2025年中考數(shù)學(xué)模擬考試卷（含答案上海地區(qū)）

數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：100分鐘試卷滿分：150分）

考生注意：

1.本試卷共6頁，25道試題，滿分150分，考試時(shí)間100分鐘.

2.本試卷分設(shè)試卷和答題紙.試卷包括試題與答題要求.作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題

紙上，在試卷上作答一律不得分.

3.答卷前，務(wù)必用鋼筆或圓珠筆在答題紙正面清楚地填寫姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼等相關(guān)信息.

一.選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，選擇正確的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】

1.泥的相反數(shù)是（）

A.V5B.-75C.1D-a

2.下列運(yùn)算正確的是（）

,qs

A.a+a=aB.(ab)2=ab1

C.（〃+b）2=〃2+房D.(a-6)=a2-b1

3.若反比例函數(shù)（AWO）,經(jīng)過第二、四象限，則々的取值范圍是（）

X

A.k>4B.左>0C.k<4D.

4.某同學(xué)對(duì)數(shù)據(jù)26,36,36,46,5?，52進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字被墨水涂污看不

到了，則計(jì)算結(jié)果與被涂污數(shù)字無關(guān)的是（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.方差D.眾數(shù)

5.下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）

A.等邊三角形B.矩形C.正五邊形D.等腰梯形

6.把球放在長(zhǎng)方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖，已知EF=CD=8cm,則球的半徑長(zhǎng)是（）

AD

77

Cl

3r

A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm

二.填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

【請(qǐng)將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】

7.若單項(xiàng)式工&k1/與-2a3〃的和仍是單項(xiàng)式，則2m-n的值為

3

8.已知/(x)=%2-2%+3,那么/(2)=.

9.方程組[x-y=5的解是.

[xy=-6

10.若關(guān)于尤的一元二次方程依2-2x+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍

是?

11.不透明的袋子中裝了2個(gè)紅球，1個(gè)黑球，1個(gè)白球，這些球除顏色外無其它差別，從袋子中隨機(jī)摸出

2個(gè)球，摸出1個(gè)紅球1個(gè)黑球的概率為.

12.某商店1月份盈利2400元，3月份的盈利達(dá)到3456元，且從1月到3月每月盈利的平均增長(zhǎng)率都相

同，則每月盈利的平均增長(zhǎng)率為.

13.某校學(xué)生“數(shù)學(xué)速算”大賽成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖(每一組含前一個(gè)邊界值，不含后一個(gè)邊界值)如

圖所示，其中成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生有人.

某校學(xué)生“數(shù)學(xué)速算”大賽成績(jī)的頻數(shù)直方圖

15.如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E是邊中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AE交對(duì)角線于F,設(shè)AB=a，BC=b，

那么而可用Z、E表示為_______________________

16.我國(guó)古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，請(qǐng)人去買幾株椽.每株腳錢

三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽.”其大意：現(xiàn)請(qǐng)人代買一批椽，這批椽的價(jià)錢為6210文.如果每株椽的運(yùn)

費(fèi)是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢，試問6210文能買多少株椽?

若設(shè)這批椽的數(shù)量為x株，則可列分式方程為

17.如圖，已知△ABC中，ZBAC=30°，NB=70°,如果將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到B'C,

使點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)夕落在邊AC上，那么/AA'"的度數(shù)是

A

18.如果一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角a與0滿足2a+B=90°,那么我們稱這樣的三角形為“倍角互余三角形”.已

知在Rt^ABC中，ZACB=90°,BC=4,AB=5,點(diǎn)。在邊8C上，且△A3。是“倍角互余三角形”，

那么BD的長(zhǎng)等于.

三、解答題（共7小題，共78分）

【請(qǐng)將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】

1J_

19.（本題滿分10分）計(jì)算：_正+45+（遙）9+（泥產(chǎn)

20.（本題滿分10分）

‘5x+2》4x+l

解不等式組:x+1〉x-3

丁丁+1

21.（本題滿分10分，每小題滿分各5分）

如圖，直線y=-2x+b與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A,B,以線段A3為邊在第一象限作正方形ABC。，已

知A8=2后

（1）求直線A8的解析式;

（2）求點(diǎn)。的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)。是否在雙曲線上，說明理由.

x

22.（本題滿分10分，每小題滿分各5分）

問題背景：在某次活動(dòng)課中，甲、乙兩個(gè)學(xué)習(xí)小組于同一時(shí)刻在陽光下對(duì)校園中的旗桿和景觀燈進(jìn)行了測(cè)

量.下面是他們通過測(cè)量得到的一些信息：

甲組：如圖1,測(cè)得學(xué)校旗桿的影長(zhǎng)為900。"，在影子的外端尸點(diǎn)處測(cè)得旗桿頂端E的仰角為53°.

乙組：如圖2,測(cè)得校園景觀燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細(xì)忽略不計(jì)）的高度為200cm,

影長(zhǎng)為156。加

任務(wù)要求：

(1)請(qǐng)根據(jù)以上的信息計(jì)算出學(xué)校旗桿的高度；

(2)如圖2,設(shè)太陽光線NH與。。相切于點(diǎn)請(qǐng)根據(jù)以上的信息，求景觀燈燈罩的半徑(景觀燈的

影長(zhǎng)等于線段NG的影長(zhǎng).)(參考數(shù)據(jù)：sin53°七匹，cos53°七旦，tan53°-&)

553

己知：如圖，兩個(gè)△D48和△EBC中，DA=DB,EB=EC,ZADB=ZBEC,且點(diǎn)A、B、C在一條直線

上，聯(lián)結(jié)AE、ED,AE與BD交于點(diǎn)F.

(1)求證：此望_；

BFBC

(2)如果臺(tái)F二切斜友^求證：DF=BE.

24.(本題滿分12分，第(1)小題滿分4分，第(2)小題滿分3分，第(3)小題滿分5分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線＞=￥+公+。與無軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)8(3,0),與y軸

交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為點(diǎn)D.

(1)求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)聯(lián)結(jié)BC、BD,求/C8。的正切值；

(3)若點(diǎn)P為無軸上一點(diǎn)，當(dāng)△8DP與△ABC相似時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

25.(本題滿分14分，第(1)小題滿分4分，第(2)小題滿分4分，第(3)小題滿分6分)

如圖，已知中，ZACB=90°，BC=2,AC=3,以點(diǎn)C為圓心、C8為半徑的圓交4?于點(diǎn)

過點(diǎn)A作AE〃CD,交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E

(1)求CE的長(zhǎng);

(2)尸是CE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，直線AP、交于點(diǎn)。.

①如果求C尸的長(zhǎng);

②如果以點(diǎn)A為圓心，AQ為半徑的圓與。C相切，求CP的長(zhǎng).

數(shù)學(xué)?全解全析

123456

BDCBBB

一.選擇題（共6小題）

1.泥的相反數(shù)是（）

A.V5B.-V5

【分析】根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，可得答案.

【解答】解：述的相反數(shù)是-遙.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，在一個(gè)數(shù)的前面加上負(fù)號(hào)就是這個(gè)數(shù)的相反數(shù).

2.下列運(yùn)算正確的是()

A.〃+〃=〃B.(ab)2=ab2

C.(〃+/?)2=cP+b2D.(〃+/?)(〃-/?)=a2-b2

【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則，積的乘方的運(yùn)算法則，完全平方公式以及平方差公式即可作出判斷.

【解答】解：A、/和/不是同類項(xiàng)，不能合并，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、（ab）2—a2b2,故本選項(xiàng)不符合題意；

C、（a+6）2=a2+2ab+b2,故本選項(xiàng)不符合題意；

D、（a+b）（a-b）=cr-b1,故本選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方差公式和完全平方公式的運(yùn)用以及合并同類項(xiàng)法則，積的乘方的運(yùn)算法則，理

解公式結(jié)構(gòu)是關(guān)鍵，需要熟練掌握并靈活運(yùn)用.

3.若反比例函數(shù)y=X二2（左W0）,經(jīng)過第二、四象限，則左的取值范圍是（）

X

A.Z>4B.%>0C.k<AD.k<0

【分析】直接利用當(dāng)ZVO,雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，進(jìn)而分析得出答案.

【解答】解：..?反比例函數(shù)y=上哇（左/0）,經(jīng)過第二、四象限，

X

"-4<0,

解得：k<4.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確掌握反比例函數(shù)圖象分布規(guī)律是解題關(guān)鍵.

4.某同學(xué)對(duì)數(shù)據(jù)26,36,36,46,5?，52進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字被墨水涂污看不

到了，則計(jì)算結(jié)果與被涂污數(shù)字無關(guān)的是（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.方差D.眾數(shù)

【分析】利用平均數(shù)、中位數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【解答】解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差都與第5個(gè)數(shù)有關(guān)，而這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為36與46的

平均數(shù)，與第5個(gè)數(shù)無關(guān).

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方差：它也描述了數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的離散程度.也考查了中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)的概

念.

5.下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）

A.等邊三角形B.矩形C.正五邊形D.等腰梯形

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解.

【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形；

8、是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形；

C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形；

。、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】解答此題要掌握等邊三角形、矩形、正五邊形和等腰梯形的性質(zhì)以及中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖

形的概念：

軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；

中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)180。后與原圖重合.

6.把球放在長(zhǎng)方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖，已知EF=CD=8cm,則球的半徑長(zhǎng)是（）

4尸口

B-----------*--------------C

A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm

【分析】設(shè)圓心為。，過點(diǎn)0作ON上AD于點(diǎn)N,交CB于點(diǎn)M,連接OF,設(shè)OF=xcm,則ON=（8

-x）cm,NE=NF=4,然后在Rt/XNOF中利用勾股定理求得。尸的長(zhǎng)即可.

【解答】解：設(shè)圓心為。，過點(diǎn)。作。于點(diǎn)N,交CB于點(diǎn)、M,連接OR

wE/丁、尸D

:

**r

p)

B-----------芍C

:四邊形ABC。是矩形，

AZC=ZD=90°,

四邊形CDMW是矩形，

：.MN=CD=8,

設(shè)OF=xcm,則OM=OF,

：.ON=MN-OM=(8-x)cm,NF=EN=4cm,

在RtZXONE中，ON2+N_F2=O產(chǎn)

即：(8-x)2+42=X2

解得：x=5,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主考查垂徑定理及勾股定理的知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

二.填空題(共12小題)

7.若單項(xiàng)式與-2a3〃的和仍是單項(xiàng)式，則2m-n的值為1.

3

【分析】由題意得到兩單項(xiàng)式為同類項(xiàng)，利用同類項(xiàng)定義確定出機(jī)與W的值，代入代數(shù)式求解.

【解答】解：...單項(xiàng)式上2/1/與-2/b”的和仍是單項(xiàng)式，

3

△m+13與_2后〃是同類項(xiàng)，

3

??加+1—?3,〃3,

??機(jī)=2,n=39

.\2m-2=4-3=l.

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了單項(xiàng)式的定義、同類項(xiàng)、代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是掌握同類項(xiàng)的概念.

8.已知無)=/-2x+3,那么/(2)=3.

【分析】將x=2代入/(x)=/-2x+3求解即可.

【解答】解：將尤=2代入y(x)—X2-2x+3,

得/⑵=4-4+3=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)值，熟練掌握代入法是解題的關(guān)鍵.

f-=5X[=2X=3

9.方程組x>v7'的解是_1,21

lxy=-6=-3[y2=~2

【分析】解二元二次方程組，用代入消元轉(zhuǎn)化成一元二次方程，解出方程即可.

【解答】解：卜①

xy=-6②

由①得：y=x-5

將③代入②：x(%-5)=-6,

整理得：x2-5x+6=0,

xi=2,X2=3.

將上述X代入③,

得：yi=-3,y2=-2.

x.=2③=3

...方程組的解：

了尸3*=-2

Xj=2(X2=3

故答案為:

Vl=-3'1丫2=-2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二元二次方程組，考核的是學(xué)生解二元二次方程組的能力以及轉(zhuǎn)化思想，因?yàn)楹?/p>

有二次項(xiàng)，所以運(yùn)用代入消元法轉(zhuǎn)化成一元二次方程是關(guān)鍵.

10.若關(guān)于X的一元二次方程kx1-2x+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是■且k手

0.

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式進(jìn)行求解即可.

【解答】解：..?關(guān)于x的一元二次方程依2-2x+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

A=(-2)2-4X2k>0

k卉0

k<-l>左wo.

故答案為：卜<尚且左力。?

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程的定義和一元二次方程根的判別式，對(duì)于一元二次方程cur+bx+c

=0(。/0)，若A=b2-4ac>0,則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若A=b2-4ac=0,則方程有兩個(gè)相

等的實(shí)數(shù)根，若A=62-4ac<0,則方程沒有實(shí)數(shù)根.

11.不透明的袋子中裝了2個(gè)紅球，1個(gè)黑球，1個(gè)白球，這些球除顏色外無其它差別，從袋子中隨機(jī)摸出

2個(gè)球，摸出1個(gè)紅球1個(gè)黑球的概率為1.

【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中摸出1個(gè)紅球1個(gè)黑球的結(jié)果有4種，再由概率公

式求解即可.

【解答】解：畫樹狀圖如下：

開始

白黑紅紅

黑紅紅白紅紅白黑紅白黑紅

共有12種等可能的結(jié)果，其中摸出1個(gè)紅球1個(gè)黑球的結(jié)果有4種，

摸出1個(gè)紅球1個(gè)黑球的概率為

123

故答案為：1.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用樹狀圖法求概率.樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩

步或兩步以上完成的事件，注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

12.某商店1月份盈利2400元，3月份的盈利達(dá)到3456元，且從1月至U3月每月盈利的平均增長(zhǎng)率都相

同，則每月盈利的平均增長(zhǎng)率為20%.

【分析】設(shè)該商店的月平均增長(zhǎng)率為無，根據(jù)等量關(guān)系：1月份盈利額X（1+增長(zhǎng)率）2=3月份的盈利

額列出方程求解即可.

【解答】解：設(shè)從1月到3月，每月盈利的平均增長(zhǎng)率為x,由題意可得：

2400（1+x）2=3456

解得：xi=0.2=20%,%2=-2.2（舍去）

答：每月盈利的平均增長(zhǎng)率為20%.

故答案為：20%.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，屬于增長(zhǎng)率的問題，一般公式為原來的量義（l±x）2=

后來的量，其中增長(zhǎng)用+,減少用

13.某校學(xué)生“數(shù)學(xué)速算”大賽成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖（每一組含前一個(gè)邊界值，不含后一個(gè)邊界值）如

圖所示，其中成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生有135人.

某校學(xué)生“數(shù)學(xué)速算”大賽成績(jī)的頻數(shù)直方圖

【分析】根據(jù)題意和直方圖中的數(shù)據(jù)可以求得成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生人數(shù)，本題得以解決.

【解答】解：由直方圖可得，

成績(jī)?yōu)?0分及以上的學(xué)生有：90+45=135（人），

故答案為：135.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻數(shù)分布直方圖，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

14.已知直線經(jīng)過第一、二、四象限，那么直線后=知+1-4不經(jīng)過第三象限.

【分析】由直線經(jīng)過一、二、四象限可分析上<0,b>0,由此判定>=丘+1-左不經(jīng)過第三象限.

【解答】解：???直線經(jīng)過第一、二、四象限，

：.k<0,b>0,

：.]-k>0,

直線y=fcv+l-左一定不經(jīng)過第三象限.

故答案為：三.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一次函數(shù)圖象在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置與晨6的關(guān)系.解答本題注意理解：直線y=

kx+b所在的位置與鼠。的符號(hào)有直接的關(guān)系.左>0時(shí)，直線必經(jīng)過一、三象限.左<0時(shí)，直線必經(jīng)過

二、四象限.6>0時(shí)，直線與y軸正半軸相交.6=0時(shí)，直線過原點(diǎn)；b<0時(shí)，直線與y軸負(fù)半軸相

交.

15.如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E是邊中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AE交對(duì)角線8。于F,設(shè)AB=a，BC=b，

那么而可用Z、E表示為--a±—b

―33'

【分析】根據(jù)三角形法則求得而；利用平行四邊形的性質(zhì)和平行線分線段成比例求得BF=2B。，繼而

3

求得答案.

【解答】解：：四邊形ABC。是平行四邊形,

\AD=BC,AD//BC,

1-BC=AD=b)

BD=BA+AD=-a+b，

.?在平行四邊形ABC。中，AB=CD,AB//CD,

?DE=DF

,ABW

??點(diǎn)E是邊CD中點(diǎn)，

?DE=DF=1

lABBF2"

?.即=上即=-'a+'b.

333

故答案是：-2a+Zb.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常

考題型.

16.我國(guó)古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，請(qǐng)人去買幾株椽.每株腳錢

三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽.”其大意：現(xiàn)請(qǐng)人代買一批椽，這批椽的價(jià)錢為6210文.如果每株椽的運(yùn)

費(fèi)是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢，試問6210文能買多少株椽？

若設(shè)這批椽的數(shù)量為x株，則可列分式方程為一絲典=3(x-l)_.

x

【分析】根據(jù)題意可知：尤株需要6210文，(x-1)株的運(yùn)費(fèi)=一株椽的價(jià)錢，從而可以列出相應(yīng)的方

程.

【解答】解：設(shè)這批椽的數(shù)量為無株，

由題意可得：絲典=3(x7)，

x

故答案為：絲典=3(x-l>

x

【點(diǎn)評(píng)】本題考查由實(shí)際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程.

17.如圖，已知△ABC中，ZBAC=30°,ZB=70°,如果將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到AA'B'C,

使點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)8'落在邊AC上，那么/A4'B'的度數(shù)是20°

【分析】分別求出/CA'A,ZCA'B'可得結(jié)論.

【解答】解：在△ABC中，ZBAC=30°,NB=70：

：.ZACB=180°-ZB-ZBAC=180°-70°-30°=80°,

由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，ZACB=ZACA'=80°,CA=CA',

：.ZCAA'=NCA'(180°-80°)=50°,

2

AZAAZB'=ZCA'A-ZCA'B'=50°-30°=20°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意,

靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

18.如果一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角a與0滿足2a+0=9O°,那么我們稱這樣的三角形為“倍角互余三角形”.已

知在Rt^ABC中，ZACB=90°,BC=4,AB=5,點(diǎn)。在邊上，且△A3。是“倍角互余三角形”，

那么BD的長(zhǎng)等于$或工.

一2-4一

【分析】作。于反，根據(jù)定義規(guī)定分別得出NCAO=a或NCW=。這兩種情況，再分別根據(jù)全

等和相似計(jì)算即可.

【解答】解：如圖1,AB=5,

：.AC=3,

作。H_LAB于H,設(shè)NBAZ)=a,ZABD=^>,

①當(dāng)2a+p=90°時(shí)，

VZACB=90°,

AZCA￡)+a+p=90o,

NCAD=a,

u：DHLAB,

：.AADC^AADH(A4S),

：.AH=AC=3,

：.BH=5-3=2,設(shè)

:?CD=4-x=DH,

(4-x)2+22=X2,

.??人『5,

2

即BD=3.

2

②當(dāng)2p+a=90°時(shí)，

.?.ZCAD=P，

.?.△CAZJ^ACBA,

Z.CD：AC=AC：CB,

即CD：3=3：4,

4

：.BD=4-9=1.

44

圖1

故答案為為：$或工.

24

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等、相似、勾股定理是解題關(guān)鍵.

三.解答題（共7小題）

11

19.計(jì)算：-立+4萬+（而）匕（右）7.

【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則，先計(jì)算分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，再計(jì)算除法，最后計(jì)算加法.

【解答】解：一正+4萬+(遙)9+(V5)7

=-2+2+(遍)2

=-2+2+5

=5.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、分?jǐn)?shù)指數(shù)塞，熟練掌握實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則、分?jǐn)?shù)指數(shù)幕是解

決本題的關(guān)鍵.

‘5x+2》4x+l

20.解不等式組：，x+1、x-3-

I丁＞丁+1

【分析】分別解兩個(gè)不等式，求解集的公共部分即可.

5x+2》4x+l①

解不等式①得：尤2-1,

解不等式②得：尤＜3.

不等式組的解集為-lWx＜3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解一元一次不等式組，解題關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次不等式的步驟.

21.如圖，直線y=-2x+6與無軸、y軸分別相交于點(diǎn)A,B,以線段AB為邊在第一象限作正方形A2CD,

已知4?=2遙.

(1)求直線AB的解析式；

(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)。是否在雙曲線y=」2上，說明理由.

【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)A,8的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式;

(2)作。P_L無軸于尸，易證(A4S),利用全等三角形的性質(zhì)可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利

用k=xy即可判斷.

【解答】解：(1):直線y=-2x+6與無軸、y軸分別相交于點(diǎn)A,B,

：.A(A,0),B(0,b),

2

.'.OA=—,OB=b,

2

VAB2=OA2+OB2,

(2^5)2=(A)2+b2,解得b=4(負(fù)數(shù)舍去)，

2

直線AB的解析式為y=-2x+4.

(2)由(1)可知。1=2,。2=4,

作。F_Lx軸于R則/AED=90。,

:正方形ABCD

：.BA=AD,ZBAD=9Q°,ZBAO+ZDAF=9Q°,

VZBAO+ZABO=90°,

ZABO^ZDAF.

，ZAFD=ZBOA=90°

在△AD尸和△BA。中，，NDAF=NABO，

AD=BA

?.AADF^/\BAOCAAS),

：.AF=BO=4,DF=AO=2,

.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為(6,2),

：6X2=12,

...點(diǎn)。在雙曲線上.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及反比

例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析

式；（2）利用全等三角形的性質(zhì)，求出點(diǎn)。的坐標(biāo).

22.問題背景：在某次活動(dòng)課中，甲、乙兩個(gè)學(xué)習(xí)小組于同一時(shí)刻在陽光下對(duì)校園中的旗桿和景觀燈進(jìn)行

了測(cè)量.下面是他們通過測(cè)量得到的一些信息：

甲組：如圖1,測(cè)得學(xué)校旗桿的影長(zhǎng)為900cm,在影子的外端歹點(diǎn)處測(cè)得旗桿頂端E的仰角為53°.

乙組：如圖2,測(cè)得校園景觀燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細(xì)忽略不計(jì)）的高度為200cm,

影長(zhǎng)為156cm.

任務(wù)要求：

(1)請(qǐng)根據(jù)以上的信息計(jì)算出學(xué)校旗桿的高度；

(2)如圖2,設(shè)太陽光線NH與。。相切于點(diǎn)請(qǐng)根據(jù)以上的信息，求景觀燈燈罩的半徑(景觀燈的

影長(zhǎng)等于線段NG的影長(zhǎng).)(參考數(shù)據(jù)：sin53°^1,cos53°仁旦，tan53°弋星)

553

【分析】(1)在m中，利用銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答；

(2)連接。根據(jù)題意可得NNHG=53°,然后在RtZ\NGH中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出NG

的長(zhǎng)，從而利用勾股定理求出NH的長(zhǎng)，再利用切線的性質(zhì)可得NOMN=90°,最后設(shè)景觀燈燈罩的半

徑為rem,再證明利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：(1)在RtZYDEF中，NEFD=53°,DF=900cm,

：.ED^DF-tan53°心900義4=1200(cm)=12Gn),

3

???學(xué)校旗桿的高度約為12m；

(2)連接。M,

/NHG=/EFD=53°,

在RtZkNGH中，GH=156cm,

，NG=GH?tan53°^156xA=208(cm),

3

NH=22

VNG4＜；H=V2082+1562=260〈cm),

'：KG=2Q0cm,

：.NK=NG-GK=S(an),

設(shè)景觀燈燈罩的半徑為rem,

:太陽光線NH與?O相切于點(diǎn)M,

：./OMN=90°,

/.ZOMN=ZNGH=90°,

:ZN=ZN,

：.ANMOsANGH,

?OM=NO；

"GH而，

?r=r+8,

"156260，

：.r=n,

景觀燈燈罩的半徑為12cm.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，切線的性質(zhì)，平行投影，中心投

影，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

23.己知：如圖，兩個(gè)△ZM3和△EBC中，DA=DB,EB=EC,/ADB=/BEC,且點(diǎn)A、B、C在一條

直線上，聯(lián)結(jié)AE、ED,AE與8。交于點(diǎn)尸.

(1)求證：亞望；

BFBC

(2)如果BE2=BF?BD,求證：DF=BE.

【分析】(1)根據(jù)已知易證△DABs△EBC,然后利用相似三角形的性質(zhì)可得NZ)AB=/E8C,噠=

EB

膽，從而可得AD〃EB,進(jìn)而證明8字模型相似三角形最后利用相似三角形的性質(zhì)可

BC

得膽=更，即可解答；

EBBF

(2)根據(jù)已知易證ABT茁s△BE。，從而利用相似三角形的性質(zhì)可得N2￡F=NB￡)E,進(jìn)而可得/IMF

=NBDE,然后利用(1)的結(jié)論可證△AQFgZiDBE,再利用全等三角形的性質(zhì)即可解答.

【解答】證明：(1);DA=DB,EB=EC,

?DA=DB

"EBEC，

NADB=/BEC,

:.ADABsAEBC,

：.ZDAB=ZEBC,處=幽

EBBC

：.AD//EB,

：.ZDAF=ZAEB,ZADF=ZDBE,

：.AADFs^EBF,

.AD=DF

"EB而，

?DFAB.

,?而同‘

(2)'：BEr=BF'BD,

.BE=BD

"BFBE"

??ZDBE=ZEBF,

:.△BFEsABED,

：.NBEF=ZBDE,

:NDAF=ZAEB,

：./DAF=ZBDE,

,：ZADF=ZDBE,AD=DB,

：.AADF^^DBE(ASA),

：.DF=BE.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定

與性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，拋物線y=/+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)8(3,0),與

y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為點(diǎn)D.

(1)求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)聯(lián)結(jié)BC、BD,求/CBD的正切值;

【分析】(1)由待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式，當(dāng)x=0時(shí)，可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)證出488=90°.由銳角三角函數(shù)的定義可得出答案；

(3)證出分兩種情況，由相似三角形的判定與性質(zhì)可得出B尸的長(zhǎng)，則可得出答案.

【解答】解：(1)將A(-1,0)、8(3,0)代入y=x2+b尤+c,

得(l-b+c=0,解得：(b=-2,

I9+3b+c=0Ic=_3

所以拋物線的表達(dá)式為y=/-2尤-3.

當(dāng)x—0時(shí)，y--3.

.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3).

(2)-2x-3=(x-1)2-4,

.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,-4).

,：B(3,0)