2025年新高考數(shù)學(xué)阿波羅尼斯圓與蒙日?qǐng)A七大題型（學(xué)生版）

阿波羅尼斯圓與蒙曰圓七大題型匯總

題型ik氏國(guó)與軌跡

題型2阿氏圄與圓雉曲線

題？WJ

題2

35阿氏圄與立體幾何

題型6楠圄中的蒙曰國(guó)

題型7雙離,與檢物線中的拿日國(guó)

題型1阿氏圄與軌跡

即上塾重點(diǎn)

阿波羅尼斯圓的定義

在平面上給定兩點(diǎn)A,B,設(shè)P點(diǎn)在同一平面上且滿足篝=4當(dāng)4>0且時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是個(gè)圓,稱

之為阿波羅尼斯圓.（4=1時(shí)P點(diǎn)的軌跡是線段4B的中垂線

題工（2021下.陜西寶雞.高三統(tǒng)考階段練習(xí)）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)

現(xiàn):“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離之比為定值M4W1）的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái),人們將這個(gè)圓以他的

名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓在平面直角坐標(biāo)系。。夕中，4（—2,0）,B（4,0）,點(diǎn)P滿足借

\PB\

=y.則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于（）

A.4兀B.8兀C.12兀D.16兀

變或他1級(jí)

［題目|1［（2023上?浙江金華?高三階段練習(xí)）已知圓C的直徑AB=6,點(diǎn)M滿足\MA\=21MBi.記點(diǎn)M的軌

跡為W,設(shè)W與。交于P,Q兩點(diǎn)，則|PQ|=.

頷目團(tuán)（江蘇省海高三模擬考試數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)以為中，已知點(diǎn)4（1,0）出（4,0）,若直線2-夕

+m=0上存在點(diǎn)P使得\PA\=-j-|FB|,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

〔題目0（2021?湖南衡陽(yáng)?校聯(lián)考一模）阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過(guò)這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)到

兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)后伏>0#片1）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將此圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A、口間

的距離為4,動(dòng)點(diǎn)P滿足段=V3,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所圍成的圖形的面積為；PA-PB最大值是

題目④（2019上?浙江杭州?高三浙江省杭州第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知AB是平面上兩個(gè)定點(diǎn),平面上

I8

的動(dòng)點(diǎn)滿足獸=獸=M，若對(duì)于任意的館23,不等式13VM瓶卜恒成立，則實(shí)數(shù)k的最小

\CB\\DB\

值為.

〔題目可（2023上?山東?高三沂源縣第一中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）我們都知道:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于定

值（不為1）的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓.后來(lái)該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內(nèi)有兩點(diǎn)A（-L,0）和

B（2,1）,且該平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足|24|=2\PB\，若點(diǎn)P的軌跡關(guān)于直線mx+ny-2=0（m,n>0）對(duì)稱，

則2+互的最小值是（）

mn

A.10B.20C.30D.40

1題目⑤（多選）（2023上?貴州貴陽(yáng)?高三清華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里

得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn):平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定

值"4>0,且4W1）的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系2。沙中，4（—2,0）,

口（4,0）,點(diǎn)P滿足*=］.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.。的方程為（rc+4）2+方=16

B.點(diǎn)AB都在曲線。內(nèi)部

C.當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，則=

D.若。（2,2）,則|PB|+2\PD\的最小值為4A用

題型2阿氏畫(huà)與4畫(huà)錐曲線

阿波羅尼斯圓的證明

【定理1】設(shè)P（2,沙），4（—a,0）,B（a,0）.若果=4（4>0且4A1）,則點(diǎn)P的軌跡方程是

riD

卜一”力2+才=（竽工『，其軌跡是以（尸口O）為圓心，半徑為丁=M的圓.

證明:由_B4=APB及兩點(diǎn)間距離公式，可得（6+a）?+才=#［（力一Q）2+才］,

化簡(jiǎn)可得（1—不）力2+（1—矛）#_|_2（1+/l2）aa;+（1—矛）d=0①，

（1）當(dāng)4=1時(shí)，得力=0,此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段AB的垂直平分線；

⑵當(dāng)4W1時(shí),方程①兩邊都除以1—才得1+才+2a（1+褒+&2=0,化為標(biāo)準(zhǔn)形式即為：

（廣含4+萬(wàn)（雞）二點(diǎn)P的軌跡方程是以（碧Q,。）為圓心，半徑為川碧頤.

圖①圖②圖③???

的2（2021上?北京?高三北京市八一中學(xué)?？计谀┕畔ＥD數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世

界光輝的科學(xué)成果,它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡,幾乎使后人沒(méi)有插足的余地，他證明過(guò)這樣一個(gè)命題：

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)>0且看片1）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓,現(xiàn)有橢

圓「:名+*=1（a>90）,4B為橢圓「長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，C、。為橢圓「短軸的端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)河滿足電”

a2b2\MB\

=2,△MAS的面積的最大值為8,4MCD的面積的最小值為1,則橢圓「的離心率為.

孌式的1統(tǒng)

［題目|11（2021.安徽黃山?統(tǒng)考一模）在平面上給定相異兩點(diǎn)A,B,設(shè)點(diǎn)P在同一平面上且滿足制~=九當(dāng)

4>0且4片1時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個(gè)圓為

阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有雙曲線W2=l（a>0,6>0）,厘用分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，A,B為雙曲線虛

ab

軸的上、下端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足獸■=2,△/MB面積的最大值為4.點(diǎn)在雙曲線上，且關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)

\PA\

稱，Q是雙曲線上一點(diǎn)，直線■和QN的斜率滿足則雙曲線方程是；過(guò)￡的

直線與雙曲線右支交于兩點(diǎn)（其中。點(diǎn)在第一象限），設(shè)點(diǎn)M、N分別為瓦月、ADE用的內(nèi)心，則

\MN\的范圍是.

意目團(tuán)（2021上.吉林通化.高三梅河口市第五中學(xué)?？计谀┕畔ＥD數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262-

190年），與歐幾里得、阿基米德并稱古希臘三大數(shù)學(xué)家;他的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)光輝的科學(xué)成

果,它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)絡(luò)殆盡,幾乎使后人沒(méi)有插足的余地.他發(fā)現(xiàn)“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)4B的距離

之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿

氏圓.比如在平面直角坐標(biāo)系中，4（0,1）、3（0,4）,則點(diǎn)P滿足；1=/所得P點(diǎn)軌跡就是阿氏圓；已知點(diǎn)

。（—2,4）,Q為拋物線y2=8x上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q在直線，=—2上的射影為H,M為曲線0+2）2+才=4上

的動(dòng)點(diǎn)，則y|MC|+\QH\+\QM\的最小值為.貝+\QH\+\QM\的最小值為.

［題目0（2022下?浙江?高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）公元前3世紀(jì)，阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中明確給出了

橢圓和圓的一個(gè)基本性質(zhì)：如圖,過(guò)橢圓（或圓）上任意一點(diǎn)P（不同于A,B）作長(zhǎng)軸（或直徑）的一條垂

線段，垂足為Q,則為常數(shù)k.若此圖形為圓，則fc=；若k=］,則此圖形的離心率為

f1

題目0（2022.湖北.荊門(mén)市龍泉中學(xué)校聯(lián)考二模）歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫(kù)莫斯（公元前375

年-325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐

曲線的光學(xué)性質(zhì):如圖甲，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波,經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一

個(gè)焦點(diǎn)，其中法線，表示與橢圓C的切線垂直且過(guò)相應(yīng)切點(diǎn)的直線,如圖乙，橢圓。的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦

點(diǎn)為E（—c,0）,E（c,0）（c>0）,由后發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到E經(jīng)過(guò)的路程為8c.利用橢圓的光學(xué)

性質(zhì)解決以下問(wèn)題：

(1)橢圓。的離心率為.

(2)點(diǎn)P是橢圓。上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，橢圓在點(diǎn)P處的切線為I,再在I上的射影〃在圓/+才=8上,

則橢圓。的方程為_(kāi)_____.

題型3阿氏質(zhì)求菲標(biāo)型最值

川一期重點(diǎn)

當(dāng)題目給了阿氏圓和一個(gè)定點(diǎn)，我們可以通過(guò)下述方法快速找到另一個(gè)定點(diǎn)，便于計(jì)算，令圓。與直線。4

相交于M,N兩點(diǎn)設(shè)點(diǎn)E為OA上一點(diǎn)，且滿足需=九由阿氏圓定理給=腦器=九則AN=ANE

PENEME

^OA-R^A(R-OE),AAOE=(1+4)72—。4①

同理入河=4皿=7?+04="0￡；+7?),.?"0￡；=(1-#五+。人②

由①②消。4得：24OE=272,即=4即R=4OE,由①②消R得：。4=7OE,

Okj

因此，滿足條件的點(diǎn)E在阿氏圓的圓心和定點(diǎn)力的連線上，且條=才或綜=不.

網(wǎng)］3(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知點(diǎn)P是圓O—4y+@—4)2=8上的動(dòng)點(diǎn)，A(6,—1),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則

PO+2PA的最小值為.

題目Q(2022.全國(guó).高三專(zhuān)題練習(xí))已知圓。：(z-l)2+(沙一1)2=1,定點(diǎn)P是圓。上的動(dòng)點(diǎn)，B(2,0),。是

坐標(biāo)原點(diǎn)，則V2PO+PB的最小值為.

〔題目0(2021?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他對(duì)圓錐曲線有深刻系統(tǒng)的研究，主

要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書(shū),阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)

M與兩定點(diǎn)A,B的距離之比為4(4>0"21),那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.下面我們來(lái)研究與

此相關(guān)的一個(gè)問(wèn)題，已知圓。32+夕2=1上的動(dòng)點(diǎn)”和定點(diǎn)A(-y,0),B(L1),則2\MA\+\MB\的最小

值為()

A.V6B.V7C.V10D.Vn

遒瓦區(qū)（2023下?廣東東莞?高三東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）對(duì)平面上兩點(diǎn)A、B,滿足篇■=4（4片1）的

點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓,這個(gè)圓最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，命名為阿波羅尼斯圓，稱點(diǎn)A,B是此

圓的一對(duì)阿波羅點(diǎn).不在圓上的任意一點(diǎn)都可以與關(guān)于此圓的另一個(gè)點(diǎn)組成一對(duì)阿波羅點(diǎn)，且這一對(duì)阿波

羅點(diǎn)與圓心在同一直線上，其中一點(diǎn)在圓內(nèi)，另一點(diǎn)在圓外，系數(shù)4只與阿波羅點(diǎn)相對(duì)于圓的位置有關(guān).已

知A（l,0），6（4,0）,。（0,3）,若動(dòng)點(diǎn)P滿足5V=［，則2|PD|+\PB\的最小值是

\PB\2

ICE（2021.江西贛州.統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞

歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究,阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：

已知?jiǎng)狱c(diǎn)”與兩定點(diǎn)4B的距離之比為取＞0,4W1）,那么點(diǎn)”的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.

已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓0：/+夕2=1、點(diǎn)力（_1,0）和點(diǎn)9卷）,河為圓0上的動(dòng)點(diǎn),則2|苗4|

~\MB\的最大值為（）

AB巫C3

A，2B2C-萬(wàn)D.亨

Wt回（2022上.湖北恩施.高三恩施土家族苗族高中校聯(lián)考期末）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里

得、阿基米德齊名他發(fā)現(xiàn):“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)48的距離之比為定值4（4^1）的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)，人

們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，4-2,1）,

B（—2,4）,點(diǎn)P是滿足4=］的阿氏圓上的任一點(diǎn)，則該阿氏圓的方程為；若點(diǎn)Q為

拋物線E：靖=4,上的動(dòng)點(diǎn)，Q在9軸上的射影為則方|四+四+四|的最小值為.

題型4阿氏B0與向量

幽&（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知反7=6,47=248,點(diǎn)。滿足力方=，^4+---N方，設(shè)

9—x+y2（2+9）

/0，夕）=|萬(wàn)|,若/（，,?/）＞/（羯％）恒成立,則/（，0,夕0）的最大值為.

蜃目口〕（2020下?河北石家莊?高三石家莊二中校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)力（0,1）,B（l,0）,C（t,0）,點(diǎn)D是直線

AC上的動(dòng)點(diǎn)，若\AD\＜2\BD\恒成立，則最小正整數(shù)t=.

題目0（2019上?浙江?高三統(tǒng)考期末）已知落日是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量,若向量3滿足厄-4

制，則向+日—目+2仁—用最小值為.

題目3（2019?浙江寧波?浙江省寧波市鄴州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知向量區(qū)旗滿足同="=同=1,。

日=1,則卜+荊+/怩一日的取值范圍是.

穎目Q（2018?江蘇揚(yáng)州?校考三模）已知等邊AAB。的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)P在線段AC上，若滿足就?國(guó)—24+

1=0的點(diǎn)P恰有兩個(gè),則實(shí)數(shù)4的取值范圍是

MB5〕（2019?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在^ABC中，A=120°,AB=2AC=6,點(diǎn)。滿

足助=肝丁4方，則I助?的最小值為

+x+y??------

題型5阿氏HI與立體幾何

題5（2019?浙江?校聯(lián)考一模）如圖，48是平面a的斜線段,A為斜足，點(diǎn)。滿足sinZCAB=AsinZCBA（A>

0）,且在平面a內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則（）

A.當(dāng)4=1時(shí)，點(diǎn)。的軌跡是拋物線B.當(dāng)4=1時(shí)，點(diǎn)。的軌跡是一條直線

C.當(dāng)4=2時(shí)，點(diǎn)。的軌跡是橢圓D.當(dāng)4=2時(shí)，點(diǎn)。的軌跡是雙曲線拋物線

變費(fèi)他1’級(jí)

頻目工（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABGD-45CQ1中，AB=2AO=244i=6,點(diǎn)E在

棱上，BE=2AE,動(dòng)點(diǎn)P滿足8?=遮_?區(qū)若點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P所形成的阿氏圓的

半徑為;若點(diǎn)P在長(zhǎng)方體ABCD-ABG2內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)為棱CA的中點(diǎn)，M為CP的中點(diǎn),則三

棱錐M-BCF的體積的最小值為.

題目0（2021上.山東荷澤.高三統(tǒng)考期末）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn):平面上到兩定點(diǎn)人、8距離之比

1）是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是■個(gè)圓心在直線上的圓，該圓簡(jiǎn)稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息,解決下

面的問(wèn)題:在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-中，點(diǎn)P是正方體的表面AD。4"包括邊界）上的動(dòng)

點(diǎn),若動(dòng)點(diǎn)P滿足24=2PD,則點(diǎn)P所形成的阿氏圓的半徑為；若后是CD的中點(diǎn)，且滿足AAPB

=/EP。,則三棱錐P—ACD體積的最大值是

阿波羅尼奧斯

題目區(qū)（2020下.河北石家莊.高三石家莊二中?？奸_(kāi)學(xué)考試）棱長(zhǎng)為36的正四面體ABCD的外接球與內(nèi)

切球的半徑之和為，內(nèi)切球球面上有一動(dòng)點(diǎn)則上陽(yáng)十得陽(yáng)。的最小值為

O

題目⑷（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正方體ABCD—4BQQ1的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)P為側(cè)面BBQQ內(nèi)的動(dòng)

點(diǎn)，且R4=2PB,則點(diǎn)P所形成的軌跡圖形長(zhǎng)度為.

題豆回（2021.貴州貴陽(yáng).統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平面內(nèi)，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與兩定點(diǎn)A,B的距離之比為4（4>0/片1）,

那么點(diǎn)P的軌跡是圓,此圓稱為阿波羅尼斯圓.在空間中，也可得到類(lèi)似結(jié)論.如圖,三棱柱ABC-A^C,

中，4A，平面ABC,AB=BC=2,BBi=值,AABC=90°,點(diǎn)M為48的中點(diǎn)，點(diǎn)P在三棱柱內(nèi)部或

表面上運(yùn)動(dòng)，且|E4|=2|PM|,動(dòng)點(diǎn)P形成的曲面將三棱柱分成兩個(gè)部分，體積分別為%,%（％<%）,

題型6橢圜中的蒙日國(guó)

在橢圓上,任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于橢圓長(zhǎng)半軸

短半軸平方和的幾何平方根，這個(gè)圓叫蒙日?qǐng)A，如圖1.

如圖1,設(shè)橢圓的方程為t+￡=l（a>b>0）,則橢圓兩條互相垂直的切線24,P8交點(diǎn)P的軌跡是蒙日

ab

圓：/+才=口2+/.

證明:證法一（解析法+韋達(dá)定理）:①當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線PA,PB斜率均存在且不為0時(shí)，可

設(shè)P（g,y0）（zo片土a且沙0片土b），過(guò)P的橢圓的切線方程為y-y0=k（2-3）（%片0）,由

（y-yo=k（x-xo）,

《22y2得（/取+的為2—2ko2（kg—為）0+Q2（kg—泱）2-Q2b2=o,

［薪+至=1，

由其判別式值為。得（舄一。2）昭一2g%k+需一/=0（/一。2。0）,

2_?2

??,kPA,kPB是這個(gè)關(guān)于k的一元二次方程的兩個(gè)根，???kPA?kPB=當(dāng),

x（）—a

2_72

2

由已知PA^PB,：.kPA-kPB=-l,：.晉一-=-1,.?.域+加=a?+d，.?.點(diǎn)p的坐標(biāo)滿足方程/+y

x0—a

^a2+b2.

②當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線上4,有斜率不存在或斜率為0時(shí),可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（土a,b）或

（a,土6）,此時(shí)點(diǎn)P也在圓/+/=/+&2上.

綜上所述:橢圓W+W=l（a>b>0）兩條互相垂直的切線必，PB交點(diǎn)P的軌跡是蒙日?qǐng)A：/+娟=&2

ab

+b2.

證法二（橢圓的切線方程+切點(diǎn)弦方程+點(diǎn)在公共曲線上）：

①當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線Q4,PB斜率均存在且不為。時(shí)，設(shè)P（g,加）（g片±&且為。土6）,切

點(diǎn)力⑶，%）‘吟紡）（硒網(wǎng)例‘°）,則切線PA等+*=1'PB；”.

???P（W在切線出,上,???普+爺=】,管+黃=1,由兩點(diǎn)確定一條直線得直線，的

方程為苦+券=1.

azb

kPAkPB==乎的，kOAkOB=--—={kPAkPB)(kOAkOB)=當(dāng),

\ayi八ay?)a%例電力住2a

;,%)(i=1,2)即在圓的方程為號(hào)+4=1,又在直線AB:=1上，+普—

ababab

等+誓）1可得點(diǎn)若―“）（巧Iza?%；。%（2）+/（舄—a”。，

,,_沙曲_/（舄一a2）_/（>一￡）,,談一廿_力

“。外。8―_一/（若_冷—若_冷，?不/—

\,yj（JA,yjO13J4?,EPA'pPb22'

aXQ-a

22

由已知PA_LPB,：.kPA-kpB=-l,：.%=—1,.?.舄+*=a?+/,.?.點(diǎn)p的坐標(biāo)滿足方程x+y

Xo-a~

=a2+b2.

②當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線Q4,PB有斜率不存在或斜率為0時(shí),可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（土a,6）或

（a,±6）,此時(shí)點(diǎn)P也在圓，2+才=口2+/上.

綜上所述:橢圓5+4=l（a>b>0）兩條互相垂直的切線P4,PB交點(diǎn)P的軌跡是蒙日?qǐng)A：/+娟=口2

ab~

+b2.

先給出幾個(gè)引理，然后給出證法三--蒙日?qǐng)A的幾何證法.

吼色（2020?山東?高三專(zhuān)題練習(xí)）“蒙日?qǐng)A”涉及幾何學(xué)中的一個(gè)著名定理,該定理的內(nèi)容為:橢圓上兩條互相

垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓C：+式=1（a

a+1a

>0）的離心率為則橢圓。的蒙日?qǐng)A方程為（）

A./+才=9B.x2-\-y2=7C.x2-\-y2=5D.rr2+?/2=4

變質(zhì)他13因

題目Q（2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C：^-+y2=l,M是圓/+/=3上的任意一點(diǎn),MA,MB濟(jì)

別與橢圓切于4求△AOB面積的取值范圍.

【題目區(qū)（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)橢圓（+￥=1的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)軌跡為C,曲線。的

54

兩條切線P4、PB交于點(diǎn)P,且與。分別切于A、B兩點(diǎn)，求才?屈的最小值.

［題目叵〕（2020下?江西景德鎮(zhèn)?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）蒙日?qǐng)A涉及的是幾何學(xué)中的一個(gè)著名定理，該定理的內(nèi)容

為:橢圓上兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓的蒙日?qǐng)A，若橢圓C:

—+幺=l（a>0）的蒙日?qǐng)A為/+/=6,則a=（）

CLI/CL

A.1B.2C.3D.4

題目（2022.全國(guó).高三專(zhuān)題練習(xí)）給定橢圓C：鼻■+與=l（a>6>0）,稱圓心在原點(diǎn)。、半徑是，

ab

的圓為橢圓。的“準(zhǔn)圓”.已知橢圓。的一個(gè)焦點(diǎn)為F（V2,0），其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為遍.

（1）求橢圓。及其“準(zhǔn)圓”的方程；

⑵若點(diǎn)A是橢圓。的“準(zhǔn)圓”與，軸正半軸的交點(diǎn)，B,。是橢圓。上的相異兩點(diǎn)，且C軸，求施?

說(shuō)的取值范圍；

（3）在橢圓。的“準(zhǔn)圓”上任取一點(diǎn)P（s,t）,過(guò)點(diǎn)P作兩條直線。，如使得。與橢圓。都只有一個(gè)公共點(diǎn),

且七Z2分別與橢圓的“準(zhǔn)圓”交于“，N兩點(diǎn).證明:直線AW過(guò)原點(diǎn)O.

1題目回（2019.安徽滁州.安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考一模）已知橢圓C：g+￡■=l（a>6>0）的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為V2,

ab

點(diǎn)（l,e）（e為橢圓。的離心率）在橢圓。上.

（1）求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如圖，P為直線①=2上任一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P橢圓。上點(diǎn)處的切線為24,,切點(diǎn)分別A,B,直線劣=a與

直線_R4,分別交于Al,N兩點(diǎn)，點(diǎn)、M,N的縱坐標(biāo)分別為?71,n，求nm的值.

22

題目回（2019?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓O：%+4=l（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為4B,點(diǎn)P在

ab

橢圓。上運(yùn)動(dòng)，若△248面積的最大值為2通，橢圓。的離心率為十.

（1）求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)B點(diǎn)作圓E：x2+（,一2）2=產(chǎn)，（0<r<2）的兩條切線，分別與橢圓。交于兩點(diǎn)C,。（異于點(diǎn)⑻，當(dāng)

r變化時(shí),直線CD是否恒過(guò)某定點(diǎn)?若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型7雙曲線與拋物線中的蒙日圜

塾量點(diǎn)

蒙日?qǐng)A在雙曲線、拋物線中的推廣

22

【定理1】雙曲線1―9=l(a>b>0)的兩條互相垂直的切線Q4,交點(diǎn)P的軌跡是蒙日?qǐng)A：/+娟=

ab

【定理2】拋物線娟=2p2(p>0)的兩條互相垂直的切線以，PB交點(diǎn)P的軌跡是該拋物線的準(zhǔn)線：x=-^

(如圖4,可以看作半徑無(wú)窮大的圓).

注意:雙曲線中只有當(dāng)a>b時(shí)才有蒙日?qǐng)A,此時(shí)離心率e滿足1<e<0；拋物線的蒙日?qǐng)A恰好為其準(zhǔn)線

(直線可以看作半徑為無(wú)窮大的圓).總結(jié)可得如下的蒙日?qǐng)A定理：

【定理3】過(guò)圓錐曲線外一點(diǎn)作兩條互相垂直的切線，那么這一點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓,這個(gè)圓被稱為蒙日?qǐng)A，又

叫外準(zhǔn)圓.

-ABD-

證明:設(shè)圓錐曲線「的方程為A/+2B致+32+2。/+2坳+F=0,其中系數(shù)矩陣BCE滿秩(即

.DEF.

系數(shù)行列式力0).

設(shè)平面內(nèi)有一點(diǎn)P(，。，加)，P不在「上.過(guò)P作「的切線，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線斜率為％，則切線方

程可設(shè)為夕=k(，—g)+%.聯(lián)立曲線方程，消去沙得

(A+2Bk+C7c2)ic2+2[(Uo—kg)(B+Ck)~\~D~\~Ek\x+C(y°—kxO)"+2E(y?！猭xQ)+F=0,

為書(shū)寫(xiě)方便，令G=y。-kg,由切線與圓錐曲線只有一個(gè)交點(diǎn)可得△=0,即：

{AC-B2)G2+2(BE—CD)Gk+(CF-E2^+2(AE—BD)G+2(BF-DE)k+AF-D2=Q,

觀察上式，當(dāng)把G=u。-A:,。代入之后可知前三項(xiàng)都含有k2,可寫(xiě)出二次項(xiàng)系數(shù)為(AC-B2)赤+

2

2(CD-BE)x0+CF-E.同理，第一、四、六項(xiàng)含有常數(shù)項(xiàng)，可以寫(xiě)出常數(shù)項(xiàng)為(AC—&)瑞十

2

2(AE—BD)y0+AF-D.1?兩條切線互相垂直，斜率之積為-1,因此由韋達(dá)定理得

22(

^AC-B^+2(CD-BE)X0+CF-E-

22

(AC—d)舄+(AC-B)yl+2(CD-BE)x0+2(AE-BD)y0+CF-E+AF-lf=Q.

當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，很明顯兩條切線分別為，=應(yīng)，y=y0.聯(lián)立c=與「的方程，得到Q/+

2(Bx/E)y+Axl+2Dx0+F=0,由A=0得(AC—+2(CD-BE)x0+CF—E?=0,同理，

2

(AC-BP)*+2(AE-BD)yo+AF-D^O,

兩個(gè)方程相加，恰好得到此時(shí)P的坐標(biāo)滿足方程

2222

(AC-B)xl+(AC-B)^+2(CD-BE)Xo+2(AE-BD)y0+CF-E+AF-D^0,

???無(wú)論切線斜率是否存在，P的軌跡方程均為

222

(AC-B)^+(AC—停)筑+2(CD—BE)我+2(AE-BD)y0+CF-E+AF-D=0(**).

習(xí)慣上用工，沙表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo),上式的g,為均改為，，外得到P的軌跡方程

(AC-B2)x+(AC-B2)y+2(CD—BE)缶+2(AE—BD)y+CF-E2+AF-D2=0(**).

???/和y2的系數(shù)相同，且缺少含xy的項(xiàng)，方程(**)表示一個(gè)圓,即P的軌跡是一個(gè)圓(實(shí)圓、點(diǎn)圓、虛圓均

可).證畢.

說(shuō)明：(1)令A(yù)=&2,B=0,C=a2,D=E=0,F=—代入(**)可得橢圓片,+4

ab

的蒙日?qǐng)A方程：會(huì)+才=a2+R定理1得證.

22

(2)令人=*,6=0,C^-a2,D=E=。，F(xiàn)=—代入(**)可得雙曲線與—*=l(a>0,6>0)

ab

的蒙日?qǐng)A方程：/+”=a2—牝當(dāng)時(shí)，a?—川>0,雙曲線的蒙日?qǐng)A存在.但當(dāng)a=b時(shí)，a?—r=0,

方程退化為一個(gè)點(diǎn)(0,0).此時(shí)易證過(guò)(o,0)的直線要么和雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn),要么沒(méi)有交點(diǎn)(???雙曲線

關(guān)于中心對(duì)稱)，,過(guò)(0,0)無(wú)法作雙曲線的切線，自然也不存在兩條互相垂直的切線.而當(dāng)aVb時(shí)，a?-

/V0,于是方程表示一個(gè)虛圓(無(wú)法在坐標(biāo)平面上表示)，平面內(nèi)不存在雙曲線的兩條互相垂直的切線.

綜上,只有當(dāng)a>6時(shí)(或離心率1<eV6時(shí)),雙曲線才有蒙日?qǐng)A.定理2得證.

(3)令A(yù)=B=0,C=l,D=—p,E=F=0,代入(**)可得拋物線*=2pc(p>0)的蒙日?qǐng)A方程：c=

-f.這恰好是拋物線的準(zhǔn)線方程，因此拋物線的蒙日?qǐng)A是其準(zhǔn)線.這也可以從蒙日?qǐng)A的一般方程中看出，

因拋物線滿足AC-呼=0,.??蒙日?qǐng)A方程的二次項(xiàng)系數(shù)為。，方程退化為一條直線.定理3得證.由此還能

得出一個(gè)推論:過(guò)拋物線準(zhǔn)線上的一點(diǎn)作拋物線的兩條切線,這兩條切線互相垂直.

吼工(2023.陜西西安?統(tǒng)考一模)數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日創(chuàng)立的《畫(huà)法幾何學(xué)》對(duì)世界各國(guó)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展影響

深遠(yuǎn).在雙曲線C:考~—4=l(a>0,6>0)中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上,它的圓

ab

心是雙曲線的中心，半徑等于實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸長(zhǎng)的平方差的算術(shù)平方根，這個(gè)圓被稱為蒙日?qǐng)A.已知雙

曲線。的實(shí)軸長(zhǎng)為2函，其蒙日?qǐng)A方程為小+才=4.

(1)求雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P(3,l)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q,不過(guò)點(diǎn)P且斜率為g的直線與雙曲線。相交于M,N兩點(diǎn),

O

直線PM與QN交于點(diǎn)，求直線OD的斜率值.

要亮他1,級(jí)

題目工(2020上.陜西西安.高三校聯(lián)考階段練習(xí))定義橢圓C:冬+鳥(niǎo)=l(a>6>0)的“蒙日?qǐng)A”方程為

ab’

/+“=4+也己知拋物線"=4y的焦點(diǎn)是橢圓。的一個(gè)短軸端點(diǎn),且橢圓。的離心率為答.

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程和它的“蒙日?qǐng)A”E的方程；

⑵若斜率為1的直線，與“蒙日?qǐng)A”E相交于AB兩點(diǎn)，且與橢圓。相切，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△O4B的面

積.?M

題目區(qū)（2023上?廣東清遠(yuǎn)?高三統(tǒng)考期末）法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日創(chuàng)立的《畫(huà)法幾何學(xué)》對(duì)世界各國(guó)科學(xué)

技術(shù)的發(fā)展影響深遠(yuǎn).在雙曲線宅-q=l（a>b>0）中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)

圓上，它的圓心是雙曲線的中心，半徑等于實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸長(zhǎng)的平方差的算術(shù)平方根，這個(gè)圓被稱為蒙日

圓.已知雙曲線。：告一卷■=l（a>6>0）的實(shí)軸長(zhǎng)為6,其蒙日?qǐng)A方程為x2+y2=1.

ab~

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)。為雙曲線。的左頂點(diǎn)，直線Z與雙曲線。交于不同于。的兩點(diǎn)，若以EF為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)

。，且DGLEF于G,證明:存在定點(diǎn)使為定值.

：題目⑶（2020下?山西?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線E：/=2如過(guò)點(diǎn)（1,0,過(guò)拋物線E上一點(diǎn)P（g,y。）

作兩直線PM,PN與圓。：/+⑨—2）2=1相切,且分別交拋物線E于M、N兩點(diǎn).

（1）求拋物線E的方程,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（2）若直線的斜率為一心,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

題目⑷（2019?河北石家莊?校聯(lián)考一模）已知拋物線。:d=2p,（p>0）上一點(diǎn)P（g,2）到焦點(diǎn)F的距離

|PF|=2x0.

（1）求拋物線。的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)P引圓M:（c—3丫+才=產(chǎn)（0<「<蓼）的兩條切線Q4、PB,切線與拋物線。的另一交點(diǎn)

分別為A、線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為力，求力的取值范圍.

題目Q（多選）（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知P是定圓C（。為圓心）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，人是不在圓。上的一個(gè)定

點(diǎn).若點(diǎn)加滿足戶必=瘧苕（4CR）,且（后+礪）?化N—存）=0,則點(diǎn)河的軌跡是（）

A.圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線（單支）

題目0（2022?河南關(guān)B州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在圓（,—3）2+（夕—4）2=/（r>0）上總存在點(diǎn)p,使得過(guò)點(diǎn)p能作

橢圓《+才=1的兩條相互垂直的切線，則『的取值范圍是（）

A.（3,7）B.[3,7]C.（1,9）D.[1,9]

W1回（2022?江蘇?模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系①。?/中，若直線。+ay+3=0上存在動(dòng)點(diǎn)P,使得過(guò)點(diǎn)

P的橢圓的兩條切線相互垂直，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

O

題目⑷（2021.上海虹口.統(tǒng)考二模）己知橢圓。的方程為曰+才=1.

?M

（）設(shè)是橢圓。上的點(diǎn),證明:直線等+“謠/=與橢圓。有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

1M{XM,VM）1

（2）過(guò)點(diǎn)NQ,2）作兩條與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線，公共點(diǎn)分別記為A、B,點(diǎn)N在直線上的射影

為點(diǎn)Q,求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）互相垂直的兩條直線k與L相交于點(diǎn)P，且"/2都與橢圓。只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)P的軌跡方程.

題目可（2020.全國(guó).校聯(lián)考三模）法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn):與橢圓1+g=l（a>b>0）相切的兩

ab

條垂直切線的交點(diǎn)軌跡為/+才=（?+/,這個(gè)圓亦被稱為蒙日?qǐng)A,現(xiàn)將質(zhì)點(diǎn)P隨機(jī)投入橢圓C："+“=

1所對(duì)應(yīng)的蒙日?qǐng)A內(nèi)，則質(zhì)點(diǎn)落在橢圓外部的概率為？（附:橢圓W+￡=1的面積公式為S=a版）

ab

（）

A.*B.卓C.1-嚕D.1-容

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