2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練：三角形中的重要模型之特殊三角形中的分類(lèi)討論模型解讀與提分訓(xùn)練（原卷版）

專題10三角形中的重要模型之特殊三角形中的分類(lèi)討論模型

特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分類(lèi)討論模型，是初中各類(lèi)考試中幾何壓軸題的?？?，并

且形式多樣，內(nèi)容新穎，能較好地考查同學(xué)們的應(yīng)用意識(shí)和思維能力。在歷年中考當(dāng)中，很多考生因?yàn)樵?/p>

處理等腰三角形和直角三角形有關(guān)的多解問(wèn)題時(shí)，常常考慮不全面，導(dǎo)致漏解丟分。在學(xué)習(xí)等腰或直角三

角形的性質(zhì)和判定時(shí)，分類(lèi)討論的思想尤為重要，希望大家要認(rèn)真對(duì)待。本專題將把特殊三角形分類(lèi)討論

情形作系統(tǒng)的歸納與介紹，方便大家對(duì)它有個(gè)全面的了解與掌握。

目錄導(dǎo)航

例題講模型

2

模型1.等腰三角形中的分類(lèi)討論模型-對(duì)角（邊）與高的分類(lèi)討論模型.......................2

模型2.等腰三角形中的分類(lèi)討論模型-對(duì)邊的分類(lèi)討論模型.................................3

模型3.直角三角形中的分類(lèi)討論模型-斜邊（或直角）不確定的直角三角形模型...............5

模型4.直角三角形中的分類(lèi)討論模型-直角三角形存在性模型................................6

習(xí)題練模型

10

例題講模型］

模型1.等腰三角形中的分類(lèi)討論模型-對(duì)角（邊）與高的分類(lèi)討論模型

模型解讀

1）若等腰三角形沒(méi)有明確角的種類(lèi)，要分類(lèi)討論；從銳角等腰三角形和鈍角等腰三角形的角度入手分頂角

與底角兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論。當(dāng)然有時(shí)候已知條件是以邊的形式給出，我們討論頂角和底角與討論底和

腰的原理相同。

2）若等腰三角形沒(méi)有明確高的位置，要分類(lèi)討論；從銳角等腰三角形和鈍角等腰三角形的角度入手分腰上

高與底邊高、界內(nèi)高與界外高兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論。

模型運(yùn)用

例1.（24-25九年級(jí)上?山東?期末）若等腰V/2C內(nèi)接于O。，AB=AC,Z5OC=100°,則V48c底角的

度數(shù)為（）

A.65°B.25°C.65°或25°D.65°或35°

例2.（2023?四川廣元?八年級(jí)校聯(lián)考期中）己知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°,那么這個(gè)等

腰三角形的頂角等于（）

A.40°B.140°或40°C.15?；?5°D.140°

例3.（2023春?山東棗莊?八年級(jí)?？计谥校┮阎獂,y滿足|4-司+而？=0,則以i,'的值為兩邊長(zhǎng)的等

腰三角形的周長(zhǎng)是（）

A.20或16B.20C.16D.以上答案均不對(duì)

例4.（2024八年級(jí)上?湖北?專題練習(xí)）等腰三角形三邊長(zhǎng)分別為。，2a-3,3a-5,則等腰三角形的周長(zhǎng)

為（）

A.10B.7或10C.7或4D.10或7或4

例5.（24-25八年級(jí)上?浙江嘉興?階段練習(xí)）等腰三角形一腰上的中線將這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)分為6cm和

15cm兩部分，那么這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)是.

模型2.等腰三角形中的分類(lèi)討論模型-對(duì)邊的分類(lèi)討論模型

模型解讀

1）等腰三角形沒(méi)有明確邊的種類(lèi)，要分類(lèi)討論；結(jié)合三角形三邊關(guān)系分腰與底邊兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論。

2）坐標(biāo)系中的等腰三角形的分類(lèi)討論。

模型證明

等腰三角形的兩種分類(lèi)討論方法

方法1.“兩圓一線”；（一般符合“兩個(gè)定點(diǎn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”的等腰三角形）。

如圖：已知Z,O兩點(diǎn)是定點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)P構(gòu)成等腰△04P。

①以已知線段。4為底作它的垂直平分線，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)尸（有2個(gè)）；

②以已知線段。4為腰：用線段的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，線段長(zhǎng)為半徑，分別作圓。（以O(shè)為圓心的有4個(gè),

以Z為圓心的有2個(gè)）。具體題目要通過(guò)計(jì)算這些點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)考慮是否出現(xiàn)重疊現(xiàn)象。

方法2.“三邊兩兩相等分三種情況”討論，先列出三種情況，再首先選最簡(jiǎn)單的那種情況先解答。

若是“兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)一個(gè)定點(diǎn)”，多采用第二種方法分類(lèi)討論。但就算是用第二種方法分類(lèi)討論，也可以先用“兩

圓一線”確定符合等腰三角形的點(diǎn)可能有幾個(gè)及這些點(diǎn)的大致位置。

模型運(yùn)用

例1.（2024?山東?統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,6）,若M為x軸上

一點(diǎn)，且使得為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)M有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

例2.（2023?福建南平?八年級(jí)?？计谥校┮阎?2C中，如果過(guò)頂點(diǎn)8的一條直線把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)

三角形，其中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)為直角三角形，則稱這條直線為小/夕。的關(guān)于點(diǎn)3的二分割線.如

圖1,MA4BC中，顯然直線8。是“5C的關(guān)于點(diǎn)3的二分割線.在圖2的A/BC中，ZABC^UO0,若直

線BD是的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線，則/CD8的度數(shù)是.

圖1圖2

例3.（2023?江蘇泰州?統(tǒng)考中考真題）如圖，“3C中，AB=AC,ZA=30°,射線CP從射線◎開(kāi)始繞

點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。角（0°<a<75°）,與射線AB相交于點(diǎn)D,將A/CD沿射線CP翻折至△4C。處，射線CA'

與射線48相交于點(diǎn)￡.若是等腰三角形，則/a的度數(shù)為.

例4.（2023春?四川達(dá)州?八年級(jí)?？计谥校┰谥苯亲鴺?biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)A（1,2）,點(diǎn)P是

y軸正半軸上的一點(diǎn)，且A/OP為等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

例5.（2024?江蘇泰州?八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1,AABC中，CD_LA8于。，且：4。：CD=2:3:4,

（1）試說(shuō)明A48c是等腰三角形；（2）已知S^Bc=40cm2,如圖2,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)2出發(fā)以每秒1cm的速度沿線

段3/向點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)/出發(fā)以相同速度沿線段/C向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)

運(yùn)動(dòng)都停止.設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/（秒），①若AZWN的邊與3c平行，求才的值；②若點(diǎn)E是邊NC的中

點(diǎn)，問(wèn)在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，AAYDE能否成為等腰三角形？若能，求出/的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

例6.（2024?四川成都?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)凰-2,6）的直

線交x軸正半軸于點(diǎn)8,交y軸于點(diǎn)C,OB=OC,直線/。交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)。，若的面積為27

（1）求直線48的表達(dá)式和點(diǎn)。的坐標(biāo)；（2）橫坐標(biāo)為加的點(diǎn)P在線段45上（不與點(diǎn)45重合），過(guò)點(diǎn)P作x

軸的平行線交于點(diǎn)E,設(shè)PE的長(zhǎng)為了。/0）,求y與機(jī)之間的函數(shù)關(guān)系式并直接寫(xiě)出相應(yīng)的加取值范

圍；（3）在（2）的條件下，在x軸上是否存在點(diǎn)尸，使！尸跖為等腰直角三角形？若存在求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

模型3.直角三角形中的分類(lèi)討論模型-斜邊（或直角）不確定的直角三角形模型

模型解讀

若直角三角形沒(méi)有明確誰(shuí)直角（斜邊），要分類(lèi)討論；從直角（斜邊）入手分三種情況進(jìn)行討論。

模型運(yùn)用

例1.（2024?浙江嘉興?三模）已知直角三角形兩邊長(zhǎng)為3,4,則該直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)為（）

D.2.5或包

A.2或2.5B.5或77C.2.5或V7

2

例2.（2023春?河南鄭州?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，是“3C的角平分線，CE是“3C的高，ABAC=60°,

NACB=78。，點(diǎn)、F為邊ABk一點(diǎn)、,當(dāng)V2DF為直角三角形時(shí)，則N4D廠的度數(shù)為.

例3.（2023?遼寧葫蘆島?二模）如圖，在RtZXZBC中，ZC=90°,//=30。，3c=2,點(diǎn)。是/C的中點(diǎn)，

點(diǎn)E是斜邊NB上一動(dòng)點(diǎn)，沿DE所在直線把V4DE翻折到AHDE的位置，交48于點(diǎn)凡若△84尸為

直角三角形，則NE的長(zhǎng)為.

模型4.直角三角形中的分類(lèi)討論模型-直角三角形存在性模型

模型解讀

直角三角形存在性的問(wèn)題，首先需要觀察圖形，判斷直角頂點(diǎn)是否確定。若不確定，則需要進(jìn)行分類(lèi)討論,

如下面模型構(gòu)建。直角三角形存在性的問(wèn)題?？急尘坝蟹郏ㄕ郫B）、動(dòng)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)等。

模型證明

兩定一動(dòng)”直角三角形存在性問(wèn)題：（常見(jiàn)與坐標(biāo)系綜合、或結(jié)合翻折（折疊）、動(dòng)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)等）。

問(wèn)題：已知點(diǎn)/,B和直線/,在/上求點(diǎn)P,使A/MB為直角三角形.

分三種情況，如圖：

①以/為直角頂點(diǎn)，即/A4P=90。：過(guò)點(diǎn)/作的垂線，與已知直線/的交點(diǎn)Pi即為所求;

②以8為直角頂點(diǎn)，即/N3P=90。：過(guò)點(diǎn)8作的垂線，與已知直線/的交點(diǎn)P即為所求；

③以P為直角頂點(diǎn)，即//尸2=90。：以的中點(diǎn)。為圓心，°/的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，與已知直線/的交點(diǎn)

Pi,尸4即為所求.

代數(shù)法計(jì)算：分別表示出點(diǎn)力,B,尸的坐標(biāo)，再分別表示出N3,4尸和2尸的長(zhǎng)，由①8尸2=/加+/尸2；②

AP2=AB2+BP2；③么"=/產(chǎn)+3尸2分別列方程求解.若方程有解，則此情況存在；若方程無(wú)解，則此情況

不存在。

幾何法計(jì)算：找相似，利用相似三角形求解，如果圖中沒(méi)有相似三角形，可通過(guò)添加輔助線構(gòu)造相似三角

形。特殊地，若有30。，45。或60。角可考慮用勾股定理或銳角三角函數(shù)求解.

模型運(yùn)用

例1.（2023九年級(jí)?廣東?專題練習(xí)）如圖，己知/（2,6）、5（8,-2）,C為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且“8C是直角三

角形，則滿足條件的。點(diǎn)有（）個(gè).

“A

A

OX

?B

A.6B.7C.8D.9

例2.（2023?江蘇?九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知次4,0）,3（0,3）,以N8為一邊在“05

外部作等腰直角dBC.則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

B

0\Ax

例3.（22-23八年級(jí)下?安徽阜陽(yáng)?期末）如圖所示，在V4BC中，4B=BC=8,04=OB,NAOC=60°,點(diǎn)、M

是射線CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).（1）當(dāng)A/OM為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為

（2）若點(diǎn)M在邊的下方，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為

例4.（23-24九年級(jí)上?江西景德鎮(zhèn)?期末）如圖，等邊VN8C的邊長(zhǎng)為4cm,點(diǎn)。是/C的中點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P

以2cm/s的速度從點(diǎn)/出發(fā)沿N方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，連接尸。，當(dāng)△/尸0是直角三角形

時(shí)，則f的值為秒.

例5.（23-24九年級(jí)上?湖北武漢?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)/的坐標(biāo)為（0,2）,"BO為等

邊三角形，P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與。點(diǎn)重合），將線段/尸繞/點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，尸點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

點(diǎn)。，連接O。，BQo（1）點(diǎn)2的坐標(biāo)為二（2）①如圖①，當(dāng)點(diǎn)尸在x軸負(fù)半軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：ZABQ=90°；

②當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)補(bǔ)全圖②，并作出判斷（不需要說(shuō)明理由）；

（3）在點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若AOB。是直角三角形，直談寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

例6.（2023秋?遼寧錦州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）【模型構(gòu)建】

如圖，將含有45。的三角板的直角頂點(diǎn)放在直線/上，過(guò)兩個(gè)銳角頂點(diǎn)分別向直線/作垂線，這樣就得到了

兩個(gè)全等的直角三角形.由于三個(gè)直角的頂點(diǎn)都在同一條直線上，因此我們將其稱為“一線三直角”，這模型

在數(shù)學(xué)解題中被廣泛使用.

【模型應(yīng)用】（1）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x-4與x軸，＞軸分別交于4,3兩點(diǎn)，①則

ZOAB=；②C,。是正比例函數(shù)了=履圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD,BC,若8CLCD,BC=3,

則/D的最小值是；（2）如圖2,一次函數(shù)y=-2x+2的圖像與夕軸，x軸分別交于48兩點(diǎn).將直

線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到直線I,求直線1對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

【模型拓展】（3）如圖3,點(diǎn)/在x軸負(fù)半軸上，OA=8,過(guò)點(diǎn)N作48/x軸交直線y=-2x-3于點(diǎn)8,p

是直線＞=-2》-3上的動(dòng)點(diǎn)，0是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若△/尸。是以其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角

形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

習(xí)題練模型

1.（2023秋?廣東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若春8C是等腰三角形，44=36。，則/C的度數(shù)是（）

A.72°或108°B.36°或72°C.108°或36°D.36°或72°或108°

2.（2024?安徽亳州?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)尸（-4,3）關(guān)于〉軸的對(duì)稱點(diǎn)P,

點(diǎn)。00）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AP。。是等腰三角形時(shí)，f值個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.（23-24九年級(jí)上?廣東深圳?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，過(guò)原點(diǎn)。及點(diǎn)/（0,2）、C（6,0）作長(zhǎng)方

形0/8C,N/OC的平分線交AB于點(diǎn)。.點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒逐個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線方向移

動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向移動(dòng).設(shè)移動(dòng)時(shí)間為，秒，當(dāng)APQB為直

A.2或5+逐B(yǎng).2或5-6C.5+后或5-6D.2或5+后或5-6

4.（23-24八年級(jí)下?江西九江?期末）如圖，在V/3C中，乙4=30。，將一塊足夠大的直角三角尺RWN

（/.M=90°,/MW=30。）按如圖放置，頂點(diǎn)尸在邊/C上滑動(dòng)，三角尺的直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,斜

邊PN交4B于點(diǎn)D,若點(diǎn)尸在滑動(dòng)中恰能使△尸工。與△尸8c均為等腰三角形，則/C的度數(shù)為.

5.（2023春?湖北襄陽(yáng)?九年級(jí)?？计谥校┑妊切我谎系母吲c另一腰的夾角為15。，則等腰三角形的底

角的度數(shù)是

6.（23-24九年級(jí)上?江蘇常州?階段練習(xí)）如圖，在V/OB中，AO=2B0=4,4408=90。，點(diǎn)C,。分別

是04的中點(diǎn)，在射線上有一動(dòng)點(diǎn)P,若是直角三角形，則尸。的長(zhǎng)為.

7.（2024?河南關(guān)B州?三模）在矩形/3CD中，48=1,￡為CD的中點(diǎn)，取NE的中點(diǎn)尸，連接BE,BF,當(dāng)

△3口為直角三角形時(shí)，BC的長(zhǎng)為.

8.（2024?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt^4BC中，ZC=90°,/8=30。，/C=3,點(diǎn)。是2C的中點(diǎn),

點(diǎn)E是邊N8上一動(dòng)點(diǎn)，沿。E所在直線把V8DE翻折到AB'DE的位置，B，D交.AB于點(diǎn)、F,若44*尸為直

角三角形，則/E的長(zhǎng)為.

9.（2024?江西南昌?模擬預(yù)測(cè)）在口/BCD中，AB=3,44=120。，AD=6,點(diǎn)尸為平行四邊形NBCA邊上

的動(dòng)點(diǎn)，且滿足△P3C是直角三角形，則8P的長(zhǎng)度是.

10.（2024?江西南昌?模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，Rt^OBC的頂點(diǎn)3,C的坐標(biāo)分別為（0,4）,（46,4）,

點(diǎn)3繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（0。4。4180。）到點(diǎn)P,連接尸。，PC,若△尸OC為直角三角形，則點(diǎn)P到x軸的距

離為.

11.（24-25九年級(jí)上?貴州貴陽(yáng)?期中）如圖，已知在矩形紙片N8CO中，AB=2,8c=2a，點(diǎn)￡是48的

中點(diǎn)，點(diǎn)廠是4D邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△/跖沿EF所在直線翻折，得到△4EF,連接HC,4。，則當(dāng)A/Z）C

是等腰三角形時(shí)，N尸的長(zhǎng)是.

12.（2023春?河南開(kāi)封?八年級(jí)?？计谥校┯幸幻娣e為5G的等腰三角形，它的一個(gè)內(nèi)角是30。，則以它的

腰長(zhǎng)為邊的正方形的面積為.

13.（2023?安徽?九年級(jí)專題練習(xí)）在矩形ZBCD中，4B=3,BC=4,點(diǎn)、E,尸分別為3C,/C上的兩個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，將尸沿E尸折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G,若點(diǎn)G落在射線上，且AZGE恰為直角三角形，則線

段CF的長(zhǎng)為.

14.（2023春?浙江紹興?八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，/M4N=90。，點(diǎn)C在邊上，AC=2,點(diǎn)、B為邊AN

上一動(dòng)點(diǎn)，連接8C,與AA8C關(guān)于BC所在的直線對(duì)稱，點(diǎn)。，E分別為48,3c的中點(diǎn)，連接DE

并延長(zhǎng)交HC所在直線于點(diǎn)尸，連接HE,當(dāng)△力的為直角三角形時(shí)，Z5的長(zhǎng)為

15.（23-24八年級(jí)上?江蘇南京?階段練習(xí)）定義：如果1條線段將一個(gè)三角形分割成2個(gè)等腰三角形，我們

把這條線段叫做這個(gè)三角形的“雙等腰線”.如果2條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這2

條線段叫做這個(gè)三角形的“三等腰線”.如圖1,BE是△48。的“雙等腰線”，AD.3E是V48c的“三等腰

線”.

圖1

（1）請(qǐng)?jiān)趫D2三個(gè)圖中，分別畫(huà)出V/3C的“雙等腰線”，并做必要的標(biāo)注或說(shuō)明.

①NC=90°；②N8=70°,//=35°；③N5=81°,NA=27°

（2）如果一個(gè)等腰三角形有“雙等腰線”，那么它的底角度數(shù)是

3

（3）如圖3,V4BC中，NC=&NB,ZB<45°.畫(huà)出V48c所有可能的“三等腰線”，使得對(duì)Z8取值范圍內(nèi)

的任意值都成立，并做必要的標(biāo)注或說(shuō)明.（每種可能用一個(gè)圖單獨(dú)表示，如果圖不夠用可以自己補(bǔ)充）

圖3

16.（2024?寧夏銀川??？级＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中有矩形/O3C,AO=6,BO=