2025年上海高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型專練：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 （七大題型） （原卷版）

熱點(diǎn)題型?選填題攻略

專題07導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(七大題型)

o------------題型歸納?定方向-----------*>

題型012023-2024年高考+春考真題.........................................................1

題型02導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用.........................................................................2

題型03導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(含與立體幾何、三角函數(shù)等結(jié)合).....................................2

題型04導(dǎo)數(shù)、抽象函數(shù)等綜合.................................................................6

題型05求極限、分段函數(shù)問題.................................................................7

題型06導(dǎo)數(shù)與數(shù)列、空間向量與立體幾何.....................................................8

題型07其他補(bǔ)充強(qiáng)化訓(xùn)練......................................................................9

?>----------題型探析,明規(guī)律-----------*

【解題規(guī)律?提分快招】

耒函藪向?qū)Ъにｄ蟠_施把函數(shù)振芬康姆初琴菌藪的而「親「祈丁商「百我再運(yùn)算法加萊導(dǎo)二

2、)抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.

(3)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.

3、求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a),f(b)與f(x)的

各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值.

4、若所給的閉區(qū)間［a,b］含參數(shù)，則需對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得

到函數(shù)f(x)的最值.

5、題源注明：因題源有限，導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中，選用適量解答題來練習(xí)填選題

題型012023-2024年高考+春考真題

【典例1-11.(2024?上海)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,定義集合M={xo|x()eR,xG(-oo,x0),/(x)

<f(x0)},在使得〃=［-1,i］的所有y(x)中，下列成立的是()

A.存在/(x)是偶函數(shù)

B.存在/(x)在x=2處取最大值

C.存在/(x)為嚴(yán)格增函數(shù)

D.存在f(x)在x=-1處取到極小值

【典例1-2］.(2024?上海)現(xiàn)定義如下：當(dāng)xe(n,w+1)時(shí)(〃eN),若/(x+1)=f(x),則稱/(x)為

延展函數(shù).現(xiàn)有，當(dāng)xe(0,1)時(shí)，g(x)="與〃(x)=xi°均為延展函數(shù)，則以下結(jié)論()

(1)存在(k,6eR；k,舁0)與y=g(x)有無窮個(gè)交點(diǎn)

(2)存在y=fcc+6(k,66R；k,舁0)與y=h(x)有無窮個(gè)交點(diǎn)

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立

C.（1）成立（2）不成立D.（1）不成立（2）成立

【典例1-3].（2023?上海）某公園欲建設(shè)一段斜坡，坡頂是一條直線，斜坡頂點(diǎn)距水平地面的高度為4米,

坡面與水平面所成夾角為0.行人每沿著斜坡向上走1加消耗的體力為（1.025-cosO）,欲使行人走上斜

坡所消耗的總體力最小，則。=.

題型02導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

【典例2-1].（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）已知函數(shù)了=/（x）,若/⑴=1,則+

2oh

【典例2-2].（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）設(shè)〃x）=tanx,則.

【變式2-1].（23-24高二下?上海?期中）函數(shù)〃x）=/-sin尤在區(qū)間[0,句上的平均變化率為

【變式2-2】.（25-26高三上?上海?單元測試）函數(shù)y=2/-6x+l的駐點(diǎn)為.

【變式2-3】.（23-24高二下?上海?期末）己知函數(shù)〃無）=l+x-sinx,xe（0,2兀），則該函數(shù)的嚴(yán)格增區(qū)間

.

【變式2-4】.（24-25高三上?上海浦東新?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=d+2x,則〃尤）在點(diǎn)（1,7■⑴）處的切

線的傾斜角為.

【變式2-5].（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）函數(shù)/（x）=x3-21nx在點(diǎn)處的切線方程為.

【變式2-6].（2024?上海浦東新?三模）已知7yo為偶函數(shù)，若小”口，則。=.

【變式2-7].（23-24高二下?上海?階段練習(xí)）若函數(shù)/（x）=（x3+；x2-x+,在上存在嚴(yán)格減區(qū)間，

326<2J

則m的取值范圍是

題型03導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（含與立體幾何、三角函數(shù)等結(jié)合）

【典例3-1】?（24-25高三?上海?隨堂練習(xí)）做一個(gè)無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是64兀，且用料最省，

則該圓柱形水桶的底面半徑為.

【典例3-21?（23-24高三上?上海閔行?期中）已知正四棱錐的各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，球的體積為36兀，

則該正四棱錐的體積最大值為.

【變式3-1】.（23-24高三上?上海嘉定?期中）據(jù)環(huán)保部門測定，某處的污染指數(shù)與附近污染源的強(qiáng)度成正

比，與到污染源距離的平方成反比，比例常數(shù)為M后>0）.現(xiàn)已知相距18km的A,B兩家化工廠（污染源）

的污染強(qiáng)度分別為。，b,它們連線段上任意一點(diǎn)。處的污染指數(shù)了等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和.設(shè)

NC=x（km）（O<x<18）,若?=：!,且x=6時(shí)，V取得最小值，則6的值為.

【變式3-2】.（23-24高二下?上海?期末）采礦、采石或取土?xí)r，常用炸藥包進(jìn)行爆破，部分爆破呈圓錐漏

斗形狀（如圖），已知圓錐的母線長是炸藥包的爆破半徑凡它的值是固定的.當(dāng)炸藥包埋的深度為

可使爆破體積最大.

炸藥包

2

【變式3-3].（23-24高二下?上海?期中）如圖，用一塊形狀為半橢圓x?+匕=l（y20）的鐵皮截取一個(gè)以短

軸8C為底的等腰梯形N2C。，記所得等腰梯形的面積為S,貝抬的最大值是.

斗

A^\^D

BO\Cx

【變式3-4】.（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）如圖，某城市公園內(nèi)有一矩形空地4BCD,/2=300m,

40=180m,現(xiàn)規(guī)劃在邊48,CD,D4上分別取點(diǎn)E,F,G,且滿足/E=EF,FG=GA,在AE/G內(nèi)

建造噴泉瀑布，在AEFG內(nèi)種植花奔，其余區(qū)域鋪設(shè)草坪，并修建棧道EG作為觀光路線（不考慮寬度），

則當(dāng)sinZAEG=時(shí)，棧道EG最短.

D____F____________C

【變式3-5】.（2025?上海高考復(fù)習(xí)?專題練習(xí)）如圖所示，/BCD是邊長為30c加的正方形硬紙片，切去陰

影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A,B,C,。四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P,

正好形成一個(gè)底面是正方形的長方體包裝盒，若要包裝盒容積廠（。療）最大，則防的長為cm.

【變式3-6】.（23-24高三下?上海?階段練習(xí)）某種兒童適用型防蚊液儲存在一個(gè)容器中，該容器由兩個(gè)半

球和一個(gè)圓柱組成（其中上半球是容器的蓋子，防蚊液儲存在下半球及圓柱中），容器軸截面如題圖所示,

兩頭是半圓形，中間區(qū)域是矩形/BCD,其外周長為100毫米.防蚊液所占的體積為圓柱體體積和一個(gè)半

球體積之和.假設(shè)工。的長為2x毫米.

（1）求容器中防蚊液的體積（單位：立方毫米）》關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如何設(shè)計(jì)40與的長度，使得V最大？

【變式3-7】.（22-23高三上?上海虹口?期中）如圖所示，由圓。的一段弧九0N（其中點(diǎn)尸為圓弧的中點(diǎn)）

和線段MV構(gòu)成的圖形內(nèi)有一個(gè)矩形N8C。和△尸DC（其中48在線段“N上，C、。兩點(diǎn)在圓弧上），已

知圓。的半徑為20,點(diǎn)尸到的距離為25,設(shè)直線OC與的夾角為氏

（1）用0分別表示矩形ABCD和APDC的面積，并確定sin，的取值范圍；

（2）當(dāng)6為何值時(shí)，S=4S矩形的0+3s△%o有最大值，最大值是多少？

【變式3-8】.（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）為響應(yīng)國家“鄉(xiāng)村振興”政策，某村在對口幫扶單位的支持下

擬建一個(gè)生產(chǎn)農(nóng)機(jī)產(chǎn)品的小型加工廠.經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)該農(nóng)機(jī)產(chǎn)品當(dāng)年需投入固定成本10萬元，每年需

另投入流動成本c（x）（萬元）與In看成正比（其中x（臺）表示產(chǎn)量），并知當(dāng)生產(chǎn)20臺該產(chǎn)品時(shí)，需要

流動成本ln2萬元，每件產(chǎn)品的售價(jià)P（x）與產(chǎn)量x（臺）的函數(shù)關(guān)系為p（x）=-念+3+非（萬元）（其

中xNlO）.記當(dāng)年銷售該產(chǎn)品x臺獲得的利潤（利潤=銷售收入一生產(chǎn)成本）為/'（x）萬元.

⑴求函數(shù)/（X）的解析式；

（2）當(dāng)產(chǎn)量x為何值時(shí)，該工廠的年利潤/（x）最大？最大利潤是多少？（結(jié)果精確到0.1）

【變式3-9】.（21-22高三下?上海浦東新?期中）如圖，某沿海地區(qū)計(jì)劃鋪設(shè)一條電纜聯(lián)通月、8兩地，A

處位于東西方向的直線MN上的陸地處，8處位于海上一個(gè)燈塔處，在/處用測角器測得tan4BNN=±,

4

在/處正西方向1km的點(diǎn)C處，用測角器測得tanN8CN=l.現(xiàn)有兩種鋪設(shè)方案:①沿線段N5在水下鋪設(shè);

②在岸MN上選一點(diǎn)P,設(shè)乙BPN=9,先沿線段/P在地下鋪設(shè)，再沿線段尸8在水下鋪設(shè),

預(yù)算地下、水下的電纜鋪設(shè)費(fèi)用分別為2萬元/km、4萬元/km.

（1）求/、8兩點(diǎn)間的距離；

（2）請選擇一種鋪設(shè)費(fèi)用較低的方案，并說明理由.

【變式3-10].（2025?上海高考復(fù)習(xí)?專題練習(xí)）如圖，某公園內(nèi)有一半圓形人工湖，。為圓心，半徑為1

千米.為了人民群眾美好生活的需求，政府為民辦實(shí)事，擬規(guī)劃在AOCD區(qū)域種荷花，在AOBD區(qū)域建小型

水上項(xiàng)目.已知NAOC=ZCOD=6.

（1）求四邊形。CDB的面積（用8表示）；

（2）當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求的長（最終結(jié)果可保留根號）.

【變式3-11].（2025?上海高考復(fù)習(xí)?專題練習(xí)）設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷，它下部的形狀是正四棱柱

A^C^-ABCD,上部的形狀是正四棱錐P-44G。，且該帳篷外接于球。（如圖所示）.

⑴若正四棱柱AXB{CXDX-ABCD是棱長為2m的正方體，求該帳篷的頂點(diǎn)P到底面ABCD中心&的距離；

冗

（2）若該帳篷外接球。的半徑3m,設(shè)6e（0,5）,該帳篷的體積為K，則當(dāng)cos。為何值時(shí)，體積修

取得最大值.

題型04導(dǎo)數(shù)、抽象函數(shù)等綜合

【典例4-1】?(23-24高三上?上海虹口?期中)對于兩個(gè)定義在R上的函數(shù)了=/(x)與〉=g(x),構(gòu)造新函

數(shù)y=〃(x)如下：對任意無()eR,/z(x0)=/(x0)+g(x0).現(xiàn)己知y=〃(x)是嚴(yán)格增函數(shù)，對于以下兩個(gè)命題:

①y=/(x)與y=g(x)中至少有一個(gè)是嚴(yán)格增函數(shù)；②y=/(x)與y=g(x)中至少有一個(gè)函數(shù)無最大值.其

中()

A.①和②都是真命題B.只有①是真命題

C.只有②是真命題D.沒有真命題

【典例4-2].(2023?上海閔行?一模)已知函數(shù)P=/(x)與它的導(dǎo)函數(shù)>=/'(x)的定義域均為R,現(xiàn)有下

述兩個(gè)命題：

①"y="X)為嚴(yán)格增函數(shù)”是“了=r(x)為嚴(yán)格增函數(shù)”的必要非充分條件.

②"y=/(X)為奇函數(shù)”是“v=/'(X)為偶函數(shù)”的充分非必要條件；

則說法正確的選項(xiàng)是()

A.命題①和②均為真命題B.命題①為真命題，命題②為假命題

C.命題①為假命題，命題②為真命題D.命題①和②均為假命題

【變式4-1].(2024?上海?模擬預(yù)測)設(shè)正數(shù)。，4c不全相等，abc=l,函數(shù)

〃x)=(l+叫(l+W(l+c)關(guān)于說法

①對任意a,b,c,/(x)都為偶函數(shù)，

②對任意。，仇cJ("在[0.01,0.02]上嚴(yán)格單調(diào)遞增,

以下判斷正確的是()

A.①、②都正確B.①正確、②錯(cuò)誤C.①錯(cuò)誤、②正確D.①、②都錯(cuò)誤

【變式4-2].(2024?上海?模擬預(yù)測)定義集合M={%|%,在使得M

的所有〃x)中，下列成立的是()

A.存在〃x)是偶函數(shù)

B.存在“X)在x=2處取最大值

C.存在"X)嚴(yán)格增

D.存在“X)在x=-l處取到極小值

【變式4-3】.(2024?上海?三模)已知函數(shù)>=/(x)的定義域?yàn)?0,2),則下列條件中，能推出1一定不是

>=/(》)的極小值點(diǎn)的為()

A.存在無窮多個(gè)(0,2),滿足

B.對任意有理數(shù)/e(O,l)u(l,2),均有/(/)</(1)

C.函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。,1)上為嚴(yán)格減函數(shù)，在區(qū)間(1,2)上為嚴(yán)格增函數(shù)

D.函數(shù)y=〃x)在區(qū)間(0,1)上為嚴(yán)格增函數(shù)，在區(qū)間(1,2)上為嚴(yán)格減函數(shù)

【變式4-4】.(24-25高三上?上海奉賢?期中)已知定義在R上的函數(shù)y=〃x),其導(dǎo)數(shù)為/'(x),記

g(x)=/(x),且/(x)_/(r)=4x,g(x)+g(2-x)=0,則下列說法中正確的個(gè)數(shù)為()

①g(O)=l；②產(chǎn)工區(qū)的圖象關(guān)于(0,2)對稱；③〃x)+/(2-x)=0；④fg估)=〃-〃2

Xk=\

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式4-5】.(23-24高三上?上海浦東新?期中)已知函數(shù)/(X)為定義在R上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)，/(1)=1,

函數(shù)廠(x)=/(x)+2、，有以下兩個(gè)命題：①存在函數(shù)〃x)使得x=l為函數(shù)尸(x)的極大值點(diǎn):②若

尸(無)=尸(/)對任意xeR恒成立，貝1]/(2)=-1廁()

A.①為真命題，②為真命題B.①為真命題，②為假命題

C.①為假命題，②為真命題D.①為假命題，②為假命題

【變式4-6】.(2024?上海?模擬預(yù)測)現(xiàn)定義如下:當(dāng)+時(shí)(〃eN),若〃x+l)=/'(x),則稱

為延展函數(shù).已知當(dāng)xe(O,l)時(shí)，g(x)=e'且=且g(x),〃(x)均為延展函數(shù)，則以下結(jié)論()

(1)存在y=kx+b(k,beR,后,6w0)與〉=g(x)有無窮個(gè)交點(diǎn)

(2)存在y=kx+b(k,beR,k,bwO)與>=力卜)有無窮個(gè)交點(diǎn)

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立

C.(1)成立(2)不成立D.(1)不成立(2)成立.

題型05求極限、分段函數(shù)問題

【典例5-1】?(21-22高二上?上海浦東新?階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)列

%=*,+匕)

4(再,以……，滿足*若4(草)，則

X

K+i=|(?-K)

lim(|O4|+KI+-+l°A|)=—,

J--X-—(x《2)

【變式5-1】.(23-24高二下?上海?期末)已知函數(shù)〃x)=22'一,若在區(qū)間(1,+?0上存

ex-2(-x2+8x-12)(x>2)

在個(gè)不同的數(shù)再6,,毛,…,X,,使得/㈤=/@=…/⑷成立，貝"的取值集合是________.

%]x2xn

題型06導(dǎo)數(shù)與數(shù)列、空間向量與立體幾何

【典例6-1].(22-23高三下?上海楊浦?開學(xué)考試)無窮數(shù)列｛%｝滿足：。<%<1,且對任意的正整數(shù)〃,

均有e""，=(3-%)e〃”，則下列說法正確的是()

A.數(shù)列｛%｝為嚴(yán)格減數(shù)列B.存在正整數(shù)"，使得凡＜。

C.數(shù)列中存在某一項(xiàng)為最大項(xiàng)D.存在正整數(shù)〃，使得。，＞§

【變式6-1】.(24-25高三上?上海黃浦?期末)設(shè)函數(shù)了=〃x)在區(qū)間/上有導(dǎo)函數(shù)y=/'(x),且/'(x)＜。

在區(qū)間/上恒成立，對任意的xe/,有對于各項(xiàng)均不相同的數(shù)列｛%｝,,。用=/(%),下

列結(jié)論正確的是()

A.數(shù)列與｛與"｝均是嚴(yán)格增數(shù)列

B.數(shù)列｛%-｝與｛%,｝均是嚴(yán)格減數(shù)列

C.數(shù)列｛2""與｛?”｝中的一個(gè)是嚴(yán)格增數(shù)列，另一個(gè)是嚴(yán)格減數(shù)列

D.數(shù)列｛出1｝與｛的,｝均既不是嚴(yán)格增數(shù)列也不是嚴(yán)格減數(shù)列

【變式6-2].(2025?上海高考復(fù)習(xí)?專題練習(xí))如圖，在正方體4BCD-EFG8中，尸在棱2C上，BP=x,平

行于2。的直線/在正方形斯G8內(nèi)，點(diǎn)E到直線/的距離記為d,記二面角為4/-P為仇已知初始狀態(tài)下

x=0,d=0,貝lj()

A.當(dāng)x增大時(shí)，6先增大后減小B.當(dāng)x增大時(shí)，6先減小后增大

C.當(dāng)d增大時(shí)，6先增大后減小D.當(dāng)"增大時(shí)，6先減小后增大

題型07其他補(bǔ)充強(qiáng)化訓(xùn)練

【典例7-1].(24-25高三上?海南省直轄縣級單位?階段練習(xí))已知函數(shù)g(x)的定義域?yàn)镽,g'(x)

15

是g(x)的導(dǎo)數(shù),且〃x)+g'(x)=5,/(x-l)+g(5-x)=5,若g(x)為偶函數(shù),則±/的=()

k=l

A.80B.75C.70D.65

【變式7-2】.(2024?青海?二模)已知定義在R上的函數(shù)/(x),其導(dǎo)數(shù)為尸⑶，且滿足

〃x+.y)=〃x)+/5)+盯(x+力，/(1)=-1,/■'(1)=0,給出下列四個(gè)結(jié)論：①〃x)為奇函數(shù)；②

r(10)=99；③"3)=3：④在(0,1)上單調(diào)遞減.其中所有正確結(jié)論的序號為()

A.①②B.①③C.②③④D.①②④

【變式7-3].(24-25高三上?北京海淀?期中)已知函數(shù)〃幻=華土D,其定義域記為集合。,a/e。，給

Inx

出下列四個(gè)結(jié)論：

①。=｛x|x>0且xR1｝；

②若帥=1,則|/(。)-/(加>1；

③存在中6,使得/■⑷="3；

④對任意。，存在6使得〃a)+/S)=L

其中所有正確結(jié)論的序號是.

0---------------題型通關(guān)?沖高考-----------?>

一、填空題

1.(2023?上海徐匯?三模)對任意數(shù)集/=｛[,%,%｝，滿足表達(dá)式為/+尤2一無一1且值域?yàn)锳的函數(shù)個(gè)

數(shù)為P.記所有可能的夕的值組成集合8,則集合B中元素之和為.

2.(2021?上海一模)若定義在N上的函數(shù)〃x),g(x)滿足：存在使得〃/)<g(x。)成立，則稱〃x)

與g(x)在N上具有性質(zhì)尸(7,g),設(shè)函數(shù)與g(x)=x3,其中，a>Q,已知〃x)與g(x)在N上

不具有性質(zhì)P(f,g),將a的最小值記為?0.設(shè)有窮數(shù)列｛4｝滿足A=1,鼠=1+6.("eN*,n<504x闖),

這里[&]表不不超過旬的最大整數(shù).若去掉｛2｝中的一項(xiàng)d后，剩下的所有項(xiàng)之和恰可表為加2(加?N*),

則加皿的值為.

二、單選題

3.(2024?上海青浦?二模)如圖，已知直線了=履+加與函數(shù)V=/(x),xe(O,+e)的圖象相切于兩點(diǎn)，則函數(shù)

>=/(x)-履有().

A.2個(gè)極大值點(diǎn)，1個(gè)極小值點(diǎn)