2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練：三角形中的倒角模型之高分線模型、雙（三）垂直模型解讀與提分訓(xùn)練（全國版）

專題04三角形中的倒角模型之高分線模型、雙（三）垂直模型

近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和

定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題高分線模型、雙垂直模

型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中

提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯(cuò)點(diǎn)，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每

一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！

目錄導(dǎo)航-

例題講模型'

...........................................................................................................................................2

模型1.高分線模型.....................................................................2

模型2.雙垂直模型.....................................................................4

模型3.子母型雙垂直模型（射影模型）...................................................5

習(xí)題練模型一

.........................................................................................................................................................7

例題講模型I]

模型1.高分線模型

模型解讀

三角形的高：-從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它所對的邊所在直線畫垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高.

三角形的角平分線：在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的角平分線與它所對的邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線

段叫做三角形的角平分線.

高分線模型：過三角形一個(gè)頂點(diǎn)的高與角平分線的夾角等于另外兩個(gè)角差的絕對值的一半。

模型證明

1)條件：如圖1,在中，AD,AE分別是AABC的高和角平分線，結(jié)論：Zr>A￡=1(ZC-ZB).

2)條件：如圖2,尸為AABC的角平分線AE的延長線上的一點(diǎn)，F(xiàn)D工BC于D,結(jié)論：ZDFA=^ZC-ZB).

圖1圖2

1）證明：平分/R4C,AZEAC=^ZBAC,

?：ZBAC=1800-ZB-ZC,：.ZE4C=1（180°-ZB-ZC）=90°-1zB-izC,

ZEAD=ZEAC-ZDAC=90°-1zB-|zC-（90°-ZC）=|（ZC-ZB）；

2）證明：如圖，過A作AG_L3C于G,由（2）可知：ZEAG=^（ZC-ZB）,

VAGIBC,ZAG3=90°,-.■FDLBC,ZFDC=90°,:.ZAGD=ZFDC,:.FD//AG,

:.ZAFD=ZEAG,ZAFD=-（ZC-ZB）.

2

模型運(yùn)用

例1.（23-24八年級(jí)上山東臨沂.階段練習(xí)）如圖，AD,AE分別是VABC的角平分線和高線，且/5=50。,

NC=70°,則NEW=

例2.（23-24八年級(jí)上.重慶?期中）己知：如圖①所示，在VABC中，AD為BC的高，AE為NBAC平分線

交8c于點(diǎn)E,/3=20。,/。=50。.（1）求ZE4D的度數(shù)；（2）/皿與/3,/。之間有何數(shù)量關(guān)系？

（3）若將題中的條件“NB=20。”改為“NABC=100。"（如圖②），其他條件不變，則N￡A￡>與乙鉆。,/。之間

又有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

例3.（23-24八年級(jí)上?廣東?校考期中）已知：在VABC中，ZC>ZB,AE平分/BAC交BC于點(diǎn)E.

⑴如圖①，ADIBC于點(diǎn)。，若/。=60。,/3=30。，求ZD4E的度數(shù)；

（2）如圖①，AD23C于點(diǎn)。，若ZB=a,2C=。,求々ME的度數(shù)（用含氏〃的式子表示）；

（3）如圖②，在VABC中，ADSBC于點(diǎn)。，尸是AE上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A,E重合），過點(diǎn)尸作戶G,3c

于點(diǎn)G,且/3=30。,/。=80。，請你運(yùn)用（2）中的結(jié)論求出ZEFG的度數(shù)；（4）在（3）的條件下，若點(diǎn)尸在

AE的延長線上（如圖③），其他條件不變，則4FG的度數(shù)會(huì)發(fā)生改變嗎？說明理由.

模型2.雙垂直模型

模型解讀

雙垂直模型的定義是一個(gè)三角形中有兩條高，則圖中會(huì)產(chǎn)生多個(gè)直角三角形。雙垂直模型的核心是倒角之

間的關(guān)系。

模型證明

條件：如圖所不，在△A3C中，BD,CE是兩條高，

結(jié)論：?ZABD=ZACE；?ZA=ZBOE=ZCOD；③=。

證明：?:BD,CE是兩條高,：,ZAEC=ZBEC=ZADB=ZCDB=90°f

：.ZABD^ZA=90°,ZACE+ZA=90°,ZACE+ZDOC=90°,：.ZABD=ZACEfZDOC=ZAf

?；NDOC=NBOE,：.ZA=ZBOE=ZCODo

■:BD,CE是△A8C的兩條高，.\S^ABC=~ABCE=~ACBDf/.AB-CE=ACBD°

模型運(yùn)用

例1.（2023?陜西咸陽?統(tǒng)考一模）如圖，在中，CR3E分別是AB,AC邊上的高，并且CD,BE交于點(diǎn)

P,若NA=50。，則23PC的度數(shù)為（）

例2.（23-24八年級(jí)上?湖北武漢?階段練習(xí)）在VA3C中，4=55。,8。CE是它的兩條高，直線8￡）,CE交

于點(diǎn)RZDFE=.

例3.（2022秋?安徽宿州?八年級(jí)校考期中）如圖，在AABC中，C￡＞和BE分別是AB,AC邊上的高,若CD=12,

AT

BE=16,則丁的值為（）.

模型3.子母型雙垂直模型（射影模型）

模型解讀

子母型雙垂直模型的定義是一個(gè)直角三角形和斜邊上的高。子母型雙垂直模型的核心還是倒角之間的關(guān)系。

模型證明

條件：在RflBC中，ZACB=90°,CO是AABC的高線，

結(jié)論：①/B=/ACD；②NA=/BCD；?ACBC=CDABo

c

：.ZACD+ZA=9Q°,ZACD+ZBCD=90°,ZB+ZBCD=90°,：.ZA=ZBCD,ZB=ZACD,

VZACB=90°,cr）是高線，.?.SAASc=；-A2C￡>=gACJBC,,AC.3c=CDAB。

模型運(yùn)用

例1.（2023?廣東廣州?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在八4。5中，ZACB=90°,求證:

ZB=ZACD.

ADH

例2.（2024八年級(jí)上?江蘇.專題練習(xí)）如圖，在Rt^A5c中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,CD為A3邊上

的高.（1）求斜邊A8的長；（2）求8的長.

例3.（23-24八年級(jí)?江蘇?假期作業(yè)）如圖①，在VABC中，ABAC=90°,AD是BC邊上的高.

（1）求證：ZDAC=ZABC；（2）如圖②，VABC的角平分線CF交AD于點(diǎn)E.求證：ZAFE^ZAEF-,

（3）在（2）的條件下，/&LD的平分線分別與CP,2C相交于點(diǎn)H、點(diǎn)G,如圖③，若A//=6,CH=8,

CG=10,求AD的長.

習(xí)題練模型

I

1.（2023?北京通州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中,ZABC=90°,BD1AC,垂足為。.如果4c=6,

BC=3,則8。的長為（）

A.2B.-C.373D.更

272

2.（2023秋?浙江?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AABC中，BDLAC,3E平分/ABC,若？A2?C,NDBE=20°,

則/ABC=（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

3.（23-24八年級(jí)上?陜西西安?開學(xué)考試）如圖，在VABC中，ABAC=45°,AD±BC,CE1AB,垂足分

別為點(diǎn)。、E,AD,CE交于點(diǎn)”，EH=EB.下列結(jié)論：①NABC=45°；②AH=BC；@AE-BE=CH；

④皿_LAC.你認(rèn)為正確的有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

4.（23-24八年級(jí)下?廣西柳州?開學(xué)考試）如圖，在VABC中，/54C和ZABC的平分線AE,正相交于點(diǎn)

O,AE交BC于E,叱交AC于R過點(diǎn)。作OD，3C于。，下列三個(gè)結(jié)論：?ZAOB=90°+1zC；②

當(dāng)NC=60。時(shí)，AF+BE=AB-,③若O￡>=”，AB+BC+CA=2b,貝然△.0=2".其中正確的是（）

A

A.①②B.②③C.①②③D.①③

5.（2023下?重慶涪陵八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，鈍角AABC中，N2為鈍角，AD為邊上的高，AE為NB4C

的平分線，則與Nl、N2之間有一種等量關(guān)系始終不變，下面有一個(gè)規(guī)律可以表示這種關(guān)系，你發(fā)

現(xiàn)的是（）

A.ZQAE=Z2-Z1B.Z￡>AE=Z2~Z1C.Z79AE=--Z1D.ZZ）AE=Z1+Z2

———222

6.（2023下?湖北襄陽?八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在AABC中，AO是高，AE是角平分線，8尸是中線，AE

與跖相交于。，（NONABC）以下結(jié)論正確的有（）

①ZBAD+ZABD=ZCAD+ZC-,②=SACBF；③ZEAD=|（ZC-ZABC）；④SAASE:S^ACEAB:AC.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

7.（2023下?重慶江北?七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，ZACB>ZB,AD,AE分別是高和角平分線,

點(diǎn)歹在BC的延長線上，陽_1鉆交4。于6,交AB于H,下列結(jié)論中不正確的是（）

A

A.ZDAE=ZFB.ZAEF=|（ZACF+ZB）C.ZF=^（ZACB-ZB）D.ZAGH=ZCAE+ZB

8.（2023?山西呂梁?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AABC是等腰三角形，AB=AC,ZA=45°,在腰AB上取一

點(diǎn)。，DELBC,垂足為E,另一腰AC上的高B尸交DE于點(diǎn)G,垂足為E若8E=3,則。G的長

為.

9.（2024?重慶?三模）如圖，A4BC中，3DLAC于點(diǎn)。，AB八CE于點(diǎn)E,CE與3。相交于點(diǎn)“，已知

AD=HD^2,CD=6,則AABC的面積為.

10.（23-24八年級(jí)上.安徽六安?期中）如圖，在VA3C中，ZABC=48°,ZACB=76°,兩條高3￡＞、CE交于

點(diǎn)0,連接AO,則/Q4￡=.

11.（2023春?江蘇宿遷?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在AABC中，ZBAC=90°,ZC=40°,AH、8￡）分別是AABC

的高和角平分線，點(diǎn)E為3c邊上一點(diǎn)，當(dāng)ABDE為直角三角形時(shí)，則NCDE=

12.（2023秋?浙江?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt^ABC中，NACB=90。，CD_LAB于。，AF平分NC4B

交8于E,交BC于F.⑴如果NCFE=70。，求23的度數(shù)；（2）試說明：ZCEF=ZCFE.

13.（23-24七年級(jí)下?江蘇無錫?階段練習(xí)）如圖，在V4BC中，AO平分/A4C,尸為線段AD上的一個(gè)點(diǎn)，

PE2AD交直線3c于點(diǎn)E.⑴若/5=35。，ZACB=85°,求NE的度數(shù).⑵猜想NE與—5、NACfi的

數(shù)量關(guān)系.

BDE

14.（23-24八年級(jí)上?遼寧鞍山?期中）（1）如圖①，在RtzkABC中，ZACB=90°,CD_LAB,垂足為D,求

證：ZACD=ZB；（2）如圖②，在RtAABC中，ZC=90°,D、E分別在AC,AB上，且/ADE=NB,判

斷AADE的形狀？并說明理由？（3）如圖③，在RSABC和R3DBE中，ZC=90°,/E=90。，點(diǎn)C,B,

E在同一直線上，若AB_LBD,AB=BD,則CE與AC,DE有什么等量關(guān)系，并證明.

15.（23-24七年級(jí)下.河南周口.階段練習(xí)）已知在VABC中，4013。于點(diǎn)。.

圖1

⑴如圖1,若254C的平分線交于點(diǎn)E,ZB=35°,ZC=25°,則—ME的度數(shù)為.

（2）如圖2,點(diǎn)M、N分別在線段A6、AC上，將VABC折疊，點(diǎn)8落在點(diǎn)尸處，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，折痕分

別為DM和ON,點(diǎn)G、尸均在直線AD上，若440=120。，試說明NAMF+N/WG=4+NC.

16.（22-23八年級(jí)上?廣西桂林?期中）如圖，VABC中，ZA=40°,ZB=60°,CE■平分/ACB,CDLAB

A（JAP

于。，。尸_LCE,交CE■于尸，求：（l）NCD尸的度數(shù)；（2）當(dāng)CE平分/ACB時(shí)，一=—，若AC=m,BC=〃,

CBBE

AB=a,請用含機(jī)，n,a的代數(shù)式表示BE的長.

17.（2024?河北邢臺(tái)?八年級(jí)校考期中）在AABC中，ZACB>ZABC,D,E分別是邊BC和BC延長線上的

點(diǎn)，連接AO,AE,NCAE=NB.⑴如圖1,若/ADE=60。，ZCAE=4O°,求254。的度數(shù)；（2）如圖2,

已知44E=/4DE.①判斷AD是否平分,B4C,并說明理由；②/為射線鈕>上一點(diǎn)（不與點(diǎn)。重合）,

過點(diǎn)尸作PG_L3C,垂足為G.若4=a,ZACB=/3,直接用含a,夕的式子表示出NAFG的度數(shù).

圖1圖2

18.（2023春?江蘇泰州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，在"RC中，ZACB=90°,D、E分別在邊A3、BC

上，AE.C。相交于點(diǎn)

（1）給出下列信息：①NCFE=NCEF；②AE是AABC的角平分線；③8是AABC的高.請你用其中的兩

個(gè)事項(xiàng)作為條件，余下的事項(xiàng)作為結(jié)論，構(gòu)造一個(gè)真命題，并給出證明；

條件：,結(jié)論：.（填序號(hào)）

證明：

（2）在（1）的條件下，若NB=a,求"EE的度數(shù).（用含a的代數(shù)式表示）

19.（2023?福建莆田?八年級(jí)?？计谥校┮?guī)定：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別等于另一個(gè)三角形的三個(gè)角，

那么稱這兩個(gè)三角形互為“等角三角形”.

從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分

割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形是“等角三角形"，我

們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“等角分割線”.

（1）如圖1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,CD±AB,請寫出圖中兩對“等角三角形”；

⑵如圖2,在“中，以＞為NACB的平分線，ZA=40°,-3=60。.求證：以＞為AABC的“等角分割線”;

（3）在AABC中，若NA=50。，8是AABC的“等角分割線”，請求出所有可能的NACB的度數(shù).

20.(2023下?河南新鄉(xiāng)?七年級(jí)期中)綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“三角形的角與三角形的特殊線段”

為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).

(1)【操作判斷】在AABC中，N3=40。，ZC=70°,作N54C的平分線AD交于點(diǎn)。.

①操作一：在下圖中，用三角尺作BC邊上的高AE,垂足為點(diǎn)E,求/ZME的度數(shù)；

②操作二：如圖1,在AD上任取點(diǎn)歹，作FELBC,垂足為點(diǎn)E,直接寫出NDEE的度數(shù)；

(2)【遷移探究】操作三：如圖2,將(1)中“在上任取點(diǎn)尸'改為“在D4的延長線上任取點(diǎn)尸'其他條件

不變，判斷/加石的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化，并說明理由；

(3)【拓展應(yīng)用】如圖3、圖4在AABC中，NB=a,NC=〃，AD是NBAC的平分線，在直線上任取

點(diǎn)、F,過點(diǎn)/作EF/AD與直線BC交于點(diǎn)E,請直接寫出尸與a,夕之間的數(shù)量關(guān)系.

圖3圖4

專題04三角形中的倒角模型之高分線模型、雙（三）垂直模型

近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和

定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題高分線模型、雙垂直模

型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中

提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯(cuò)點(diǎn)，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每

一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！

目錄導(dǎo)航-

例題講模型'

......................................................................................................................................................16

模型1.高分線模型....................................................................16

模型2.雙垂直模型....................................................................20

模型3.子母型雙垂直模型（射影模型）..................................................22

習(xí)題練模型一

.......................................................................................................................................................25

例題講模型I]

模型1.高分線模型

模型解讀

三角形的高：-從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它所對的邊所在直線畫垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高.

三角形的角平分線：在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的角平分線與它所對的邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線

段叫做三角形的角平分線.

高分線模型：過三角形一個(gè)頂點(diǎn)的高與角平分線的夾角等于另外兩個(gè)角差的絕對值的一半。

模型證明

1)條件：如圖1,在中，AD,AE分別是AABC的高和角平分線，結(jié)論：Zr>A￡=1(ZC-ZB).

2)條件：如圖2,尸為AABC的角平分線AE的延長線上的一點(diǎn)，F(xiàn)D工BC于D,結(jié)論：ZDFA=^ZC-ZB).

圖1圖2

1）證明：平分/R4C,AZEAC=^ZBAC,

?：ZBAC=1800-ZB-ZC,：.ZE4C=1（180°-ZB-ZC）=90°-1zB-izC,

ZEAD=ZEAC-ZDAC=90°-1zB-|zC-（90°-ZC）=|（ZC-ZB）；

2）證明：如圖，過A作AG_L3C于G,由（2）可知：ZEAG=^（ZC-ZB）,

VAGIBC,ZAG3=90°,-.■FDLBC,ZFDC=90°,:.ZAGD=ZFDC,:.FD//AG,

:.ZAFD=ZEAG,ZAFD=-（ZC-ZB）.

2

模型運(yùn)用

例1.（23-24八年級(jí)上山東臨沂.階段練習(xí)）如圖，AD,AE分別是VABC的角平分線和高線，且/5=50。,

NC=70°,則ZEW=—.

【答案】10。

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的角平分線、高線的定義，是基礎(chǔ)題，準(zhǔn)確識(shí)圖找出各

角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180。求出-54C,再根據(jù)角平分線的定義求出

NBAD,根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出上BAE,然后根據(jù)㈤0=N&4D代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可

得解.

【詳解】解：,.?4=5。°,ZC=70°,\2BAC180??B?C180?50?70?60?,

AD是AABC的角平分線，，44）=」484^=、60。=30。，

22

AE是VABC的高線，ZBAE=90°-ZB=90°-50P=40P,

ZEAD=ZBAE-ZBAD=40°-30°=10°.故答案為：10。.

例2.（23-24八年級(jí)上.重慶?期中）已知：如圖①所示，在VABC中，AD為BC的高，AE為NA4c平分線

交BC于點(diǎn)E,=20°,ZC=50°.

（1）求ZE4D的度數(shù)；（2）ZE4D與ZB,NC之間有何數(shù)量關(guān)系？

（3）若將題中的條件“NB=20?！备臑椤癗ABC=100。"（如圖②），其他條件不變，則與NABGNC之間

又有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

【答案】（l）15o（2）NE4O=；（NC-NB）（3）NEAO=g（NABC-NC）,理由見解析

【分析】本題主要考查三角形中角與角之間的關(guān)系，掌握三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)、三角形外

角的性質(zhì)的應(yīng)用.(1)首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得-B4C,再根據(jù)角平分線的定義求得4AE,再

根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求得/血>，最后根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余即

可求解，(2)根據(jù)(1)即可得出NEAD與4、/C之間的關(guān)系，

(3)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)依次推理即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：VZB=20°,ZC=50°,AZBAC=180°-ZB-ZC=110°

又,/AE為ZBAC的平分線，NE4c=1/BAC=55°

2

為3C的高，AZADC=90°,ZDAC=900-ZC=40°,：,AEAD=ZEAC-ZDAC=15°；

(2)解：由圖知NZMEMZBAE-NCWMj/BAC-NGlOMgOgOO—NB—NC)—eOO—NC)=1(ZC-ZB)；

(3)解：Z￡4￡>=1(ZABC-ZC)理由如下：由三角形內(nèi)角和知/區(qū)4。=180。一//3。-/。，

AE為^BAC的平分線,：.NBAE=|ABAC=1(180°-ZABC-ZC)

為BC的高，?.ZADC=90°=Z.DAB+ZABD

又「ZABD=1800-ZABC,：.ZDAB=90°-(180°-ZABC)=ZABC-90°

ZEAD=NDAB+NBAE=ZABC-90°+1(180°-ZABC-ZC)=1(ZABC-ZC).

例3.(23-24八年級(jí)上?廣東?校考期中)已知：在VABC中，ZC>ZB,AE平分/BAC交BC于點(diǎn)E.

⑴如圖①，AO23c于點(diǎn)。，若/。=60。,乙8=30。，求ZZME的度數(shù)；

(2)如圖①，AD23C于點(diǎn)。，若NB=a/C=/3,求皿歸的度數(shù)(用含氏〃的式子表示)；

(3)如圖②，在VABC中，4D13C于點(diǎn)。，歹是AE上的任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,E重合)，過點(diǎn)尸作FG,3c

于點(diǎn)G,且NB=30o,NC=80。，請你運(yùn)用(2)中的結(jié)論求出NEFG的度數(shù)；

(4)在(3)的條件下，若點(diǎn)/在AE的延長線上(如圖③)，其他條件不變，則/EFG的度數(shù)會(huì)發(fā)生改變嗎？

說明理由.

【答案】(1)/ZME=15。(2)ND4E=go-a)(3)NEFG=25。(4)ZEFG的度數(shù)不會(huì)發(fā)生改變，理由見解析

【分析】(1)首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得/"4C=180。--NC,再結(jié)合角平分線的定義可知

ZBAE=NC4E=g/BAC=90。-g(N8+NC),然后由“直角三角形兩銳角互余”可得ZZMC=90。-NC,進(jìn)而

ZDAE=ZCAE-ZDAC=(ZC-ZB),即可獲得答案；(2)結(jié)合(1)可得結(jié)論；

(3)結(jié)合ND4E=J(NC-ZB),易得NDAE=25。,再證明/G〃4),由“兩直線平行，同位角相等”可得

NEFG=NEAD,即可獲得答案；

(4)證明/G〃AD,由“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可得NEFG=/E4D,即可獲得答案.

【詳解】(1)解：?.?在VABC中，ZS+ZC+ZBAC=180°,Z.BAC=180°-Zfi-ZC,

,/AE平分/BAC,/.NBAE=ZCAE=|ABAC=；(180°-ZB-ZC)=90°-1(NB+ZC),

,：ADJ.BC,：.ZADC=90°,Z.ZDAC=90°-ZC,

：.ZDAE=ZCAE-ZDAC=90°-1(ZB+ZQ-(90°-ZC)=1(ZC-ZB),

當(dāng)NC=60°,ZB=30°時(shí)，ZDAE=(60°-30°)=15°；

(2)由(1)可知，ZDAE=g(NC-ZB),.?.當(dāng)NB=a,NC=力時(shí)，ZDAE=g(夕-cr)；

(3)VZDAE=-(ZC-ZB),而/3=30°,/。=80°,Z.DAE=-x(80°-30°)=25°,

22

VADJ.BC,FG1BC,：.FG//AD,：.ZEFG=ZEAD=25°；

(4)NEFG的度數(shù)大小不發(fā)生改變.理由如下：

VADJ.BC,FGLBC,：.FG//AD,：.ZEFG=ZEAD=25°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、直角三角形兩銳角互余、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、

垂直的定義等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵.

模型2.雙垂直模型

模型解讀

雙垂直模型的定義是一個(gè)三角形中有兩條高，則圖中會(huì)產(chǎn)生多個(gè)直角三角形。雙垂直模型的核心是倒角之

間的關(guān)系。

模型證明

條件：如圖所不，在△A3C中，BD,CE是兩條高，

結(jié)論：?ZABD=ZACE；?ZA=ZBOE=ZCOD；③=。

證明：?:BD,CE是兩條高,AZAEC=ZBEC=ZADB=ZCDB=90°,

：.ZABD^ZA=90°,ZACE+ZA=90°,ZACE+ZDOC=90°,：.ZABD=ZACEfZDOC=ZAf

VZDOC=ZBOEf：.ZA=ZBOE=ZCODo

■:BD,CE是△ABC的兩條高，-AB-CE=-AC?BD,：?AB.CE=AC?BD。

模型運(yùn)用

例1.（2023?陜西咸陽?統(tǒng)考一模）如圖，在AABC中，CD,3E分別是AB,AC邊上的高，并且CRBE交于點(diǎn)

P,若ZA=5O。，則23PC的度數(shù)為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)題意和直角三角形的兩個(gè)銳角互余可求得/ABE的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角即可得.

【詳解】解：：5E是AC邊上的高，ZB￡A=90°,VZA=50°,AZABE=90°-ZA=90°-50°=40°,

：8是AB邊上的高，ZCDB=90°,ABPC=ZCDB+ZABE=90°+40°=130°,故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了余角，三角形的外角，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn).

例2.（23-24八年級(jí)上?湖北武漢.階段練習(xí)）在VA8C中，ZA=55。，8。CE是它的兩條高，直線交

于點(diǎn)EZDFE=.

【答案】55。或125。

【分析】分兩種情況：當(dāng)VABC為銳角三角形時(shí)，當(dāng)VABC為鈍角三角形時(shí)，用三角形內(nèi)角和求解即可.

【詳解】解：當(dāng)VABC為銳角三角形時(shí)，如圖，

VZA=55°,32CE是它的兩條高，=125。；

當(dāng)VABC為鈍角三角形時(shí)，如圖，；ZA=55。，是它的高，/AfiD=NEBR=35。，

：CE是VABC的高，:.ZDFE=55。,綜上所述：NDFE=125°或NDFE=55°,故答案為：55。或125。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直的定義、四邊形的內(nèi)角和，熟練掌握四邊形的內(nèi)角和為360度及分類討論是

解題的關(guān)鍵.

例3.（2022秋?安徽宿州?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在^ABC中，。和BE分別是AB,AC邊上的高，若CD=12,

BE=16,則「的值為（）.

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的高的性質(zhì)，利用等積法求解即可.

11AC193

【詳解】,**S扉。=-AB,CD——AC,BE,12AB=16AC?=———.故選B.

△22AB164

【點(diǎn)睛】本題考查與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問題.根據(jù)三角形的面積公式得出=AC.砥是解題關(guān)鍵.

模型3.子母型雙垂直模型（射影模型）

模型解讀

子母型雙垂直模型的定義是一個(gè)直角三角形和斜邊上的高。子母型雙垂直模型的核心還是倒角之間的關(guān)系。

模型證明

條件：在中，ZACB=90°,是的高線，

結(jié)論：?ZB=ZACD；?ZA=ZBCD；?ACBC=CDAB0

c

ZACD+ZA=90°,ZACD+ZBCD=90°,ZB+ZBCD=90°,：,ZA=ZBCD,ZB=ZACD,

VZACB=90°,CD是高線，ASAAfiC=1-AB-Cr>=1.AC-BC,AACBC=CDAB°

模型運(yùn)用

例1.（2023?廣東廣州?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△AC2中，ZACB=90°,CDLAB于。，求證:

ZB=ZACD.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)CDLAB可得NACB=NCOS=90。，再根據(jù)/3+ZBCD=ZBCD+NACD=90。，即可求證.

【詳解】證：'：CD1AB,ZACB=90°/.ZACB=ZCDB=90°

XVZ5+ZCDB+NBCD=180°,Z.ZB+NBCD=90°

又ZACB=ZBCD+ZACD=90°,/.NB+NBCD=ZBCD+ZACD=90°/.ZB=ZACD

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形內(nèi)角和性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和的性質(zhì).

例2.（2024八年級(jí)上?江蘇?專題練習(xí)）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,C￡＞為A3邊上

的高.（1）求斜邊AB的長；（2）求8的長.

【答案】（1）10（2）4.8

【分析】本題考查了勾股定理，三角形的面積公式，掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.

（1）由勾股定理可求解；（2）由面積法可求解.

【詳解】(1)在Rt^ABC中，ZACB=90o,AC=6,BC=8,：.AB=y/AC2+BC2=10；

：XXXX：

(2),S△HAQBLC=2-AC2BC=-ABCD,.6x8=10xCD,/.CD=4.8.

例3.(23-24八年級(jí)?江蘇?假期作業(yè))如圖①，在VA8C中，ABAC=90°,AD是8c邊上的高.

（1）求證：ZDAC=ZABC；（2）如圖②，VABC的角平分線CF交AD于點(diǎn)E.求證：ZAFE=ZAEF；

（3）在（2）的條件下，/B4D的平分線分別與CF,BC相交于點(diǎn)H、點(diǎn)G,如圖③，若AH=6,CH=8,

CG=10,求AD的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）AD=9.6.

【分析】（1）據(jù)三角形高的定義及直角三角形兩銳角互余的關(guān)系即可得結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義及

直角三角形兩銳角互余的關(guān)系可得/AFE=/CED,根據(jù)對頂角相等的性質(zhì)即可得結(jié)論；（3）根據(jù)等腰三角

形“三線合一”的性質(zhì)可得AHLEF,根據(jù)勾股定理可求出HG的長，進(jìn)而可得AG的長，利用面積法即可得

答案.

【詳解】（1）NBAC=90°,ZABC+ZACB=90°,

?.?AD是邊上的高，ADJ.BC,：.ZADC=90°.

：.NDAC+ZACB=90°,/.ADAC=ZABC.

（2）：CF是VABC的角平分線，；.ZACF=/BCF,

ABAC=ZADC=90°,ZAFE+ZACF=ZCED+ZBCF=90°,ZAFE=ZCED,

ZAEF=ZCED,ZAFE=ZAEF.

(3)由(2)可知：ZAFE=ZAEF,；.AF=AE,

「AG平分/BAD,AG分別與CF,3C相交于點(diǎn)H、點(diǎn)G,，AH，EF,

VCH=8,CG=10,.\GH=7CG2-CH2=6;

VAH=6,；.AG=AH+GH=12,/.SAGC=-AGCH=-CG-AD,即12x8=10AD,解得：AD=9.6.

A22

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理，直角三角形兩銳

角互余；等腰三角形底邊的中線、底邊上的高及頂角的角平分線“三線合一”；直角三角形的兩條直角邊的平

方和等于斜邊的平方；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和定理是解題關(guān)鍵.

.題練模型I

1.（2023?北京通州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在AABC中，ZABC=90°,BDLAC,垂足為。.如果AC=6,

BC=3,則的長為（）

A.2B.1C.3A/3D.受

【答案】D

【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB,再利用三角形面積求出8。即可.

【詳解】解：；NABC=9O。，AC=6,BC=3,；.根據(jù)勾股定理鈣=MAC?-BC?=抬-3?=3g，

VBD1AC,：.SAABC=-ABBC=-ACBD,即工x3/x3=，x6-2。，解得：BD=^-.故選擇D.

22222

【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等積式，掌握直角三角形的性質(zhì)，勾股定理,

三角形面積等積式是解題關(guān)鍵.

2.（2023秋?浙江?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AABC中，BD1AC,BE平分/ABC,若？A2?C,NDBE=20。,

則/ABC=（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】B

【分析】設(shè)NC=（z,那么NA=2ar,然后利用。分別表示/ABC,NABE,^ABD,最后利用三角形內(nèi)

角和定理建立方程解決問題.

【詳解】解：：中，？A2?c,.?.設(shè)NC=a，那么NA=2Q,.../ASC=180O-NA-/C=180。—3。，

,/BE平分/ABC,：.ZABE=-ZABC=-（l80°-3a）,

22

i3

VBDVAC,ZDBE=20°,：.ZABD=ZABE-ZDBE=-（12,00-3a）-20°=10°--a,

3

ZA+ZABD=2a+70°一一a=90°,；.=4O°,：.ZABC=180°-ZA-ZC=180°-3a=60°.故選：B.

2a

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，同時(shí)也利用了角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練使用三角

形內(nèi)角和定理.

3.（23-24八年級(jí)上?陜西西安?開學(xué)考試）如圖，在VABC中，NBAC=45。,AD1BC,CE1AB,垂足分

別為點(diǎn)。、E,AD,CE交于點(diǎn)、H,EH=EB.下列結(jié)論：①NABC=45。；②AH=BC；@AE-BE=CH

④AC.你認(rèn)為正確的有（）

【答案】B

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、同角的余角相等、三角形的

一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角.

①根據(jù)AD23C,若/ABC=45。，貝|440=45。，而44c=45。，很明顯不成立；②③可以通過證明

絲ACEB得到；④延長交AC于點(diǎn)L則/皮C=+NB4C=90。，所以3H_LAC.

【詳解】解：假設(shè)NABC=45。成立，,:ADJ.BC,/54D=45。，

VABAC=45°,矛盾，=45°不成立，故①錯(cuò)誤.

VABAC=45°,CE1AB,:.AE=EC,

AE=EC

在AAEH和KEB中，＜NAEC=ZBEC：.AAEH^ACEB（SAS）AH=BC故②正確.

EH=EB

VEC-EH=CH,3E=C”故③正確.延長3”交AC于點(diǎn)L

VEH=EB,CELAB,:.NEBH=/EHB=45。,

VZBAC=45°,：,ZBLC=ZEBH+ABAC=90°,BHLAC,故④正確.故選：B.

4.(23-24八年級(jí)下廣西柳州?開學(xué)考試)如圖，在VABC中，/54C和ZABC的平分線AE,BF相交于點(diǎn)

O,AE交BC于E,所交AC于尸，過點(diǎn)。作OD，3C于。，下列三個(gè)結(jié)論：@ZAOB=90°+1zC；②

當(dāng)NC=60°時(shí)，AF+BE=AB；③若8=。，AB+BC+CA=2b,貝”0叱=2".其中正確的是()

A.①②B.②③C.①②③D.①③

【答案】A

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，正確作出輔助線

證得△/ffiO的AEBO,得到N2QH=NBOE=60。，是解決問題的關(guān)鍵.由角平分線的定義結(jié)合三角形的內(nèi)角

和的可求解—403與，。的關(guān)系，進(jìn)而判斷①；在A3上取一點(diǎn)N,使BN=BE,證得ANBO^AEBO,得

至11/3次=/反加=60。，再證得ANAO絲,得到AF=4V,進(jìn)而判斷②正確；作O"J_AC于X,

于根據(jù)三角形的面積可證得③錯(cuò)誤.

【詳解】解：?/ZBAC和ZABC的平分線相交于點(diǎn)0,：.NOBA^-ZCBA,ZOAB=-ZCAB,

22

ZAOB=180。一ZOBA-ZOAB=180°-1ZCBA-1ZC4B=180°-1(180°-ZC)=90°+1ZC,故①正確.

,/ZC=60°,：.ABAC+ZABC=120°,

VAE,8尸分別是，R4c和/ABC的平分線，NOAB+NOBA=J(ZBAC+/ABC)=60。，

/.ZAOB=120°,ZAOF=60°,：.ZBOE=60°,如圖，在A3上取一點(diǎn)N,使BN=BE,

BF是XABC的角平分線，ANBO=/EBO,

BN=BE

在ANBO和AEBO中，＜乙NBO=NEBO,&NBg止BO（SAS）,

BO=BO

：.BE=BN,ZBON=ZBOE=ZAOF=60°,；.ZAON=120°-60°=60°=ZAOF

'：OA=OA,ZOAF=NOAN：.AAOF^AON：.AF=AN：.AB=AN+BN=AF+BE,故②正確.

作O”_LAC于H，3/_1鉆于河，

?.,/B4C和—ABC的平分線AE,即相交于點(diǎn)O,...點(diǎn)。在一C的平分線上，AOH=OM=OD=a,

*.*AZ?+BC+CA=2b,S〃ABC=/義AB,0M+—xAC,OH+—xBC-OD=—AS+AC+BC'j-ci—ab.

故③錯(cuò)誤.故選：A.

5.（2023下?重慶涪陵?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，鈍角AABC中，/2為鈍角，AD為8C邊上的高，AE為/BAC

的平分線，則與Nl、N2之間有一種等量關(guān)系始終不變，下面有一個(gè)規(guī)律可以表示這種關(guān)系，你發(fā)

現(xiàn)的是（）

A.ZDAE=N2—N1B.ZDAE=Z2~Z1C.ZDAE=--Z1D.ZDAE=Z1+Z2