2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：相似三角形的存在性問(wèn)題 專項(xiàng)練習(xí)（含解析）

相似三角形的存在性問(wèn)題專項(xiàng)練習(xí)

1.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=R/+乎X-手與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè))，點(diǎn)D

為拋物線的頂點(diǎn).點(diǎn)C在y軸的正半軸，CD交x軸于點(diǎn)F,ACAD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到4CFE，點(diǎn)A恰好旋轉(zhuǎn)

到點(diǎn)F,連接BE.

(1)求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)；

(2)求證:四邊形BFCE是平行四邊形；

⑶如圖2,過(guò)頂點(diǎn)D作DDi1x軸于點(diǎn)Di,點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PMLx軸，點(diǎn)M為垂足，使得△P

AM與4DDtA相似(不含全等).

①求出一個(gè)滿足以上條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

②直接回笞這樣的點(diǎn)P共有幾個(gè)？

V-7|/一7V

DD

圖1圖2

2.如圖1z拋物線y=a%?+.+。與x軸交于點(diǎn)A(-l,0)xB(3,0),與y軸交于點(diǎn)C,且過(guò)點(diǎn)D(2,-3).點(diǎn)P、Q是

拋物線y=。好+6%+。上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線OD下方時(shí)，求△POD面積的最大值.

(3)如圖2,直線0Q與線段BC相交于點(diǎn)旦當(dāng)4OBE與^ABC相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

3.如圖1,在直角坐標(biāo)系中，直線y=-+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C,對(duì)稱軸為x=l的拋物線過(guò)

B、C兩點(diǎn)，且交x軸于另一點(diǎn)A,連接AC.

(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)和拋物線的解析式；

⑵已知點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P到直線BC的距離最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶拋物線上是否存在一點(diǎn)Q(點(diǎn)C除外)，使以點(diǎn)Q,A,B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)

Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線L:y=a久2+(c-a)久+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)B(0,-6),L關(guān)于原

點(diǎn)O對(duì)稱的拋物線為L(zhǎng)'.

(1)求拋物線L的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P在拋物線L上且位于第一象限過(guò)點(diǎn)P作PD±y軸,垂足為口.若4POD與AAOB相似，求符合條件

的點(diǎn)P的坐標(biāo).

5.如圖1,已知拋物線yax2+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)0(0,0)、A(2,0),直線y=2x經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)B,點(diǎn)C是拋

物線上一點(diǎn)，目位于對(duì)稱軸的右側(cè)，聯(lián)結(jié)BC、OC、AB,過(guò)點(diǎn)C作CE〃x軸，分別交線段OB、AB于點(diǎn)E、F.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)當(dāng)BC=CE時(shí)，求證:△BCE^AABO;

(3)當(dāng)/CBA=NBOC時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

6.如圖1,拋物線y=ax2+4x+c過(guò)點(diǎn)A(6,0)、B(3,|)與y軸交于點(diǎn)C.聯(lián)結(jié)AB并延長(zhǎng)，交y軸于點(diǎn)D.

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)求aADC的面積;

⑶點(diǎn)P在線段AC上，如果△OAP和仆DCA相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

7.如圖1,直線y=+c與x軸交于點(diǎn)A(3,0),與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=-#++c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、

B.

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)和拋物線的解析式；

(2)M(m,0)為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P、N.

①點(diǎn)M在線段OA上運(yùn)動(dòng)，若以B、P、N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②點(diǎn)M在x軸上自由運(yùn)動(dòng)，若三個(gè)點(diǎn)M、P、N中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)(三點(diǎn)重合除外)，則稱

M、P、N三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”.請(qǐng)直接寫(xiě)出使得M、P、N三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”的m的值.

8.如圖1,已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,3)、B(4,l)、C(3,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)聯(lián)結(jié)AC、BC、AB,求/BAC的正切值;

⑶點(diǎn)P是該拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作PG±AP交y軸于點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方，目

△APG與AABC相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

9.如圖1,已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(l,0)和B(0,3),其頂點(diǎn)為D.

(1)求此拋物線的表達(dá)式；

(2)求4ABD的面積；

(3)設(shè)P為該拋物線上一點(diǎn)，且位于拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，作PHL對(duì)稱軸，垂足為R若4DPH與^AOB相似,

求點(diǎn)P的坐標(biāo).

1~"~d~~11~勺

圖1

10.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+3與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，并與拋物線y=-jx2+bx

+：的對(duì)稱軸交于點(diǎn)C(2,2),拋物線的頂點(diǎn)為D.

⑴求k和b的直

(2)點(diǎn)G是y軸上一點(diǎn)，且以點(diǎn)B、C、G為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，求點(diǎn)G的坐標(biāo);

⑶在拋物線上是否存在點(diǎn)E，它關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)F恰好落在y軸上如果存在直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

11.如圖1,在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，拋物線y=&+族-3與y軸交于點(diǎn)A,與x軸分別交于B(-l,0)xC(3,0)

兩點(diǎn)，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

圖1

⑵聯(lián)結(jié)口。求4ACD的面積;

(3)點(diǎn)P在直線DC上，聯(lián)結(jié)OP,若以0、P、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

12.如圖1,已知直線y=-2x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B,拋物線經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PCLx軸于點(diǎn)C,交拋物線于點(diǎn)D.

⑴若拋物線的解析式為y=-2x2+2x+4,設(shè)其頂點(diǎn)為M,其對(duì)稱軸交AB于點(diǎn)N.

①求點(diǎn)M、N的坐標(biāo);

②是否存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形？并說(shuō)明理由；

(2)當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1時(shí)，是否存在這樣的拋物線，使得以B、P、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存

在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

1.滿分解答

⑴由y=+呼尤—￥=](%—1)(X+7)=弋(久—3)2—2低得A(l,0),B(-7,0),D(3,-2V3).

o4,ooo

(2攻口圖3,由CF=CA,CO_LFA,得FO=AO=L所以F(-l,0).

在RtADDiF中，DD]=2V3,FD1=2,所以DF=4,NDFDi=60°.

所以△CFA是等邊三角形.

所以NECF=NDCA=NCFA=60。.所以EC//x軸.

由黑=券=之仆=扣尸=2.所以DC=6.所以EC=6.

又因?yàn)锽F=BA-FA=8-2=6,所以BF=EC.

所以四邊形BFCE是平行四邊形.

(3)①如圖4,設(shè)P,噂(久一l)(x+7))作PH±x軸于H.

亨(h—DG+7)育

如果詈=箸=￥=冬那么==了解得x=-n.

②這樣的點(diǎn)P共有3個(gè).

考點(diǎn)伸展

這樣的點(diǎn)P為什么共有3個(gè)呢?

因?yàn)镽tA。。通的兩個(gè)銳角不相等，過(guò)點(diǎn)A可以畫(huà)4條直線：直線DA；直線DA關(guān)于x軸對(duì)稱的直線；還

有兩條直線關(guān)于x軸對(duì)稱，與x軸正半軸的夾角等于^ADDl.

這4條直線，每條直線與拋物線都有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)是點(diǎn)A,另一個(gè)交點(diǎn)是點(diǎn)P.在這4個(gè)點(diǎn)P中，

有1個(gè)就是點(diǎn)D.所以這樣的點(diǎn)P共有3個(gè).

2.滿分解答

⑴設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-3)(x+l),代入“2,-3)彳等32=-3.解得a=l.所以拋物線的解析式為y=(%-3)(%

+1)=x2—2%—3.

(2)如圖3,作PFJ_x軸交OD于點(diǎn)F.

由0(0,0)、D(2,3｝得直線OD的解析式為y=—|乂

設(shè)P^X'X2-2x—3),F@—|x).所以PF=—|x—(x2—2%—3)=-x2+|x+3.

①如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí)，SpoD=SPFO+SPFD-^PF-(xD-x0)=PF.

②如圖4,當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，SPOD=SPFD—SPFO=[PF?(如—%。)=PF.

所以SPOD=-X2+|%+3=-fx-i)+日

所以當(dāng)X=扣寸,SAPOD取得最大值，最大值時(shí)今

4lo

(3)由B(3,0)、C(0,-3),得直線BC的解析式為y=x-3.

已知A(-1,O).B(3,0)、C(0,-3),設(shè)E(x,x-3),所以.AB=4,BC=3&,OB=3,BE=V2(3-x).

因?yàn)镹OBE=NABC,所以分兩種情況討論△OBE與△ABC相似.

①如圖5,當(dāng)言=券寸.滔上=矗解得x=l.所以E(l,-2).

如圖6,作EG±x軸于G.QH±x軸于H,所以EG〃QH.所以黑=第=2.

UriU(J

設(shè)Cm2—2m—3),所以—(m2—2m-3)=27n.整理，得m2—3=0.

解得叫=但啊=-遮所以Qg—2⑼或(-其28).

圖5圖6

②如圖7,當(dāng)需=詈時(shí)，誓到=斗，解得比=*所以￡?—2

如圖8,由EG〃QH彳導(dǎo)器=器=3.

設(shè)Q(m,m2—2m—3),所以—(十—27n-3)=3zn.整理，得m24-m-3=0.

由j,日—1+V13—1—V13

斛得m1=--一,m2=--一.

所以QF磬，上署)或(菅空二更)

考點(diǎn)伸展

第⑵題還可以這樣考慮：如圖9,設(shè)直線OD與拋物線交于點(diǎn)G.

3

聯(lián)立y=一產(chǎn)解得G

ly=x2—2x—3

所以2￡==i

人GDxD-xG7'

所以SpGD~SpFG+SpFD=^PF?(%?！?G)=￡尸「

z4

又因?yàn)椤鱌OD與△PGD是等高三角形，

所以普=黑=3斤以Sp°D=：SPGD=PF.

SpGDGD77

3.滿分解答

(1)A(-4,0),B(6,0),C(0,3).

拋物線的解析式為：y=-i%2+；%+3.

o4

⑵如圖2,作PHLBC于H,PELx軸交BC于點(diǎn)E.

在RtACOB中,OB=6,OC=3,所以.BC=3逐.

在APHE和aBFE中,NPEH=NBEF,/PHE=NPFB,所以NHPE=/CBO.

所以cos4HPE=coszCBO=案=2=『.所以PH=手PE.

所以當(dāng)PE取得最大值時(shí)，PH也取得最大值.

設(shè)P(A?——+-x+3),E(x，——x+3).

所以PE=--X2+-x+3—(----x+3\—--X2+-x---(X—3尸+-

84\2/8488

所以當(dāng)x=3時(shí)，PE、PH取得最大值.此時(shí)P(3吟).

(3)已知A(-4,0),B(6,0),C(0,3),所以AC=5,AB=10,BC=3V5

所以sinzCXB=I，s,mZ-CBA=g

分兩種情況討論4QAB與公ABC相似.

①如圖3,點(diǎn)Q在x軸上方，此時(shí)NQ為鈍角.

當(dāng)△QABs/iCAB時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，不符合題意舍去.

當(dāng)小QAB-ACBA時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C關(guān)于直線x=l對(duì)稱.所以Q(2,3).

②點(diǎn)Q在x軸下方，不妨設(shè)/ABQ為鈍角.

如圖4,當(dāng)小BAQ^ACAB時(shí),—=—=—=2.所以AQ=2AB=20.

ABAC5

作QH_Lx軸于H.在RtAAQH中，AQ=20,sinzC4S=，所以QH=12,AH=16.

所以O(shè)H=AH-AO=16-4=12.此時(shí)Q(12,-12).

經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)Q(12,—12)在拋物線y=—+3上.

o4

根據(jù)對(duì)稱性，點(diǎn)Q(12,-12)關(guān)于直線x=l的對(duì)稱點(diǎn)Q(-10,-⑵也在拋物線上.

如圖5,當(dāng)小BAQ-ACBA時(shí),*=黑=竽所以AQ=當(dāng)4B=竽.

DCjyjb3DD

在RtAAQH中，AQ=竽,sin“8A=所以QH==￡.

所以O(shè)H=4"—4。=￡一4=g.此時(shí)Q(g，-g)

經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)Q(竽-三)不在拋物線y=-#+$+3上.

考點(diǎn)伸展

第⑴題求拋物線的解析式可以這樣考慮：

由y=-3%+3彳導(dǎo)B(6,0)、C(0,3).

因?yàn)閷?duì)稱軸為x=l,所以拋物線與x軸另一點(diǎn)A(-4,0).

所以拋物線的解析式為y=-^x-6)(%+4)=-i(x2-2x-24)=~^x2+^x+3.

4.滿分解答

(1)將A(-3,0)、B(0,-6)分別代入y=aY+(c-a)x+c得fa-3(c-a)+c=0,

解得a=-l,c=-6.所以拋物線L的表達(dá)式為y=-x2-5%-6.

(2)如圖2,由拋物線L的表達(dá)式為y=-x2-5x-6^-(x+2)(%+3、得拋物線L的表達(dá)式為.y=(x

—2)(x—3)=x2—5x+6.

已知A(-3,0)、B(0,-6),設(shè).P(X'X2-5x+6).

因?yàn)镹PDO=NAOB=90。,分兩種情況討論△POD與△AOB相似.

①如圖3,當(dāng)?shù)?得=2時(shí),DO=2DP.所以%2-5%+6=2x.

整理，得久2一7久+6=0.解得xi=1遙2=6.所以P(l,2)或(6,12).

②如圖4,當(dāng)器=黑=T時(shí),DP=2DO.所以x=2(x2-5x+6).

整理，得2x2-llx+12=0.解得/=I，久2=4.所以P(|國(guó))或(4,2).

考點(diǎn)伸展

第⑵題還可以這樣考慮：

已知A(-3,0)、B(0,-6),設(shè)P(m,n).

因?yàn)镹PDO=NAOB=90。,分兩種情況討論△POD與△AOB相似.

①如圖3,當(dāng)案=總=2時(shí)巴=2.所以點(diǎn)P在直線y=2x上.

D1(JA77T

產(chǎn)[=1,產(chǎn)2=6,

聯(lián)立'="一齊+6,解得葭=2,\=12.所以P(1,2)或(6,12).

(y=2x,

②如圖4,當(dāng)?shù)?器=取寸.巴=1所以點(diǎn)P在直線y=i%±.

UrUDN771，Z

3

4仔2=4,

2

fy=%-5x+6,|y.=—,卜2=2?

聯(lián)立=,解得*4所以P(I，0或(4,2).

5.滿分解答

⑴因?yàn)閽佄锞€與x軸交于0(0,0)、A(2,0)兩點(diǎn)，所以對(duì)稱軸為直線x=l.

因?yàn)轫旤c(diǎn)B在直線y=2x上，所以B(l,2).

設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax(x-2),代入點(diǎn)B(l,2)狷2=-a.

解得a=-2.所以拋物線的表達(dá)式為y--2x(x-2)=-2x2+4x.

/B

(2)如圖2,因?yàn)镃E//x軸，所以NCEB=NBOA.

因?yàn)锽A=BO,當(dāng)BC=CE時(shí)，等腰三角形BCE與等腰三角形ABO的底角都相等.[\

所以△BCEsAABO,圖2

(3)如圖3,因?yàn)?BFE=/BEF,NBFE=NCBA+NBCF,/BEF=NBOC+NOCE,所以NBCF=NOCE.

如圖4,作BMXCE于M.設(shè)CE與y軸交于點(diǎn)N.設(shè)C(x,-2x2+4x).

由tan/BCF=tan/OCE,得—=—.

CMCN

所:以2-(-2%2+4%)_-ZM2+M束攵壬里彳目2(%-1)2_-2%(%-2)

X-1X''X-1X'

因?yàn)辄c(diǎn)C與點(diǎn)B、O不重合，所以xri,x/).

化簡(jiǎn)彳導(dǎo)2(x—l)=-2(x—2).解得X=I所以C

考點(diǎn)伸展

第⑴題求拋物線的表達(dá)式，先要確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后可以設(shè)一般式，代入0、A、B三點(diǎn)的

坐標(biāo)列方程組；也可以設(shè)頂點(diǎn)式，代入點(diǎn)0或點(diǎn)A的坐標(biāo)列關(guān)于a的方程；還可以設(shè)交點(diǎn)式，代入點(diǎn)B的坐

標(biāo)列關(guān)于a的方程.

第⑵題當(dāng)(CB=CE時(shí)，△CBE與△BEF是兩個(gè)有公共底角的等腰三角形，這兩個(gè)三角形相似.又因?yàn)?△BEF

-△BOA,,根據(jù)相似三角形的傳遞性，可得.△BCE-△AB0.

6.滿分解答

,(36a+24+c=0,(__i

⑴將A(6,0)、B(3,|分別代入y=收+4x+a得19。+I2+C=三,解得「n］一京’

所以拋物線的表達(dá)式為y=-|x2+4x-6,C(0>-6).

⑵如圖2,由A(6,0)、B(3,|淄直線AB的解析式為y=-|x+3.邛4

所以D(0,3),CD=OC+OD=9.\/\

所以5皿；=55。4="9*6=27.'

22RU

(3)如圖3,由A(6,0)、C(0,-6)、D(0,3),得CD=9,OC=OA=6,AC=6V2.

所以NCAO=NACO=45。.

分兩種情況討論4OAP和4DCA相似.

①如圖4,當(dāng)務(wù)=鄂寸,'=等所以AP=4V2.

作PH，OA得等腰直角三角形△PHA,所以PH=AH=4.

所以O(shè)H=OP-PH=6-4=2.此時(shí)P(2,-4).

②如圖5,當(dāng)*齊寸，?=焉所以在=2

在等腰直角三角形△PHA中，PH=AH=

所以O(shè)H=OP-PH=6-皆*此時(shí)P

考點(diǎn)伸展

圖4、圖5中點(diǎn)P的位置又是經(jīng)典.

圖4中，tan/OPH弓圖5中，tan/OPH=1.

如果tana=|,tan/?=那么a+p=45°.

7.滿分解答

(1)將點(diǎn)A(3,0)代入y=-|%+g得c=2.所以y=-|x+2,B(0-2).

設(shè)拋物線的交點(diǎn)式為y=-|(x-3)(x-幾),代入點(diǎn)B(0,2｝得-4n=2.

解得n=-,所以y=-|(x-3)(x+|)=-|x2+yx+2.

(2)①在RtAAPM中，tan^PAM=^=|.

因?yàn)椤鰾PN與4APM有一組對(duì)頂角，如果它們相似，那么△BPN是直角三角形.

⑴如圖2,當(dāng)NBNP=90。時(shí),BN〃x軸點(diǎn)N與點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱拋物線的對(duì)稱軸為直線久=：,,所

以點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為|.所以,

（ii）如圖3,當(dāng)NNBP=90。時(shí)，作BH±MN于H,那么黑=|.

由HB=得m=|[(-|m2+ym+2)-21.解得m=p所以M傳，。)

②m的值為表-：或-L

考點(diǎn)伸展

最后一小題分三種情況討論：

①如果P為NM的中點(diǎn)，那么yN=2yp.

解方程—（爪2+與根+2=2（—］爪+2）,整理，得2nl2—7租+3=0.

解得m=會(huì)如圖4所示），或m=3（舍去）.

②如果N為PM的中點(diǎn)，那么yp=2yN.

解方程一［爪+2=2（-1根2++2）,整理，得47n2-11m—3=0.

解得m=-｝（如圖5所示），或m=3（舍去）.

4

③如果M為PN的中點(diǎn)，那么yp=-yN.

解方程一［根+2=-（一（62+孩7n+2）,整理，得——2m—3=0.

解得m=-l（如圖6所示），或m=3（舍去）.

8.滿分解答

⑴設(shè)拋物線的解析式為y=ad+bx+c.

c=3,

WA(o,3).B(4,D、C(3,0)分別代入彳導(dǎo)16a+46+c=1,

9a+3b+c=0.

解得a=^,b=-|,c=3所以y=|x2-|x+3.

(2)如圖2,由A(0,3)、B(4,l)、C(3,0),得AC2=18,BC2=2,AB2=20.

所以AC2+BC2=AB2.

所以△ABC是直角三角形,NACB=90。.

所以tan?C=算=舟/

(3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(久《久2-|久+3).

如圖3,作PH±y軸于H,那么△AHP^AAPG.

如果△APG與4ABC相似，那么△AHP與4ABC也相似.

分兩種情況討論小AHP與△ABC相似：

①如圖4,當(dāng)需=m=3時(shí),HA=3HP.

nrCD

解方程|x2-jx+3-3=3居得x=ll,或x=0.此時(shí)P(ll,36).

②如圖5,當(dāng)器=籌=爭(zhēng)寸，HA=^HP.

tirDoD

解方程次-1+3-3=%得X=苗或X=0.此時(shí)P(y-y).

考點(diǎn)伸展

如果第(3)題求點(diǎn)G的坐標(biāo)，也需要先求點(diǎn)P的坐標(biāo).

如圖4,HG=1HP=芳，此時(shí)OG="+HG=36+/=苧所以G(0,

如圖5,HG=3HP=17,止匕時(shí)OG=yP+HG=17+^=可所以G(0弓)

9.滿分解答

⑴已知拋物線y=必+.+c與x軸交于點(diǎn)A(l,0),可設(shè)y=(x-l)(x-x2).

代入點(diǎn)B(0,3),得.亞=3.

所以.y=(x-l)(x-3)=x2-4x+3=(x-2)2-1頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,-1).

(2)如圖2,設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，作BNXDM于N.

已知A(l,0)、B(0,3)、D(2,-l),那么M(2,0),N(2,3).

所以SAABD=S四邊形BADN—SABDN=S梯形BAMN+SAADM—SABDN

=-(l+2)x3+ixlxl-ix4x2=l.

(3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為3久2一4久+3).

分兩種情況討論4DPH與4AOB相似：

①當(dāng)**3時(shí).…:曹3=3.

整理，得一-7久+10=0.解得x=5,或x=2.此時(shí)P(5,8)(如圖3所示).

②當(dāng)黑(X2-4X+3)-(-1)1

x-231

整理，得3x2-13x+14=0.解得x=(或x=2.此時(shí)P(J，—§(如圖4所示).

考點(diǎn)伸展

第⑵題也可以這樣分割4ABD:如圖5,設(shè)BD與x軸交于點(diǎn)E,那么AE將4ABD分為兩個(gè)有公共底邊的4BA

E和4DAE,這兩個(gè)三角形高的和等于B、D兩點(diǎn)間的豎直距離.

由，得直線為.丫=一.所以(，)

B(0,3)sD(2,—BD2%+3E|O,AE=5.所以SABD=SBAE+^DAE=-AE(B0

11

+DM)=-x-x4=l.

w

0

?D

圖5

10.滿分解答

⑴將點(diǎn)C(2,2)代入y=kx+3狷2k+3=2.解得k=

由拋物線的對(duì)稱軸x=2b=2彳導(dǎo)b=l.

(2)如圖2,由y=—得x+3彳導(dǎo)B(0,3).

由y=—+久+;=_；(%_2)2得D(2,|)

由B(0,3)、C(2,2)、D(2,g得BC=布,CD=j.

圖2圖3

因?yàn)锽G〃CD,當(dāng)G在B下方時(shí),NGBONBCD.分兩種情況討論相似:

①當(dāng)作=一時(shí),BG=CD=，此時(shí)G(0,；(如圖2所示).

DCCDZZ

②當(dāng)獸=W時(shí)BG=*2.此時(shí)G(0,l)(如圖3所示).

（3）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2,|域（（-嗎.

考點(diǎn)伸展

第⑶題的解題思路是這樣的：如圖4,作EHLy軸于H.

當(dāng)點(diǎn)F落在y軸上時(shí)，設(shè)AB垂直平分EF于G那么/EFH=/A.

由于tan/A=票=/可設(shè)EH=m,FH=2m,那么EF=V5m.

在RtABFG中，F(xiàn)G=些？n,所以BG=叱m,BF=三6.

244

所以O(shè)F=0B—BF=3—所以。"=OF+FH=3-+27n=3+三小.

444

所以E（m>3+凱）

2

將點(diǎn)E（m>3+1m）代入y=—1%+%+（得3+|m=—1m?+7n+（

整理，得zn?-m-2=0.解得m=2,或m=-l.

所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（（2。（如圖4所示），或（（-1，?（如圖5所示，局部放大）.

11.滿分解答

⑴因?yàn)閽佄锞€與x軸交于B(-l,0)sC(3,0)兩點(diǎn)，所以y=a(x+l)(x-3).

對(duì)照y=ax2+bx-3,根據(jù)常數(shù)項(xiàng)相等，得-3a=-3.解得a=l.

所以.y=(%+1)(%-3)=x2-2x-3=(x-I)2-4.頂點(diǎn)為D(l,-4).

(2)如圖2,由A(0,-3)、C(3,0)、D(l,-4),可得AC2=18,AD2=2,CD2=20.

2

所以CD=4c2+4。2.所以△ACD是直角三角形,/CAD=90°.

所以SACD=lAC-AD=|V18xV2=3.

⑶第一步,先探求ZOCD=ZBAC.

如圖3,由C(3,0)、D(l,-4),可得tan/DCO=^=2.

如圖4,作BH±AC