2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義：三角形的性質(zhì)與判定（原卷版）

專題04三角形的性質(zhì)與判定

目錄

題型特訓(xùn)-精準(zhǔn)提分

題型01三角形的三邊關(guān)系

題型02與三角形有關(guān)線段的綜合問(wèn)題

題型03三角形內(nèi)角和定理與外角和定理綜合問(wèn)題

題型04三角形內(nèi)角和與外角和定理的實(shí)際應(yīng)用

題型05線段垂直平分線和角平分線綜合

題型06特殊三角形的性質(zhì)與判定

題型07勾股定理、勾股定理逆定理與網(wǎng)格問(wèn)題

題型08與三角形有關(guān)的折疊問(wèn)題

題型09趙爽弦圖

題型10利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題

題型11求最短距離

題型12勾股定理逆定理的拓展問(wèn)題

題型13判斷圖形中與已知兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)的位置

題型14判斷圖形中與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)的位置

■中考逆襲-高效集訓(xùn)

（時(shí)間：60分鐘）

題型特訓(xùn)-精準(zhǔn)提分

題型01三角形的三邊關(guān)系

1.(2023?廣東廣州?廣州市越秀區(qū)明德實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè))等腰三角形的一邊長(zhǎng)是3,另兩邊的長(zhǎng)是關(guān)

于x的方程/—10%+k=0的兩個(gè)根，則上的值為()

A.21B.25C.21或25D.20或24

2.(2021?甘肅蘭州?模擬預(yù)測(cè))如圖，在AABC中，AB=4,AC=2,點(diǎn)。為3C的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)可能是

)

A.1B.2C.3D.4

3.(2023?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知一個(gè)三角形的第一條邊長(zhǎng)為3a+b,第二條邊長(zhǎng)為2a-6

(1)求第三條邊長(zhǎng)小的取值范圍；(用含a,b的式子表示)

(2)若a,6滿足|0-5|+(匕-2)2=(),第三條邊長(zhǎng)機(jī)為整數(shù)，求這個(gè)三角形周長(zhǎng)的最大值

4.(2023?廣東江門?二模)已知關(guān)于x的方程口+(3)-2)x-6k=0.

(1)求證：無(wú)論k取何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；

(2)若等腰三角形△ABC的一邊a=6,另兩邊長(zhǎng)b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng).

題型02與三角形有關(guān)線段的綜合問(wèn)題

1.(2023?浙江杭州?統(tǒng)考二模)如圖,在RtZkABC中，AABC=90°.

A

(1)若NC=32。，求Nd的度數(shù).

(2)畫N4BC的平分線BD交AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)。作DE14B于點(diǎn)E.若4B=3,BC=4,求OE的長(zhǎng).(畫圖工

具不限）

2.（2023?陜西西安?一模）（1）請(qǐng)?jiān)趫D中過(guò)點(diǎn)4畫一條直線，將△ABC分成面積相等的兩部分;

（2）如圖，在平行四邊形4BCD中，請(qǐng)過(guò)頂點(diǎn)力畫兩條直線將平行四邊形4BCD的面積三等分，并說(shuō)明理由;

（3）如圖，農(nóng)博園有一塊四邊形A8CD空地，其中48=60m,BC=80m,CD=100m,XD=120m,=90°,

點(diǎn)P為邊力。的中點(diǎn).春天到了，百花齊放，農(nóng)博園設(shè)計(jì)部門想在這片空地上種三種不同的花卉，要求三種

花卉的種植面積相等，現(xiàn)規(guī)劃，從入口P處修兩條筆直的小路（小路的面積忽略不計(jì)）方便游客賞花，兩條

小路將這塊地的面積三等分，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算、畫圖說(shuō)明設(shè)計(jì)部門能否實(shí)現(xiàn)規(guī)劃，若能，請(qǐng)確定小路盡頭的位

置；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.（2023?湖北武漢?校考一模）如圖，已知△48C,M為邊4C上一動(dòng)點(diǎn)，AM^mMC,D為邊BC上一動(dòng)點(diǎn),

BD=nDC,交4。于點(diǎn)N.

⑴【問(wèn)題提出】三角形的三條中線會(huì)相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就叫做三角形的重心，重心有很多美妙的性質(zhì),

請(qǐng)大家探究以下問(wèn)題

若m=n=1,則黑=______（直接寫出結(jié)果）

MN

（2）【問(wèn)題探究】若爪=1,猜想黑與〃存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論

A

（3）【問(wèn)題拓展】若m=l,九=2,則=______（直接寫出結(jié)果）

S四邊形CDNM

題型03三角形內(nèi)角和定理與外角和定理綜合問(wèn)題

1.（2022?安徽?一模）將兩個(gè)直角三角板如圖擺放，其中NBC4=NEDF=90。，ZE=45°,乙4=30。，BC與

DE交于點(diǎn)尸，ZC與DF交于點(diǎn)^ABWEF,貝iJ/DPC-NDQC=（）

A.40°B.32.5°C.45.5°D.30°

2.（2022?安徽合肥?二模）如圖是一款手推車的平面示意圖,其中A5〃C。，43=150。，41=30。，貝此2的

70°C.80°D.90°

3.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考一模）在“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)中，小林剪掉等邊三角形紙片的一角，如圖所示，發(fā)現(xiàn)得

到的乙1與N2的和總是一個(gè)定值.則41+乙2=度.

4.（2022?河北秦皇島?統(tǒng)考一模）如圖，用鐵絲折成一個(gè)四邊形A8CZM點(diǎn)C在直線8。的上方），且乙4=70。，

ZBCD=nO°,若使/ABC、/AZJC平分線的夾角/E的度數(shù)為100°,可保持NA不變，將N8CD（填

“增大”或“減小”）°.

5.（2022?江西吉安?統(tǒng)考二模）如圖，在AABC中，NA2C的平分線8D交NACB的平分線CE于點(diǎn)O.

（1）求證：zBOC=|z?l+90o.

（2）如圖1,若44=60。，請(qǐng)直接寫出BE,CD,BC的數(shù)量關(guān)系.

⑶如圖2,ZA=90°,尸是瓦＞的中點(diǎn)，連接PO.

①求證：BC-BE-CD=2OF.

②延長(zhǎng)/。交BC于點(diǎn)G,若。尸=2,AOE。的面積為10,直接寫出OG的長(zhǎng).

6.（2023?山東青島?統(tǒng)考一模）【閱讀理解】

三角形內(nèi)角和定理告訴我們：如圖①，三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180。.

如圖②，在△力BC中，有41+乙48。+4。=180。，點(diǎn)。是48延長(zhǎng)線上一點(diǎn).由平角的定義可得Z71BC+

MBD=180°,所以NCBD=乙4+NC.從而得到三角形內(nèi)角和定理的推論：三角形的外角等于與它不相鄰

的兩個(gè)內(nèi)角的和.

A

AAA

【初步應(yīng)用】

如圖③，點(diǎn)。，E分別是AZBC的邊4B,北延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，

(1)若44=60。，ZC5D=110°,貝UNACB=°；

(2)若N4=60°,4CBD=110°,貝U/CBD+乙BCE='

(3)若Z71=ni°,貝ikCBD+ABCE=°,

【拓展延伸】

如圖④，點(diǎn)。，E分別是AABC的邊AB,AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，

(4)若乙4=60。，分別作“8。和48%的平分線交于點(diǎn)O,貝此8。。=<

(5)若=60。，分另I］作NC8D和Z_8CE的三等分線交于點(diǎn)。，5.ZCB0=|zC5D,乙BCO=g乙BCE,貝1|

ZBOC=°；

(6)若N4=zn。，分另!J作NCBD和NBCE的〃等分線交于點(diǎn)O,MzCSO=-^CBD,^BCO=-ABCE,貝U

nn

乙BOC=°.

題型04三角形內(nèi)角和與外角和定理的實(shí)際應(yīng)用

1.(2023?江西吉安?模擬預(yù)測(cè))苯分子的環(huán)狀結(jié)構(gòu)是由德國(guó)化學(xué)家凱庫(kù)勒提出的.隨著研究的不斷深入，發(fā)

現(xiàn)苯分子中的6個(gè)碳原子與6個(gè)氫原子均在同一平面，且所有碳碳鍵的鍵長(zhǎng)都相等(如圖1),組成了一個(gè)

完美的六邊形(正六邊形)，圖2是其平面示意圖，貝此1的度數(shù)為()

C.110°D.60°

2.（2023?山西太原?模擬預(yù)測(cè)）綠色出行，健康出行，你我同行.某市為了方便市民綠色出行，推出了共享

單車服務(wù).圖1是某品牌共享單車放在水平地面的實(shí)物圖，圖2是其示意圖，其中AB,都與地面平行,

乙BCD=68°,乙BAC=52°.已知ZM與CB平行，則4Mze的度數(shù)為（）

圖1圖2

A.70°B.68°C.60°D.50°

3.（2024.陜西西安.一模）如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過(guò)光心。的

光線相交于點(diǎn)P,點(diǎn)F為焦點(diǎn).若乙1=155。，Z2=30°,則43的大小為（)

A.45°B.50°C.55°D.65°

題型05線段垂直平分線和角平分線綜合問(wèn)題

1.（2023?浙江杭州?二模）如圖，AABC中，^BAC=70°,48的垂直平分線與NB4C的角平分線交于點(diǎn)。,

則乙4B。的度數(shù)為（）

A

A.35°B.30°C.25°D.20°

2.（2023?山東棗莊?一模）如圖，在RtAABC中，乙4cB=90。，AABC=30°,CD平分N4CB.邊4B的垂直

平分線DE分別交CD,AB于點(diǎn)。，E.下列結(jié)論中正確的有（）個(gè)

①4871c=60。；②CD<2BE；?DE=AC-,@^2CD=BC+^AB.

3.（2023?山西呂梁?模擬預(yù)測(cè)）如圖：在A40C中,

（1）實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)作ZB4C的角平分線交BC于點(diǎn)。，作線段4。的垂直平分線EF,交邊48于點(diǎn)E,交

邊4C于點(diǎn)F,交4D于點(diǎn)。（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）

（2）猜想與證明：連接DE.試猜想線段OE與4F的數(shù)量及位置關(guān)系，并加以證明.

4.（2023?江蘇連云港?二模）“關(guān)聯(lián)”是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思維方式.角平分線的有關(guān)聯(lián)想就有很多……

【問(wèn)題提出】

⑴如圖①，PC是APAB的角平分線，求證：咎=箓

PBBC

p

小明思路：關(guān)聯(lián)“平行線、等腰三角形”，過(guò)點(diǎn)8作BDIIP4交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，利用“三角形相似”.

小紅思路：關(guān)聯(lián)“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等“，過(guò)點(diǎn)C分別作CD1P4交P4于點(diǎn)D,作CE1PB交

PB于點(diǎn)E,利用“等面積法”.

請(qǐng)根據(jù)小明或小紅的思路，選擇一種并完成證明.

【理解應(yīng)用】

(2)如圖②，在RtaZBC中，4c=90。，。是邊BC上一點(diǎn).連接4。，將△4CD沿2D所在直線折疊，使點(diǎn)C

恰好落在邊48上的E點(diǎn)處，落AC=1,AB=2,則DE的長(zhǎng)為.

②

【深度思考】

(3)如圖③，AABC中，AB=6,AC=4,2。為N84C的角平分線.2D的垂直平分線EF交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸,

連接力F,當(dāng)BD=3時(shí)，力尸的長(zhǎng)為.

【拓展升華】

(4)如圖④，PC是AP/1B的角平分線，若4C=3,BC=1,貝必P4B的面積最大值是

p

5.（2022?浙江溫州.模擬預(yù)測(cè)）已知：如圖，NM4V為銳角，2。平分NM4V,點(diǎn)、B,點(diǎn)C分別在射線4M和4V

上，AB=AC.

備用圖1備用圖2

（1）若點(diǎn)E在線段C4上，線段EC的垂直平分線交直線力。于點(diǎn)尸，直線BE交直線4。于點(diǎn)G,求證：4EBF=

^CAG；

（2）若（1）中的點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到線段C4的延長(zhǎng)線上，（1）中的其它條件不變，猜想NEBF與NC4G的數(shù)量關(guān)系并

證明你的結(jié)論.

題型06特殊三角形的性質(zhì)與判定

1.（2023?陜西西安?高新一中?？家荒＃┤鐖D，在AABC中，AB=45°,NC=30。，則要的值為（）

2.（2024?上海普陀?一模）如圖，△力BC和ADCB都是直角三角形，zBXC=^BCD=90°,AB=AC,AC.

BD相交于點(diǎn)。，如果ND8C=30。，那么。C:4C的值是（）

D

A

BC

B.2-V3C.等D.V3-1

3.(2022?四川綿陽(yáng)?東辰國(guó)際學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè))如圖，在RtAABC中，乙4cB=90。，斜邊48=8,AB經(jīng)

過(guò)原點(diǎn)。，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，AC交x軸于點(diǎn)。，且CD:4D=4:3,反比例函數(shù)y=三的圖象經(jīng)過(guò)A、B

兩點(diǎn).

(1)求反比例函數(shù)的解析式.

(2)點(diǎn)尸為直線4C上一動(dòng)點(diǎn)，求BP+OP的最小值.

4.(2023?山西?模擬預(yù)測(cè))如圖1,在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)。在邊AC上，CDLDE,且

CD=DE,連接BE,取BE的中點(diǎn)F,連接。

(1)請(qǐng)直接寫出ZADF的度數(shù)及線段AD與DF的數(shù)量關(guān)系；

(2)將圖1中的△COE繞點(diǎn)C按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

①如圖2,(1)中尸的度數(shù)及線段與。P的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；

②如圖3,連接AF,若AC=3,CD=\,求SAADP的取值范圍.

5.(2021?福建廈門?廈門市第H^一中學(xué)校考二模)如圖，\ABC.AADE均為等邊三角形，BC=6,2。=4.將

△4DE繞點(diǎn)4沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，連接BD、CE.

⑴在圖①中證明A2D8三AAEC；

（2）如圖②，當(dāng)NE4C=90。時(shí)，連接CD,求ADBC的面積；

（3）在A4DE的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直接寫出ADBC的面積S的取值范圍.

6.（2021?江蘇南京?南師附中樹人學(xué)校?？家荒＃┤鐖D1,若的三個(gè)頂點(diǎn)D,E,尸分別在△A8C各邊

上，則稱△。跖是△ABC的內(nèi)接三角形.

（1）如圖2,點(diǎn)。，E,尸分別是等邊三角形ABC各邊上的點(diǎn)，且AO=2E=CR則△。防是△ABC的內(nèi)

接.

A.等腰三角形

B.等邊三角形

C.等腰三角形或等邊三角形

D.直角三角形

（2）如圖3,己知等邊三角形ABC,請(qǐng)作出△ABC的邊長(zhǎng)最小的內(nèi)接等邊三角形。EE（保留作圖痕跡，

不寫作法）

（3）問(wèn)題：如圖4,△ABC是不等邊三角形，點(diǎn)。在AB邊上，是否存在△ABC的內(nèi)接等邊三角形。所？

如果存在，如何作出這個(gè)等邊三角形？

①探究1：如圖5,要使△￡）￡/是等邊三角形，只需/EDF=60。，DE=DF.于是，我們以點(diǎn)。為角的頂點(diǎn)

任作NE。尸=60。，且。E交BC于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F.

我們選定兩個(gè)特殊位置考慮：位置1（如圖6）中的點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合，位置2（如圖7）中的點(diǎn)E與點(diǎn)C重

合.在點(diǎn)E由位置1中的位置運(yùn)動(dòng)到位置2中點(diǎn)C的過(guò)程中，DE逐漸變大而。尸逐漸變小后再變大，如果

存在某個(gè)時(shí)刻正好。E=OF,那么這個(gè)等邊三角形。EF就存在（如圖8）.理由：是等邊三角形.

②探究2：在8c上任取點(diǎn)E,作等邊三角形。所（如圖9）,并分別作出點(diǎn)E與點(diǎn)3、點(diǎn)C重合時(shí)的等邊三

角形。2尸和。CF'.連接尸尸，F(xiàn)F",證明：FF+FF"=BC.

③探究3：請(qǐng)根據(jù)以上的探究解決問(wèn)題：如圖10,ZVIBC是不等邊三角形，點(diǎn)。在A8邊上，請(qǐng)作出△A8C

的內(nèi)接等邊三角形。EE（保留作圖痕跡，不寫作法）

題型07勾股定理、勾股定理逆定理與網(wǎng)格問(wèn)題

1.（2022?陜西西安?交大附中分校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在9x5的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)

A,B,C都在格點(diǎn)上，若8。是/4BC的平分線，則8。的長(zhǎng)為（）

C3V10

C.-------D.3V10

2

2.（2021?北京門頭溝.統(tǒng)考二模）圖所示的正方形網(wǎng)格內(nèi)，點(diǎn)A,B,C,D,E是網(wǎng)格線交點(diǎn)，那么NEC。+

Z.EDC=

3.(2022?江蘇南通?統(tǒng)考二模)如圖，ATIBC的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上.

(l)AABC+^ACB=.

(2)利用正方形網(wǎng)格，證明(1)中的結(jié)論.

4.(2022?吉林長(zhǎng)春?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))圖①、圖②、圖③均是5x5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,

每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上.只用無(wú)刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中，以

A8為邊畫三角形.按下列要求作圖：

(2)在圖②中，畫一個(gè)直角三角形△A8。，使其面積為

(3)在圖③中，畫一個(gè)△ABE,使其面積為至，且N8AE=45。.

4

題型08與三角形有關(guān)的折疊問(wèn)題

1.(2022?重慶大足?統(tǒng)考一模)如圖，在放△A8C中，ZACB=90°,AB=5,AC=3,點(diǎn)。是BC上一動(dòng)點(diǎn)，

連接AD，將△AC。沿折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，連接。E交于點(diǎn)R當(dāng)/。仍是直角時(shí)，。尸的長(zhǎng)為

c

33

A.5B.3C.-D.-

24

2.（2022?廣東汕頭?統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=8,AB=10,。是AC上一點(diǎn)，且CO

=3,E是BC邊上一點(diǎn)，將△OCE沿折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，連接BR則BF的最小值為.

A

3.（2023?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）在RtAABC中，乙48c=90。，AB=5,BC=12,點(diǎn)。是邊BC上一點(diǎn)（不含2、

C兩個(gè)端點(diǎn)），將AaDC沿4。折疊得到△4DC',當(dāng)。C'所在的直線與△ABC的一邊垂直時(shí)，點(diǎn)D到邊4C的距

4.（2023?安徽亳州?三模）如圖，在直角三角形紙片ABC中，4ACB=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)。在邊48上,

以CD為折痕將ACBD折疊得到ACDF,CF與邊4B交于點(diǎn)E,當(dāng)DF1AB時(shí)，BD的長(zhǎng)是.

5.(2023?河南商丘.一模)綜合與實(shí)踐

綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“三角形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).

(1)【操作發(fā)現(xiàn)】對(duì)折△4BCQ4B>4C),使點(diǎn)C落在邊48上的點(diǎn)E處，得到折痕4。，把紙片展平，如圖1.小

明根據(jù)以上操作發(fā)現(xiàn)：四邊形2EDC滿足DE=DC.查閱相關(guān)資料得知，像這樣的有兩組鄰邊分

別相等的四邊形叫作"箏形請(qǐng)寫出圖1中箏形2EDC的一條性質(zhì)—.

(2)【探究證明】如圖2,連接EC,設(shè)箏形AEDC的面積為S.若2D+EC=12,求S的最大值；

(3)【遷移應(yīng)用】在RtATIBC中，乙4=90。，AB=2,AC=1,點(diǎn)、D,E分別在8C,4B上，當(dāng)四邊形力EDC是

箏形時(shí)，請(qǐng)直接寫出四邊形2EDC的面積.

6.(2023?河南周口?三模)綜合與實(shí)踐

【問(wèn)題背景】

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,老師將矩形4BCD按如圖①所示方式折疊，使點(diǎn)4與點(diǎn)C重合,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為夕，折痕為EF,

若小CEF為等邊三角形.

AEDAA

￥BC

圖①圖②圖③

(1)請(qǐng)解答老師提出的問(wèn)題：

試猜想48與4。的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【實(shí)踐探究】

(2)小明受到此問(wèn)題啟發(fā)，將AABC紙片按如圖②所示方式折疊，使點(diǎn)2與點(diǎn)C重合，折痕為EF,若乙4=

45。,AC=2,

①試判斷重疊部分△CEF的形狀，并說(shuō)明理由；

②若點(diǎn)。為EF的中點(diǎn)，連接CD,求CD的長(zhǎng)；

【問(wèn)題解決】

（3）小亮深入研究小明提出的這個(gè)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖③，在AABC中，將ATIBC折疊，使點(diǎn)

4與點(diǎn)C重合，點(diǎn)。為折痕所在直線上一點(diǎn)，若AB=AC=V5,BC=2,zXCD=45°,請(qǐng)直接寫出線段BD的

長(zhǎng).

題型09趙爽弦圖

1.（2023?山東濟(jì)南?統(tǒng)考三模）公元三世紀(jì)，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》題時(shí)給出了“趙爽弦

圖”.將兩個(gè)“趙爽弦圖”（如圖1）中的兩個(gè)正方形和八個(gè)直角三角形按圖2方式擺放圍成正方形MNPQ,

記空隙處正方形4BCD,正方形EFGH的面積分別為S「＞S2）,則下列四個(gè)判斷：①S1+S2=

-S四邊形MNPQ②DG=24F；③若NEM”=30。，則S[=3S2；④若點(diǎn)A是線段GF的中點(diǎn)，貝U3s1=4S2,其

中正確的序號(hào)是

2.（2023?浙江麗水?統(tǒng)考一模）公元3世紀(jì)，我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽巧妙地利用面積關(guān)系（后人稱“趙爽弦圖”）證

明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形

EFGH組成的大正方形.連結(jié)BG、DE,設(shè)S正方形必。。=S]，S正方形EFGH=S2，S四邊形BE0G=S3.

AD

BC

（1）若BE=2DH,則tan/EDH=.

（2）若Si=$2+S3,則器的值是.

3.（2022?福建福州?福建省福州延安中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一

幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）,圖2由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而

成，記圖中正方形4BCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2>S3,如果S1+S2+S3=96,

那么S2的值是—.

圖1圖2

4.(2023?廣東深圳?校聯(lián)考三模)中華文明源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，如圖①是漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解倜髀算經(jīng)》時(shí)給出

的圖形，人們稱之為趙爽弦圖，被譽(yù)為中國(guó)數(shù)學(xué)界的圖騰.2002年北京國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)依據(jù)趙爽弦圖制作

了會(huì)標(biāo)，該圖有4個(gè)全等的直角三角形圍成幾個(gè)大正方形和中間一個(gè)小正方形，巧妙的證明了勾股定理.

問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：

如圖①，若直角三角形的直角邊BC=3,斜邊力B=5,則中間小正方形的邊長(zhǎng)CD=,連接BD,△ABD

的面積為.

知識(shí)遷移：

如圖②，P是正方形力BCD內(nèi)一點(diǎn)，連接P4PB,PC,當(dāng)乙BPC=90°,BP=VTU時(shí)，△P4B的面積為.

拓展延伸：

如圖③，已知NMBN=90。，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線BM,BN分別于2,C兩點(diǎn).

(1)已知。為線段力B上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CD,過(guò)點(diǎn)B作BE1CD,垂足為點(diǎn)E；在CE上取一點(diǎn)尸，使EF=BE；

過(guò)點(diǎn)F作GF1CD交BC于點(diǎn)G,試判斷三條線段BE,DE,GF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(2)在(1)的條件下，若D為射線BM上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為射線EC上一點(diǎn)；當(dāng)月B=10,CF=2時(shí)，直接寫

5.（2023?山東濟(jì)寧?統(tǒng)考二模）勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定

理.在我國(guó)古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定

理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1）,后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今.勾股定理內(nèi)容為：如果直角三角形

的兩條直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么。2+房=。2.

圖6圖7

（1）如圖2、3、4,以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形

中面積關(guān)系滿足&+S2=S3的有個(gè)；

（2）如圖5所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別

為I，S2,直角三角形面積為S3,請(qǐng)判斷￡,52,S3的關(guān)系并證明；

（3）如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這

一過(guò)程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”.在如圖7所示的“勾股樹"的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長(zhǎng)

為定值機(jī)，四個(gè)小正方形A,B,C,D的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,d,已知=42=N3=Na,則當(dāng)Na變化時(shí),

回答下列問(wèn)題：（結(jié)果可用含m的式子表示）

@tz2+b2+c2+d2=；

②b與c的關(guān)系為,a與d的關(guān)系為.

題型10利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題

1.（2023?河北秦皇島?統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)P為觀測(cè)站，一艘巡航船位于觀測(cè)站P的南偏西34。方向的點(diǎn)A

處，一艘漁船在觀測(cè)站P的南偏東56。方向的點(diǎn)B處，巡航船和漁船與觀測(cè)站P的距離分別為45海里、60

海里.現(xiàn)漁船發(fā)生緊急情況無(wú)法移動(dòng)，巡航船以30海里/小時(shí)的速度前去救助，至少需要的時(shí)間是（）

2.（2023?遼寧撫順?統(tǒng)考三模）如圖，4B是斜靠在墻上的長(zhǎng)梯，4B與地面夾角為a,當(dāng)梯頂2下滑2m到4時(shí),

梯腳B滑到B',4B'與地面的夾角為。，若tana=￡BB'=2m,貝!JcosS=（）

3.（2023?湖北十堰?統(tǒng)考一模）無(wú)蓋圓柱形杯子的展開圖如圖所示.將一根長(zhǎng)為20cm的細(xì)木筷斜放在該杯子

內(nèi)，木筷露在杯子外面的部分至少有（）

A.5cmB.7cmC.8cmD.11cm

4.（2023?陜西西安??？级＃┤鐖D，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm,底面周長(zhǎng)為10cm,

在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)8處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁,且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處,

則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是—.

5.（2023?北京?北京四中校考模擬預(yù)測(cè)）一塊木板如圖所示，已知4B=4,BC=3,DC=12,AD=13,

NB=90°,求此木板的面積

題型11求最短距離

1.（2023?湖北十堰?一模）如圖，這是一個(gè)供滑板愛(ài)好者使用的U形池，該U形池可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體去掉

一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是弧長(zhǎng)為12m的半圓，其邊緣4B=CD=20m（邊緣的寬度

忽略不計(jì)），點(diǎn)E在CD上，CE=4m.一滑板愛(ài)好者從4點(diǎn)滑到E點(diǎn)，則他滑行的最短距離為（）

A.28mB.24mC.20mD.18m

2.（2021?山東臨沂?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在RtZUBC中，ZXCS=90°,AC=10,BC=12,點(diǎn)D是AABC內(nèi)的

一點(diǎn)，連接4D,CD,BD,滿足N4DC=90。，貝UBD的最小值是（）

3.（2023?湖北十堰?模擬預(yù)測(cè)）如圖，動(dòng)點(diǎn)P在矩形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，AB=7,BC=5,且滿足S-BP=10.5,

PA+PB的最小值是.

4.（2023?山東德州?一模）小南同學(xué)報(bào)名參加了學(xué)校的攀巖選修課，攀巖墻近似一個(gè)長(zhǎng)方體的兩個(gè)側(cè)面，如

圖所示，他根據(jù)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)準(zhǔn)確地判斷出：從點(diǎn)A攀爬到點(diǎn)B的最短路徑為米.

5.（2022?廣東深圳?三模）某課題組在探究“將軍飲馬問(wèn)題”時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型：

直線，同旁有兩個(gè)定點(diǎn)4、B,在直線，上存在點(diǎn)P,使得24+的值最小.解法：作點(diǎn)4關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)

A',連接AB,貝必'B與直線I的交點(diǎn)即為P,且P2+P8的最小值為AB.

圖1圖2

請(qǐng)利用上述模型解決下列問(wèn)題：

（1）幾何應(yīng)用：如圖1,等腰直角三角形ABC的直角邊長(zhǎng)為2,E是斜邊4B的中點(diǎn)，P是4C邊上的一動(dòng)點(diǎn)，

則PB+PE的最小值為；

（2）幾何拓展：如圖2,△ABC中，AB=2,ABAC=30。，若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N使+MN的

值最小，求這個(gè)最小值_________;

（3）代數(shù)應(yīng)用：求代數(shù)式+1+J（4_x）2+4（0＜x＜4）的最小值_________.

題型12勾股定理逆定理的拓展問(wèn)題

1.（2022?江蘇無(wú)錫?二模）已知反比例函數(shù)y=|和正比例函數(shù)尸"的圖像交于點(diǎn)〃，N,動(dòng)點(diǎn)P（加，0）在無(wú)

軸上.若為銳角三角形，則機(jī)的取值為（）

A.-2VMV逐且加#0B.-、用＜相＜逐且加#0

C.二〈根＜-西或愿＜根＜勺D.小或亞＜m＜2

22

2.（2020.貴州安順.中考真題）如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分

別按下列要求畫三角形.

圖1圖2圖3

(1)在圖①中,畫一個(gè)直角三角形，使它的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù);

(2)在圖②中,畫一個(gè)直角三角形，使它的一邊長(zhǎng)是有理數(shù)，另外兩邊長(zhǎng)是無(wú)理數(shù);

在圖③中,畫一個(gè)直角三角形，使它的三邊長(zhǎng)都是無(wú)理數(shù).

3.（2020?山西?二模）綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境

在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“正方形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).請(qǐng)你解決活動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生

的下列問(wèn)題.如圖1,現(xiàn)有正方形紙片A8CD,先對(duì)折得到對(duì)角線BD,接著折疊使點(diǎn)C落到BD上的點(diǎn)C'處,

再展開，得到折痕BE,連接CE.

觀察計(jì)算

（1）在圖1中，襄的值是.

圖1

操作探究

（2）如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上，折疊正方形紙片，使點(diǎn)4D分別落到4B,DC邊上的點(diǎn)4,E處，再展開，折痕

為GH,則點(diǎn)C'在折痕GH上嗎？若在，請(qǐng)加以證明；若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

圖2

（3）如圖3,在圖2（隱去點(diǎn)4和4E）的基礎(chǔ)上，折疊正方形紙片，使點(diǎn)4B分別落到點(diǎn)A,E處，再展開,

折痕為MN,折痕與GH交于點(diǎn)P,連接，PB,PE,貝甘B和PE之間有何位置關(guān)系？并加以證明；

圖3

操作拓展

（4）如圖4,該圖中所有已知條件與圖3完全相同，利用圖4探索新的折疊方法（圖3中產(chǎn)生折痕MN的方

法除外），找出與圖3中點(diǎn)P位置相同的點(diǎn)，該點(diǎn)命名為P',要求只有一條折痕.請(qǐng)?jiān)趫D4中畫出折痕和必要

線段，標(biāo)出點(diǎn)P',并簡(jiǎn)要說(shuō)明折疊方法.（不需要說(shuō)明理由）

4.（2020?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?一模）定義：如圖1,點(diǎn)M、N把線段AB分割成AM、MN和BN,若以AM、MN、

BN為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段A8的勾股點(diǎn).已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股點(diǎn),

若AM=1,MN=2,則8N=

AMNB

圖1

（1）【類比探究】如圖2,OE是A48C的中位線，M、N是邊的勾股點(diǎn)（AM〈MN<NB）,連接CM.

CN分別交。E于點(diǎn)G、H.求證：G、//是線段。E的勾股點(diǎn).

（2）【知識(shí)遷移】如圖3,C,。是線段的勾股點(diǎn)，以C。為直徑畫。。，尸在。。上，AC^CP,連結(jié)

PA,PB,若求的度數(shù).

（3）【拓展應(yīng)用】如圖4,點(diǎn)P（a,6）是反比例函數(shù)y=|（x>0）上的動(dòng)點(diǎn)，直線y=-久+2與坐標(biāo)軸

分別交于A、B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)尸分別向尤、y軸作垂線，垂足為C、D,且交線段于E、F.證明：E、尸是

線段A8的勾股點(diǎn).

題。型。13。判。斷圖形中與已知兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)的位置

問(wèn)題分情況找點(diǎn)畫圖解法

分別以點(diǎn)A,B

..……：＜"■..

為圓心，以AB

以AB長(zhǎng)為半徑畫圓，

分別表示出點(diǎn)A,B,P

為腰與已知直線的交

i'-A

的坐標(biāo)，再表示出線段

----------------------------------1點(diǎn)Pl,P2,P3,

禹?…

已知點(diǎn)A,B和直PiP/AP4AB,BP,AP的長(zhǎng)度，

P4即為所求

線1,在1上求點(diǎn)P,由①AB=AP；②AB=

使4PAB為等腰作線段AB的垂直BP；③BP=AP列方程

三角形以AB平分線，與已知解出坐標(biāo)

為底直線的交點(diǎn)P5即

為所求

1.如圖，在3x3的網(wǎng)格中，每個(gè)網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn).己知圖中4B兩個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中再尋找另一

個(gè)格點(diǎn)C,使△ABC成為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C有（）個(gè).

A.6B.8C.10D.12

2.（2020?安徽淮北?統(tǒng)考一模）如圖，在矩形4BCD中，4B=4,BC=6,點(diǎn)E是4D的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在DC上，且

CF=1,若在此矩形上存在一點(diǎn)P,使得APEF是等腰三角形，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

3.（2021?廣東深圳?統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，A（0,2）,B（0,6）,動(dòng)點(diǎn)C在直線y=-x上，

若以A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為一.

4.（2022?江蘇南京?統(tǒng)考一模）如圖，M,N是/AQB的邊OA上的兩個(gè)點(diǎn)（OMCOAO，ZAOB=30°,OM=

a,MN=4.若邊OB上有且只有1個(gè)點(diǎn)尸，滿足△「阿是等腰三角形，則。的取值范圍是.

題。型。14。判斷。圖形中與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)的位置

問(wèn)題分情況找點(diǎn)畫圖解法

分別過(guò)點(diǎn)A,B

以AB作AB的垂線，

分別表示出點(diǎn)A,B,

為直角與已知直線的

P的坐標(biāo)，再表示出

/邊交點(diǎn)，即為

4/P1P4

線段AB,BP,AP的

所求P1p4

已知點(diǎn)和直線

A,B長(zhǎng)度，由①AB2=BP2

以的中點(diǎn)

在上求點(diǎn)使ABQ

1,1P,+AP2；②BP2=AB2

為圓心，為

△為直角三角QA

PAB+AP2；③AP2=AB2

以為半徑作圓，與已

形AB

+BP2列方程解出坐

斜邊知直線的交點(diǎn)

標(biāo)

P2,P3即為所

—p3

求

1.（2022?河北承德?統(tǒng)考二模）如圖，在由邊長(zhǎng)為1的7個(gè)正六邊形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,8在格點(diǎn)上.若

再選擇一個(gè)格點(diǎn)C,使△ABC是直角三角形，且每個(gè)直角三角形邊長(zhǎng)均大于1,則符合條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)

是（）

A.2B.4C.5D.6

2.（2019?福建?校聯(lián)考一模）點(diǎn)A（2,M,B（2,m-5）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn).若△48。

是直角三角形，則根的值不可能是（）

A.4B.2C.1D.0

3.（2023?遼寧沈陽(yáng)?校聯(lián)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4（-6,0）,B（2,0）,若點(diǎn)C在一次函數(shù)y=-|x+

2的圖象上，且△ABC為直角三角形，則滿足條件的C點(diǎn)的個(gè)數(shù)有一個(gè).

4.（2023?浙江溫州??？级＃┰谥苯亲鴺?biāo)系中，我們把橫縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)叫作整點(diǎn)，頂點(diǎn)都是整點(diǎn)的

三角形稱為整點(diǎn)三角形.如圖，已知整點(diǎn)4（0,1）,5（4,0）,請(qǐng)?jiān)谒诘木W(wǎng)格區(qū)域（含邊界）畫出符合要求的

（2）在圖2中畫一個(gè)AABQ,使點(diǎn)。的橫縱坐標(biāo)相等，且A4BQ的面積等于3.

中考逆襲-高效集訓(xùn)

（時(shí)間:60分鐘）

一、單選題

1.（2023?山西太原?二模）利用課后服務(wù)時(shí)間，同學(xué)們?cè)诓賵?chǎng)上進(jìn)行實(shí)地測(cè)量.如圖，在力處測(cè)得建筑物C在

南偏西60。的方向上，在B處測(cè)得建筑物C在南偏西20。的方向上.在建筑物C處測(cè)得A,2兩處的視角NC的度

數(shù)為（）

B北

A

A.30°B.40°C.60°D.80°

2.（2023?安徽?模擬預(yù)測(cè)）有一內(nèi)角是30。的直角三角尺CDE與直尺如圖放置，三角尺的斜邊與直尺交于點(diǎn)

F.若NCDE的平分線DG平行于直尺的短邊4B,則N71FC的度數(shù)是（）

3.（2023?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）圖1為紅斑鐘螺，殼型為圓錐形.多分布在菲律賓、以及我國(guó)臺(tái)灣墾丁等區(qū)

域.現(xiàn)有一個(gè)“鐘螺”小擺件，可近似看成圓錐形，圖2為其主視圖，其中AB=13cm,擺件的高度為12cm.現(xiàn)

要在力B上選取一個(gè)位置P安裝掛鉤，在該點(diǎn)與C之間布設(shè)導(dǎo)線，線路上安裝微型小彩燈，若掛鉤以及導(dǎo)線

連接處等長(zhǎng)度損耗忽略不計(jì)，則最短線路，即CP的最小值為（）

BC

圖1圖2

A.10cmB.等cmC.事mD.6gcm

4.（2023?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，乙4=30°,AB=6,點(diǎn)E,尸在線段4B上，且滿足4E=EF=FB=2,

點(diǎn)P在射線AC上，且PE+PF=5,則滿足上述條件的點(diǎn)P有（）

c

p

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.3個(gè)以上

二、填空題

5.（2023?吉林松原?二模）如圖，在AABC中，BC=10,AC=8,zC=30°.若將△ABC沿EF折疊，點(diǎn)A

與邊的點(diǎn)。恰好重合，點(diǎn)、H,G分別在BQ,CD上.將△28C沿EH折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)。恰好重合.將△A8C沿

FG折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)。恰好重合，則四邊形EFG”的周長(zhǎng)為.

A