2025年新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)突破講義：三角函數(shù)概念與誘導(dǎo)公式

專(zhuān)題18三角函數(shù)概念與誘導(dǎo)公式

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

知識(shí)點(diǎn)一：三角函數(shù)基本概念

1、角的概念

(1)任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形;

②分類(lèi)：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角.

(2)所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是S={尸忸=h360。+a,此Z}.

(3)象限角：使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限,

就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.

(4)象限角的集合表示方法：

第一象限角：［a\2k7r<a<2kTr+^-,kEZ)

象

限第二象限角：{aM+3<a<2"+TT#eZ}

-角

的

m集第三象限角：{al2房+b<a<2"+要,AGZ}

\合

第四象限角：算<a<24F+2TTMeZ}

2、弧度制

(1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示，讀作弧度.正角

的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.

(2)角度制和弧度制的互化：180°=^rad,1°=—rad,lrad=—.

1807t

(3)扇形的弧長(zhǎng)公式：/=,“，扇形的面積公式：S=^lr=^\a\-r2.

3、任意角的三角函數(shù)

(1)定義：任意角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)尸(x,y)時(shí)，貝！Jsine=y,cosa=x,tana=—(x^O).

(2)推廣：三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點(diǎn)尸P(x,y)是角a終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸到原

點(diǎn)。的距離為r,貝!Jsine=2,cosa=—,tana=—(x0)

rrx

三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：

第一象第二象限第三象第四象

三角函數(shù)定義域

限符號(hào)符號(hào)限符號(hào)限符號(hào)

sinaR++一一

cosaR+一—+

71

tana{aaw左〃+萬(wàn),女￡Z}+—+—

記憶口訣：三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

4、三角函數(shù)線

如下圖，設(shè)角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)尸，過(guò)尸作軸，垂足為過(guò)/（1,0）作單位圓的切線

與a的終邊或終邊的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T.

孫（1,0）

*1,6)\oUx

三角函數(shù)線

(I)(D)(ID)(IV)

有向線段九。為正弦線；有向線段為余弦線；有向線段NT為正切線

知識(shí)點(diǎn)二：同角三角函數(shù)基本關(guān)系

1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

（1）平方關(guān)系：sin2a+cos2a=1.

（2）商數(shù)關(guān)系：S^na=tana（a^—+kn）；

cosa2

知識(shí)點(diǎn)三：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式

公式--二三四五六

7171

角2k1+a(keZ)7ia-an-a-----a—Fa

22

正弦sina一sina-sinasin。cosacosa

余弦COS6Z-COS6ZCOS6Z-COS6Zsina-sina

正切tanatana-tana一tana

口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限

【記憶口訣】奇變偶不變，符號(hào)看象限，說(shuō)明：（1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫(xiě)作〃?工土（2）

2

無(wú)論有多大，一律視為銳角，判斷"?王土a所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；（3）當(dāng)〃為

2

奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可.

【典型例題】

例1.（2024?山東青島一模）2024年2月4日，“龍行中華——甲辰龍年生肖文物大聯(lián)展”在山東孔子博物館

舉行，展覽的多件文物都有“龍”的元素或圖案.出土于魯國(guó)故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）就

是這樣一件珍寶.玉璜璜身滿(mǎn)刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，璜身外鏤空雕飾“S，型雙龍，造型精美.現(xiàn)要

3

計(jì)算璜身面積（厚度忽略不計(jì)），測(cè)得各項(xiàng)數(shù)據(jù)（圖2）:N8。8cm,ND。2cm,NO。5cm,若sin370名w

計(jì)3.14,則璜身（即曲邊四邊形/BCD）面積近似為（）

D'、、、

0

圖2

A.6.8cmB.9.8cm:C.14.8cm,D.22.4cm'

【答案】c

J_JR3

【解析】顯然-03為等腰三角形，O4=OB=5,AB=8，貝%=2^=3，^ZOAB=-,

即/0/5b37°,于是4403=106°=不二

所以璜身的面積近似為|ZAOB-（OA2一O02）=g*需*伊-3?卜14.8（cm?）

故選：C

例2.（2024?北京懷柔?模擬預(yù)測(cè)）攢尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)樣式，多見(jiàn)于亭閣式建筑、園林建

筑等，如圖所示的亭子帶有攢尖的建筑屋頂可近似看作一個(gè)圓錐，其底面積為167t,屋頂?shù)捏w積為“無(wú)兀,

3

算得側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角約為（）

【答案】C

【解析】底面圓的面積為16兀，得底面圓的半徑為廠=4,

所以底面圓周長(zhǎng)為既，即圓錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)為/=8兀，

屋頂?shù)捏w積為學(xué)好兀,由』xl6兀公藥5兀得圓錐的高〃=2遍,

333

所以圓錐母線長(zhǎng)，即側(cè)面展開(kāi)圖扇形半徑=同市=6,

78兀47r

得側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角約為?=-=—=v

R63

故選：C.

a

例3.（2024?高一四川內(nèi)江期末）已知sinc>0,cosa<0，則§的終邊在（）

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第一、二、四象限

【答案】D

【解析】因?yàn)閟incr>0,coscif<0,

兀

所以a為第二象限角，即,+2配<a<7t+2析#eZ,

兀2klia兀2E7）

所以針亍<7'十亍人z，

則y的終邊所在象限為居［,四,兀）榜著）所在象限，

即?的終邊在第一、二、四象限.

故選：D.

例4.（2024高三?海南省直轄縣級(jí)單位?階段練習(xí)）若a是第一象限角，則下列各角為第四象限角的是（）

A.90°-aB.90°+aC.360°-aD.3600+a

【答案】c

【解析】因?yàn)?。是第一象限角，所以一￡是第四象限角?/p>

則90。-a是第一象限角，故A錯(cuò)誤；90。+a是第二象限角，故B錯(cuò)誤；

360。-a是第四象限角，故C正確；360。+a是第一象限角，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

cc

例5.（2024?高三?上海靜安?期末）設(shè)a是第一象限的角，則，所在的象限為（）

A.第一象限B.第三象限

C.第一象限或第三象限D(zhuǎn).第二象限或第四象限

【答案】C

【解析】因?yàn)椤Ｊ堑谝幌笙薜慕牵?/p>

兀

所以2fal<a<2kn+—,keZ,

所以+左￡Z,

（yjrr/

當(dāng)月=2〃,"〃Z時(shí),2nn<—<2nn+~,neZ,彳為第一象限角；

（X71CX,

當(dāng)上=2"+l,〃eZ時(shí)，2rni+it<—<2rm+ii+-,n&7.,萬(wàn)■為第三象限角.

故選：C

__Qjr

例6.（2024高一?全國(guó)?課后作業(yè)）下列與角—的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是（）

A,2標(biāo)+45°（左eZ）B,左?360°+?（左eZ）

57r

C.k360—315。ReZ）D.fot+—（A;eZ）

【答案】c

【解析】對(duì)于A,B,2析+45。（丘Z）,h360。+當(dāng)（上）中角度和弧度混用，不正確；

Qjrjr

對(duì)于C,因?yàn)?=2兀+了與—315。是終邊相同的角，

44

故與角彳97r的終邊相同的角可表示為h360。-315。（左eZ）,C正確；

對(duì)于D,祈+^（%eZ）,不妨取左=0,則表示的角彳與］終邊不相同，D錯(cuò)誤，

故選：C

例7.（2024?高三?安徽?階段練習(xí)）《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實(shí)生活中的體育競(jìng)技活動(dòng)，刻畫(huà)的是一名強(qiáng)

健的男子在擲鐵餅過(guò)程中具有表現(xiàn)力的瞬間（如圖）現(xiàn)在把擲鐵餅者張開(kāi)的雙臂近似看成一張拉滿(mǎn)弦的“弓”，

擲鐵餅者的手臂長(zhǎng)約為[m，肩寬約為?m，“弓”所在圓的半徑約為，則擲鐵餅者雙手之間的距離約為

4o4

（參考數(shù)據(jù)：71=1.414,6。1.732）（）

A.1.012mB.1.768mC.2.043mD.2.945m

【答案】B

5兀

【解析】如圖所示，由題意知“弓”所在的弧石的長(zhǎng)/=￡+[+3壽，其所對(duì)圓心角a=-|-=3,

44oo。2

4

5TC

則兩手之間的距離|叫=2|/必=2xzxsina"768（m）.

故選：B.

例8.（2024?高三?全國(guó)?階段練習(xí)）tan2400sin660。的值為（）

【答案】D

3

【解析】tan2400sin660°=tan(180°+60°}in。20。-60°)=tan60°卜.60。卜也

2

故選：D.

.42+2cos2a-3sin2a

例9.（2024?遼寧?一模）若tan2a=],則)

1-cos2a

A.彳或21

B.-2或0C.2

【答案】c

42tana4g或-2,

【解析】tan2a=—=—=>tana=

=1----ta--n2a-3

2+2cos2a-3sin2a

1-cos2a

2+2(2C0S2a-l)-6sinacosa

1-(1-2sin2a

4cos2a—6sinacosa

2sin2a

2-3tan<7

tan2a

代入tana求得值均為：2.

故選：c.

sin2a

例10.(2024?全國(guó)—模)若tana=2，則sin2a+)

tana

61C-26

AB-i口?一?

-7-5

【答案】A

2

sin2a.22sinacosa.32sina+2cos2a

sin2a+-------sinaH-------：---------=sin2a+2cos(y----------------------

【解析】tanasma“si?n2a+cos2a?

cosa

l,smasin2a+2cos2atan2a+26

因tana=-------,則

cosasin2a+cos2atan2a+15

故選：A

例11.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知sin8=：,則sin26

)

tan。

71515

A-ic-7D-T

【答案】D

2

isin262sin6cos。=2cos20=2(l-sin26?)=2x1-1j15

【解析】因?yàn)閟in。="所以小sin。8.

COS。

故選：D.

例12。024?海南省直轄縣級(jí)單位一模）已知直線/：2x+3yT=0的傾斜角為。，則cos（6+兀）?sin1/。

()

6

D.-

13

【答案】B

2（71

【解析】由題意可知，tan0=--,兀

.25.A2而

sin。_2asine=-------sintz=---------

1313

。,解得＜或＜

則＜cos3e35(舍)，

2a3用

sin6+cos20=1cos6=---------cose=-------

11313

所以3（6+71）應(yīng)噌-可=

-cos28=---.

13

故選：B

例13.（2024?廣東江門(mén)?一模）已知角a的終邊上有一點(diǎn)尸，則（）

【答案】A

【解析】由題意知角a的終邊上有一點(diǎn)尸Hl],則|0尸|=’[一3；+t1=1,

故sina=—,貝[]c0S—+a=-sincr=——

故選：A

例14.(2024河北?一模)已知x是第二象限角，若cos(x-70o)=g,則sin(x+l10。)=

【答案】-孚

【解析】sin(x+l10°)=sin[(x-70°)+180°]=-sin(x-70°),

因?yàn)閄是第二象限角，若COS（尤-70。）=：,所以X-70。是第一象限角,

所以sin（x-70°）=Jl-cos?（尤-70。）=~~，

所以sin（x+110。）=-^^.

故答案為：一半

例15.（2024高三廣東云浮?開(kāi)學(xué)考試）已知sin[+*=],則cos、-。：

【答案】-/3-0.6

3

故答案為：--

【過(guò)關(guān)測(cè)試】

一、單選題

1.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）折扇是我國(guó)古老文化的延續(xù)，在我國(guó)已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧

音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫(huà)的形式體現(xiàn)我國(guó)的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智大勇

的象征（如圖1）.圖2是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧小，NC所在圓的半徑分別

是6和12,且AABC=120°,則該圓臺(tái)的體積為（）

圖2

7行兀「28亞兀八112A兀

333

【答案】D

【解析】設(shè)圓臺(tái)上下底面的半徑分別為不々，由題意可知gx2兀X6=2跖，解得4=2,

gx27rxi2=2叫，解得4=4，作出圓臺(tái)的軸截面，如圖所示：

DOQ

過(guò)點(diǎn)。向4P作垂線，垂足為T(mén),則/7=馬-彳=2,

所以圓臺(tái)的局j〃=VAD123—AT2=V62-22=4A/2,

則圓臺(tái)上下底面面積為1=7tx22=4兀,5=71x42=16兀，

由圓臺(tái)的體積計(jì)算公式可得：展+S2）x/2=gx287ix4收="2,兀.

故選：D.

2.（2024?高三?山東青島?開(kāi)學(xué)考試）中國(guó)傳統(tǒng)折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形環(huán)（扇形環(huán)是一個(gè)圓環(huán)

被扇形截得的一部分）制作而成.若一把折扇完全打開(kāi)時(shí)，其扇形環(huán)扇面尺寸（單位：cm）如圖所示，則該

扇面的面積為（）

A.2700cm2B.3500cm2C.4300cm2D.4800c”一

【答案】A

【解析】設(shè)福字下面的小扇形所在圓的半徑為尺,

貝11品=與，解得：尺=30,

3U+1\.lx

11,

所以扇形環(huán)的面積為-xl20x60--x60x30=2700cm2.

故選：A

3.（2024?高一山東棗莊期末）已知集合/=｛鈍角｝,3=｛第二象限角｝,C=｛小于180。的角｝,則（)

K.A=BB.B=C

C.AcBD.ScC

【答案】c

【解析】因?yàn)殁g角大于90。，且小于180。的角，一定是第二象限角，所以n=8,故選項(xiàng)C正確，

又第二象限角的范圍為｛切90。+上360。＜￡＜180。+h360。,左eZ｝,

不妨取￡=480°,此時(shí)尸是第二象限角，但480。＞180。，所以選項(xiàng)ABD均錯(cuò)誤，

故選：C.

aaa

4.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知角a第二象限角，且cos-=cos-，則角§是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】A

【解析】因?yàn)榻恰５诙笙藿牵裕?E＜a＜n+2E伍eZ）,

所以:+阮＜￡＜與+配化eZ）,所以角羨是第一象限角或第三象限角.

cinnci

又因?yàn)镃OS-=cos-,gpcos-＞0,所以角5是第一象限角，

故選：A.

5.（2024?高三?貴州?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%,｝滿(mǎn)足%=singleN*），貝［j%+%-q-%=（）

A.0B.1C.V3D.2

【答案】A

【解析】因?yàn)閍“=sinW（〃eN*）,

-7兀.871.71.2,71

a7+。8—%—。2=sin——Fsin——sin——sin

.（C兀）2兀、.71.271

I3jI3；33

.71.2兀.71.2兀

=sm—+sm---sinsm——=0.

3333

故選：A

6.（2024?高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）若a是第二象限角，貝［］（）

A.cos(-cr)>0B.tan—>0

C.sin(兀+a)〉0D.cos(兀-a)<0

【答案】B

【解析】若a是第二象限角jjj[]cos(-a)=c0sa<o,故A錯(cuò)誤；

今為第一、三象限角，則ta吟>0,故B正確；

sin(兀+a)=—sina<0,故C錯(cuò)誤;

cos(兀-a)=-cosa〉0,故D錯(cuò)誤.

故選：B.

7.(2024?高三?四川?階段練習(xí))若角a的終邊位于第二象限，且sina=g，則sin6+“=()

A.yB.C.立

2222

【答案】D

【解析】由誘導(dǎo)公式有：sin[^+a)=coso:，

因?yàn)榻恰５慕K邊位于第二象限，則cosa=-Vl-sin2a=-3,

2

所以sinq+a]=cosa=一4.

故選：D.

8.(2024?高三?內(nèi)蒙古赤峰?開(kāi)學(xué)考試)sin1650cos525°=()

111

A.-B.--C.--

424D--T

【答案】c

【解析]sin165°cos525°=sin(180°-15°)cos(540°-15°)=sin15(-cosl5°)=-;sin30°=

故選：C.

9.(2024?高三?河南專(zhuān)題練習(xí))若sinQ-芻=：,則sin(?+?)=()

636

11

A-IB-iD--T

【答案】C

【解析】因?yàn)椋?/5兀、.「,兀/兀、1

sin(a-?)=,sin(6r+——)=sinlii+(a---)J=-sin(?---)=——

o36663

故選:c.

二、填空題

10.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知a是第二象限角，且其終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-3,4),貝L|tan：=

【答案】2

【解析】因?yàn)?。是第二象限角，可?2析，兀+2版MGZ,

(y(Tt7Tin

則,￡匕+配5+阮j左￡Z，所以tan,>0,

,a

42tan^4

又因?yàn)椤５慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-3,4),可得tana=-7，可得tana=--------匕=-丁,

31-tan2-3

2

解得tan5=2或tan￡=T(舍去).

故答案為：2.

2冗

11.(2024?高三?浙江金華?期末)已知一圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為彳且半徑為1的扇形，則該圓錐的側(cè)

面積為.

【答案】

【解析】圓錐的側(cè)面積即是側(cè)面展開(kāi)圖對(duì)應(yīng)的扇形的面積，

1110TTJT

所以側(cè)面積s=-lr=-r2?=-xl2x—=-.

jr

故答案為：y.

12.(2024?高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))已知扇形的周長(zhǎng)為7cm,則這個(gè)扇形的面積為3cm,，則該扇形圓心角的弧

度數(shù)為.

Qq

【答案】3或;

【解析】設(shè)扇形半徑為,>0,

由題意可知：扇形的弧長(zhǎng)為7-2r>0,

13

則扇形的面積為5=5、年（7-2廠）=35192,解得，?=］或2,

=3-號(hào)Q

可得扇形的弧長(zhǎng)為4或3,所以該扇形圓心角的弧度數(shù)為a=3=3或a=5.

2

O4

故答案為：§或V

13.（2024云南昆明?一模）已知cosa=,公嗚,則tan2a=

3

【答案】-2V2

V6

【解析】由cosa=——，aG,sina=

3%3

sinarr

tana=-------=72

cosa

2tana上烏=一2后

/.tan2a=

1-tan2a5）

故答案為：-20.

-^1-,貝［Jsin2a=

14.（2024?高三?江蘇連云港?階段練習(xí)）已知tana=

2

【答案】半彳血

【解析】因?yàn)閠an”彳6

2x叵

2sinacosa2tana2r2

所以sin2a=2sinacosa='2

cos2a+sin2a1+tan2a3.

1+

故答案為：平

cin（y

15.（2。24?陜西渭南?模擬預(yù)測(cè)）已知tan”4,則嬴工

【答案】14/0.8

cincitana_4_4

【解析】由tana=4,所以^---------

sma+cosatana+14+15

4

故答案為：

3

16.（2024?高三?上海?專(zhuān)題練習(xí)）角。的終邊在直線y=]X上，貝Ucosa的值是

【答案】土誓

3

【解析】:角。的終邊在直線丁=5、，

.3

..tana--,

2

si.n7