2025年中考數學幾何模型歸納訓練：三角形中的重要模型之等直內接等直模型與等直+高分模型解讀與提分訓練（原卷版）

專題11三角形中的重要模型之等直內接等直模型與等直+高分模型

等腰直角三角形，是初中數學中重要的特殊三角形，性質非常豐富！常見常用的性質大都以“等腰三角

形”、“直角三角形”、“對稱”、“旋轉拼接”、“勾股比1:1:a”、“45。輔助線”、“半個正方形”等角度拓展延伸,

常在選填題中以壓軸的形式出現(xiàn)。今天在解題探究學習中，碰到一道以等腰直角三角形為背景的幾何題，

有些難度，同時獲得一連串等腰直角三角形的“固定性質”，并且具有“思維連貫性”+“思路延展性”，結合常

用條件，可以“伴生”解決好多等腰直角三角形的幾何問題！

目錄導航

例題講模型

----------------------1...........................................................................................................................................2

模型1.等直內接等直模型..............................................................2

模型2.等直+高分線模型...............................................................5

習題練模型

h-二二一■■■..............................................................................................................................................................................................8

例題講模型］

模型1.等直內接等直模型

等直內接等直模型是指在等腰直角三角形斜邊中點作出一個新的等腰直角三角形（該三角形的直角頂點為

原等腰直角三角形的斜邊中點，其他兩頂點落在其直角邊上）。該模型也常以正方形為背景命題。

模型證明

條件：已知如圖，等腰直角三角形NBC,/A4c=90。，尸為底邊3C的中點，且/￡尸尸=90。。

結論：①PE=PF；②尸即為等腰直角三角形（由①②推得）；?AE=FBCE=AF-,?AE+AF=42AP；

⑤邑.=；?CE2+BF-=EF2。

（注意題干中的條件：ZEPF=90°,可以和結論③調換，其他結果依然可以證明的哦?。?/p>

證明：：等腰直角三角形/8C，ZBAC=90°,點尸是8C的中點尸===

:.NAPE+NAPF=NCPE+NAPE=90°ZAPF=NCPE同理可得：NPAF=NC=45°,

：.AAPF=ACPE（ASA）AF=CE,PE=PF,'：AB=AC,：.AE=FB-,

又丹'是直角，廠是等腰直角三角形，同理：易證A48尸是等腰直角三角形。

：.AE+AF=FB+AF=AB,AE+AF=41AP。

'：（）++=

\APF=ACPE'ASA/,?,?SAEPF=SAEPSAPF=SAEPASLrCrPEScAP￡C.A^D（-*,?SAPPW=—SARr°

?：AE=FB,CE=AF,NA4c=90°；CE2+BF2=AF2+AE2=EF2

模型運用

例1.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，在“Be中，N/=90。，AB=AC=6,。為邊3C的中點，點E,

下分別在邊/B,NC上，AE=CF,則四邊形/￡。尸的面積為（）

A.18B.9亞C.9D.672

例2.（2024?天津?模擬預測）如圖，已知中，AB=AC=6,NBAC=90。,直角/EPF的頂點尸是BC

中點，兩邊PE、尸尸分別交48、4c于點,E、F,當NEP尸在。8C內繞頂點尸旋轉時（點￡不與N、5重

合），給出下列四個結論：①AEPF是等腰三角形;②M為跳'中點時，+尸M=￡尸；③斯=;④ABEP

和APC尸的面積之和等于9,上述結論中始終正確的有（）個.

A.1B.2C.3D.4

例3.（23-24九年級上?四川內江?期末）如圖，邊長為1的正方形48。的對角線/C,3。相交于點。，Z

MPN為直角,使點尸與點。重合，直角邊PM,PN分別與。2重合，然后逆時針旋轉NMPN,旋轉

角為。（0°<0<90°）,PM,PN分別交4B,BC于E,尸兩點，連接￡尸交03于點G,則下列結論：①EF

=V2OE；②S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：4；③BE+BF=近OA；④在旋轉過程中，當A3所與ACO尸的面積

3-

之和最大時，/￡="⑤。G,BD…CF。.其中結論正確的個數是（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

例4.（23-24八年級上?山西呂梁?期末）綜合與探究

問題提出：某興趣小組在綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：在等腰直角三角板48c中，NB4c=90。,

AB=AC,。為8c的中點，用兩根小木棒構建角，將頂點放置于點。上，得到將NMCW繞點。

旋轉，射線。DN分別與邊NB,4c交于E,尸兩點，如圖1所示.

（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖2,當E,尸分別是N8,/C的中點時，試猜想線段與。尸的數量關系是,

位置關系是.

（2）類比探究：如圖3,當E,尸不是48,ZC的中點，但滿足=時，判斷/>￡尸形狀，并說明理由.

（3）拓展應用：①如圖4,將NMDN繞點。繼續(xù)旋轉，射線。M,DN分別與48,。的延長線交于E,F

兩點，滿足BE=4F,4）斯是否仍然具有（2）中的情況？請說明理由；

②若在NMCW繞點。旋轉的過程中，射線DM,0V分別與直線48,CA交于E,尸兩點，滿足BE=4F,

若AB=a,BE=b,貝!JNE=（用含。，b的式子表示）.

模型2.等直+高分線模型

模型解讀

等直+高分線模型模型是指在等腰直角三角形過其中一個角所在頂點作另一個底角平分線的垂線。

模型證明

A

條件：如圖，AA8C中，ZABC=45°,CC8于。，BE平分/ABC,且于￡,與CD相交于點

F,"是8C邊的中點，連接與BE相交于點G.

結論：①BF=AC；②CE=：BF；③AOG尸是等腰三角形；④BD+DF=BC；⑤友=也.

2FC2

證明：???CDLAB,BEVAC,ZBDC=ZADC=ZAEB=90°,

：.ZA+ZABE=90°,ZABE+ZDFB=90°,ZA=ZDFB,

■：ZABC=45°,NBDC=90。,ZDCB=90°-45°-45°-ZDBC,BD=DC,

ABDF=ZCDA

在A62尸和AC"中<4=ZDq，ASZ>F^AC￡M(AAS),:.BF=AC.

BD=CD

?;BE平分/ABC,ZABC=45°,N4BE=NEBC=22.5。

VBEVAC,:.NA=NBC4=67.5°,BA=BC,■：BELAC,：.AE=EC=-AC=-BF,

22

ZBDC=90°,BH=HC,:.NBHG=90°,:.NBDF=NBHG=90°,

???ZABE=ZCBE=22.5°,NBGH=NBFD=67.5°,NDGF=ZDFG=67.5°,

DG=DF,，ADG尸是等腰三角形.vNBDF^ACDA,DF=AD,:.BC=AB=BD+AD=BD+DF,

?.?BE平分N/8C,.,.點F到/B的距離等于點尸到3C的距離，，學叱=黑，

??.DFBD1V2

S2DF_DFBD+2_DF.DF_BD???三角形BDC是等腰直角三角形,>?----=-----=----------

5寶一FCBD+2—FC''FC~BCFCBCV22

模型運用

例1.（23-24九年級下?浙江金華?階段練習）如圖，在V48c中，ZA8C=45。，CDL4B于D,BE平貨/ABC,

且8￡，/。于￡,與CD相交于點RX是3c邊的中點，連接。H與BE相交于點G,以下結論中：

①V/3C是等腰三角形；②BF=AC；③BH:BD:BC=1:亞：2;@GE2+CE2=BG2.

正確的結論有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

例2.（23-24八年級上?山東臨沂?期中）如圖，等腰Rt44BC中，4B=AC,NBAC=90。,AD_LBC于點、D,

//3C的平分線分別交/C、4D于E、/兩點，M為斯的中點，的延長線交8c于點N,連接。M,

下列結論：?DF=DN；②△NFE為等腰三角形；③/N4c=22.5。；@AE=NC,其中正確結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

例3.(23-24八年級?浙江杭州?階段練習汨知:如圖，AABC中，/4BC=45。,CD_L4B于D,BE平分NABC,

且BEJ./C于￡,與CD相交于點R〃是3C邊的中點，連結?！ㄅcBE相交于點G.(1)說明：BF=AC■,

(2)說明：CE=^BF-(3)試探索CE,GE,3G之間的數量關系，并證明你的結論.

例4.(23-24八年級上?廣東東莞?期末)如圖，等腰直角V/BC中，ZCAB=90°,AC=AB,點、E為BC工

一點，BDLAE于點M,交NC于點。，AHLCB于點H,交BD于點G,連接。E,MH.

(1)若8石=民4,求證：&D垂直平分4E；(2)若點￡在線段C段上運動.

①請判斷CE與ZG的數量關系，并說明理由；②求證：MH平分NEMB.

EHB

習題練模型

1.（23-24山東威海九年級上期中）己知V/BC中，4C=BC=4,ZACB^90°,。是N8邊的中點，點E、

/分別在/C、8c邊上運動，且保持/E=CF.連接DE、DF、E廠得到下列結論：①AD跖是等腰直角

三角形；②ACEF面積的最大值是2；③Ek的最小值是2.其中正確的結論是（）

C.①③D.①②③

2.（2024?廣東汕頭?二模）如圖，四邊形/2CO為正方形,NCAB的平分線交BC于點E,將A/BE繞點B

順時針旋轉90。得到VCBF,延長AE交C尸于點G,連接BG,DG與/C相交于點H.有下列結論:①8E=2萬;

4FI—

②/ACF=NF；③BG_LOG；④——=V2,其中正確的結論有（）個

DH

C.3D.4

3.（2024?山東泰安?模擬預測）如圖，等腰直角V/5C中，ABAC=90°,ADJ.BC于點、D,/45C的平分

線分別交/GAD于點、E,F,M為EF中點、,延長線交5。于點N,連接。M,下列結論：①DF=DN；

②FM+AM=?DM;③DM平令/BMN：@S^ABM=S^DBM；⑤MNBF=BDCN,其中正確結論的個數

A.2B.3C.4D.5

4.（2023?廣東深圳?模擬預測）如圖，A/BC中，ZABC=45°,C￡>_L4B于點。，BE平分/4BC,且2E_L

AC于點、E,與CD交于F,〃是8C邊的中點，連接DH與3E交于點G,則下列結論：①BF=AC；②//

=/DGE；?CE<BG-,④S“ADC=S1smeEGH；⑤DG?AE=DC,EF中,正確結論的個數是（）

5.（2024?湖南長沙?一模）如圖，在。BC中，NA4c=90。，AB=AC.點E是/C邊上的中點，連接8E,

將繞A點逆時針旋轉90。，得至IJA/CD,延長BE交DC于點G,連接ZG,過點A作/尸，/G,交BG

于點尸.現(xiàn)有如下四個結論：①//GD=45。；②EG:GC:尸E=l:2:3；@FE-EG=GC；?S^DC=2SAAEF

6.（2024?江蘇淮安?三模）如圖，V4BC中，ZABC=45°,CD_L/3于D,BE平分/ABC,且BE_L/C于

1SBD

E,與8相交于點尸.下列結論：①BF=4C；②CE=彳BF；③BD+DF=BC；④*A*=五=，其中

2、XBCF

正確的結論有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

7.（2024?遼寧朝陽?模擬預測）如圖，在正方形/3CA中，對角線/C,2。相交于點。，點￡在3c邊上，

且CE=2BE,連接/E交AD于點G,過點2作8尸，/￡于點尸，連接。尸并延長，交于點過點O

作。尸,"交OC于占1m現(xiàn)給出下列結論：①②=嚕；③*=竽;

④0G=3G；其中正確的結論有（）

8.（2024?黑龍江?二模）如圖，等腰直角三角形48c中，NA4c=90。，ADJ.BC于D,N/8C的平分線

分別交NC、4D于E、尸兩點，”為跖的中點，延長交8C于點N,連接W,NE.下列結論：①

AE=AF-,②AB2=BM.BE;③△/歷是等邊三角形；④BF=AN；⑤四邊形NENF是菱形，正確結論的

序號是（）

A.②④⑤B.①②③④⑤C.①③④D.①②④⑤

9.（23-24九年級上?江蘇南通?階段練習）如圖，已知V/BC中，AB=AC=S,NBAC=90。,直角乙"戶的

頂點尸是BC中點，兩邊PE、尸尸分別交48、AC于點E、F,當NEPF在VN8C內繞頂點尸旋轉時（點￡

不與N、8重合），給出以下四個結論：①4E=CF；②AEP尸是等腰直角三角形；③/邊形皿＞尸=；

@BE+CF=EF；⑤△8EP與△尸尸C的面積和無法確定.上述結論中始終正確的有（）

A.①②③B.①②⑤C.①③⑤D.②③④

10.（23-24九年級上?廣東河源?期中）如圖，在正方形/3C。中，48=4,AC,AD相交于點O,E,尸分

別為邊3C,CD上的動點（點E,歹不與線段8C,CD的端點重合）且3￡=CF,連接OE,OF,EF.在點￡,

廠運動的過程中，有下列四個結論：①AOE/始終是等腰直角三角形；②尸面積的最小值是2；③至少

存在一個△ECF,使得的周長是4+2g；④四邊形OECF的面積始終是4.其中結論正確的有（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④

11.（2024?重慶?中考模擬預測）如圖，在等腰直角“CB=90。，。是斜邊A8的中點，點。、E分別在直角

邊/C、上，且NDOE=90。，DE交OC于點、P.則下列結論:

（1）圖形中全等的三角形只有兩對;（2）V48c的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍;（3）8+?！?收0/;

（4）AD2+BE~^2OPOC.其中正確的結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

12.（23-24九年級上?遼寧丹東?期中）如圖，在正方形N8C。中，對角線4C,8。相交于點。，點E在8c邊

上，且CE=2BE,連接NE交AD于點G,過點3作瓦F/E于點尸，連接。尸并延長，交8c于點過

9GF1

點。作ONLOF交。C于點N,S=~,以下四個結論：?—=-；②正方形N3CO的面積為9；

mMONC4AQ3

③OG=BG；?OF=—,其中正確的結論有（）

5

C.3個D.4個

13.（2024?黑龍江?校考一模）如圖，在面積為4的正方形/3C。中，。是對角線/C,AD的交點，過點。作

射線。機ON分別交8C,8于點E,尸，且/EOF=90°,跖交于點G.下列結論：◎FOC才EOB；

@VOGE:\FGC；③四邊形CEO尸的面積為1；④。尸2+族2=2OG-OC.其中結論正確的序號有（）

B.①②

D.①②③④

14.（23-24八年級上?廣東茂名?期中）如圖所示，在等腰直角AA8C中，點。為/C的中點，DEIDF,DE

交AB于E,DF交BC于F,若/召=26,EF=4,則尸C的長是.

15.（2024廣東九年級模擬（二模））一副三角板按如圖1放置，圖2為簡圖，。為48中點，E、下分別是

一個三角板與另一個三角板直角邊NC、5c的交點，已知NE=2,CE=5,連接。￡,M為上一點，且滿

定NCME=2/ADE,EM=

圖2

16.（23-24九年級上?陜西榆林?期末）如圖，在正方形中，AB=2,對角線/C、AD交于點。，點￡、

b分別為邊BC、CA上的動點（不與端點重合），且BE=CF,連接OE、OF、EF,則線段E尸的最小值

為.

17.（2024?山東德州?二模）如圖，在等腰直角V/8C中，ZACB=90°,P是線段8c上一