2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：平行四邊形的存在性問(wèn)題 專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)（附解析）

平行四邊形的存在性問(wèn)題

1.如圖1,平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y="2++4的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0)、B(4,0)兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

⑵如果點(diǎn)E在線段0C上，且/CBE=NACO,求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

⑶點(diǎn)M在y軸上，且位于點(diǎn)C上方，點(diǎn)N在直線BC上，點(diǎn)P為上述二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)如果以C、

M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

2如圖1,已知直線y=-|x+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C,拋物線y=+bx+c過(guò)點(diǎn)B、C,且

與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)M是線段BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線1〃丫軸交該拋物線于點(diǎn)N，當(dāng)四邊形OMNC是平行四邊形時(shí)，

求它的面積；dx

，/一

(3)聯(lián)結(jié)AC,設(shè)點(diǎn)D是該拋物線上一點(diǎn),且滿(mǎn)足/DBA=NCAO,求點(diǎn)D的坐標(biāo)./。\"

3如圖在RtAABC中,/C=9(F,AC=6,BC=8動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度

運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PD〃BC,交AB于點(diǎn)D,

聯(lián)結(jié)PQ.點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t

秒(GO).

(1)直接用含t的代數(shù)式分別表示:QB=,PD=;

⑵是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由，并探究如何改變點(diǎn)

Q的速度(勻速運(yùn)動(dòng))，使四邊形PDBQ在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn)Q的速度.

4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A(4,0)、B(0,3),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,m),過(guò)點(diǎn)

C作CE±AB于點(diǎn)E,點(diǎn)D為x軸正半軸的一動(dòng)點(diǎn),且滿(mǎn)足OD=2OC,連結(jié)DE以DE、DA為邊作平行四邊形DEFA.

(1)如果平行四邊形DEFA為矩形.求m的值;

⑵如果平行四邊形DEFA為菱形，請(qǐng)直接寫(xiě)出m的值.

5如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線1與直線y=2x平行，且直線1與x、y軸分別交于點(diǎn)A(-l,0)x

點(diǎn)B,點(diǎn)C(l,a)在直線1上.

(1)求直線1的表達(dá)式以及點(diǎn)C的坐標(biāo)；J

(2)點(diǎn)P在y軸正半軸上，點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，如果四邊形PAQC為矩形，求點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)

①如圖L在平面直角坐標(biāo)系xOy中直線y=kx+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,-2),與y軸交于點(diǎn)B,與x軸交于點(diǎn)E.沿x軸方向

平移直線AB，使其經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是C、D.

(1)求直線AB平移的距離；

⑵已知點(diǎn)F在x軸上，點(diǎn)G在坐標(biāo)平面內(nèi)，且以點(diǎn)C、D、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求點(diǎn)F的坐標(biāo).

備用圖

7如圖1,已知平面直角坐標(biāo)系*0丫,過(guò)點(diǎn)(4,6)的直線y=kx+3與y軸交于點(diǎn)A,將此直線向下平移［個(gè)單位，所

得到的直線1與y軸交于點(diǎn)B.

(1)求直線1的表達(dá)式；

⑵點(diǎn)C位于第一象限且在直線1上，點(diǎn)D在直線y=kx+3上，如果以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,

求點(diǎn)C的坐標(biāo).

8.已知點(diǎn)P(l,m)、Q(n,l)在反比例函數(shù)y=:的圖像上，直線y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)P、Q,且與x軸、y軸的交點(diǎn)分別

為A、B兩點(diǎn).

⑴求k、b的值；

(2)0為坐標(biāo)原點(diǎn),C在直線y=kx+b上且AB=AC,點(diǎn)D在坐標(biāo)平面上，順次聯(lián)結(jié)點(diǎn)0、B、C、D得四邊形0BC

D,滿(mǎn)足BC〃0D,B0=CD,求滿(mǎn)足條件的D點(diǎn)坐標(biāo).

9如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=3x-9與x軸、y軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B,點(diǎn)C在y軸的正半軸上，0C

=|。3點(diǎn)D在射線BA上，目ADCB的面積為30.

⑴求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

⑵求直線CD的表達(dá)式；

⑶點(diǎn)P在射線CD上，如果四邊形BCPQ是菱形，求點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo).

10.如圖1,已知直線AQ與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A,與y軸正半軸交于點(diǎn)Q,/QAO=45。,直線AQ在y軸上的截

距為2,直線BE:y=-2x+8與直線AQ交于點(diǎn)P.

⑴求直線AQ的解析式；

(2)在y軸正半軸上取一點(diǎn)F,當(dāng)四邊形BPFO是梯形時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

⑶若點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)M在直線PA上，點(diǎn)N在直線PB上，是否存在以Q、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊

形是菱形，若存在請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.E

1.滿(mǎn)分解答

(1)因?yàn)閽佄锞€與X軸交于A(-2,0)、B(4,0)兩點(diǎn)，可設(shè)y=a(x+2)(x-4).

對(duì)照yax2+bx+4,根據(jù)常數(shù)項(xiàng)相等，得-8a=4.

解得a=-點(diǎn)所以y=-1(%+2)(%-4)=-|x2+x+4.

⑵由A(-2,0)、C(0,4),可得tanzXCO=1.

在RtABOC中,OB=OC=4,所以NBCO=45。，BC=4a

作EHJ_BC于H,那么tan/CBE=tan乙4C。=點(diǎn)所以EH=

設(shè)EH=m,BH=2m,那么(CH=m,CE=V2m.

由BC=3m=心/②得m=1V2.

所以CE=42m=

所以O(shè)E=OC—CE=4-g=*E(0，§.

(3)已知C(0,4),點(diǎn)P在直線x=l上，點(diǎn)M在點(diǎn)C上方，點(diǎn)N在直線y=-x+4上以CM為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)討論菱形.

①如圖3,當(dāng)CM為菱形的對(duì)角線時(shí)，CM與NP互相垂直平分.

因此點(diǎn)N、P到y(tǒng)軸的距離相等，等于1.所以xN=-1.所以N(-l,5).

所以C、M到直線NP的距離相等，等于1.所以M(0,6).

圖3

②如圖4,當(dāng)CM為菱形的邊時(shí)，由于PN||CM||y軸，所以點(diǎn)N在直線.尤=1上.所以N(1,3).所以菱形的邊

長(zhǎng)為CN=魚(yú).此時(shí)M(0-4+V2).

考點(diǎn)伸展

如果第⑶題沒(méi)有點(diǎn)M在點(diǎn)C上方的限制，那么還存在如圖5所示的情形.此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為((0,4-72).

2.滿(mǎn)分解答

(1)由y=+2,彳導(dǎo)B(4,0),C(0,2).

設(shè)拋物線的解析式為y=-*比—4)(“—上),代入點(diǎn)C(0,2)彳導(dǎo)—2X2=2.

解得x2=-1.

所以y=-|(X-4)(x+1)=-|x2+|久+2.

(2)設(shè)++|%+2)

如圖2,如果四邊形OMNC是平行四邊形，那么NM=CO=2.

解方程+|x+2)-(-|x+2)=2,整理，得—?+4=0.

解得%i=x2=2.

所以S平行四邊形OMNC=2x2=4.

⑶如圖3,/DBA=/CAO存在兩種情況.

①當(dāng)點(diǎn)D在x軸上方時(shí)，四邊形CABD是等腰梯形.

此時(shí)C、D兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=|對(duì)稱(chēng)，所以D(3,2).

②當(dāng)點(diǎn)D在x軸下方時(shí)，作DHLx軸于H.

由tan/DBH=tan/CACX得—=—=2.所以DH=2BH.

圖2圖3

設(shè)D\m'—|(m—4)(m+1)),那么|(m—4)(m+1)=2(4—m).

解得m=-5,或m=4(與B重合,舍去).此時(shí).D(-5，-18).

考點(diǎn)伸展

第⑶題②中設(shè)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，為什么用拋物線的交點(diǎn)式表示比較方便呢？

求直線BD與拋物線的交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)B(4,0)在x軸上，所以直線BD和拋物線的解析式中，都含有

一個(gè)因式(x-4).這樣用因式分解法解方程比較方便.

3.滿(mǎn)分解答

(l)QB=8-2t,PD=1t.

(2)先說(shuō)明菱形是否存在.

如圖1,在四邊形PDBQ中,(QB=8-2t,PD==1。—11.

由BQ=PD,得8-2t=*解得t=y.

由PD=BD得|t=10一|t.解得t=y.

由于茅7岸所以四邊形PDBQ是平行四邊形時(shí)，鄰邊不相等.

所以四邊形PDBQ不可能成為菱形.

再改變點(diǎn)Q的速度，使得四邊形PDBQ是菱形.

如圖2,由PD=BD知”爭(zhēng)寸,四邊形PDBQ是菱彩

所以菱形的邊長(zhǎng)PD=]=?Xg3

此時(shí)。(2=理一收=8-蔡=加[^^^的速度”=半=藁+費(fèi)=表.

c--P"Cp八

圖1圖2

4.滿(mǎn)分解答

(1)在RtAAOB中,0A=4,0B=3,所以.AB=5,coszB=|.

在RtABCE中,BC=3-m,所以BE=BC-coszB=|(3-m)=|-|im.

所以2E=AB-BE=5-弓一|m)=|m+

當(dāng)四邊形DEFA是矩形時(shí)，在RSADE中，coszX盜，

當(dāng)點(diǎn)C在x軸上方時(shí),OC=mQD=2OC=2m.所以AD=4-2m.

解方程用=3得爪=*

-771+-^-531

當(dāng)點(diǎn)C在X軸下方時(shí),OC=-m,OD=2OC=-2m.所以AD=4+2m.

解方程拄空T得m=一得

519

-5m5+—

立』

圖1圖2

⑵如果平行四邊形DEFA為菱形，那么在等腰三角形ADE中,J2=1當(dāng)點(diǎn)C在X軸上方時(shí)解方程

E8

16

m=—.

19

當(dāng)點(diǎn)C在X軸下方時(shí),解方程Ug.得甲-：：?

IX

圖3圖4

5.滿(mǎn)分解答

⑴設(shè)y=2x+b,代入點(diǎn)A(-1,O］得-2+b=0,解得b=2.所以y=2x+2,B(0,2),C(l,4).

⑵如圖2,以AC為直徑作圓與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)P1、P2.

由A(-1,O).B(0,2)、C(l,4,得.AB=BC=V5.

因?yàn)樗倪呅蜳AQC為矩形，所以BP=BQ=AB=BC=V5.

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B上方時(shí)，Pi(O,2+V5),Qi(O,2-V5);

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B下方時(shí)，P2(O<2-V5),Q2O2+V5).

6.滿(mǎn)分解答

⑴將點(diǎn)A(2,-2)代入y=kx+2彳導(dǎo)2k+2=-2,解得k=-2.

所以直線AB的解析式為y=-2x+2.所以B(0,2)、E(1,O).

所以直線AB平移的距離為1.

(2)由⑴，得C(l,-2)sD(-l,2),設(shè)F(x,O).

所以DIF2=(x+I)?+(-2)2,CF2=(x-+22,CD2=(-2)2+42=20.

當(dāng)以點(diǎn)C、D、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，則^CDF是直角三角形，分三種情況討論.

①如圖2，當(dāng)心CDF=90。時(shí)，DF2+CD2=CF2.(x+I)2+(-2)2+20=(x-l)2+2?整理，得4x+20=0.

解得x=5所以F(-5,0).

②如圖3,當(dāng)乙DCF=90。時(shí),(CD2+CF2=DF2.20+(x-l)2+22=(x+l)2+(-2產(chǎn)整理得-4x+20=0.解得

x=5.所以F(5,0).

③如圖4,當(dāng)乙CFD=90。時(shí),LF2+CF2=CD2.(x+l)2+(-2)2+(x-l)2+22=20整理，得x2-5=0.解

得=V5,X2=-低所以F(V5-0)pg(-V5>0).

7.滿(mǎn)分解答

(1)將點(diǎn)(4,6)代入y=kx+3彳導(dǎo)4k+3=6.解得k=:所以y=\x+3,A(0,3).所以直線1的表達(dá)式為y=+：,B

444N

04).

(2)分兩種情況討論以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.

①如圖2,當(dāng)AB為邊時(shí),BC=AB.設(shè)C[x>\x+

所以BC2=x2+(-x+--邛=竺/

\422)16

所以工/=(|)[解得打=-2(不符合題意，舍去)，.七=2.所以C(2,2).

1O\Z/

②當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí),AB與DC互相垂直平分，設(shè)AB、DC相交于點(diǎn)M.

所以AM=MB.所以yA-yM=yM-yB,3-yM=yM-

解得y”=：將yc=y“=彳代入y=|%+卜得冗=|所以c(|4)

8.滿(mǎn)分解答

(1)由y=(得P(l,5)、Q(5,l).

將P(l,5)、Q(5,l)代入y=kx+b,得￡+6=1,解得卜J?

⑵由y=-x+6狷A(6,0)、B(0,6),.AB=6A/2.

設(shè)C(a,-a+6).因?yàn)锳B=AC,所以6a=7(?-6)2+(-a+6)2.

解得a1=12,a2=0(與點(diǎn)B重合,舍去).所以C(12,-6).

因?yàn)锽C〃OD,所以O(shè)D解析式為:y=-x.

設(shè)D(m,-m).因?yàn)锽O=CD,所以6=—12江+(-m+6尸.解彳導(dǎo)g=6,m212.

所以口(6,-6)或(12,-12).

當(dāng)D(6,-6)時(shí),四邊形OBCD為等腰梯形.

當(dāng)D(12,-12)時(shí),四邊形OBCD為平行四邊形.

9.滿(mǎn)分解答

⑴如圖2,由y=3x-9,得A(3,0)、B(0,-9).

因?yàn)镺C=|OB,所以oc=Ix9=6,C(0,6).

因?yàn)镾DCB=|BC-XD=|(6+9)-XD=30,所以xD=4.

所以yD=3xD-9=3,D(4,3).

⑵設(shè)直線CD的表達(dá)式為y=kx+6,代入點(diǎn)D(4,3)狷4k+6=3.解得k=-*所以直線CD的表達(dá)式為y=-9

44

+6.

⑶如圖3.設(shè)P(%，一江+6),因?yàn)镃(0,6),所以CP2=%2+(-|x+6-6)2.

當(dāng)四邊形BCPQ是菱形時(shí),CP=PQ=BQ=CB=15,PQ〃CB〃y軸.

所以cp2=CB2,X2+(--%+6-6?=152.整理，得—X2=152.

解得%!=12/2=-12(舍).

所以P(塔-3),Q(12,-18).

10.滿(mǎn)分解答

(1)如圖2,在RtAAOQ中,NQA