋物線于點P.∴∠PBA＝∠BAO＋∠BA'O＝2∠BAO.∵A（4，0），∴A'（－4，0），設(shè)直線A'B的表達(dá)式為y＝kx＋b（k≠0）.∵B（0，－2），∴－4k＋b=0，b＝－2，解得k＝－12b＝－2，∴直線A'B的表達(dá)式為y＝－12x－2.再令y＝－12x－2＝x2－72x－2，得x2－考法五A＋B＝C型角度問題7.如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋4經(jīng)過點A（－2，0），點B（4，0），與y軸交于點C，過點C作直線CD∥x軸，與拋物線交于點D，作直線BC，連接AC.（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）E是拋物線上的點，求滿足∠ECD＋∠CAO＝90°的點E的坐標(biāo).解：（1）∵拋物線y＝ax2＋bx＋4的圖象經(jīng)過點A（－2，0），點B（4，0），∴4a－∴拋物線的表達(dá)式為y＝－12x2＋x＋4（2）令x＝0，則y＝4，∴C（0，4）.如圖，①當(dāng)點E位于直線CD下方時，過點E作EF⊥CD，垂足為F，設(shè)滿足條件的點Et,?12t2＋t+4在拋物線上，則F（t，4），CF＝t，EF＝4－∵∠ECD＋∠CAO＝90°，∠ACO＋∠CAO＝90°，∴∠ECD＝∠ACO，∴tan∠ACO＝tan∠ECD，即OAOC＝EFCF，∴24＝12t2－tt，解得t1＝0（舍去），t2＝3，∴E3，52.②當(dāng)點E'位于直線CD上方時，過點E'作E'F'⊥直線CD，垂足為F'，設(shè)E's,?12s2＋s+4，則F'（s，4），CF'＝s，E'F'＝－12s2＋s＋4－4＝－12s2＋s.根據(jù)題意，當(dāng)∠E'CD＝∠ACO時，tan∠ACO＝tan∠E'CD，即OAOC＝E'F'CF'，∴2達(dá)標(biāo)演練檢測1.如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象經(jīng)過A（－1，0），B（4，0），C（0，2）三點.（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）點D是該二次函數(shù)圖象上的一點，且滿足∠DBA＝∠CAO（O是坐標(biāo)原點），求點D的坐標(biāo).解：（1）由題意，得a－b＋c=0，16a+4b＋c=0，（2）當(dāng)點D在x軸上方時，過點C作CD∥AB交拋物線于點D，如圖.A，B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，C，D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，四邊形ABDC為等腰梯形，∴∠CAO＝∠DBA，即點D滿足條件，∴D（3，2）.當(dāng)點D在x軸下方時，∠DBA＝∠CAO，BD∥AC，C（0，2），故可設(shè)直線AC的表達(dá)式為y＝kx＋2，把A（－1，0）代入可求得k＝2，故直線AC的表達(dá)式為y＝2x＋2.可設(shè)直線BD的表達(dá)式為y＝2x＋m，把B（4，0）代入可求得m＝－8，故直線BD的表達(dá)式為y＝2x－8.聯(lián)立直線BD和拋物線的表達(dá)式可得y=2x－8，y＝－12x2＋32x+2，解得x=4，y=0或x＝－5，y＝2.（2023濟(jì)陽一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝a（x－3）2＋4過原點，與x軸的正半軸交于點A，已知B點為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸與x軸交于點D.（1）求a的值，并直接寫出A，B兩點的坐標(biāo)；（2）若P點是該拋物線對稱軸上一點，且∠BOP＝45°，求點P的坐標(biāo).解：（1）將點O的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，得0＝a（0－3）2＋4，解得a＝－49，則拋物線的表達(dá)式為：y＝－49（x－3）2＋4，則點B（3，4），由拋物線的對稱性知，點A（6，0（2）過點P作PH⊥OB于點H.在Rt△OBD中，OD＝3，BD＝4，則OB＝5，則tan∠OBD＝ODBD＝34＝tanα，則sinα＝35，設(shè)PH＝3x，則BH＝4x，PB＝5x，∵∠BOP＝45°，則PH＝OH＝3x，則OB＝5＝BH＋OH＝3x＋4x，則x＝57，則PD＝BD－BP＝4－5x＝37，3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝43x2＋bx＋c與x軸交于點A（1，0）和點B，與y軸交于點C（0，－4），點P是拋物線上的動點（不與點A，B，C重合）.設(shè)點P坐標(biāo)為m，過點P作PD⊥x軸，垂足為點D.（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點P在第三象限，且tan∠CPD＝2，求m的值.解：（1）把點C（0，－4）代入y＝43x2＋bx＋c，得c＝－4把點A（1，0）代入y＝43x2＋bx－4，得b＝8∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝43x2＋83x－（2）設(shè)Pm，43m2＋83m－4，則∠PGC＝∠CGD＝90°.∵C（0，－4），∴OC＝4.∵PD⊥x軸，∴∠PDO＝90°.又∵∠DOC＝90°，∴四邊形DOCG是矩形，∴DG＝OC＝4，DO＝CG＝－m，∴PG＝y(tǒng)G－yP＝－4－43m2＋83m－4＝－43m2－83m.∵tan∠CPD＝2＝CGPG＝2，∴－m－43m2－83m4.如圖，拋物線y＝－12x2＋x＋4與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，連接BC，點P是拋物線上的一個動點，且點P的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜6），連接AP，過點A作BC的平行線交拋物線于點D，連接DP（1）求點A，B，C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)t＝2時，求證：△ADP是直角三角形；（3）連接PC，過點P作PE⊥PC，交直線AD于點E，連接AC，CE，是否存在點P，使得△PCE與△AOC相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.（1）解：在y＝－12x2＋x＋4中，令y＝0，得－12x2＋x＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝4.∵點A在點B的左側(cè)，∴A（－2，0），B（4，0）.令x＝0，得y＝4，∴C（0，4（2）證明：由（1）知B（4，0），C