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文檔簡介
2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案(全國版)
第六章圖形的變化
6.1尺規(guī)作圖
考點(diǎn)分布考查頻率命題趨勢
考點(diǎn)1基本尺規(guī)作圖及相幾何作圖題分尺規(guī)作圖和無刻度作圖,是全國中考的
☆☆
應(yīng)判斷熱點(diǎn)內(nèi)容,更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些
考生因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范
等原因?qū)е率Х帧?/p>
從考點(diǎn)頻率看,尺規(guī)作圖是幾何作圖的基礎(chǔ),也是高
考點(diǎn)2無刻度直尺作圖☆頻考點(diǎn)、必考點(diǎn),所以必須熟練尺規(guī)作圖,而無刻度
作圖是近幾年的新考法,有幾個省市著重考查此類題
型。從題型角度看,以解答題為主,分值8分左右,
著實不少!但選擇題、填空題考查幾何作圖題也不少。
☆☆☆代表必考點(diǎn),☆☆代表常考點(diǎn),☆星表示中頻考點(diǎn)。
夯實基礎(chǔ)
考點(diǎn)1.基本尺規(guī)作圖及相應(yīng)判斷
1.由作角平分線過程求解。這類作圖主要考查了_______的性質(zhì)定理和尺規(guī)作圖,勾股定理、菱形判
定等知識。
2.由作垂直平分線過程求解。這類作圖主要考查了_______的作法和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)和三角
形內(nèi)角和定理,掌根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)等。
考點(diǎn)2.無刻度直尺作圖
1.網(wǎng)格中有一線的無刻度作圖。這類作圖主要考查作圖-對稱變換,等腰三角形的性質(zhì),勾股定理等
知識,解題的關(guān)鍵是理解題意,學(xué)會利用_______的思想解決問題。
2.網(wǎng)格中有一三角形的無刻度作圖。這類作圖主要考查格點(diǎn)作圖,平行四邊形的判定及性質(zhì),勾
股定理,全等三角形、相似三角形的判定及性質(zhì),熟練掌握相關(guān)_____的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵。
3.網(wǎng)格中有四邊形的無刻度作圖。這類作圖主要考查了_____作圖、位似圖形、勾股定理、平行四
邊形的性質(zhì)等知識,熟練掌握尺規(guī)作圖的常見作法是解題關(guān)鍵。
4.特殊圖形中的無刻度作圖。這類作圖主要考查了作圖—復(fù)雜作圖,解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基
本幾何圖形的性質(zhì),結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖_____成基本作圖,逐步操作,也考查了全
等三角形的判定與性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)等。
5.平行四邊形中的無刻度作圖。這類作圖主要考查作圖-復(fù)雜作圖、平行四邊形的判定與性質(zhì),熟
練掌握______的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)。
6.矩形、菱形、正方形中的無刻度作圖。這類作圖主要考查了復(fù)雜作圖,掌握____________的性質(zhì)
是解題的關(guān)鍵。
【提示】幾何作圖題分尺規(guī)作圖和無刻度作圖,是全國中考的熱點(diǎn)內(nèi)容,更是全國中考的必考內(nèi)容。
每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>
1.從考點(diǎn)頻率看,尺規(guī)作圖是幾何作圖的基礎(chǔ),也是高頻考點(diǎn)、必考點(diǎn),所以必須熟練尺規(guī)作圖,
而無刻度作圖是近幾年的新考法,有幾個省市著重考查此類題型。
2.從題型角度看,以解答題形式出現(xiàn)的情況成為常態(tài),分值8分左右。
考點(diǎn)1.基本尺規(guī)作圖及相應(yīng)判斷
【例題1】(2024深圳)在如圖的三個圖形中,根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡,能判斷射線AD平分BAC
的是()
A.B.C.D.只有
【變①式②練1】(2024長春一模①)③如圖,在ABC中,根據(jù)②尺③規(guī)作圖痕跡,下列說法不一定①正確的
是()
1
A.AFBFB.AEAC
2
C.DBFDFB90D.BAFEBC
【變式練2】(2024江蘇連云港一模)如圖,在ABCD中,ABC150.利用尺規(guī)在BC、BA
1
上分別截取BE、BF,使BEBF;分別以E、F為圓心,大于EF的長為半徑作弧,兩弧在
2
CBA內(nèi)交于點(diǎn)G;作射線BG交DC于點(diǎn)H.若AD31,則BH的長為_________.
【變式練3】(2024山東煙臺一模)如圖,⊙O是△ABC的外接圓,∠ABC=45°.
(1)請用尺規(guī)作出⊙O的切線AD(保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)在(1)的條件下,若AB與切線AD所夾的銳角為75°,⊙O的半徑為2,求BC的長.
考點(diǎn)2.無刻度直尺作圖
【例題2】(2024武漢市)如圖是由小正方形組成的34網(wǎng)格,每個小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).ABC
三個頂點(diǎn)都是格點(diǎn).僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個畫圖任務(wù),每個任務(wù)的畫線不得超過三
條.
(1)在圖(1)中,畫射線AD交BC于點(diǎn)D,使AD平分ABC的面積;
(2)在(1)的基礎(chǔ)上,在射線AD上畫點(diǎn)E,使ECBACB;
(3)在圖(2)中,先畫點(diǎn)F,使點(diǎn)A繞點(diǎn)F順時針旋轉(zhuǎn)90到點(diǎn)C,再畫射線AF交BC于點(diǎn)G;
(4)在(3)的基礎(chǔ)上,將線段AB繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)180,畫對應(yīng)線段MN(點(diǎn)A與點(diǎn)M對應(yīng),點(diǎn)B
與點(diǎn)N對應(yīng)).
【變式練1】(2024湖南長沙一模)如圖是76的正方形網(wǎng)格,已知格點(diǎn)△ABC(頂點(diǎn)在小正方形頂
點(diǎn)處的三角形稱為格點(diǎn)三角形),請僅用無刻度直尺完成下列作圖(要求保留作圖痕跡,不要求寫作
法).
1
(1)圖1中,在AB邊上找一點(diǎn)D,作線段CD,使得SS;
ACD2ABC
3
(2)圖2中,在AB邊上找一點(diǎn)E,作線段CE,使得SS.
ACE5ABC
【變式練2】(2024廣州一模)如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格,四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,僅
用無刻度的直尺在所給定的網(wǎng)格中按要求完成下列畫圖,畫圖過程用虛線表示,畫圖結(jié)果用實線表示.
1
(1)在圖1中,先以點(diǎn)A為位似中心,將四邊形ABCD縮小為原來的2,畫出縮小后的四邊形AB1C1D1,
再在AB上畫點(diǎn)E,使得DE平分四邊形ABCD的周長;
(2)在圖2中,先在AB上畫點(diǎn)F,使得CFBC,再分別在AD,AB上畫點(diǎn)M,N,使得四邊形BCMN
是平行四邊形.
【變式練3】(2024深圳一模)如圖,四邊形ABCD為平行四邊形,E為AD的中點(diǎn),僅用無刻度的直
尺作圖:
(1)在BC上取點(diǎn)M,使四邊形ABME為平行四邊形;
(2)在CD的延長線上取一點(diǎn)F,使四邊形BDFA為平行四邊形.
考點(diǎn)1.基本尺規(guī)作圖及相應(yīng)判斷
1.(2024河北?。┯^察圖中尺規(guī)作圖的痕跡,可得線段BD一定是ABC的()
A.角平分線B.高線C.中位線D.中線
2.(2024四川成都市)如圖,在YABCD中,按以下步驟作圖:①以點(diǎn)B為圓心,以適當(dāng)長為半徑
1
作弧,分別交BA,BC于點(diǎn)M,N;②分別以M,N為圓心,以大于MN的長為半徑作弧,
2
兩弧在ABC內(nèi)交于點(diǎn)O;③作射線BO,交AD于點(diǎn)E,交CD延長線于點(diǎn)F.若CD3,
DE2,下列結(jié)論錯誤的是()
A.ABECBEB.BC5
BE5
C.DEDFD.
EF3
3.(2024武漢市)小美同學(xué)按如下步驟作四邊形ABCD:①畫MAN;②以點(diǎn)A為圓心,1個單
位長為半徑畫弧,分別交AM,AN于點(diǎn)B,D;③分別以點(diǎn)B,D為圓心,1個單位長為半徑畫弧,
兩弧交于點(diǎn)C;④連接BC,CD,BD.若A44,則CBD的大小是()
A.64B.66C.68D.70
4.(2024湖南?。┤鐖D,在銳角三角形ABC中,AD是邊BC上的高,在BA,BC上分別截取線
1
段BE,BF,使BEBF;分別以點(diǎn)E,F(xiàn)為圓心,大于EF的長為半徑畫弧,在ABC內(nèi),
2
兩弧交于點(diǎn)P,作射線BP,交AD于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MNAB于點(diǎn)N.若MN2,AD4MD,
則AM________.
5.(2024黑龍江齊齊哈爾)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)O為圓心,適當(dāng)長為半徑畫弧,交x
1
軸正半軸于點(diǎn)M,交y軸正半軸于點(diǎn)N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心,大于MN的長為半徑畫弧,兩
2
弧在第一象限交于點(diǎn)H,畫射線OH,若H2a1,a1,則a______.
6.(2024貴州?。┤鐖D,在ABC中,以點(diǎn)A為圓心,線段AB的長為半徑畫弧,交BC于點(diǎn)D,
連接AD.若AB5,則AD的長為______.
7.(2024河南省)如圖,在Rt△ABC中,CD是斜邊AB上的中線,BE∥DC交AC的延長線
于點(diǎn)E.
(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作ECM,使ECMA,且射線CM交BE于點(diǎn)F(保留作圖
痕跡,不寫作法).
(2)證明(1)中得到的四邊形CDBF是菱形
8.(2024四川達(dá)州)如圖,線段AC、BD相交于點(diǎn)O.且AB∥CD,AEBD于點(diǎn)E.
(1)尺規(guī)作圖:過點(diǎn)C作BD的垂線,垂足為點(diǎn)F、連接AF、CE;(不寫作法,保留作圖痕跡,
并標(biāo)明相應(yīng)的字母)
(2)若ABCD,請判斷四邊形AECF的形狀,并說明理由.(若前問未完成,可畫草圖完成此
問)
9.(2024廣西)如圖,在ABC中,A45,ACBC.
(1)尺規(guī)作圖:作線段AB的垂直平分線l,分別交AB,AC于點(diǎn)D,E:(要求:保留作圖痕跡,
不寫作法,標(biāo)明字母)
(2)在(1)所作的圖中,連接BE,若AB8,求BE的長.
10.(2024廣州)如圖,Rt△ABC中,.
(1)尺規(guī)作圖:作AC邊上的中線BO(保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)在(1)所作的圖中,將中線BO繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)180得到DO,連接AD,CD.求證:
四邊形ABCD是矩形.
11.(2024福建?。┤鐖D,已知直線l1l2.
(1)在l1,l2所在的平面內(nèi)求作直線l,使得ll1l2,且l與l1間的距離恰好等于l與l2間的距離;
(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)在(1)的條件下,若l1與l2間的距離為2,點(diǎn)A,B,C分別在l,l1,l2上,且ABC為等腰直角三
角形,求ABC的面積.
12.(2024甘肅臨夏)根據(jù)背景素材,探索解決問題.
平面直角坐標(biāo)系中畫一個邊長為2的正六邊形ABCDEF
背
六等分圓原理,也稱為圓周六等分問題,是一個古老而經(jīng)典的幾何問題,
景
旨在解決如何使用直尺和圓規(guī)將一個圓分成六等份的問題.這個問題由
素
歐幾里得在其名著《幾何原本》中詳細(xì)闡述.
材
已
知
點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,點(diǎn)D在x軸的正半軸上且坐標(biāo)為2,0
條
件
操①分別以點(diǎn)C,D為圓心,CD長為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)P;
作②以點(diǎn)P為圓心,PC長為半徑作圓;
步③以CD的長為半徑,在P上順次截取DEEFFAAB;
驟
④順次連接DE,EF,F(xiàn)A,AB,BC,得到正六邊形ABCDEF.
問題解決
任
根據(jù)以上信息,請你用不帶刻度的直尺和圓規(guī),在圖中完成這道作圖題(保留作圖痕跡,不寫
務(wù)
作法)
一
任
務(wù)將正六邊形ABCDEF繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)60,直接寫出此時點(diǎn)E所在位置的坐標(biāo):______.
二
13.(2024甘肅威武)馬家窯文化以發(fā)達(dá)的彩陶著稱于世,其陶質(zhì)堅固,器表細(xì)膩,紅、黑、白彩共
用,彩繪線條流暢細(xì)致,圖案繁縟多變,形成了絢麗典雅的藝術(shù)風(fēng)格,創(chuàng)造了一大批令人驚嘆的彩陶
藝術(shù)精品,體現(xiàn)了古代勞動人民的智慧.如圖1的彩陶紋樣呈現(xiàn)的是三等分圓周,古人用等邊三角形
三點(diǎn)定位的方法確定圓周的三等分點(diǎn),這種方法和下面三等分圓周的方法相通.如圖2,已知O和
圓上一點(diǎn)M.作法如下:
①以點(diǎn)M為圓心,OM長為半徑,作弧交O于A,B兩點(diǎn);
②延長MO交O于點(diǎn)C;
即點(diǎn)A,B,C將O的圓周三等分.
(1)請你依據(jù)以上步驟,用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在圖2中將O的圓周三等分(保留作圖痕跡,
不寫作法);
(2)根據(jù)(1)畫出的圖形,連接AB,AC,BC,若O的半徑為2cm,則ABC的周長為______cm.
考點(diǎn)2.無刻度直尺作圖
1.(2024天津市)如圖,在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中,點(diǎn)A,F,G均在格點(diǎn)上.
(1)線段AG的長為______;
(2)點(diǎn)E在水平網(wǎng)格線上,過點(diǎn)A,E,F作圓,經(jīng)過圓與水平網(wǎng)格線的交點(diǎn)作切線,分別與AE,AF
的延長線相交于點(diǎn)B,C,△ABC中,點(diǎn)M在邊BC上,點(diǎn)N在邊AB上,點(diǎn)P在邊AC上.請用無.
刻.度.的直尺,在如圖所示的網(wǎng)格中,畫出點(diǎn)M,N,P,使△MNP的周長最短,并簡要說明點(diǎn)M,N,P
的位置是如何找到的(不要求證明)______.
2.(2024吉林?。﹫D①、圖②均是44的正方形網(wǎng)格,每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).點(diǎn)A,B,C,
D,E,O均在格點(diǎn)上.圖①中已畫出四邊形ABCD,圖②中已畫出以O(shè)E為半徑的O,只用無刻
度的直尺,在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖.
(1)在圖①中,面出四邊形ABCD的一條對稱軸.
(2)在圖②中,畫出經(jīng)過點(diǎn)E的O的切線.
3.(2024江西省)如圖,AC為菱形ABCD的對角線,請僅用無.刻.度.的.直.尺.按要求完成以下作圖(保
留作圖痕跡)
(1)如圖1,過點(diǎn)B作AC的垂線;
(2)如圖2,點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn),過點(diǎn)B作AC的平行線.
考點(diǎn)1.基本尺規(guī)作圖及相應(yīng)判斷
1.如圖,在ABC中,AB=AC,∠A=36°,由圖中的尺規(guī)作圖得到的射線與AC交于點(diǎn)D,則以下推斷
錯誤的是(△)
1
A.BDBCB.ADBDC.ADB108D.CDAD
2
2.(2021湖北黃石)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,按以下步驟作圖:①以B為圓心,任
意長為半徑作弧,分別交BA、BC于M、N兩點(diǎn);②分別以M、N為圓心,以大于MN的長為半徑
作弧,兩弧相交于點(diǎn)P;③作射線BP,交邊AC于D點(diǎn).若AB=10,BC=6,則線段CD的長為()
A.3B.C.D.
3.如圖,已知直線AB和AB上的一點(diǎn)C,過點(diǎn)C作直線AB的垂線,步驟如下:
第一步:以點(diǎn)C為圓心,以任意長為半徑作弧,交直線AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E;
第二步:分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心,以a為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)F;
第三步:作直線CF,直線CF即為所求.
下列關(guān)于a的說法正確的是()
1111
A.a≥DEB.a≤DEC.aDED.aDE
2222
4.如圖,在△ABC中,以A為圓心,任意長為半徑畫弧,分別交AB、AC于點(diǎn)M、N;再分別以M、
N為圓心,大于MN的長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P;連結(jié)AP并延長交BC于點(diǎn)D.則下列說法正
確的是()
A.AD+BD<ABB.AD一定經(jīng)過△ABC的重心
C.∠BAD=∠CADD.AD一定經(jīng)過△ABC的外心
5.如圖,等腰△AOB中,頂角∠AOB=40°,用尺規(guī)按①到④的步驟操作:
①以O(shè)為圓心,OA為半徑畫圓;
②在O上任取一點(diǎn)P(不與點(diǎn)A,B重合),連接AP;
③作⊙AB的垂直平分線與O交于M,N;
④作AP的垂直平分線與⊙O交于E,F(xiàn).
結(jié)論Ⅰ:順次連接M,E,⊙N,F(xiàn)四點(diǎn)必能得到矩形;
結(jié)論Ⅱ:O上只有唯一的點(diǎn)P,使得S扇形FOM=S扇形AOB.
對于結(jié)論⊙Ⅰ和Ⅱ,下列判斷正確的是()
A.Ⅰ和Ⅱ都對B.Ⅰ和Ⅱ都不對C.Ⅰ不對Ⅱ?qū).Ⅰ對Ⅱ不對
1
6.如圖,線段AB是半圓O的直徑。分別以點(diǎn)A和點(diǎn)O為圓心,大于AO的長為半徑作弧,兩弧交
2
于M,N兩點(diǎn),作直線MN,交半圓O于點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)E,連接AC,BC,若AE1,則BC
的長是()
AB.C.D.
.234632
7.已知線段AB,按如下步驟作圖:①作射線AC,使AC⊥AB;③以點(diǎn)A為圓心,AB長為半徑作
??;④過點(diǎn)E作EP⊥AB于點(diǎn)P,則AP:AB=()
A.1:B.1:2C.1:D.1:
8.已知:?AOCD的頂點(diǎn)O(0,0),點(diǎn)C在x軸的正半軸上,按以下步驟作圖:
①以點(diǎn)O為圓心,適當(dāng)長為半徑畫弧,分別交OA于點(diǎn)M,交OC于點(diǎn)N.
②分別以點(diǎn)M,N為圓心,大于MN的長為半徑畫弧,兩弧在∠AOC內(nèi)相交于點(diǎn)E.
③畫射線OE,交AD于點(diǎn)F(2,3),則點(diǎn)A的坐標(biāo)為()
A.(,3)B.(3﹣,3)C.(﹣,3)D.(2﹣,3)
1
9.如圖,在RtABC中,C90,B20,分別以點(diǎn)A,B為圓心,大于AB的長為半徑
2
作弧,兩弧分別相交于點(diǎn)M,N,作直線MN,交BC于點(diǎn)D,連接AD,則CAD的度數(shù)為_____.
10.如圖,∠MON=40°,以O(shè)為圓心,4為半徑作弧交OM于點(diǎn)A,交ON于點(diǎn)B,分別以點(diǎn)A,
B為圓心,大于AB的長為半徑畫弧,兩弧在∠MON的內(nèi)部相交于點(diǎn)C,畫射線OC交于點(diǎn)D,
E為OA上一動點(diǎn),連接BE,DE,則陰影部分周長的最小值為.
11.如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,以點(diǎn)B為圓心、BC的長為半徑畫弧交AD于點(diǎn)E,
1
再分別以點(diǎn)C,E為圓心、大于CE的長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)F,作射線BF交CD于點(diǎn)G,則
2
CG的長為__________________.
12.如圖,已知△ABC,CACB,ACD是ABC的一個外角.請用尺規(guī)作圖法,求作射線CP,
使CP∥AB.(保留作圖痕跡,不寫作法)
13.請用直尺、圓規(guī)作圖,不寫作法,但要保留作圖痕跡.
已知:∠,直線l及l(fā)上兩點(diǎn)A,B.
求作:Rt△αABC,使點(diǎn)C在直線l的上方,且∠ABC=90°,∠BAC=∠.
α
14.如圖,BD是菱形ABCD的對角線,∠CBD=75°,
(1)請用尺規(guī)作圖法,作AB的垂直平分線EF,垂足為E,交AD于F;(不要求寫作法,保留作
圖痕跡)
(2)在(1)條件下,連接BF,求∠DBF的度數(shù).
15.如圖,四邊形ABCD是矩形.
(1)用尺規(guī)作線段AC的垂直平分線,交AB于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F(不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)若BC=4,∠BAC=30°,求BE的長.
16.如
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